单元培优讲义：专题08 数学广角——数与形（考点梳理+例题讲解+考点练习+培优练习）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

2025-2026学年六年级上册数学人教版单元培优讲义 专题08 数学广角——数与形 （考点梳理+例题讲解+考点练习+培优练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 2 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 3 例题讲解 4 一、数列中的规律 4 二、算式的规律 4 三、用图像表示变化关系 5 四、数形结合规律 5 考点练习 6 一、数列中的规律 6 二、算式的规律 7 三、用图像表示变化关系 8 四、数形结合规律 10 培优练习 13 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.这类题目通常给出一组按一定规律排列的图形，要求： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 2.用小棒摆正方形 摆1个正方形需要4根小棒 摆2个正方形需要7根小棒 摆3个正方形需要10根小棒 ...... 每个正方形共用一条边 第1个：4根 (3×1 + 1) 第2个：4 + 3 = 7根 (3×2 + 1) 第3个：7 + 3 = 10根 (3×3 + 1) ...... 规律分析： 除了第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根小棒。图形的规律可以用代数式3n+1来表示。 3.点阵中的规律 (如从1开始的连续奇数之和) ....... 第1个图形（点）：1点 → 1 = 1² 第2个图形（点阵）：1 + 3 = 4点 → 4 = 2² 第3个图形（点阵）：1 + 3 + 5 = 9点 → 9 = 3² 第n个图形：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² 规律分析： 从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。图形（正方形点阵）的点数之和与平方数紧密相关。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.这类题目通常给出一组有规律的数或算式，要求： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 2.分数加法的规律 + = → 可以用一个正方形先涂，再涂剩下的（即），合起来是。 + + = → 继续用正方形涂色，发现和越来越接近1。 + + + ... + = 1 - 规律分析： 通过观察图形（如正方形或圆形的涂色部分），可以直观地理解当分数单位越来越小时，它们的和趋近于1的规律。 3.平方差公式的初步感知 (a² - b² = (a-b)(a+b)) 例如：5² - 3² = (5-3)×(5+3) = 16。 可以用边长为5的大正方形面积减去边长为3的小正方形面积，剩余部分通过割补可以转化为一个长方形，其长为(5+3)，宽为(5-3)，面积即为(5-3)×(5+3)。 规律分析： 利用图形的面积关系来解释抽象的代数恒等式，体现了以形助数的思想。 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】给定一列按规律排列的数：、、、…则这列数的第8个数是（ ）。 A． B． C． D． 【例题2】找规律填空。36，6，( )，( )，，，…。 【例题3】我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有( )个数字，倒数第2个数字是( )。 二、算式的规律 【例题1】与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示结果相同的算式是（ ）。 A． B． C． D． 【例题2】算式，再加上（ ）后，结果就是1。 A． B． C． D． 【例题3】有许多等式： ； ； ； … 那么第10个等式的和是 。 三、用图像表示变化关系 【例题1】福利院住有一位老战士，这位老战士曾经是一名通信兵，他回忆一次战役时，为保障通信，他需要躲避敌人，缓步移动至任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，下面图（ ）大致能表示老战士当时与营地距离的变化情况。 A． B． C． D． 【例题2】星期天，明明骑自行车到距离6km的爷爷家看爷爷。请根据下面的折线统计图回答下列问题。 （1）明明在去爷爷家的路上中途休息了（ ）时，在爷爷家停留了（ ）时。 （2）明明骑车从爷爷家返回时的速度是每小时多少千米？ 四、数形结合规律 【例题1】用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（ ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 【例题2】按图形的规律接着画，第6个正方形中画25个点。( ) …… 【例题3】用小棒摆三角形（如下图），照这样摆5个三角形要用( )根小棒，摆n个三角形需要用( )根小棒。 【例题4】观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有多少个点，第n幅图中有多少个点？请说明理由。 考点练习 一、数列中的规律 1．有这样一组数：8、12、16、20、…，第n个数是（ ）。 A．4n＋4 B．4n C．3n D．2n 2．1，，，…这一列数中，第6个数应该是（ ）。 A． B． C． D． 3．按规律填数：1，，，，，( )，( )。 4．有一列分数：、、、、…，照这样排下去，第6个分数是( )，第个分数是( )。 5．科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是( )。 6．找规律，填一填。 (1)，，，( )，。 (2)5，1，，( )，。 7．有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( ) 8．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。    二、算式的规律 1．根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（ ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 2．1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( ) 3．有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，……那么，第10个算式的得数是 。 4．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝( )2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝( )2＋( )2＝( ) 5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )2－( )2＝( ) 5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 6．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如： ，； ，； （1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差： ＝ ；＝ ； （2）请运用上述拆分方法计算：。 三、用图像表示变化关系 1．星期天爸爸开车送小强去看电影，看完电影后，小强步行回家。下面能反映小强活动情况的是（ ）。 A． B． C． D． 2．小明从家出发去超市购物，慢走了一段路后发现会员卡落家里了，马上小跑回家取卡，5分钟后找到会员卡继续出发，购物若干时间后再散步回家。能够比较准确地描述离家距离与经过时间的关系的是（ ）。 A． B． C． D． 3．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点。下面可以反映蚂蚁与O点距离变化的是（ ）。 A． B． C． D． 4．观察分析淘气跑步的时间和速度关系图，下面说法错误的是（ ）。 A．在第1分钟内，淘气跑步的速度从0米/分提高到150米/分 B．从第1分钟到第4分钟，淘气一共跑了600米 C．从第1分钟到第4分钟，淘气跑步的速度保持不变 D．从第5分钟到第6分钟，淘气跑步的速度在下降 5．小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距离关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？    6．爸爸开车带明明去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况，如图所示。 （1）汽车行驶了（ ）分钟，它行驶的最大速度是（ ）千米/时。 （2）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？ （3）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。 四、数形结合规律 1．如图，把小正方形摆成一层、两层、三层……，如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个数为（ ）。 A．1800 B．1770 C．60 D．59 2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（ ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 3．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 4．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。 5．如图，按这样的规律摆下去，第8个图形有( )个●，第n个图形有( )个●。 6．用小棒摆成一组有规律的图案如下图所示，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒，第n个图案需要( )根小棒。 7．如图，1个羽毛球高7cm，2个这样的羽毛球摞起来高9.5cm，照这样一直摞下去，则n个这样的羽毛球摞起来高度是( )cm。 8．一张正方形桌子可以围坐4人，同学们在吃饭时，把正方形桌子拼成一排，每张桌子不留空位（如图）。10张桌子可以坐( )人。 9．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 10．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2你能利用下面的图形发现这一结论吗？请写出思考过程。 11．用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。 （1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 （2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？ 12．如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（ ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（ ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（ ）。 培优练习 一、填空题 1．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：第4个图案中有白色地面砖( )块，第100个图案中有白色地面砖( )块，第n个图案中有白色地面砖( )块。 2．找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5。 (1)请你再写个这样的算式：( )。 (2)运用规律计算：502－492＋482－472＋462－452＋…＋22－12＝( )。 3．用小棒摆五边形，如图：按这个规律，摆n个五边形( )根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆( )个五边形。 4．用完全一样的火柴棍拼图形（如图）。 按照这样的方法拼成第4个图形需要火柴棍( )根，拼成第n个图形需要火柴棍( )根。 5．如图，第①个图中有1个小三角形，第②个图中有4个小三角形，第⑤个图形中有( )个小三角形；第n个图形中有( )个小三角形。 6．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，那么第10个图案由( )个基础图形组成，第n个图案由( )个基础图形组成。 7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 按照这个规律，第5个图形中的两个三角形数是( )和( )，可以写出算式( )。 8．明明是个善于观察，乐于思考的好孩子。他通过数形结合（如图），发现了求两个连续自然数平方差的规律。请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：( )；( )。 二、判断题 9．找规律：、、、、、、、（ ），括号里应填。( ) 10．在1＋3＋5＋7＋9＋…中，从数“1”到数“15”的和是82。( ) 11．。( ) 12．如图，如果一个小三角形的边长为1cm，第五个图形的周长是15cm。( ) 13．第六幅图应该有42个点。( ) 三、选择题 14．1＋3＋5＋7＋…＋29＋31＝（ ） A．144 B．256 C．265 D．326 15．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形有（ ）个。 A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 16．如图，三个杯子叠起来高13厘米，五个杯子叠起来高17厘米。n个杯子叠起来的高度是（     ）厘米。 A．6＋2n B．7＋2n C．8＋2n D．9＋2n 17．两辆汽车从同一地点出发，A车先出发B车后出发，同时到达一个服务区休息，然后两辆车各自继续保持原来的速度前行到达终点。下面表达正确的是（ ） A．从出发到服务区A车速度比B车快 B．B车比A车休息的时间长 C．从服务区到终点B车速度比A车快 D．以上说法都不对 18．按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（ ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 四、解答题 19．我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？    20．观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（ ），在方框里写出你的思考过程。 21．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（ ）。 22．探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（ ）＋（ ） （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（ ）。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级上册数学人教版单元培优讲义 专题08 数学广角——数与形 （考点梳理+例题讲解+考点练习+培优练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 2 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 3 例题讲解 4 一、数列中的规律 4 二、算式的规律 5 三、用图像表示变化关系 7 四、数形结合规律 9 考点练习 11 一、数列中的规律 11 二、算式的规律 15 三、用图像表示变化关系 18 四、数形结合规律 23 培优练习 32 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.这类题目通常给出一组按一定规律排列的图形，要求： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 2.用小棒摆正方形 摆1个正方形需要4根小棒 摆2个正方形需要7根小棒 摆3个正方形需要10根小棒 ...... 每个正方形共用一条边 第1个：4根 (3×1 + 1) 第2个：4 + 3 = 7根 (3×2 + 1) 第3个：7 + 3 = 10根 (3×3 + 1) ...... 规律分析： 除了第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根小棒。图形的规律可以用代数式3n+1来表示。 3.点阵中的规律 (如从1开始的连续奇数之和) ....... 第1个图形（点）：1点 → 1 = 1² 第2个图形（点阵）：1 + 3 = 4点 → 4 = 2² 第3个图形（点阵）：1 + 3 + 5 = 9点 → 9 = 3² 第n个图形：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² 规律分析： 从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。图形（正方形点阵）的点数之和与平方数紧密相关。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.这类题目通常给出一组有规律的数或算式，要求： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 2.分数加法的规律 + = → 可以用一个正方形先涂，再涂剩下的（即），合起来是。 + + = → 继续用正方形涂色，发现和越来越接近1。 + + + ... + = 1 - 规律分析： 通过观察图形（如正方形或圆形的涂色部分），可以直观地理解当分数单位越来越小时，它们的和趋近于1的规律。 3.平方差公式的初步感知 (a² - b² = (a-b)(a+b)) 例如：5² - 3² = (5-3)×(5+3) = 16。 可以用边长为5的大正方形面积减去边长为3的小正方形面积，剩余部分通过割补可以转化为一个长方形，其长为(5+3)，宽为(5-3)，面积即为(5-3)×(5+3)。 规律分析： 利用图形的面积关系来解释抽象的代数恒等式，体现了以形助数的思想。 例题讲解 一、数列中的规律 【例题1】给定一列按规律排列的数：、、、…则这列数的第8个数是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由前4个是、、、，可知：分子是1，2，3，4，第几个数分子就是几，所以第8个数的分子是8；分母是2，5，10，17，相邻两个数之间的差分别是3，5，7…，由此求出第8个数的分母。 【详解】第8个数的分子是8， 分母是：17＋9＋11＋13＋15 ＝26＋11＋13＋15 ＝37＋13＋15 ＝50＋15 ＝65 则这列数的第8个数是。 故答案为：B 【例题2】找规律填空。36，6，( )，( )，，，…。 【答案】 1 【分析】36÷6＝6、÷6＝×＝，由此可知，前一个数÷6＝后一个数，据此填空。 【详解】6÷6＝1、1÷6＝ 36，6，1，，，，… 【例题3】我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有( )个数字，倒数第2个数字是( )。 【答案】 2024 2023 【分析】 观察“杨辉三角”可知，第几行就有几个数，左右两边都是1，从第三行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和，如图，第2024行的倒数第2个数字上方右侧的数是1，据此确定第2024行的倒数第2个数字。 【详解】2024－1＝2023 仔细观察规律，从上到下，第2024行有2024个数字，倒数第2个数字是2023。 二、算式的规律 【例题1】与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示结果相同的算式是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把整个式子看作（1＋3＋5＋7＋9）与（5＋3＋1）的和，从1开始，连续n个奇数的和等于奇数的个数的平方，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝ ＝25＋9 ＝34 所以，1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1＝ 故答案为：D 【例题2】算式，再加上（ ）后，结果就是1。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，把转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，消项后再计算得到结果，根据加数等于和减另一个加数，用1减得到的结果，即可得解。 【详解】 算式，再加上后，结果就是1。 故答案为：A 【例题3】有许多等式： ； ； ； … 那么第10个等式的和是 。 【答案】1668 【分析】分析等式的规律，第个等式左边有个连续偶数，确定第10个等式左边的第一个数，第1个等式左边的第一个数为，第2个等式左边的第一个数为，第3个等式左边的第一个数为，那么第个等式左边的第一个数为；右侧有项，其中前项为连续奇数，右侧第一个数为，最后一个数为。 【详解】第10个等式等号左边的第一个数字是： 所以第10个等式是： 所以第10个等式的结果是： 三、用图像表示变化关系 【例题1】福利院住有一位老战士，这位老战士曾经是一名通信兵，他回忆一次战役时，为保障通信，他需要躲避敌人，缓步移动至任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，下面图（ ）大致能表示老战士当时与营地距离的变化情况。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】折线统计图中，横轴表示时间，纵轴表示距离，折线越陡行驶速度越快，最开始从营地出发，然后到达任务地点，在任务地点停留一段时间检查线路，最后撒退回营地，老战士与营地的距离先是越来越远，然后不变，最后越来越近，据此解答。 【详解】 A．老战士快速移动至任务地点检查线路，然后去其它地方，距离营地越来越远，不符合； B．老战士在任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，不符合； C．老战士缓步移动至任务地点检查线路，然后去其它地方，距离营地越来越远，不符合； D．老战士缓步移动至任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，距离营地越来越近，符合。 故答案为：D 【例题2】星期天，明明骑自行车到距离6km的爷爷家看爷爷。请根据下面的折线统计图回答下列问题。 （1）明明在去爷爷家的路上中途休息了（ ）时，在爷爷家停留了（ ）时。 （2）明明骑车从爷爷家返回时的速度是每小时多少千米？ 【答案】（1）， （2）12千米/小时 【分析】（1）根据图示，横轴的时间1小时为1大格，，大格又分成了6小格，每小格为10分钟，依据横轴的时间标示，可以看出，明明从下午 1 时出发后，在 1 时 20 分走了 3 千米，然后到 1 时 40 分这段时间路程没有变化，用到的时间减出发的时间，将分钟换算成小时即可；明明从下午2：00到达爷爷家，在下午2：30离开，在爷爷家的停留时间＝到的时间－出发的时间，将分钟换算成小时即可。 （2）明明 2 时 30 分离开爷爷家，3 时到家，这中间经过了 30 分钟，也就是＝时，而总路程是 6 千米，根据速度＝路程÷时间，可得返回时的速度为 6÷ 千米/时，据此解答。 【详解】（1）1 时 40 分－ 1 时 20 分＝20分＝时，中途休息了时。 2时30分－2时＝30分＝时，在爷爷家停留了时。 （2）3时－2时30分＝30分＝时；6÷＝6×2＝12（千米/小时） 答：明明骑车从爷爷家返回时的速度是12千米/小时。 四、数形结合规律 【例题1】用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（ ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 【答案】B 【分析】由图观察规律可知：第1个图形用（1＋5）根小棒搭成，第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成，第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成，第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成，据此规律解答。 【详解】由题，第一个图形用（1＋5）根小棒搭成， 第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成， 第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成， 第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成， 以此类推，第n个图形需要小棒： 1＋5×n＝（5n＋1）根 故答案为：B 【例题2】按图形的规律接着画，第6个正方形中画25个点。( ) …… 【答案】× 【分析】第1个图形有1个点，第2个图形有（1＋4）个点，第3个图形有（1＋4×2）个点，第4个图形有（1＋4×3）个点……以此类推，每次增加4个点，那么第n个图形有[1＋4×（n－1）]个点，最后求出n＝6时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】第n个图形需要点的个数为：1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4 ＝4n－4＋1 ＝4n－（4－1） ＝（4n－3）个 当n＝6时。 4n－3 ＝4×6－3 ＝24－3 ＝21（个） 所以，第6个正方形中画21个点。 故答案为：× 【例题3】用小棒摆三角形（如下图），照这样摆5个三角形要用( )根小棒，摆n个三角形需要用( )根小棒。 【答案】 11 2n＋1 【分析】摆1个三角形，用了3根小棒。摆2个三角形，用了5根小棒（比摆1个三角形多了2根小棒）。摆3个三角形，用了7根小棒（比摆2个三角形多了2根小棒）。所以摆n个三角形所用小棒的数量比摆（n－1）个三角形多2根小棒，且摆1个三角形用3根小棒，所以摆n个三角形所用小棒的数量可以表示为2n＋1根。当n＝5时，代入2n＋1可得：2×5＋1＝11根。 【详解】由分析可知，摆n个三角形要用：（2n＋1）根； 2×5＋1 ＝10＋1 ＝11（根） 摆5个三角形要用11根小棒，摆n个三角形需要用（2n＋1）根小棒。 【例题4】观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有多少个点，第n幅图中有多少个点？请说明理由。 【答案】见详解 【分析】观察图形，第一个图形需要（1＋2＋3）个点，第二个图形需要（2＋3＋4）个点，第三个图形需要（3＋4＋5）个点，依次类推，算出第10个图形需要的点数。第n个图形需要n＋（n＋1）＋（n＋2）个点，据此解答。 【详解】10＋11＋12 ＝21＋12 ＝33（个） 第10幅图中有33个点，第n个这样的点阵图中有n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3n＋3）个点。 考点练习 一、数列中的规律 1．有这样一组数：8、12、16、20、…，第n个数是（ ）。 A．4n＋4 B．4n C．3n D．2n 【答案】A 【分析】观察这组数列：8、12、16、20、…。计算相邻两个数的差值：12－8＝4，16－12＝4，20－16＝4，可以得出相邻两个数相差4。以第2个数12为例，可以表示为：8＋（2－1）×4＝8＋1×4＝8＋4＝12。由此可知第n个数表示为：8＋（n－1）×4，然后计算这个关系式即可。 【详解】12－8＝4 16－12＝4 20－16＝4 8＋（n－1）×4 ＝8＋4n－4 ＝4n＋4 所以第n个数是4n＋4。 故答案为：A 2．1，，，…这一列数中，第6个数应该是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知，这列数字的分子均为1，第几个数用n表示，第n个分数的分母是前一个分数的分母的（2n－2）倍，据此分析。 【详解】48×（2×5－2） ＝48×（10－2） ＝48×8 ＝384 384×（2×6－2） ＝384×（12－2） ＝384×10 ＝3840 第6个数应该是。 故答案为：D 3．按规律填数：1，，，，，( )，( )。 【答案】 【分析】观察分数的分子与分母，可知分子的规律依次是：－1、－1、－1、－1……－1，分母的规律是、、、……，据此解答。 【详解】－1 ＝64－1 ＝63 ＝6×6＝36 －1 ＝128－1 ＝127 ＝7×7＝49 所以第6个数是，第7个数是。 4．有一列分数：、、、、…，照这样排下去，第6个分数是( )，第个分数是( )。 【答案】 【分析】通过观察分数发现，分子依次是1、2、3、4、5……，是连续的自然数，第几个分数，分子就是几；分母依次是2、3、4、5、6……，比分子大1。 【详解】第6个分数的分子是6，分母是6＋1＝7，所以第6个分数是；第n个分数的分子是n，分母是n＋1，所以第n个分数是。 即有一列分数：、、、、……，照这样排下去，第6个分数是，第个分数是。 5．科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是( )。 【答案】34 【分析】首先，从已知数列观察出特点：1＋1＝2；1＋2＝3；2＋3＝5；3＋5＝8……；由此可知：在已知数列中，从第三项开始每一项是前两项的和；第9项就是第7项与第8项的和，据此解答。 【详解】 科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是34。 6．找规律，填一填。 (1)，，，( )，。 (2)5，1，，( )，。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察可知，后面的分数的分子是前面分数的分子加2的结果，后面分数的分母是前面分数的分母乘2的结果，据此解答。 （2）观察可知，后面的数都是前面的数乘的结果，据此解答。 【详解】（1） ，，，， （2） 5，1，，， 7．有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( ) 【答案】√ 【分析】这一列数中，分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n－1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；所以还有10个分母是11的分数，由此求解。 【详解】分母是11的分数一共有；2×11－1＝21（个） 从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1＋3＋5＋7＋…＋21 ＝（1＋21）×11÷2 ＝22×11÷2 ＝121（个） 还有10个分母是11的分数 121－10＝111 有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，是第111个数。原题说法正确。 故答案为：√ 8．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。    【答案】见详解 【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。 【详解】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。 按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：    二、算式的规律 1．根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（ ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 【答案】D 【分析】第一个算式1个6和1个7相乘等于42，第二个算式2个6和67相乘等于4422，第三个算式3个6和667相乘等于444222，第四个算式应该是4个6和6667相乘等于44442222，据此选择即可。 【详解】可以推出下一个算式是6666×6667＝44442222。 故答案为：D 2．1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( ) 【答案】√ 【分析】1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…据此可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以1＋3＋5…＋13＋15＝82，1＋3＋5…＋13＝72，据此解答。 【详解】1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1 ＝（1＋3＋5…＋13＋15）＋（13＋11…＋3＋1） ＝82＋72 ＝64＋49 ＝113 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 3．有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，……那么，第10个算式的得数是 。 【答案】69 【分析】观察第一个加数序列4，5，6，7，……，起始为4，后一个数比前一个数大1 ，第n个算式的第一个加数，是在起始数4的基础上，增加了（n－1）个1，所以表达式为4＋（n－1）×1 ；第二个加数序列2，8，14，20，……，起始为2，后一个数比前一个数大6 ，第n个算式的第二个加数，是在起始数2的基础上，增加了（n－1）个6，表达式为2＋（n－1）×6 。 【详解】根据分析可知： 第10个算式的前1个加数为： 4＋（10－1）×1 ＝4＋9×1 ＝4＋9 ＝13 第10个算式的后1个加数为： 2＋（10－1）×6 ＝2＋9×6 ＝2＋54 ＝56 第10个算式为：13＋56＝69 第10个算式的得数是69。 4．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝( )2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝( )2＋( )2＝( ) 5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝( )2－( )2＝( ) 【答案】 8 6 5 61 9 2 77 【分析】从1开始的连续奇数相加，和等于加数个数的平方，据此规律进行解答即可。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82 1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）＋（9＋7＋5＋3＋1） ＝62＋52 ＝36＋25 ＝61 5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17）－（1＋3） ＝92－22 ＝81－4 ＝77 5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 【答案】 【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。 【详解】。 6．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如： ，； ，； （1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差： ＝ ；＝ ； （2）请运用上述拆分方法计算：。 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式； （2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。 【详解】（1）＝；＝； （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 三、用图像表示变化关系 1．星期天爸爸开车送小强去看电影，看完电影后，小强步行回家。下面能反映小强活动情况的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“爸爸开车送小强去看电影，看完电影后，小强步行回家”，可知开车的速度快，坡度大，离家越来越远； 步行回家的速度慢，坡度小，离家越来越近，看电影时离家的距离不变，据此进行选择。 【详解】 星期天爸爸开车送小强去看电影，看完电影后，小强步行回家。能反映小强活动情况的是。 故答案为：A 2．小明从家出发去超市购物，慢走了一段路后发现会员卡落家里了，马上小跑回家取卡，5分钟后找到会员卡继续出发，购物若干时间后再散步回家。能够比较准确地描述离家距离与经过时间的关系的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目，①小明先慢走了一段路，在折线图上表示为一段上升的线段；②小跑回家取卡，在折线图上表示为一段下降的线段，直到离家距离为0；③用5分钟在家找会员卡：表示在折线图上为一条在横轴上的线段；④取完卡继续出发：在折线图上表示为一段上升的线段，但是线段比①中的要长；⑤购物：表示在折线图上为一条与横轴平行的线段；⑥购完物散步回家：在折线图上表示为一段下降的线段，且线段比较平缓，直到离家距离为0；据此解答。 【详解】 根据分析可知，能够比较准确地描述离家距离与经过时间的关系的是：。 故答案为：C 3．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点。下面可以反映蚂蚁与O点距离变化的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬行，在开始时经过O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；在半圆弧这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小。据此判断。 【详解】 A．，图中只有两段路程，第一段路程随着时间的增加而增加，而第二段路程不变，说明蚂蚁一直在半圆上运动，而没有回到O点，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述； B．，图中一开始蚂蚁就处在离O比较远的距离，显然不符合题意； C．，第一段路程随着时间的增加而增加，第二段路程不变，第三段路程随着时间的增加而减小。符合蚂蚁与O点距离变化的描述； D．，图中只有两段路程，反映的是蚂蚁从O点出发后，就直接原路返回来了，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述。 故答案为：C 4．观察分析淘气跑步的时间和速度关系图，下面说法错误的是（ ）。 A．在第1分钟内，淘气跑步的速度从0米/分提高到150米/分 B．从第1分钟到第4分钟，淘气一共跑了600米 C．从第1分钟到第4分钟，淘气跑步的速度保持不变 D．从第5分钟到第6分钟，淘气跑步的速度在下降 【答案】B 【分析】根据折线统计图，淘气在1分钟里面从速度0米/分提高了150米/分。然后开始匀速跑3分钟后，开始在后面的2分钟里面降速，从150米/分降到0米/分，据此分析每个选项。 【详解】A．根据折线统计图，淘气跑步的速度在第1分钟内，从0米/分提高到150米/分，故正确； B．从第1分钟到第4分钟，淘气以150米/分的速度跑了3分钟，根据路程＝速度×时间，用3×150＝450（米），淘气一共跑了450米，故错误； C．从第1分钟到第4分钟，折线统计图中这一段是一条直线，即淘气跑步的速度保持不变，故正确； D．淘气跑步的过程中，从第4分钟开始降速，降到第6分钟停下来，则第5分钟到第6分钟，淘气跑步的速度在下降，故正确。 故答案为：B 5．小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距离关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？    【答案】见详解 【分析】折线统计图中，横轴表示离家时间，纵轴表示离家距离，折线越陡表示走路速度越快，需要时间越短；折线越缓表示走路速度越慢，需要时间越长；折线与横轴平行时表示小兰或爸爸在健身房锻炼，据此解答。 【详解】表示小兰步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后跑步回到家中，用了5分钟； 表示妈妈步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后直接返回家里，用了20分钟； 表示爸爸步行到离家800米远的公园健身中心，用时20分钟，然后在健身中心锻炼了10分钟，最后走回家中，用了15分钟。 6．爸爸开车带明明去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况，如图所示。 （1）汽车行驶了（ ）分钟，它行驶的最大速度是（ ）千米/时。 （2）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？ （3）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。 【答案】（1）16；60 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）从图中可知，0分钟出发，18分钟到达动物园，途中8～10分钟这段时间停车，所以汽车的行驶时间要用总时间减去停车的2分钟；折线的最高点表示汽车行驶的最大速度。 （2）图中8分钟到10分钟这段时间，路程为0，表示汽车停车，没有行驶，结合生活实际，得出可能出现的情况。 （3）结合图象，可以分时间段描述这辆车的行驶情况，合理即可。 【详解】（1）18－（10－8） ＝18－2 ＝16（分） 汽车行驶了16分钟，它行驶的最大速度是60千米/时。 （2）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现的情况：汽车加油或堵车等。（答案不唯一） （3）0～2分时汽车加速行驶，速度达到60千米/时，2～6分时匀速行驶，6～8分时减速行驶，直到停下，10分时又开始加速，12分时达到60千米/时的速度，12～16分匀速行驶，16～18分开始减速直到停下，到达目的地。（答案不唯一） 四、数形结合规律 1．如图，把小正方形摆成一层、两层、三层……，如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个数为（ ）。 A．1800 B．1770 C．60 D．59 【答案】B 【分析】一层有1个小正方形，可以写成：（1＋1）×1÷2； 二层有3个小正方形，可以写成：（1＋2）×2÷2； 三层有6个小正方形，可以写成：（1＋3）×3÷2； 四层有10个小正方形，可以写成：（1＋4）×4÷2； …… 由此可知，n层有（1＋n）×n÷2个小正方形，据此求出n＝59时，小正方形的个数。 【详解】根据分析可知，n层有（1＋n）×n÷2个小正方形。 n＝59时： （1＋59）×59÷2 ＝60×59÷2 ＝3540÷2 ＝1770（个） 把小正方形摆成一层、两层、三层……，如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个数为1770。 故答案为：B 2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（ ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 【答案】C 【分析】由图可知，第1个图形中的点数为1，可表示为4×1－3； 第2个图形中的点数为5，可表示为4×2－3； 第3个图形中的点数为9，可表示为4×3－3； 第4个图形中的点数为13，可表示为4×4－3； 由此可推出，第n个图形中的点数为（4n－3）。据此解答。 【详解】分析可知，第n个图形中的点数为（4n－3）。 当n＝9时， 4n－3 ＝4×9－3 ＝36－3 ＝33 所以第9个图形中的点数为33。 故答案为：C 3．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 【答案】√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【详解】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 4．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。 【答案】 16 3n＋1 【分析】摆1个正方形需要4根小棒，可表示为3×1＋1＝4根。摆2个正方形需要7根小棒，可表示为3×2＋1＝7根。由此可推出规律：摆n个正方形需要3n＋1根小棒。当n＝5时，代入3n＋1可得：3×5＋1＝15＋1＝16根。 【详解】摆1个正方形： 3×1＋1 ＝3＋1 ＝4（根） 摆2个正方形： 3×2＋1 ＝6＋1 ＝7（根） 摆n个正方形：3n＋1（根） 当n＝5： 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 摆5个需要16根小棒，摆n个需要（3n＋1）根小棒。 5．如图，按这样的规律摆下去，第8个图形有( )个●，第n个图形有( )个●。 【答案】 32 4n 【分析】观察发现，每增加一个图形就增加四个点，第1个图形有4个点，可以写成4×1；第2个图形有8个点，可以写成4×2；第3个图形有12个点，可以写成4×3；第4个图形有16个点，可以写成4×4；依此类推，得出第8个图形和第n个图形的点数。 【详解】观察发现，第1个图形有4个点，可以写成4×1； 第2个图形有8个点，可以写成4×2； 第3个图形有12个点，可以写成4×3； 第4个图形有16个点，可以写成4×4； 依此类推，第8个图形有4×8＝32个点； 第n个图形有4n个点。 所以，第8个图形有32个●，第n个图形有4n个●。 6．用小棒摆成一组有规律的图案如下图所示，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒，第n个图案需要( )根小棒。 【答案】 40 6n－2 【分析】由图可知，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要（4＋6）根小棒，第3个图案需要（4＋6×2）根小棒，第4个图案需要（4＋6×3）根小棒……以此类推，每次增加6根小棒，则第n个图案需要[4＋6×（n－1）]根小棒，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】4＋6×（n－1） ＝4＋（6n－6×1） ＝4＋6n－6 ＝6n＋4－6 ＝（6n－2）根 当n＝7时。 6n－2 ＝6×7－2 ＝42－2 ＝40（根） 所以，第7个图案需要40根小棒，第n个图案需要（6n－2）根小棒。 7．如图，1个羽毛球高7cm，2个这样的羽毛球摞起来高9.5cm，照这样一直摞下去，则n个这样的羽毛球摞起来高度是( )cm。 【答案】（4.5＋2.5n）/（2.5n＋4.5） 【分析】根据题意，1个羽毛球高7cm，2个这样的羽毛球摞起来高9.5cm，2个羽毛球摞起来的高度＝一个羽毛球的高度＋（2－1）个球尾的高度，所以一个羽毛球球尾的高度是9.5－7＝2.5（厘米），所以3个羽毛球摞起来的高度＝一个羽毛球的高度＋（3－1）×2.5……n个这样的羽毛球摞起来的高度＝1个羽毛球的高度＋（n－1）×2.5，据此列式解答即可。 【详解】7＋（n－1）×2.5 ＝7＋2.5n－2.5 ＝（4.5＋2.5n）（cm） 所以n个这样的羽毛球摞起来高度是（4.5＋2.5n）cm。 8．一张正方形桌子可以围坐4人，同学们在吃饭时，把正方形桌子拼成一排，每张桌子不留空位（如图）。10张桌子可以坐( )人。 【答案】22 【分析】观察图形可知： 一张正方形桌子可以围坐4人，4＝2×1＋2； 两张正方形桌子可以围坐6人，6＝2×2＋2； 三张正方形桌子可以围坐8人，8＝2×3＋2； 四张正方形桌子可以围坐10人，10＝2×4＋2； …… n张正方形桌子可以围坐（2n＋2）人。 按此规律解答。 【详解】规律：n张正方形桌子可以围坐（2n＋2）人。 当n＝10时 2n＋2 ＝2×10＋2 ＝20＋2 ＝22（人） 10张桌子可以坐22人。 9．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 【答案】77个；第50个图形 【分析】观察图形可知，第①个图形有4×1－3＝4－3＝1个三角形，第②个图形有4×2－3＝8－3＝5个小三角形，第③个图形有4×3－3＝12－3＝9个小三角形，……，则第n个图形有4×n－3＝4n－3个三角形，据此规律进行解答即可。 【详解】第n个图形有三角形：4×n－3＝4n－3（个） 当n＝20时，4n－3＝4×20－3＝80－3＝77 当4n－3＝197，则： 4n－3＋3＝197＋3 4n＝200 4n÷4＝200÷4 n＝50 答：第20个图形有77个三角形，第50个图形里有197个三角形。 10．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2你能利用下面的图形发现这一结论吗？请写出思考过程。 【答案】见详解 【分析】观察图可知，正方形的面积＝边长×边长，也可以把大正方形转化成一个小正方形和一个较大的正方形与两个长方形，然后把面积相加，两种方法求出的面积相等，据此写出推导过程。 【详解】 将大正方形中的四个小图形分别标上①、②、③、④ 大正方形面积＝（a＋b）2 大正方形面积＝S①＋S②＋S③＋S④＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2   所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。 11．用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。 （1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 （2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？ 【答案】（1）21根；（5n＋1）根；思考过程见详解 （2）401根 【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可； （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【详解】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒， 摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1； 摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2； 摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3； 6＋5×3 ＝6＋15 ＝21（根） …… 摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）； 6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋1 答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。 （2）当n＝80时，代入得： 5n＋1 ＝5×80＋1 ＝400＋1 ＝401（根） 答：摆80个六边形，需要401根小棒。 12．如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（ ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（ ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（ ）。 【答案】（1）62－52＝6＋5 （2）2n－1 （3）55 【分析】（1）观察前面的等式：第一幅图：22－12＝2＋1，是（1＋1）2－12＝（1＋1）＋1；第二幅图：32－22＝3＋2，是（2＋1）2－22＝（2＋1）＋2；第三幅图：42－32＝4＋3，是（3＋1）2－32＝（3＋1）＋3。则第四幅图：52－42＝5＋4。 由此可总结规律：第n幅图的等式为（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n。那么第五幅图，n＝5，对应的等式为62－52＝6＋5。 （2）根据前面的规律，（n）2－（n－1）2＝n＋（n－1），即2n－1。 （3）根据前面发现的规律a2－b2＝a＋b（其中a＝b＋1），对原式进行拆分计算：原式变为：（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1），然后计算即可。 【详解】 （1）由分析可知：第n幅图：（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n n＝5时： （5＋1）2－52 ＝62－52 ＝6＋5 第五幅图的等式是：62－52＝6＋5。 （2）（n）2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 所以n2－（n－1）2＝2n－1 （3）102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1） ＝19＋15＋11＋7＋3 ＝（19＋3）＋（15＋7）＋11 ＝22＋22＋11 ＝55 所以102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝55。 培优练习 一、填空题 1．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：第4个图案中有白色地面砖( )块，第100个图案中有白色地面砖( )块，第n个图案中有白色地面砖( )块。 【答案】 18 402 （4n＋2） 【分析】观察图形： 第1个图形：白色的地面砖有6块； 第2个图形：白色的地面砖有10块，10＝4×2＋2； 第3个图形：白色的地面砖有14块，14＝4×3＋2； 第4个图形：白色的地面砖有18块，18＝4×4＋2； …… 第n个图形：白色的地面砖有（4n＋2）块； 【详解】4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（块） 4×100＋2 ＝400＋2 ＝402（块） 则4个图案中有白色地面砖18块，第100个图案中有白色地面砖402块，第n个图案中有白色地面砖（4n＋2）块。 2．找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5。 (1)请你再写个这样的算式：( )。 (2)运用规律计算：502－492＋482－472＋462－452＋…＋22－12＝( )。 【答案】(1)72－62＝7＋6 (2)1275 【分析】（1）观察算式，找出规律：相邻两个数的平方差，等于这两个数的和；可以表示为（n＋1）2－n2＝n＋1＋n，据此规律再写出一个算式即可。 （2）运用规律，将算式改写成50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1，再计算出结果即可。 【详解】（1）这样的算式：72－62＝7＋6。（答案不唯一） （2）502－492＋482－472＋462－452＋…＋22－12 ＝50＋49＋48＋47＋46＋45＋……＋2＋1 ＝（50＋1）×50÷2 ＝51×50÷2 ＝1275 3．用小棒摆五边形，如图：按这个规律，摆n个五边形( )根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆( )个五边形。 【答案】 4n＋1 24 【分析】看图可知，摆1个五边形需要5根小棒，5＝1×4＋1；摆2个五边形需要9根小棒，9＝2×4＋1；摆3个五边形需要13根小棒，13＝3×4＋1…由此可知，小棒根数＝摆几个五边形就用几×4＋1，五边形个数＝（小棒根数－1）÷4，据此分析。 【详解】摆1个五边形小棒根数：1×4＋1＝4＋1＝5（根） 摆2个五边形小棒根数：2×4＋1＝8＋1＝9（根） 摆3个五边形小棒根数：3×4＋1＝12＋1＝13（根） …… 第n个图形小棒的根数是：n×4＋1＝（4n＋1）根 （97－1）÷4 ＝96÷4 ＝24（个） 按这个规律，摆n个五边形（4n＋1）根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆24个五边形。 4．用完全一样的火柴棍拼图形（如图）。 按照这样的方法拼成第4个图形需要火柴棍( )根，拼成第n个图形需要火柴棍( )根。 【答案】 34 （8n＋2）/（2＋8n） 【分析】根据题图可知： 第1个图形需要的火柴棍为：10根； 第2图形需要的火柴棍为：18根，18＝10＋8×1； 第3个图形需要的火柴棍为：26根，26＝10＋8×2； 第4个图形需要的火柴棍为：34根，26＝10＋8×3； …… 第n个图形需要的火柴棍根数为；10＋8×（n－1）＝8n＋2。 据此解答。 【详解】下午第n个图形需要的火柴棍根数为；10＋8×（n－1）＝8n＋2。 当n＝4时， 8×4＋2 ＝32＋2 ＝34（根） 拼成第4个图形需要火柴棍34根，拼成第n个图形需要火柴棍（8n＋2）或（2＋8n）根。 5．如图，第①个图中有1个小三角形，第②个图中有4个小三角形，第⑤个图形中有( )个小三角形；第n个图形中有( )个小三角形。 【答案】 25 n2 【分析】观察可知，第①个图中有12个小三角形，第②个图中有22个小三角形，第⑤个图形中有52个小三角形，第n个图形中有n2个小三角形。 【详解】52＝25（个） n×n＝n2（个） 第①个图中有1个小三角形，第②个图中有4个小三角形，第⑤个图形中有25个小三角形；第n个图形中有n2个小三角形。 6．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，那么第10个图案由( )个基础图形组成，第n个图案由( )个基础图形组成。 【答案】 31 3n＋1 【分析】观察图形，每个图案都在上个图案的基础上加上3个基础图形。第1个图案由1＋3×1＝4（个）基础图形组成，第2个图案由1＋3×2＝7（个）基础图形组成，第3个图案由1＋3×3＝10（个）基础图形组成。据此类推，第10个图案由1＋3×10＝31（个）基础图形组成，第n个图案由（1＋3×n）个基础图形组成。 【详解】1＋3×10 ＝1＋30 ＝31（个） 1＋3×n ＝1＋3n ＝3n＋1 则第10个图案由31个基础图形组成，第n个图案由（3n＋1）个基础图形组成。 7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 按照这个规律，第5个图形中的两个三角形数是( )和( )，可以写出算式( )。 【答案】 15 21 36＝15＋21 【分析】观察图形和算式发现：一个正方形数的左上三角形数依次相差2、3、4、5……；右下三角形数依次相差3、4、5、6……；据此可知第4个图形中左上三角形的数是6＋4，右下三角形的数是10＋5；则推出第5个图形中左上三角形的数是6＋4＋5，右下三角形的数是10＋5＋6；据此解答。 【详解】6＋4＋5＝15 10＋5＋6＝21 15＋21＝36 按照这个规律，第5个图形中的两个三角形数是（15）和（21），可以写出算式（36＝15＋21）。 8．明明是个善于观察，乐于思考的好孩子。他通过数形结合（如图），发现了求两个连续自然数平方差的规律。请你根据明明发现的规律，直接写出下面算式的结果：( )；( )。 【答案】 11 4049 【分析】由图可知：每个图形阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分正方形面积。假设大正方形边长为a（a为整数），空白正方形边长则为（a－1），阴影部分面积S＝a2－（a－1）2，即两个相邻自然数的平方差；由算式可知：两个相邻自然数的平方差其结果为两个相邻自然数的和，据此解答。 【详解】6＋5＝11；2025＋2024＝4049。 二、判断题 9．找规律：、、、、、、、（ ），括号里应填。( ) 【答案】√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【详解】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 10．在1＋3＋5＋7＋9＋…中，从数“1”到数“15”的和是82。( ) 【答案】√ 【分析】连续几个奇数的和等于奇数的个数的平方。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 1＋3＋5＋7＋9＋…15＝82＝8×8＝64。原题干说法正确。 故答案为：√ 11．。( ) 【答案】√ 【分析】可从减数是前1个分数、前2个分数、前3个分数这样稍简单的式子推理出一般规律，再计算整个式子。 【详解】由分析得： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因此：。 故答案为：√。 12．如图，如果一个小三角形的边长为1cm，第五个图形的周长是15cm。( ) 【答案】× 【详解】根据题干分析可得：当有n个三角形时，图形周长＝边长×（n＋2）， 当n＝5时，图形周长是：1×（5＋2）＝7（cm）， 答：第五个图形的周长是7cm。 故答案为：×。 13．第六幅图应该有42个点。( ) 【答案】√ 三、选择题 14．1＋3＋5＋7＋…＋29＋31＝（ ） A．144 B．256 C．265 D．326 【答案】B 【分析】1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝42，可得规律：从1开始的连续奇数之和，等于数字个数的平方，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 1＋3＋5＋7＋…＋29＋31，一共是16个数字的和。 1＋3＋5＋7＋…＋29＋31 ＝162 ＝256 故答案为：B 15．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形有（ ）个。 A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 【答案】A 【分析】由图可知，第1个图案中涂有阴影的小正方形有5个，可表示为1＋4×1； 第2个图案中涂有阴影的小正方形有9个，可表示为1＋4×2； 第3个图案中涂有阴影的小正方形有13个，可表示为1＋4×3； 发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形有（1＋4n）个；最后将n＝2025代入1＋4n中计算出第2025个图案中涂有阴影的小正方形个数。 【详解】分析可知，第n个图案中涂有阴影的小正方形有（1＋4n）个。 当n＝2025时， 1＋4n ＝1＋4×2025 ＝1＋8100 ＝8101 所以第2025个图案中涂有阴影的小正方形有8101个。 故答案为：A 16．如图，三个杯子叠起来高13厘米，五个杯子叠起来高17厘米。n个杯子叠起来的高度是（     ）厘米。 A．6＋2n B．7＋2n C．8＋2n D．9＋2n 【答案】B 【分析】已知3个杯子叠起来高13厘米，5个杯子叠起来高17厘米，那么（5－3）个杯子叠起来的高度是（17－13）厘米，用（17－13）÷（5－3）＝2厘米，求出每多叠一个杯子增加的高度为2厘米； 从图中可知，3个杯子叠起来时高13厘米，有2个重叠部分高2×2＝4厘米，则一个杯子的高度为13－4＝9厘米。 由3个杯子叠起来有2个重叠部分，5个杯子叠起来有4个重叠部分，可得出：n个杯子叠起来有（n－1）个重叠部分，那么n个杯子叠起来的高度＝一个杯子的高度＋（n－1）×每多叠一个杯子增加的高度，据此得出规律。 【详解】每多叠一个杯子增加的高度为： （17－13）÷（5－3） ＝4÷2 ＝2（厘米） 一个杯子的高度为： 13－2×2 ＝13－4 ＝9（厘米） n个杯子叠起来的高度是： 9＋（n－1）×2＝9＋2n－2＝（7＋2n）厘米 所以，n个杯子叠起来的高度是（7＋2n）厘米。 故答案为：B 17．两辆汽车从同一地点出发，A车先出发B车后出发，同时到达一个服务区休息，然后两辆车各自继续保持原来的速度前行到达终点。下面表达正确的是（ ） A．从出发到服务区A车速度比B车快 B．B车比A车休息的时间长 C．从服务区到终点B车速度比A车快 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】横轴为时间，竖轴为路程，则用所给图的竖轴代表数字除以横轴代表数字即为速度。因为A车先出发，所以从0出发的是A车，从20分出发的是B车。又因为两条线都是在60分钟到80分钟与横轴平行，所以两辆车在服务区的休息时间一样长；从服务区到终点，两辆车各自继续保持原来的速度前行，所以A车和B车还是原来的速度，据此解答。 【详解】A．A车的速度：60÷60＝1（千米/分），B车的速度：60－20＝40（分），60÷40＝1.5（千米/分），因为1＜1.5，所以从出发到服务区A车速度比B车慢，该选项错误； B．两车都休息了80－60＝20（分），该选项错误； C．从服务区到终点，两辆车各自继续保持原来的速度前行，仍然是A车慢于B车，该选项正确； D．C选项内容正确，所以该选项错误。 故答案为：C 18．按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（ ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，第1幅图，阴影部分的面积等于1个边长是2r正方形面积－1个半径为r的圆的面积；面积＝4r2－πr2，可以写成：1×（4－π）r2； 第2幅图阴影部分面积等于1个边长为2r的正方形和－2个半径为r的圆的面积和；面积＝2×4r2－2×πr2，可以写成：2×（4－π）r2； 第3幅图阴影部分面积等于3个边长为2r的正方形面积和－3个半径为r的圆的面积和；面积＝3×4r2－3×πr2，可以写成：3×（4－π）r2； …… 由此可知，第n幅图阴影部分面积等于n个边长为2r的正方形面积和－n个半径为r的圆的面积和，即n×（4－π）r2，据此求出第10幅图阴影部分面积。 【详解】根据分析可知，第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2； 则第10幅图中阴影面积可以表示为10×（4－π）r2。 故答案为：D 四、解答题 19．我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？    【答案】14张 【分析】根据图示，一张桌子可以坐4×1＋2＝6（人），两张桌子可以坐4×2＋2＝10（人）……，n张桌子可以坐（4n＋2）人，据此可知桌子的张数等于人数减2的差除以4；据此解答。 【详解】（58－2）÷4 ＝56÷4 ＝14（张） 答：接待58人需要准备14张桌子。 20．观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（ ），在方框里写出你的思考过程。 【答案】；减去的数无限接近，差就无限接近 【分析】根据减法性质，把原式化为：1－（＋＋＋＋…）；观察图形可知，＋＋＋…的和接近，＋＋＋＋…的和接近，所以1减去接近的数，差就越接近，据此解答。 【详解】1－－－－－…的结果会无限接近。 减去的数无限接近，差就无限接近。 21．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（ ）相同，并且等于分母之（ ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（ ）。 【答案】（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 22．探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（ ）＋（ ） （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（ ）。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 【答案】（1）5；4 （2）72－62＝7＋6 （3）210 【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。 【详解】（1）52－42＝5＋4 （2）72－62＝7＋6（答案不唯一） （3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1 ＝（20＋1）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $