第12讲 图形面积（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第12讲 图形面积 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.熟练掌握长方形和正方形的面积计算公式，并能灵活运用来解决各类图形面积问题。 2.学会运用分解、平移、合并等方法，将复杂图形转化为简单的长方形或正方形，进而求解面积。 3.通过对图形面积问题的学习，培养空间想象能力和逻辑思维能力。 知识梳理 知识点一、利用长方形、正方形面积计算公式求解 1.长方形面积公式：（表示长方形面积，表示长方形的长，表示长方形的宽）。 2.正方形面积公式：（表示正方形面积，表示正方形的边长）。这是求解图形面积最基础的公式，在任何涉及长方形和正方形面积的问题中都可能用到。对于规则的长方形和正方形图形，直接代入相应边长数据即可算出面积。 知识点二、分解 1.概念：将一个复杂的图形，通过合理的分割，分解成若干个我们熟悉的长方形或正方形，然后分别计算这些小图形的面积，最后将它们的面积相加，得到原图形的面积。 2.应用场景：当遇到一个不规则图形，其形状可以通过分割线清晰地分成几个规则图形时，就可以运用分解法。例如，一个类似“L”形的图形，可以通过一条或多条直线将其分割为两个或多个长方形，分别计算每个长方形的面积后求和。 3.解题关键：找到合适的分割线，使得分割后的图形都是可以直接利用面积公式计算的长方形或正方形，同时要注意分割线的选取不能造成数据计算的复杂度过高。 知识点三、平移 1.概念：把图形的某一部分沿一定方向平行移动到另一位置，使图形转化为我们熟悉的形状，进而求出面积。平移过程中，图形的形状和大小都不发生改变，所以平移前后图形的面积相等。 2.应用场景：在一些图形中，部分图形的位置关系较为特殊，通过平移能够拼凑成规则图形。比如，有一些小的长方形或正方形分布较为零散，但通过平移可以组合成一个大的长方形或正方形。 3.解题关键：观察图形中哪些部分可以平移，以及平移的方向和距离，使得平移后能形成规则的、便于计算面积的图形。 知识点四、合并 1.概念：与分解相反，将几个图形通过一定的方式组合在一起，形成一个新的、更规则的图形，然后利用规则图形的面积公式求解。组合过程中要注意图形拼接处是否有重叠或缝隙，若有重叠，重叠部分的面积在计算总面积时需减去一次；若有缝隙，缝隙部分面积不计入总面积。 2.应用场景：当有多个小的规则图形，且它们之间的拼接方式较为明确，能够组合成一个大的长方形、正方形或其他熟悉的图形时，可采用合并法。例如，几个相同的小正方形可以拼成一个大的长方形或正方形。 3.解题关键：确定图形合并的方式，保证合并后的图形是规则且便于计算面积的，同时处理好拼接处面积的计算问题。 例题讲解 一、分解法计算面积 【例题1】计算下面图形的面积。 【例题2】计算下面图形的面积。（单位：分米） 二、平移法计算面积 【例题1】下图是由两个边长为2分米的正方形拼成的图形，请计算出阴影部分的面积。 【例题2】有一块花园长8米，宽4米。花园中间留了2条1米宽的路，把花园平均分成四块，请问每一块地的面积是多少平方米？ 三、合并法计算面积 【例题1】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【例题2】如图：一个长方形被分成A、B、C、D四个小长方形，已知A的面积是2平方厘米，B的面积是3平方厘米，C的面积是5平方厘米，那么原长方形的面积是多少平方厘米？ 【例题3】把长方形的长和宽各增加3厘米，则面积增加45平方厘米，求原来长方形的周长。 考点练习 一、分解法计算面积 1．王伯伯家有一块菜地（如图），这块菜地的面积有多少平方米？ 2．计算下面各组合图形的面积。（单位：厘米） 3．如图，一张正方形的纸，一边长增加5厘米，另一边长增加6厘米，那么面积比原来正方形增加了118平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？ 二、平移法计算面积 1．计算正方形中阴影部分的面积。 2．求阴影部分面积。 3．下图中两个涂色正方形的周长的和是40厘米，整个大正方形的面积是多少平方厘米？ 4．如下图，七个长方形组成一个正方形，大正方形的面积为64平方厘米，求下图阴影部分的面积。 5．五（1）班保洁区是一块长25米、宽20米的长方形草坪（如图），草坪中间有一条3米宽的弯曲小路，草坪的占地面积是多少平方米？ 6．科科的奶奶在自留地里种白菜（如下图）。如果1平方米收白菜18千克，这块自留地一共可以收白菜多少千克？ 7．求小路的占地面积。 如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路。 三、合并法计算面积 1．如图，一个长方形被分成四个小长方形，已知其中三个小长方形的面积分别是10平方厘米、8平方厘米和12平方厘米。求另一个长方形的面积是多少平方厘米？ 2．如图，是一个长为10厘米，宽为8厘米的长方形，在它其中两个对角上分别截去一个4平方厘米的小正方形，再将其按虚线裁剪，最后中间剩下的部分（阴影部分）的面积是多少？ 3．如图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分米？ 4．下图是用7个完全一样的小长方形拼成的一个大长方形。已知大长方形的周长是102厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？ 5．一个正方形，如果边长增加4厘米，则正方形就要增加64平方厘米，求原来正方形的面积和周长各是多少？ 6．用4个相同的小长方形和2个面积都是100平方分米的小正方形可以拼成一个如图所示的大正方形，中间空心部分（阴影部分）也是正方形，请问1个小长方形的面积是多少平方分米？ 7．下图中正方形的周长是48厘米，中间有一个长方形，长方形的四个顶点恰好把正方形每边分为两段，其中长的那段是短的长度的2倍，则长方形的面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 图形面积 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.熟练掌握长方形和正方形的面积计算公式，并能灵活运用来解决各类图形面积问题。 2.学会运用分解、平移、合并等方法，将复杂图形转化为简单的长方形或正方形，进而求解面积。 3.通过对图形面积问题的学习，培养空间想象能力和逻辑思维能力。 知识梳理 知识点一、利用长方形、正方形面积计算公式求解 1.长方形面积公式：（表示长方形面积，表示长方形的长，表示长方形的宽）。 2.正方形面积公式：（表示正方形面积，表示正方形的边长）。这是求解图形面积最基础的公式，在任何涉及长方形和正方形面积的问题中都可能用到。对于规则的长方形和正方形图形，直接代入相应边长数据即可算出面积。 知识点二、分解 1.概念：将一个复杂的图形，通过合理的分割，分解成若干个我们熟悉的长方形或正方形，然后分别计算这些小图形的面积，最后将它们的面积相加，得到原图形的面积。 2.应用场景：当遇到一个不规则图形，其形状可以通过分割线清晰地分成几个规则图形时，就可以运用分解法。例如，一个类似“L”形的图形，可以通过一条或多条直线将其分割为两个或多个长方形，分别计算每个长方形的面积后求和。 3.解题关键：找到合适的分割线，使得分割后的图形都是可以直接利用面积公式计算的长方形或正方形，同时要注意分割线的选取不能造成数据计算的复杂度过高。 知识点三、平移 1.概念：把图形的某一部分沿一定方向平行移动到另一位置，使图形转化为我们熟悉的形状，进而求出面积。平移过程中，图形的形状和大小都不发生改变，所以平移前后图形的面积相等。 2.应用场景：在一些图形中，部分图形的位置关系较为特殊，通过平移能够拼凑成规则图形。比如，有一些小的长方形或正方形分布较为零散，但通过平移可以组合成一个大的长方形或正方形。 3.解题关键：观察图形中哪些部分可以平移，以及平移的方向和距离，使得平移后能形成规则的、便于计算面积的图形。 知识点四、合并 1.概念：与分解相反，将几个图形通过一定的方式组合在一起，形成一个新的、更规则的图形，然后利用规则图形的面积公式求解。组合过程中要注意图形拼接处是否有重叠或缝隙，若有重叠，重叠部分的面积在计算总面积时需减去一次；若有缝隙，缝隙部分面积不计入总面积。 2.应用场景：当有多个小的规则图形，且它们之间的拼接方式较为明确，能够组合成一个大的长方形、正方形或其他熟悉的图形时，可采用合并法。例如，几个相同的小正方形可以拼成一个大的长方形或正方形。 3.解题关键：确定图形合并的方式，保证合并后的图形是规则且便于计算面积的，同时处理好拼接处面积的计算问题。 例题讲解 一、分解法计算面积 【例题1】计算下面图形的面积。 【答案】12平方米 【分析】 长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长；如图所示，将原图形分成一个长是4米，宽是2米的长方形和边长是2米的正方形，据此求出正方形和长方形的面积，然后再加一起即可解题。 【详解】4×2＋2×2 ＝8＋4 ＝12（平方米） 图形的面积是12平方米。 【例题2】计算下面图形的面积。（单位：分米） 【答案】41平方分米 【分析】从图中可以看出，图形是由一个边长7分米的正方形减去一个长4分米、宽2分米的长方形得到的；根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，分别求出正方形和长方形的面积，再用正方形的面积减长方形的面积，即得到图形的面积。据此解答。 【详解】7×7－4×2 ＝49－8 ＝41（平方分米） 所以，图形的面积是41平方分米。 二、平移法计算面积 【例题1】下图是由两个边长为2分米的正方形拼成的图形，请计算出阴影部分的面积。 【答案】4平方分米 【分析】由题意得，可以将右边的阴影部分向左平移，与左边的阴影部分合起来组成一个正方形（如下图）。 此时，阴影部分的面积就等于正方形的面积。正方形的面积＝边长×边长，直接将数据代入求解即可。 【详解】2×2＝4（平方分米） 故阴影部分的面积是4平方分米。 【例题2】有一块花园长8米，宽4米。花园中间留了2条1米宽的路，把花园平均分成四块，请问每一块地的面积是多少平方米？ 【答案】5.25平方米 【分析】根据题意分析每一块长方形的长和宽都是相等的，长＝（原来长方形的长－路宽）÷2，宽＝（原来长方形的宽－路宽）÷2，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】（8－1）÷2 ＝7÷2 ＝3.5（米） （4－1）÷2 ＝3÷2 ＝1.5（米） 3.5×1.5＝5.25（平方米） 答：每一块地的面积是5.25平方米。 三、合并法计算面积 【例题1】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】82平方厘米 【分析】观察图可以发现，左边图形是边长为8厘米的正方形，右边为长是6厘米，宽为3厘米的长方形，分别根据正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽算出各自的面积，最后相加，即可求出图形的面积。 【详解】8×8＝64（平方厘米） 3×6＝18（平方厘米） 18＋64＝82（平方厘米） 所以图形的面积为82平方厘米。 【例题2】如图：一个长方形被分成A、B、C、D四个小长方形，已知A的面积是2平方厘米，B的面积是3平方厘米，C的面积是5平方厘米，那么原长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】17.5平方厘米 【分析】长方形A和长方形B的宽是一样的，那么长方形B的长是长方形A的长的1.5倍；那么长方形D的面积是长方形C的面积是1.5倍。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：原长方形的面积是17.5平方厘米。 【例题3】把长方形的长和宽各增加3厘米，则面积增加45平方厘米，求原来长方形的周长。 【答案】24厘米 【分析】如图，长和宽都增加3厘米，增加的面积可以看成3部分，一条边是原来的长，一条边是3的长方形，一条边是原来的宽，一条边是3的长方形，边长是3厘米的正方形，先减去边长是3厘米的正方形的面积，得到其余的两个长方形的面积，除以3，得到的正好是长加宽的和，然后求周长即可。 【详解】如图所示： （平方厘米） （平方厘米） （厘米） （厘米） 答：原来长方形的周长是24厘米。 考点练习 一、分解法计算面积 1．王伯伯家有一块菜地（如图），这块菜地的面积有多少平方米？ 【答案】320平方米 【分析】这个图形可以分割成两个长方形，一个是长23米，宽8米；一个长17米，宽8米，根据长方形面积＝长×宽，分别计算出两个面积再相加。 【详解】23×8＋17×8 ＝（23＋17）×8 ＝40×8 ＝320（平方米） 答：这块菜地的面积有320平方米。 2．计算下面各组合图形的面积。（单位：厘米） 【答案】100平方厘米；125平方厘米 【分析】根据 长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，把组合图形分割成长方形和正方形即可计算它们的面积； 因为虚线的长度为15－5－5，结果是5，所以左图可以分割成一个长方形和一个正方形（如图），长方形的长是15厘米，宽是5厘米，正方形的边长是5厘米，用长方形的面积加正方形的面积即得到组合图形的面积； 右图可以分割成5个小正方形（如图），每个小正方形的边长是5厘米，先求出一个正方形的面积再乘5即得到组合图形的面积。据此解答。 【详解】左图的面积： 15－5－5 ＝10－5 ＝5（厘米） 15×5＋5×5 ＝75＋25 ＝100（平方厘米） 右图的面积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（平方厘米） 所以，两个组合图形的面积分别是100平方厘米、125平方厘米。 3．如图，一张正方形的纸，一边长增加5厘米，另一边长增加6厘米，那么面积比原来正方形增加了118平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】64平方厘米 【分析】将阴影部分分割如下： 根据图形可知，3是一个长6厘米，宽5厘米的长方形；1和2可以拼接成一个以正方形的边长为宽，5＋6＝11厘米为长的长方形；用增加的部分面积减去3的面积即可得到1和2的总面积，用1和2的面积之和除以长11厘米，即可得到正方形的边长，进而得出正方形的面积。 【详解】5×6＝30（平方厘米）； 118－30＝88（平方厘米）； 88÷11＝8（厘米）； 8×8＝64（平方厘米）。 答：原来正方形的面积是64平方厘米。 二、平移法计算面积 1．计算正方形中阴影部分的面积。 【答案】32平方分米 【分析】将上方的三角形平移到下方，这样就可以判断阴影部分所占的面积是正方形的一半，也就是下面长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 8×4＝32（平方分米） 阴影部分的面积是32平方分米。 2．求阴影部分面积。 【答案】36cm2 【分析】把左边阴影部分平移到右边，则此时阴影部分的面积等于边长是6cm正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，据此进行计算即可。 【详解】6×6＝36（cm2） 3．下图中两个涂色正方形的周长的和是40厘米，整个大正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】100平方厘米 【分析】如下图，通过平移两个涂色正方形的边可以发现，两个涂色正方形的周长之和等于大正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4，据此求出大正方形的边长；然后根据正方形的面积＝边长×边长，求出大正方形的面积。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 整个大正方形的面积是100平方厘米。 4．如下图，七个长方形组成一个正方形，大正方形的面积为64平方厘米，求下图阴影部分的面积。 【答案】15平方厘米 【分析】大正方形的面积为64平方厘米，因此这个大正方形的边长是8厘米。然后将阴影部分平移到一起，可以组成一个长方形，这个长方形的长是：8－3＝5（厘米），宽是：8－5＝3（厘米），据此即可求出这个长方形的面积。 【详解】64÷8＝8（厘米） （8－3）×（8－5） ＝5×3 ＝15（平方厘米） 答：阴影部分的面积是15平方厘米。 5．五（1）班保洁区是一块长25米、宽20米的长方形草坪（如图），草坪中间有一条3米宽的弯曲小路，草坪的占地面积是多少平方米？ 【答案】374平方米 【分析】无论这曲折小路如何曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图。则不难看出草坪面积是个长为（25－3）米，宽为（20－3）米的长方形，根据，代入数据计算即可。 【详解】 （平方米） 答：草坪的占地面积是374平方米。 6．科科的奶奶在自留地里种白菜（如下图）。如果1平方米收白菜18千克，这块自留地一共可以收白菜多少千克？ 【答案】1440千克 【分析】 如图：，将右边多余的正方形平移到左边缺少的部分，此时构成一个长10米，宽8米的长方形，根据长方形面积＝长×宽计算出菜地的面积，最后再乘每平方米收白菜的千克数即可解题。 【详解】8×10＝80（平方米） 80×18＝1440（千克） 答：这块自留地一共可以收白菜1440千克。 7．求小路的占地面积。 如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路。 【答案】64平方米 【分析】通过平移，将图形变为如下图： 据此可知，小路的面积相当于长方形草坪的面积减去长为（20－2）米、宽为（14－2）米的长方形面积；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答。 【详解】20×14－（20－2）×（14－2） ＝20×14－18×12 ＝280－216 ＝64（平方米） 答：小路的占地面积是64平方米。 三、合并法计算面积 1．如图，一个长方形被分成四个小长方形，已知其中三个小长方形的面积分别是10平方厘米、8平方厘米和12平方厘米。求另一个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】15平方厘米 【分析】长相等，长方形的面积之比等于宽之比，上面两个小长方形，一个面积是10平方厘米，一个是8平方厘米，它们的宽是一样的，那长的话，10平方厘米长方形的长和8平方厘米的长方形的长的关系就和它们的面积关系一样，因为宽相同，面积大的长就长，所以面积是10平方厘米的长方形的长和面积是8平方厘米的长方形的长的比是10∶8； 由于要求长方形的长和面积是8平方厘米的长之比也是10∶8，所以它们的面积之比也是10∶8，据此可解。 【详解】12÷4×5 ＝3×5 ＝15（平方厘米） 2．如图，是一个长为10厘米，宽为8厘米的长方形，在它其中两个对角上分别截去一个4平方厘米的小正方形，再将其按虚线裁剪，最后中间剩下的部分（阴影部分）的面积是多少？ 【答案】24平方厘米 【分析】对角的是正方形，面积是4平方厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，得出正方形的边长是2厘米。阴影部分的长是原来的长少两个正方形边长，阴影部分的宽是原来的宽少了两个正方形边长，再根据长方形面积＝长×宽得出阴影部分的面积。 【详解】2×2＝4（平方厘米） （10－2×2）×（8－2×2） ＝（10－4）×（8－4） ＝6×4 ＝24（平方厘米） 答：最后中间剩下的部分（阴影部分）的面积是24平方厘米。 3．如图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分米？ 【答案】3分米 【分析】先根据大正方形和小正方形的面积分别求出大正方形的边长为8分米，小正方形的边长为2分米；再用大正方形的边长减去小正方形的边长就是两个长方形的宽即6分米，再用它除以2求出长方形的宽。 【详解】大正方形的边长：64÷8＝8（分米） 小正方形的边长：4÷2＝2（分米） （8－2）÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 答：长方形的宽是3分米。 4．下图是用7个完全一样的小长方形拼成的一个大长方形。已知大长方形的周长是102厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】630平方厘米 【分析】根据图形可以看出2个小长方形的长＝5个小长方形的宽，则小长方形的长和宽的比是5∶2，小长方形的长是5份，宽是这样的2份，大长方形长是由2个小长方形的长组成也就是10份，宽是由小长方形的长和宽组成也就是7份，整个周长就是34份为102厘米，每一份是3厘米。用乘法分别得出长方形的长和宽，利用长方形的面积＝长×宽。代入数据解答即可。 【详解】长方形的长和宽的比是5∶2 5×2＋5＋2＝17 102÷（17×2） ＝102÷34 ＝3（厘米） 大长方形的长：3×（5×2）＝30（厘米） 大长方形的宽：3×（5＋2） ＝3×7 ＝21（厘米） 30×21＝630（平方厘米） 答：大长方形的面积是630平方厘米。 5．一个正方形，如果边长增加4厘米，则正方形就要增加64平方厘米，求原来正方形的面积和周长各是多少？ 【答案】36平方厘米；24厘米 【分析】如图，边长增加4厘米，增加的面积可以分成3部分，其中一块是边长是4厘米的正方形，另外两块是长为原来的边长，宽是4厘米的长方形；从增加的面积64平方厘米中减去小正方形的面积16平方厘米，得到两个长方形的面积是48平方厘米，其中一个的面积是24平方厘米，进而求得原正方形的边长是6厘米。 【详解】如图所示： （平方厘米） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （厘米） 答：正方形的面积是36平方厘米，周长是24厘米。 6．用4个相同的小长方形和2个面积都是100平方分米的小正方形可以拼成一个如图所示的大正方形，中间空心部分（阴影部分）也是正方形，请问1个小长方形的面积是多少平方分米？ 【答案】150平方分米 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，100＝10×10，可知小正方形的边长是10分米，因为阴影部分也是正方形，所以阴影部分的边长也是10分米，则大正方形的边长等于3条小正方形的边长，据此用10×3即可求出大正方形的边长，相当于小长方形的2条长，用30÷2即可求出小长方形的长；大正方形的边长也相当于小长方形的2条宽加小正方形的边长，用30－10即可求出小长方形的2条宽，再除以2即可求出小长方形的宽，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出1个小长方形的面积。 【详解】100＝10×10 小正方形的边长是10分米， 10×3＝30（分米） 小长方形的长为： 30÷2＝15（分米） 小长方形的宽为： （30－10）÷2 ＝20÷2 ＝10（分米） 小长方形的面积为15×10＝150（平方分米） 答：1个小长方形的面积是150平方分米。 7．下图中正方形的周长是48厘米，中间有一个长方形，长方形的四个顶点恰好把正方形每边分为两段，其中长的那段是短的长度的2倍，则长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】64平方厘米 【分析】根据正方形的周长÷4＝边长，代入数据即可求出正方形的边长，因为长的那段是短的长度的2倍。所以正方形的边长是短的长度的（2＋1）倍，据此用除法求出短的长度，再用减法求出长的部分的长度；长方形的面积相当于正方形的面积减去4个三角形的面积和，4个三角形通过拼接可以拼成2个正方形，其中1个边长等于短的长度，另一个边长等于长的部分的长度，根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出2个正方形的面积，再求出它们的和；进而求出大正方形的面积，然后用减法即可求出长方形的面积。 【详解】边长：48÷4＝12（厘米） 短：12÷（2＋1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 长：12－4＝8（厘米） 三角形：4×4＋8×8 ＝16＋64 ＝80（平方厘米） 大正方形：12×12＝144（平方厘米） 长方形：144－80＝64（平方厘米） 答：长方形的面积是64平方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $