第八单元 数学广角——数与形 培优精讲（知识梳理+4个考点讲练+巩固练习 共33题）-2025-2026学年人教版数学六年级上学期

第八单元 数学广角——数与形 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一：数与形的概念及关系 1 知识点二：用图形表示数列规律 1 知识点三：数形结合解决计算问题 2 知识点四：数形结合解决实际问题 2 知识点五：易错点与培优技巧 3 考点练习 3 考点一：用图像表示变换关系 3 考点二：数形结合规律 4 考点三：数列中的规律 6 考点四：算式的规律 6 巩固练习 8 知识梳理 知识点一：数与形的概念及关系 数与形的定义： 数（代数）：通过符号和逻辑推理表达数量关系 形（几何）：通过图形和直观形象描述空间形式 数与形的关系： 数中有形：用图形直观表示数量关系（如用线段图表示分数、方格图表示乘法） 形中有数：用数量关系精确描述图形特征（如用数据表示图形的边长、面积） 数形结合：通过数与形的相互转化解决问题，核心思想是以形助数、以数解形。 知识点二：用图形表示数列规律 1. 基本图形数列 正方形数列（平方数）： 图形特征：第n个图形由n×n个小正方形组成 数量规律：第n项为（1, 4, 9, 16, 25...） 示例：，，，...（从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方） 三角形数列（三角形数）： 图形特征：第n个图形由n行点组成，呈三角形排列 数量规律：第n项为（1, 3, 6, 10, 15...） 示例：，，，...（从1开始的连续自然数之和） 梯形数列： 数量规律：总点数= 示例：（上底2点，下底4点，3层） 2. 规律探索方法： 观察图形变化→列表分析数据→归纳通项公式→验证规律。 知识点三：数形结合解决计算问题 1. 分数计算中的数形结合 分数加法：用图形表示分数单位，直观展示相加过程 示例：，用正方形依次分割表示各分数，剩余部分为，总和为。 分数乘法：用长方形面积模型表示分数相乘 示例：，先画长方形表示单位"1"，横向分3份取2份，纵向分4份取3份，重叠部分占。 2. 简便计算中的数形结合 等差数列求和：用梯形面积公式计算（和=） 等比数列求和：用图形极限思想理解（如，总和趋近于1）。 知识点四：数形结合解决实际问题 解题步骤： 1.理解题意，找出关键数量关系 2.画出图形（线段图、示意图、方格图等） 3.根据图形分析数量关系，列式计算 典型问题类型： 行程问题：用线段图表示路程、速度、时间关系 分数应用题：用线段图表示单位"1"和分率关系 示例：一桶油用去，还剩15kg，求原有多少kg？ （画线段表示总量，分成5份，剩余3份对应15kg，每份5kg，总量kg） 鸡兔同笼问题：用面积图表示头数和脚数关系。 知识点五：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.规律归纳不完整：仅凭前几项得出结论（如下一项不一定是16） 2.图形与数量对应错误：混淆图形序号与数量关系（如第n个正方形图形有个小正方形，非） 3.单位"1"设定不当：分数问题中图形表示的单位"1"不统一 培优技巧： 多角度画图（线段图、面积图、点阵图） 从简单入手（先分析n=1,2,3的情况，再归纳一般规律） 逆向验证（根据规律表达式画图形验证） 考点练习 考点一：用图像表示变换关系 例题： 把边长为1 厘米的正方形按下图这样1层、2层、3层……拼成各种图形。 （1）如果这个图形有5层，那么它的周长是多少厘米？ （2）如果这个图形有n层，那么它的周长是多少厘米？ 跟踪练习：聪聪去离家6千米的奶奶家，仔细观察下面的折线统计图回答问题。 （1）聪聪途中一共休息了　 　次，共　 　分钟。 （2）此次去奶奶家，聪聪一共用了　 　小时。 考点二：数形结合规律 例题：如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形(第2幅)，画3个正方形能得到8个直角三角形(第3幅)，画n个正方形能得到　 　个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第 4幅图中圆的面积为　 　平方厘米。 跟踪练习：观察下列图形的构成情况，按照此规律，第5个图形中的个数为　 　个，第n个图形中的个数为　 　个。 考点三：数列中的规律 例题：按规律填数：0.5，，0.375，，，　 　(填分数)。 跟踪练习：找规律填数。 （1）　 　，　 　，1200，1100，1000，　 　。 （2）3485，3490，　 　，　 　，3505。 考点四：算式的规律 例题：请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： =1- ， = - ， = - ，…… （1）把 写成分子都是1的两个分数的差的形式； （2）根据你发现的规律计算： + + +……+ 跟踪练习：先阅读，再答题 = =1- ， = = - ， = = - ， = = - …… 根据你发现的规律，试写出 （1） = 　 　- 　 　 （2） =　 　 （3）计算： + + + + + + 巩固练习 1．按照如图所示的规律，图6中小三角形共有（    ）个。 A．53 B．51 C．49 D．47 2．《庄子.天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意是一根一尺长的木棒，第一天截取它的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一总有一半留下，永远也取不完。照这样的方法，第5天截取的木棒长度是（    ）尺。 A． B． C． D． 3．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 4．用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（    ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 6．把1～50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536…，请问这个多位数共有( )位数字。 7．已知下列各数：，，1，…按此规律第6个数是 。 8．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6厘米，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带( )厘米，捆n个需要( )厘米。（π取3） 9．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。 10．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。 11．如图由同样大小的圆按一定规律排列所组成，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第30个图形有 个圆。 12．如图是用小棒拼摆的3个不同的图形，按照这个规律，第五个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 13．果果用□和两种小正方形，在如图表格中按规律摆正方形。果果发现在他摆出的正方形中，□比多8个，这个正方形中□摆了 个，摆了 个。 14．。( ) 15．◯△◎□◯△◎□……，第103个图形是□。( ) 16．找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 17．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 18．根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝99998000001。( ) 19．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 20．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 (1)小正方形的个数分别是( )、( )、( )… (2)大正方形的周长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米… (3)根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米；第9个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米。 21．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 22．观察思考并计算。 (1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。         ( )    ( ) (2)根据上面的规律用简便方法计算。 ( )×( )＝( )。 23．观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 24．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 25．下图是由三角形构成的。    （1）填写下表。 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 （    ） （    ） （    ） （    ） 黑色三角形个数 （    ） （    ） （    ） （    ） （2）照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——数与形 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一：数与形的概念及关系 1 知识点二：用图形表示数列规律 1 知识点三：数形结合解决计算问题 2 知识点四：数形结合解决实际问题 2 知识点五：易错点与培优技巧 3 考点练习 3 考点一：用图像表示变换关系 3 考点二：数形结合规律 4 考点三：数列中的规律 6 考点四：算式的规律 6 巩固练习 8 知识梳理 知识点一：数与形的概念及关系 数与形的定义： 数（代数）：通过符号和逻辑推理表达数量关系 形（几何）：通过图形和直观形象描述空间形式 数与形的关系： 数中有形：用图形直观表示数量关系（如用线段图表示分数、方格图表示乘法） 形中有数：用数量关系精确描述图形特征（如用数据表示图形的边长、面积） 数形结合：通过数与形的相互转化解决问题，核心思想是以形助数、以数解形。 知识点二：用图形表示数列规律 1. 基本图形数列 正方形数列（平方数）： 图形特征：第n个图形由n×n个小正方形组成 数量规律：第n项为（1, 4, 9, 16, 25...） 示例：，，，...（从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方） 三角形数列（三角形数）： 图形特征：第n个图形由n行点组成，呈三角形排列 数量规律：第n项为（1, 3, 6, 10, 15...） 示例：，，，...（从1开始的连续自然数之和） 梯形数列： 数量规律：总点数= 示例：（上底2点，下底4点，3层） 2. 规律探索方法： 观察图形变化→列表分析数据→归纳通项公式→验证规律。 知识点三：数形结合解决计算问题 1. 分数计算中的数形结合 分数加法：用图形表示分数单位，直观展示相加过程 示例：，用正方形依次分割表示各分数，剩余部分为，总和为。 分数乘法：用长方形面积模型表示分数相乘 示例：，先画长方形表示单位"1"，横向分3份取2份，纵向分4份取3份，重叠部分占。 2. 简便计算中的数形结合 等差数列求和：用梯形面积公式计算（和=） 等比数列求和：用图形极限思想理解（如，总和趋近于1）。 知识点四：数形结合解决实际问题 解题步骤： 1.理解题意，找出关键数量关系 2.画出图形（线段图、示意图、方格图等） 3.根据图形分析数量关系，列式计算 典型问题类型： 行程问题：用线段图表示路程、速度、时间关系 分数应用题：用线段图表示单位"1"和分率关系 示例：一桶油用去，还剩15kg，求原有多少kg？ （画线段表示总量，分成5份，剩余3份对应15kg，每份5kg，总量kg） 鸡兔同笼问题：用面积图表示头数和脚数关系。 知识点五：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.规律归纳不完整：仅凭前几项得出结论（如下一项不一定是16） 2.图形与数量对应错误：混淆图形序号与数量关系（如第n个正方形图形有个小正方形，非） 3.单位"1"设定不当：分数问题中图形表示的单位"1"不统一 培优技巧： 多角度画图（线段图、面积图、点阵图） 从简单入手（先分析n=1,2,3的情况，再归纳一般规律） 逆向验证（根据规律表达式画图形验证） 考点练习 考点一：用图像表示变换关系 例题： 把边长为1 厘米的正方形按下图这样1层、2层、3层……拼成各种图形。 （1）如果这个图形有5层，那么它的周长是多少厘米？ （2）如果这个图形有n层，那么它的周长是多少厘米？ 【答案】（1）解：5×4=20（厘米） 答：它的周长是20厘米。 （2）解：n×4=4n厘米 答：它的周长是4n厘米。 【分析】此题主要考察的是找规律及正方形周长公式的应用。观察图形，可以发现每一个图形的周长都等于其层数乘以4。因此，可以通过找出图形的层数，然后利用这个规律来计算出图形的周长。 跟踪练习：聪聪去离家6千米的奶奶家，仔细观察下面的折线统计图回答问题。 （1）聪聪途中一共休息了　 　次，共　 　分钟。 （2）此次去奶奶家，聪聪一共用了　 　小时。 【答案】（1）2；30 （2）3.5 【解答】解：（1）聪聪途中一共休息了2次 15×2=30（分） （2）11时-7时30分=3时30分 3时30分=3.5小时 故答案为：（1）2；30；（2）3.5。 【分析】（1）每小格的时间是15分，聪聪途中一共休息了2次，共休息的时间=平均每次休息的时间×休息的次数； （2）此次去奶奶家，聪聪一共用的时间=结束时间-开始时间。 考点二：数形结合规律 例题：如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形(第2幅)，画3个正方形能得到8个直角三角形(第3幅)，画n个正方形能得到　 　个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第 4幅图中圆的面积为　 　平方厘米。 【答案】4n-4；6.28 【解答】解： 画n个正方形能得4×（n-1）=4n-4个直角三角形。 8×8÷（2×2×2） =64÷×8 =8（平方厘米） 8=（2r）2=4r2 8÷4×3.14 =2×3.14 =6.28（平方厘米） 故答案为：4n-4；6.28。 【分析】由图可知，每增加一个正方形，直角三角形数量增加4个。因此，n个正方形对应的直角三角形数为：4×（n-1）。 从图中可知，大正方形的面积是小正方形面积的2倍。因此，第4幅图中最大的正方形面积就是最小正方形面积的2×2×2=8倍。最大正方形面积是8×8=64平方厘米，那么最小正方形的面积就是64÷8=8平方厘米。又知第4幅图中圆的直径等于最小正方形的边长，即最小正方形的面积=8=（2r）2=4r2，所以r2=2，圆的面积就是2π平方厘米。 跟踪练习：观察下列图形的构成情况，按照此规律，第5个图形中的个数为　 　个，第n个图形中的个数为　 　个。 【答案】16；3n+1 【解答】解： 第1个图形：4个 第2个图形：7个 （4+3=7） 第3个图形：10个 （4+3×2=10） 第4个图形：13个 （4+3×3=13） 第5个图形：16个 （4+3×4=16） 4+3（n-1） =4+3n-3 =3n+1 故答案为：16；2n+1。 【分析】第1个图形有4个 ，以后每增加1个菱形就增加了3个 。所以第5个图形的个数为：4+3×4=16（个），第n个图形的个数为：[4+3（n-1）]化简得（3n+1）。 考点三：数列中的规律 例题：按规律填数：0.5，，0.375，，，　 　(填分数)。 【答案】​​​​​​​ 【解答】解：分子是5+1，分母是14+3=17，所以0.5，，0.375，，，。 故答案为：。 【分析】0.5=，0.375=，这样就能确定这列数中分子依次增加1，分母依次增加3。由此根据规律确定后面的分数即可。 跟踪练习：找规律填数。 （1）　 　，　 　，1200，1100，1000，　 　。 （2）3485，3490，　 　，　 　，3505。 【答案】（1）1400；1300；900 （2）3495；3500 【解答】解：（1）1200＋100=1300 1300＋100=1400 1000-100=900； （2）3490＋5=3495 3495＋5=3500。 故答案为：（1）1400；1300；900；（2）3495；3500。 【分析】（1）规律是：依次减去100； （2）规律是：依次加上5。 考点四：算式的规律 例题：请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： =1- ， = - ， = - ，…… （1）把 写成分子都是1的两个分数的差的形式； （2）根据你发现的规律计算： + + +……+ 【答案】（1）=- （2）解： + + +……+ = - + - +-+……+- =- = 【分析】（1）观察算式可得规律：分母是相邻的两个自然数，分子是1，可以写成两个分数差的形式，两个分母是相邻的两个自然数，分子都是1，据此规律解答； （2）根据规律，将分数写成两个分数的差的形式，然后进行计算即可。 跟踪练习：先阅读，再答题 = =1- ， = = - ， = = - ， = = - …… 根据你发现的规律，试写出 （1） = 　 　- 　 　 （2） =　 　 （3）计算： + + + + + + 【答案】（1）9；11 （2） - （3）解： + + + + + + =（1- ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ） =1- = 【解答】解：（1）=-； （2）=-； （3） + + + + + + =（1- ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ） =1- + - + - + - + - + - + - =1- = 故答案为：（1）9；11；（2） - 。 【分析】（1）分母中的99化为9×11，等于减去； （2）分母是n×（n+2），等于-； （3）规律：分子是2；分母时两个相差2的自然数相乘，等于分母中较小数分之一减去分母中较大数分之一，据此简算。 巩固练习 1．按照如图所示的规律，图6中小三角形共有（    ）个。 A．53 B．51 C．49 D．47 【答案】A 【分析】通过观察图1、图2、图3中小三角形的个数，找出其数量变化规律，进而推导出第n个图中小三角形个数的公式，最后计算图6的情况。 【详解】观察图形可知，小三角形个数由两部分组成：顶部固定有4个小三角形；底部小三角形个数与图的序号相关，第n个图底部小三角形个数为（n＋1）2个。那么第n个图中小三角形的总个数为4＋（n＋1）2。当n＝6时，代入可得：4＋（6＋1）2＝4＋49＝53。 【点睛】解决此类找规律问题，关键是要细致观察图形的组成，将复杂的数量分解为几个有规律的部分，分别找出各部分的规律，再综合起来得到总的规律，最后代入计算即可。 2．《庄子.天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意是一根一尺长的木棒，第一天截取它的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一总有一半留下，永远也取不完。照这样的方法，第5天截取的木棒长度是（    ）尺。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知第一天截取木棒的一半，即尺；第二天截取前一天剩下长度的一半，前一天剩下尺，所以第二天截取尺；第三天截取前一天剩下长度的一半，前一天剩下尺，所以第三天截取尺；以此类推，每天截取的长度是前一天的。所以第n天截取的长度为尺。当n＝5时，第5天截取的长度为尺。 【详解】每天截取的长度是前一天的，第n天截取的长度为尺。 当n＝5： （尺） 第5天截取的木棒长度是尺。 故答案为：B 3．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 4．用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 【答案】B 【分析】由图观察规律可知：第1个图形用（1＋5）根小棒搭成，第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成，第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成，第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成，据此规律解答。 【详解】由题，第一个图形用（1＋5）根小棒搭成， 第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成， 第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成， 第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成， 以此类推，第n个图形需要小棒： 1＋5×n＝（5n＋1）根 故答案为：B 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（    ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 【答案】C 【分析】由图可知，第1个图形中的点数为1，可表示为4×1－3； 第2个图形中的点数为5，可表示为4×2－3； 第3个图形中的点数为9，可表示为4×3－3； 第4个图形中的点数为13，可表示为4×4－3； 由此可推出，第n个图形中的点数为（4n－3）。据此解答。 【详解】分析可知，第n个图形中的点数为（4n－3）。 当n＝9时， 4n－3 ＝4×9－3 ＝36－3 ＝33 所以第9个图形中的点数为33。 故答案为：C 6．把1～50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536…，请问这个多位数共有( )位数字。 【答案】157 【分析】我们可以根据数的平方的结果范围，将1到50的数分为三类：平方数是一位数、两位数、三位数的情况，分别计算每类的个数，再乘以对应的位数，最后求和。 【详解】一位数平方数：3×1＝（位）； 两位数平方数：6×2＝12（位）； 三位数平方数：22×3＝66（位）； 四位数平方数：19×4＝76（位）； 一共：3＋12＋66＋76＝157（位）。 【点睛】根据数的运算结果（本题为平方数）的位数特征，将原数合理分类，分别计算每类的个数和位数贡献，最后求和即可。 7．已知下列各数：，，1，…按此规律第6个数是 。 【答案】 【分析】已知，，1，…，可变形为：，，，…。分子：1，2，4，8，后一个数是前一个数的2倍，分子的规律是，即第n个数的分子为；分母：2，3，4，5，后一个数比前一个数大1，即分母的规律是n＋1，即第n个数的分母为n＋1。所以第6个数的分子为，分母为6＋1＝7，所以第6个数是。 【详解】第n个数的分子： 第n个数的分母：n＋1 n＝6 分子： ＝25 ＝2×2×2×2×2 ＝32 分母：6＋1＝7 所以第6个数是。 8．生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6厘米，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带( )厘米，捆n个需要( )厘米。（π取3） 【答案】 42 6＋12n 【分析】捆3个圆柱时，胶带的长度由一个圆的周长和4条直径的长度组成。已知圆柱的直径为6厘米，π＝3，根据圆的周长公式C＝πd（d为直径），可得圆的周长为3×6＝18厘米。4条直径的长度为6×4＝24厘米。将圆的周长和4条直径的长度相加，可得捆3个圆柱需要的胶带长度为18＋24＝42厘米。 当捆n个圆柱时，因为两个圆柱并列时，中间有1个“间隔”，对应2条直径（上下各1条）；n个圆柱并列时，有n－1个间隔，所以直线部分是2×（n－1）条直径。胶带的长度由一个圆的周长和2×（n－1）条直径的长度组成。圆的周长为3×6＝18厘米，直径为6厘米，所以捆n个圆柱的长度为：18＋2×（n－1）×6。 【详解】3×6＋6×4 ＝18＋24 ＝42（厘米） 当捆n个圆柱时，胶带的长度由一个圆的周长和2×（n－1）条直径的长度组成。 18＋2×（n－1）×6 ＝18＋12×（n－1） ＝18＋12n－12 ＝（6＋12n）厘米 捆3个需要胶带42厘米，捆n个需要（6＋12n）厘米。 9．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】观察图形可知： 1个小正方体有6个面； 2个小正方体拼成长方体时，有2×（2－1）＝2个面重合，露出6×2－2＝10个面； 3个小正方体拼成长方体时，有2×（3－1）＝4个面重合，露出6×3－4＝14个面； …… n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，露出面的个数： 6n－2（n－1） ＝6n－2n＋2 ＝（4n＋2）个 根据此规律，把n＝16代入式子中，求出当16个小正方体拼成长方体时露出面的个数，然后用拼成长方体的表面积除以面的个数，即可求出一个面的面积；再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个面的面积乘6，求出正方体的表面积。 【详解】规律：n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，有（4n＋2）个面。 当n＝16时 4n＋2 ＝4×16＋2 ＝64＋2 ＝66（个） 一个面的面积：264÷66＝4（平方厘米） 正方体的表面积：4×6＝24（平方厘米） 一个小正方体的表面积是24平方厘米。 10．如图：摆一个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆5个需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。 【答案】 16 3n＋1 【分析】摆1个正方形需要4根小棒，可表示为3×1＋1＝4根。摆2个正方形需要7根小棒，可表示为3×2＋1＝7根。由此可推出规律：摆n个正方形需要3n＋1根小棒。当n＝5时，代入3n＋1可得：3×5＋1＝15＋1＝16根。 【详解】摆1个正方形： 3×1＋1 ＝3＋1 ＝4（根） 摆2个正方形： 3×2＋1 ＝6＋1 ＝7（根） 摆n个正方形：3n＋1（根） 当n＝5： 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 摆5个需要16根小棒，摆n个需要（3n＋1）根小棒。 11．如图由同样大小的圆按一定规律排列所组成，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第30个图形有 个圆。 【答案】932 【分析】根据题意可知，第一个图形一共有圆：1×（1＋1）＋2＝4个；第二个图形一共有圆：2×（2＋1）＋2＝8个；第三个图形一共有圆：3×（3＋1）＋2＝14个；第四个图形一共有圆：4×（4＋1）＋2＝22个；圆的个数等于图形序号与序号数加多1数的积再加上上面圆的个数2，根据图形得出第n个图形中圆的个数是n×（n＋1）＋2，据此进行解答。 【详解】第1个图形中一共有1×（1＋1）＋2＝1×2＋2＝2＋2＝4（个）圆 第2个图形中一共有2×（2＋1）＋2＝2×3＋2＝6＋2＝8（个）圆 第3个图形中一共有3×（3＋1）＋2＝3×4＋2＝12＋2＝14（个）圆 第4个图形中一共有4×（4＋1）＋2＝4×5＋2＝20＋2＝22（个）圆 可得第n个图形中圆的个数是：n（n＋1）＋2 所以第30个图形中圆的个数：30×（30＋1）＋2＝30×31＋2＝930＋2＝932（个） 第30个图形有932个圆。 12．如图是用小棒拼摆的3个不同的图形，按照这个规律，第五个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 【答案】 60 2n（n＋1） 【分析】根据图示可知： 第1幅图小棒根数：4根 第2幅图小棒根数：12根，12＝4＋8＝2×2×（2＋1） 第3幅图小棒根数：24根，24＝4＋8＋12＝2×3×（3＋1） …… 第n幅图小棒根数：2n（n＋1），据此解答。 【详解】根据分析，第n幅图小棒根数：2n（n＋1） 当n＝5，2n（n＋1）＝2×5×（5＋1）＝60 第五个图形需要60根小棒，第n个图形需要2n（n＋1）根小棒。 13．果果用□和两种小正方形，在如图表格中按规律摆正方形。果果发现在他摆出的正方形中，□比多8个，这个正方形中□摆了 个，摆了 个。 【答案】 36 28 【分析】 根据方格图中从左到右□和的排列可知： 第1幅图中，小正方形的个数为1（12）个，其中1个阴影小正方形，0个空白小正方形，1－0＝1（个），比□多1个； 第2幅图中，小正方形的个数为4（22）个，其中1个阴影小正方形，3个空白小正方形，3－1＝2（个），□比多2个； 第3幅图中，小正方形的个数为9（32）个，其中6个阴影小正方形，3个空白小正方形，6－3＝3（个），比□多3个； 第4幅图中，小正方形的个数为16（42）个，其中6个阴影小正方形，10个空白小正方形，10－6＝4（个），□比多4个； 即序号是奇数时，比□多序号个；序号是偶数时，□比多序号个，且小正方形个数即为序号的平方个。据此解答。 【详解】 序号是奇数时，比□多序号个；序号是偶数时，□比多序号个，且小正方形个数即为序号的平方个。 当□比多8个，即第8幅图，小正方形个数为：82＝64（个） □为： （64＋8）÷2 ＝72÷2 ＝36（个） 为： （64－8）÷2 ＝56÷2 ＝28（个） 当□比多8个，这个正方形中□摆了36个，摆了28个。 14．。( ) 【答案】× 【分析】分别计算等号左边式子的结果和等号右边式子的结果，再判断大小是否相等。 【详解】 ＝3＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝6＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝10＋5＋6＋7＋8＋9 ＝15＋6＋7＋8＋9 ＝21＋7＋8＋9 ＝28＋8＋9 ＝36＋9 ＝45 ＝9×9＝81 因此， 故答案为：× 15．◯△◎□◯△◎□……，第103个图形是□。( ) 【答案】× 【分析】观察图形可知，◯△◎□每4个图形循环一次，即一个周期，确定周期后，用103除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个，据此判断即可。 【详解】103÷4＝25（组）⋯⋯3（个） 则第103个图形是◎。原题干说法错误。 故答案为：× 16．找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 【答案】√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【详解】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 17．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 【答案】√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【详解】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 18．根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝99998000001。( ) 【答案】× 【分析】算式中两个因数都相同，且每个数位上的数都是9，通过观察发现，积前面几位9的个数比因数9的个数少一个，积写完几个9之后，就是数字8，接着是0，积中0的个数比因数9的个数少1个，积最后一位是数字1，据此解答。 【详解】根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝9999800001，原题说法错误。 故答案为：× 19．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 【答案】（1）10；14 （2）（2n＋4）人 【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。 【详解】（1）2×3＋4 ＝6＋4 ＝10（人） 2×5＋4 ＝10＋4 ＝14（人） 则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。 （2）n×2＋4＝（2n＋4）人 答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。 20．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 (1)小正方形的个数分别是( )、( )、( )… (2)大正方形的周长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米… (3)根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米；第9个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米。 【答案】(1) 1 4 9 (2) 4 8 12 (3) 25 20 81 36 【分析】（1）根据题中图形排列规律： 第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）； 第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）； 第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）； 则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n²（个）。 （2）通过观察可知： 第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）； 第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）； 第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）； 则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。 （3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。 【详解】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9… （2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米… （3）由分析（1）（2）可得： 5×5＝25（个） 4×5＝20（厘米） 9×9＝81（个） 4×9＝36（厘米） 即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。 21．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 【答案】(1) 38 6n＋2 (2)200 (3)14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 22．观察思考并计算。 (1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。         ( )    ( ) (2)根据上面的规律用简便方法计算。 ( )×( )＝( )。 【答案】(1) 4 5 (2) 10 11 110 【分析】（1）通过观察图形中小正方形的排列规律，发现了连续偶数相加的求和规律。 4 5 发现了连续偶数相加的求和规律：从2开始的连续n个偶数相加，其和为n×（n＋1） （2）在中，一共有10个偶数相加，然后运用发现的这个规律来计算即可。 【详解】（1）4，5 （2） ＝10×（10＋1） ＝10×11 ＝110 23．观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 【答案】（1）49个；225个（2）（n2）个 【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。 【详解】第1幅图：1＝12个棋子 第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子 第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子 第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子 …… 所以第7幅图有72＝49个棋子 第15幅图有152＝225个棋子 第n幅图：（n2）个棋子 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。 24．请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 【答案】（1）15；21；28；（2）55； 【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。 （2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。 【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个） 第6个图形：15＋6＝21（个） 第7个图形：21＋7＝28（个） （2）第n个图的数： 1＋2＋3＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2 ＝（n＋n2）÷2 ＝ 当n＝10时， ＝ ＝ ＝ ＝55 第10个图的数是55；第n个图的数是。 25．下图是由三角形构成的。    （1）填写下表。 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 （    ） （    ） （    ） （    ） 黑色三角形个数 （    ） （    ） （    ） （    ） （2）照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？ 【答案】（1）见详解（2）45个；55个 【分析】（1）第一个图形，白色三角形数量为0个，黑色三角形数量为1＝1个； 第二个图形，白色三角形数量为0＋1＝1个，黑色三角形数量为1＋2＝3个； 第三个图形，白色三角形数量为0＋1＋2＝3个，黑色三角形数量为1＋2＋3＝6个； 第四个图形，白色三角形数量为0＋1＋2＋3＝6个，黑色三角形数量为1＋2＋3＋4＝10个；     …… 以此类推： 第n个图形，白色三角形数量为：1＋2＋……＋（n－1）个，黑色三角形数量为：1＋2＋……＋n个，据此解答。 【详解】（1）由分析得： 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 0 1 3 6 黑色三角形个数 1 3 6 10 （2）白色三角形的个数： 1＋2＋……＋9＝45（个） 黑色三角形的个数： 1＋2＋……＋10＝55（个） 答：照这样的规律画下去，第10个图形中有45个白色三角形、55个黑色三角形。 【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $