精品解析：四川省眉山市东坡区苏洵中学2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试卷

苏洵中学2024级初二（上）数学入学考试 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1. 在实数 ，， ，，，，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，将沿直线向右平移个单位得到，连接，则四边形的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 6. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元一次不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点D正好落在边上．若，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°（ ） 10. 若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 11. 若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 如图，在中，点在边上，，，射线绕点逆时针旋转一定角度，交于点，的平分线与的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有几个（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 已知方程，则用含x的代数式表示y为________． 14. 的平方根为______，的立方根是______． 15. 已知为关于x的一元一次方程，则_____________． 16. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围为_____． 17. 如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为______． 18. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）； 20. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来： 21. 已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 22. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 23. 在中，>，平分，为射线上一点不与点重合，且于； （1）如果点与点重合，且，，如图，求的度数； （2）如果点在线段上不与点重合，如图，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 24. 为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元. （1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过11800万元，地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校改扩建资金分别为每所300万元和500万元，请问共有哪几种改扩建方案？ 25. 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值； （2）若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值． 26. 已知，点M、N分别在直线AB、CD上，与的平分线所在的直线相交于点F． （1）如图1，点E、F都在直线AB、CD之间且时，的度数为___________； （2）如图2，当点E在直线AB、CD之间，F在直线CD下方时，写出与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，当点E在直线AB上方，F在直线AB与CD之间时，直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏洵中学2024级初二（上）数学入学考试 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1. 在实数 ，， ，，，，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，熟知无理数是无限不循环小数，无理数的三种形式是解决问题的关键．根据无理数的定义即可解答． 【详解】解：在实数 ，， ，，，，中， ，，，是有理数， ，，是无理数，共3个， 故选：C． 2. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，等式两边同时加，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时乘，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时除以，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，当时，不一定等于，该选项变形不正确，符合题意； 故选：． 3. 若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用题意得出，即可得到答案． 【详解】解：， ①②得：， 关于的二元一，次方程组的解满足， ， 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：．，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，，，，将沿直线向右平移个单位得到，连接，则四边形的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键，根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出、、，再根据周长的定义解答即可 【详解】∵将沿直线向右平移个单位得到，，，， ∴，，， ∴四边形的周长. 故选： 6. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 7. 若关于x的一元一次不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式组，再根据所有整数解的和是进行求解即可． 【详解】解不等式组，得， ∵不等式组的所有整数解的和是， ∴当时，整数解为， ∴； 当时，整数解为， ∴； 综上，m的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 8. 如图，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．根据三角形外角的性质把这七个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于解答即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点P，与交于点M，与交于点N， ∴，，，． ∵， ∴． 故选D． 9. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点D正好落在边上．若，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°（ ） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，， ∴， ， ， ∴ 故选：A． 10. 若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则， 根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：解法一：， ∴， 设，， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴，， 解得：， ∴原方程组的解集为：； 解法二：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故选：C． 11. 若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和． 【详解】解：由，可得． 关于的方程的解为非负数， ，解得． 解不等式组， 解得：． 一元一次不等式组至少有3个整数解， ． 综上可得． 可取的整数为：． 所有符合条件的整数的和为． 故选∶ D． 12. 如图，在中，点在边上，，，射线绕点逆时针旋转一定角度，交于点，的平分线与的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有几个（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理及三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和，并正确求出角的数量关系是解题关键．利用三角形内角和定理判断①，根据角平分线的定义和三角形外角的性质求得，，从而判断②和③，利用三角形外角的性质求出，进而判断④．从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴−−，故①正确； ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， 又∵①， ， ∴， 即②， 得：， ∴，故②错误，③正确； ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论有个， 故选：． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 已知方程，则用含x的代数式表示y为________． 【答案】 【解析】 【分析】把x看做已知，求出y即可。 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是把x看做已知进行解方程求y． 14. 的平方根为______，的立方根是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查立方根，平方根，算术平方根．根据算术平方根的定义求一个数的算术平方根，立方根的定义求一个数的立方根，平方根的定义求一个数的平方根即可． 【详解】解：，， 的平方根为； ， 的立方根是， 故答案为：，． 15. 已知为关于x的一元一次方程，则_____________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵为关于x的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：0 16. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求得每个不等式的解集，根据大大小小无解找，确定取值范围即可． 【详解】由， 解①得，解②得， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组无解的条件，熟练掌握不等式组无解的条件是解题的关键． 17. 如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中线与三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据是的中线，得，，，再结合，得，设，，，即，运用面积的关系得，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的中线， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 则设， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， ∵ ∴ ∴四边形的面积为 ∵记的面积为，四边形的面积为， 即， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ，， ． ． 与不垂直．故③不正确； ④在中， ，， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了旋转性质的应用，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及整式的混合运算， （1）根据绝对值，算术平方根，立方根，有理数的乘方将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可； （2）根据同底数的幂的除法，幂的乘方运算法则将原式化简即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来： 【答案】， 将不等式解集表示在数轴上如图： 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，得到不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 故不等式组的解集为：． 21. 已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． （1）根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定； （2）将的值代入代数式，然后计算平方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴的平方根为． 22. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）3 （3） 则点即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 23. 在中，>，平分，为射线上一点不与点重合，且于； （1）如果点与点重合，且，，如图，求的度数； （2）如果点在线段上不与点重合，如图，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2） ， 证明：平分，， 为的外角， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，，由角平分线的性质易得的度数，可得； （2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出，外角的性质得出，在中，由三角形内角和定理可得． 【小问1详解】 解：，， ． 平分， ． ∴在中，， ∴在中． 【小问2详解】 略 24. 为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元. （1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过11800万元，地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校改扩建资金分别为每所300万元和500万元，请问共有哪几种改扩建方案？ 【答案】（1）1200万元、1800万元；（2）共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所． 【解析】 【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案； （2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案． 【详解】（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元 由题意得， 解得， 答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元． （2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所， 由题意得：， 解得， ∴3≤a≤5， ∵a取整数， ∴a=3，4，5． 即共有3种方案： 方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所； 方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所； 方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所． 25. 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值； （2）若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“至诚方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，代回原方程求解即得； （2）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，再整体代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵一元一次方程是“至诚方程”， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵一元一次方程是“至诚方程”， ∴， ∴， 整理得 ∴ ． 26. 已知，点M、N分别在直线AB、CD上，与的平分线所在的直线相交于点F． （1）如图1，点E、F都在直线AB、CD之间且时，的度数为___________； （2）如图2，当点E在直线AB、CD之间，F在直线CD下方时，写出与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，当点E在直线AB上方，F在直线AB与CD之间时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）145° （2） 解：∠MEN＝2∠MFN 理由：如图2 ∵∠MEN＝∠BME＋∠END ∵MF平分∠AME ∴∠EMH＝∠AME＝∠AMF ∴∠HME＝180°−∠MHE−∠MEN＝180°−∠AMH−∠MEN ∴∠NHG＝180°−∠END−∠NGM ∵∠NHG＝∠MHE ∴180°−∠END−∠NGM＝180°−∠EMF−∠MEN ∴∠END＋∠NGM＝∠EMF＋∠MEN ∵FN平分∠CNH ∴∠5＝∠CNH ∴∠DNH＝180°−2∠5 ∵∠5＝∠2＋∠F ∴∠DNH＝180°−2∠2−2∠F ∵AB∥CD ∴∠MHG＝∠DNH ∴180°−∠E−2∠3＝180°−2∠2−2∠F ∵∠2＝∠3 ∴∠E＝2∠F （3） ∠MEN＋∠MFN＝180° 证明：如图3 ∵AB∥CD ∴∠MGE＝∠ENC ∵NF平分∠ENC ∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG ∵MF平分∠AME ∴∠AME＝2∠1＝∠E＋∠MGE＝∠E＋2∠FNG ∴∠FMG＝∠1＝∠E＋∠FNG ∵∠E＋∠MFN＝360°−∠FNG−∠FMG−∠EMG＝360°−∠FNG−（180°−∠E−2∠FNG）−（∠E＋∠FNG）＝180°＋∠E ∴∠MFN＋∠MEN＝180°． 【解析】 【分析】分析：（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得，平行线的性质，角平分线的定义即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠MGE＝∠ENC，根据角平分线的定义得到∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，∠AME＝2∠1＝∠E＋∠MGE＝∠E＋2∠FNG，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB ∵AB∥CD ∴EH∥CD，FG∥CD ∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH ∴∠BME＋∠DNE＝∠MEH＋∠NEH＝∠MEN＝70° ∴∠AME＋∠CNE＝360°−（∠BME＋∠DNE）＝290° ∵MF，FN分别平分∠AME和∠CNE ∴∠AMF＋∠CNF＝×290°＝145° ∵AB∥FG∥CD ∴∠AMF＝∠MFG，∠NFG＝∠CNF ∴∠MFN＝∠MFG＋∠NFG＝∠AMF＋∠CNF＝145° 故答案为：145°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，正确的识别图形，找到角与角之间的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $