第三十章 二次函数（复习讲义）数学冀教版九年级下册

第三十章 二次函数（复习讲义） 1． 了解二次函数概念，体会其与解析式、图象性质、平移及方程等知识间的整体联系． 2． 能用一般式、顶点式、交点式表示二次函数解析式，掌握“上加下减，左加右减”平移原则． 3． 理解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，利用其增减性、最值分析问题． 4． 明晰二次函数与一元二次方程关系，会借函数性质解决实际问题，列解析式、定自变量范围求最值 ． 知识点一 二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 知识点二 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x＝– 顶点 （–，） a的符号 a＞0 a＜0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x＝–时，y最小值＝ 当x＝–时，y最大值＝ 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x＜–时，y随x的增大而减小；当x＞–时，y随x的增大而增大 当x＜–时，y随x的增大而增大；当x＞–时，y随x的增大而减小 知识点三 二次函数的应用 1.用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决．解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 知识点四 二次函数与一元二次方程的关系 （1）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 题型一 二次函数的概念 【例1】 （24-25九年级上·河北邢台·期中）对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【变式1-1】 （24-25九年级下·河北沧州·开学考试）在平面直角坐标系中，有一个格点三角形（顶点与小正方形的顶点重合），如图，下列函数的图象不经过阴影部分（包括边界）的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25九年级下·辽宁·阶段练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 【变式1-3】 （2025·河北邯郸·二模）某超市计划在春节期间举办购物抽奖活动，凡消费满100元的顾客可获得一次抽奖机会．盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色不同外，其他均相同，其中红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个（为正整数）．顾客随机摸出一个球，根据颜色获得不同面值的代金券．设盒子中球的总数为． (1)直接写出关于的函数表达式； (2)若超市希望红球的数量不少于黄球的数量，请利用函数的性质，求出的最小值； (3)在（2）中取得最小值的情况下，某顾客获得一次抽奖机会，求该顾客摸到黄球的概率． 题型二 二次函数的图像和性质 【例2】 （2025·河北唐山·三模）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】 （24-25九年级下·河北衡水·开学考试）函数 图象顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】 （2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是 (填序号)． 【变式2-3】 （2025·河北·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 题型三 二次函数的图像和系数的关系 【例3】 （24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】 （2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】 （2025·四川·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】 （24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，以下结论：①；②；③；④过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的有 ．（填序号）    题型四 二次函数的对称 【例4】 （2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】 （24-25九年级下·河北保定·阶段练习）已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为 ． 【变式4-2】 （2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-3】 （2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 题型五 二次函数的最值 【例5】 （2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【变式5-1】 （24-25九年级下·河北保定·阶段练习）若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】 （2025·河北·一模）已知一元二次方程最多有一个根，且二次函数的最小值为3，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】 （2025·河北邯郸·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点（m为常数），直线L经过点、点． (1)当点M落在直线L上时，求点M的坐标及的面积； (2)当点O，M之间距离最小时，求此时点M的坐标； (3)当时，对于m的每一个值，点M都在直线的上方，直接写出k的取值范围． 题型六 二次函数与二次方程 【例6】 （2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3或4 【变式6-1】 （2025·河北邯郸·三模）关于的二次函数的四种说法：①若二次函数的图像与轴交于点，则；②若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，则方程必有两个不相等的实数根；③若二次函数的图像与轴交于点，则一定有；④若二次函数的图像与轴交于点，则，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6-2】 （2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 【变式6-3】 （2025·河北·模拟预测）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 题型七 二次函数应用之图形问题 【例7】 （24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】 （2023·河北石家庄·模拟预测）九年级16班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样 【变式7-2】 （23-24九年级上·河北保定·期中）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过． (1)求出y关于x的函数解析式． (2)当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． (3)此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 【变式7-3】 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图1，在等腰三角形中，，，点D从A点出发向终点B运动，过点D作交折线于点G，设． (1)______；（用含x的代数式表示） (2)连接，设的面积为y，求y与x的函数表达式，并指出当x取何值时，y有最大值； (3)如图2，当点G在边上时，作点G关于点C的对称点M，取的中点N，当时，求的长． 题型八 二次函数应用之拱桥问题 【例8】 （2025·河北衡水·模拟预测）某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(   ) A． B．池底所在抛物线的解析式为 C．池塘最深处到水面的距离为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 【变式8-1】 （24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 【变式8-2】 （24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【变式8-3】 （24-25九年级上·河北保定·期中）中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 题型九 二次函数应用之销售问题 【例9】 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】 （2025·河北·模拟预测）某果农要销售红富士苹果，已知每千克红富士苹果成本为6元，在销售的80天里，售价m（元/千克）与时间t（销售开始后的第t天）之间的关系式为： （t为整数）．日销量y（千克）是时间t（销售开始后的第t天）的一次函数，且第1天销量为198千克，第10天销量为180千克． (1)求y与t之间的关系式； (2)哪一天日销售利润最大，并求最大值； (3)在销售前40天中，利用某平台进行销售．该果农每销售1千克，就要付给平台n元，在这前40天中每天扣除平台费用后，日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【变式9-2】 （2025·河北唐山·二模）某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． (1)求与的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 【变式9-3】 （2025·河北唐山·二模）某商贸公司购进某种商品的成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来30天的销售单价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式为（x为整数），且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表： 时间x（天） 1 3 6 10 … 日销量 142 138 132 124 … (1)求m与x的函数关系； (2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润给当地福利院，后发现：在这30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围． 题型十 二次函数应用之投球问题 【例10】 （24-25九年级上·河北石家庄·期末）某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（   ） 在 A．米 B．米 C．米 D．米 【变式10-1】 （2025·河北·二模）如图，物体从点A抛出，物体的高度y(m)与飞行时间t(s)近似满足函数关系式y=−(t−3)2+5． （1）OA= ． （2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 ． 【变式10-2】 （2025·河北唐山·二模）如图，小山坡可近似的看成抛物线的一部分，建立恰当的平面直角坐标系，A的坐标为，一小球从离A点3米的点C处以一定的方向弹出，小球的飞行路线为抛物线的一部分，落在山坡的点D处（点D在小山坡的坡顶的右侧）． (1)求n的值； (2)若点D到的距离为12米． ①求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）； ②嘉淇认为“当小球运动到小山坡的坡顶正上方时，小球到小山坡的竖直距离最大”，你同意嘉淇的观点吗，说明理由． 【变式10-3】 （2025·河北秦皇岛·一模）掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． (1)求抛物线的解析式； (2)求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； (3)如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 题型十一 二次函数应用之喷水问题 【例11】 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式11-1】 （2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 【变式11-2】 （2025·河北保定·一模）如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼米的位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上点距离地面米，窗上沿距离地面米． (1)如图，以消防员脚下地面为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿水平距离米处，且比窗上沿低米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：，结果精确到米） 【变式11-3】 （2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 题型十二 二次函数应用之其他问题 【例12】 （2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【变式12-1】 （2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【变式12-2】 （2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 【变式12-3】 （2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 2．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，将的图象记为G，平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数，（其中）．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象开口向上 B．函数和的图象的对称轴有可能相同 C．若函数和的图象交于x轴上同一点，则该交点可能为或 D．当时， 4．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A．4 B． C．5 D． 5．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在正方形中，点B、D的坐标分别是，，点C在抛物线的图象上，则b的值为 ． 7．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得，若在第13段抛物线上，则 ． 9．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 11．（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 12．（2025·河北·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 13．（2025·河北·模拟预测）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 14．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线经过点，平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； (3)若点在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 15．（2025·河北衡水·模拟预测）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)水流运行轨迹的顶点坐标为___________； (2)求水流运行轨迹的函数解析式； (3)若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 能力提升进阶练 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知直线过点，二次函数的图象和直线交于点C，D（C在D的左侧），若，则满足条件的a的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级下·河北·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，，点D为斜边上一点（点D不与点A，B重合），作，交边于点E，则下列结论错误的是 （   ） A． B．存在3个值使是等腰三角形 C．当时， D． 6．（2025·河北·模拟预测）记抛物线L：与x轴围成的封闭区域为G，直线把区域G分成Ⅰ和Ⅱ两部分，如果两部分内（不含边界）的整点（即横坐标、纵坐标都是整数的点）个数之比为，则直线的解析式为 ． 7．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 8．（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是 (填序号)． 9．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 10．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 11．（2025·河北邯郸·一模）如图，中，，，．以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线过点，与轴正半轴的交点记为点． (1)用含的代数式表示． (2)若点坐标为，M是抛物线上段一动点，过点垂直于轴的直线交折线段于点． ①求抛物线的解析式； ②若M为抛物线的顶点，求长； ③若记②中的长为，当改变位置，使得，请直接写出满足条件的横坐标的取值范围． 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）在矩形中，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上， ①，求的长； ②求线段的最大值； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，_____，求的长； (3)如图3，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 13．（2025·河北邯郸·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知直线的解析式为． (1)求，的值，并直接写出抛物线的顶点坐标． (2)若点是第二象限内抛物线上一动点，则当点到直线的距离最大时，求点的坐标． (3)是直线上一动点，过点作线段，且，点在直线下方．当线段与抛物线有公共点时，求点的横坐标的取值范围． (4)若点，，在该抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 15．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 二次函数（复习讲义） 1． 了解二次函数概念，体会其与解析式、图象性质、平移及方程等知识间的整体联系． 2． 能用一般式、顶点式、交点式表示二次函数解析式，掌握“上加下减，左加右减”平移原则． 3． 理解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，利用其增减性、最值分析问题． 4． 明晰二次函数与一元二次方程关系，会借函数性质解决实际问题，列解析式、定自变量范围求最值 ． 知识点一 二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 知识点二 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x＝– 顶点 （–，） a的符号 a＞0 a＜0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x＝–时，y最小值＝ 当x＝–时，y最大值＝ 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x＜–时，y随x的增大而减小；当x＞–时，y随x的增大而增大 当x＜–时，y随x的增大而增大；当x＞–时，y随x的增大而减小 知识点三 二次函数的应用 1.用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决．解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 知识点四 二次函数与一元二次方程的关系 （1）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 题型一 二次函数的概念 【例1】 （24-25九年级上·河北邢台·期中）对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的判断，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 对于①、②、④项，考虑项的系数是否可以取0，若可以，则不是二次函数，若不可以，则是二次函数； 对于③，对任意实数m，，由此即可解答． 【详解】解：①当，即时，，不是二次函数； ②当，即时，，它不是二次函数； ③任意实数m，，故它是二次函数； ④当，即时，，它不是二次函数． 故选：B． 【变式1-1】 （24-25九年级下·河北沧州·开学考试）在平面直角坐标系中，有一个格点三角形（顶点与小正方形的顶点重合），如图，下列函数的图象不经过阴影部分（包括边界）的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题综合考查一次函数和反比例函数，二次函数的图象上点坐标的特征．熟练掌握以上知识点是关键．根据阴影部分顶点坐标，取特殊点作出判断即可． 【详解】解：A、的图象经过、，图象经过阴影部分，不符合题意； B、的图象经过、，图象经过阴影部分，不符合题意； C、的图象经过、，图象经过阴影部分，不符合题意； D、二次函数的图象开口向上，经过、，图象不经过阴影部分，符合题意； 故选： 【变式1-2】 （24-25九年级下·辽宁·阶段练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 【变式1-3】 （2025·河北邯郸·二模）某超市计划在春节期间举办购物抽奖活动，凡消费满100元的顾客可获得一次抽奖机会．盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色不同外，其他均相同，其中红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个（为正整数）．顾客随机摸出一个球，根据颜色获得不同面值的代金券．设盒子中球的总数为． (1)直接写出关于的函数表达式； (2)若超市希望红球的数量不少于黄球的数量，请利用函数的性质，求出的最小值； (3)在（2）中取得最小值的情况下，某顾客获得一次抽奖机会，求该顾客摸到黄球的概率． 【答案】(1)（为正整数） (2)18 (3) 【分析】本题考查了概率公式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接根据红、黄、蓝三种球的数量之和，写出y关于x的函数表达式即可； （2）由题意可得，则，运用二次函数的图象性质分析吗，进而可知当时取得最小值，即可得出答案； （3）当y取得最小值时，黄球的数量为4个，盒子中球的总数为18个，结合概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个，设盒子中球的总数为 ∴（为正整数） （2）解：∵超市希望红球的数量不少于黄球的数量 ∴， ∴ 则或（舍去） 则，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 则把代入，此时有最小值， 即， （3）解：依题意，在（2）中取得最小值的情况下，， ∴ 即黄球的数量为个， 此时盒子中球的总数为18个， ∴该顾客摸到黄球的概率． 题型二 二次函数的图像和性质 【例2】 （2025·河北唐山·三模）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 根据二次函数与轴的交点问题可得关于的一元二次方程有两个不相等的实根，再利用根的判别式可判断①；先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴、与轴的交点位置可得的符号，由此可判断②；根据二次函数的对称轴可判断③；根据时，可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，此二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 因此其根的判别式， 即，结论①正确； 此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， ，结论②错误； 二次函数的对称轴为， ，结论③正确； 当时，， ，结论④错误； 综上，正确的结论有2个， 故选：B． 【变式2-1】 （24-25九年级下·河北衡水·开学考试）函数 图象顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标．本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 函数图象的顶点坐标是 故选：A． 【变式2-2】 （2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是 (填序号)． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数符号判断，根据得到抛物线过，再结合已知条件画出大致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可． 【详解】解：∵， ∴过， ∵抛物线经过点 ∴抛物线开口向上，与轴有两个交点，且位于轴的两侧， ∴，故①正确； 由题意可知时，， ， ， ， ， 即， 故②正确； 如图，方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于， ∴ ∴的对称轴直线， ∴，故③不正确； ∵抛物线过点，则 ∵抛物线经过点 ∴ 又∵， ∴， ∵，则 ∴ ∴ ∴ 将代入得 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴，故④正确 结论①、②、④正确，③错误．正确结论的序号为①、②、④． 故答案为：①②④． 【变式2-3】 （2025·河北·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 题型三 二次函数的图像和系数的关系 【例3】 （24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的正负，根据对称轴判断a与b的关系式，根据特殊值和判断与的正负，根据判断a、b、c的关系，然后综合分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点为，， ∴，， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，，，， ∴函数图象大致如图所示： 由图象可知，， 所以， 故①正确； ②∵， ∴，， 故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 当时，， 由，得， ∴，即， ∴， 两个不等式相加，得， 由②，则， ∴， 解得， ∵， ∴，又， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③，一共3个． 故选：C． 【变式3-1】 （2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 【变式3-2】 （2025·四川·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 【变式3-3】 （24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，以下结论：①；②；③；④过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的有 ．（填序号）    【答案】②④⑤ 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键． 由已知可得对称轴，，函数与y轴的交点，函数与y轴交点，则方程有两个不相等的实数根；由函数的对称性可得，与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为，据此以此判断即可； 【详解】由图可知，开口方向向下，故， 抛物线与y轴交于正半轴，得， 抛物线的对称轴为，即 ， ∴，， 故③错误； ∴故①错误, 由图象与轴有两个交点，故，故②正确； 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为：直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故④正确； 方程 的实数根，可以看成函数图象与直线交点横坐标， 抛物线与y轴交点， 当有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数根，故⑤正确； 综上所述正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 题型四 二次函数的对称 【例4】 （2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 【变式4-1】 （24-25九年级下·河北保定·阶段练习）已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，关于直线的对称点为， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】 （2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 【变式4-3】 （2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得点的横坐标，计算即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴有交点， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 题型五 二次函数的最值 【例5】 （2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 【变式5-1】 （24-25九年级下·河北保定·阶段练习）若存在实数时，使成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．通过将不等式恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，进而求解参数的取值范围；关键通过二次函数的对称轴公式，以及根据二次项系数的正负判断函数图象的开口方向和单调性． 【详解】解：∵存在实数时，使成立 ∴移项，得， 即：要大于函数，，在上的最大值， ∵，，， ∴对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值，在对称轴右侧函数单调递增， ∴当时，函数取得最大值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最大值， ∴的取值范围是． ∴当时，函数取得最小值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最小值， ∴的取值范围是， 综上，若存在实数时，使成立，则的取值范围为． 故选：B． 【变式5-2】 （2025·河北·一模）已知一元二次方程最多有一个根，且二次函数的最小值为3，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查要根的判别式，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据一元二次方程最多有一个根，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出m值即可． 【详解】解：∵一元二次方程最多有一个根， ∴， 化简得， 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为， ∵的最小值为3， ∴， 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时m无解； 当时，∵，y随t增大而减小， ∴，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：A． 【变式5-3】 （2025·河北邯郸·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点（m为常数），直线L经过点、点． (1)当点M落在直线L上时，求点M的坐标及的面积； (2)当点O，M之间距离最小时，求此时点M的坐标； (3)当时，对于m的每一个值，点M都在直线的上方，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、两点间距离公式、二次函数的性质、函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先用待定系数法求得直线L的解析式为，再把点M的坐标代入求得，进而确定M的坐标，然后再求的面积即可； （2）先根据两点间的距离公式可得，则当时，有最小值18，即可确定的值最小时M的值； （3）根据函数与不等式的关系可得当时，，即；然后分、、三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设直线L的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线L的解析式为， ∵点M落在直线L上， ∴，解得：， ∴， ∴如图：的面积． （2）解：∵，， ∴， ∴当时，有最小值18， ∴当，的最小值为． （3）解：∵， ∴点M在直线上， ∵当时，对于m的每一个值，点M都在直线的上方， ∴当时，，即， 当时，则，则， ∵， ∴，解得：，即； 当时，不等式恒成立； 当时，，则与，符合题意． 综上，k的取值范围为． 题型六 二次函数与二次方程 【例6】 （2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3或4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数综合，由根的判别式得，求出，当时，当时，分别求出，结合图象求出取值范围，再由整点的定义，即可求解；理解新定义，能根据根的判别式及数形结合进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 整理得：， 抛物线a和线段b有两个交点， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 大致图象如下： ， 为整数， 为或或， 当时，与的交点为，，符合题意； 当时，与的交点为不是整点，不符合题意； 当时，与的交点为，，符合题意； 的值为或， 故选：C． 【变式6-1】 （2025·河北邯郸·三模）关于的二次函数的四种说法：①若二次函数的图像与轴交于点，则；②若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，则方程必有两个不相等的实数根；③若二次函数的图像与轴交于点，则一定有；④若二次函数的图像与轴交于点，则，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 图像过点，则代入得，说明此时二次方程至少有一个实根，即可判断①；根据图像与x轴有两个不同交点，说明方程有两个不等实根，得到，即可判断②；把点代入得得到求解即可判断③；由题意可得，解得，代入化简即可判断④． 【详解】解：①图像过点，则代入得，此时二次方程至少有一个实根（），故判别式，原说法正确； ②图像与x轴有两个不同交点，说明方程有两个不等实根，故，原说法正确； ③图像过点，代入得，即，则或，原说法错误； ④若是方程的根，则，解得，代入， 则，原说法正确． 综上，错误的是③， 故选：C． 【变式6-2】 （2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 【变式6-3】 （2025·河北·模拟预测）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程有解，可得，当时，当时，，解不等式组即可解答． 本题考查抛物线与x轴的交点，根的判别式，不等式组的应用，函数性质的应用，关键是函数性质的应用． 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程在内有解， ∴抛物线和直线有交点， ∴或， 解得， 故选：C． 题型七 二次函数应用之图形问题 【例7】 （24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 【变式7-1】 （2023·河北石家庄·模拟预测）九年级16班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可． 【详解】解：方案1：设米，则米， 则菜园面积， 当时，此时菜园最大面积为8平方米； 方案2：解法一：如图，过点作于，则， ∵， ∴当时，的面积最大为； 解法二：过点作于， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当且仅当时，菜园最大面积为8平方米； 方案3：半圆的半径为米， ∴此时菜园最大面积（平方米） ∵， ∴方案3的菜园面积最大， ∴在三种方案中，最佳方案是方案3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、圆的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、完全平方公式，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键． 【变式7-2】 （23-24九年级上·河北保定·期中）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过． (1)求出y关于x的函数解析式． (2)当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． (3)此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 【答案】(1) (2) (3)当cm时，最大值为 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式； （2）当挂图面积为时，即可求得宽； （3）根据二次函数的性质，即可求得最值． 【详解】（1）解：镶金色纸边后风景画的长为cm，宽为cm， ∴ ()． （2）解：当cm时，即， 解得 ∵ ∴ 答：当挂图面积为时，金色纸边的宽为1cm． （3）解：∵二次函数的对称轴为， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当cm时，取最大值，最大值为． 答：金色纸边的宽为cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，掌握二次函数最值是解题的关键． 【变式7-3】 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图1，在等腰三角形中，，，点D从A点出发向终点B运动，过点D作交折线于点G，设． (1)______；（用含x的代数式表示） (2)连接，设的面积为y，求y与x的函数表达式，并指出当x取何值时，y有最大值； (3)如图2，当点G在边上时，作点G关于点C的对称点M，取的中点N，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)，当时，有最大值是6； (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，二次函数的应用，掌握相似的性质是解题关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）作，垂足分别为H，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，得到，根据点的位置，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点G在上时，作，垂足分别为D，根据相似三角形的判定和性质，用含x的代数式表示出的长，再根据三角形面积公式得出对应二次函数，进而求最值即可； （3）作，垂足分别为，证明，得到，再结合对称的性质，得到，根据平行线分线段成比例定理，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为： （2）解：如图，作，垂足分别为H， ，， ， 在中，， ①当点在上时，即时， ， ， ， ，即， ， ， ， 当时，y随x的增大而增大，即当时，有最大值是6， ②当点G在上时，即时，如图作，垂足分别为D， ， ， ，即， ， ， ， 当时，y随x的增大而减小， 综上所述当时，有最大值是6； （3）解：如图，作，垂足分别为， 由（2）可知， ， ， ， 点于点关于点的对称， ， ， 点是的中点，且， ， ， ， ， 即的长为． 题型八 二次函数应用之拱桥问题 【例8】 （2025·河北衡水·模拟预测）某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(   ) A． B．池底所在抛物线的解析式为 C．池塘最深处到水面的距离为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的 【答案】C 【分析】利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可． 【详解】设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为． 选项A中，，故选项A错误； 选项B中，解析式为，故选项B错误； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点P到水面的距离为3.2米，故选项C正确； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键． 【变式8-1】 （24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 【答案】22.5 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，由题意，抛物线过点，求出函数解析式，求出顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，如图： 由题意，得：抛物线过点， 设抛物线的解析式为：，把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，有最大值为22.5， ∴这些钢索中最长的一根长为22.5米； 故答案为：22.5 【变式8-2】 （24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】，能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， （1）根据题意代点求出值， （2）根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】（1）∵点在图象上， ， 解得： 故答案为： （2） 在抛物线中， 当时， 故可以判断货车能完全停到车棚内． 故答案为：能 【变式8-3】 （24-25九年级上·河北保定·期中）中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题关键． （1）根据桥拱与抛物线形状相同，可直接确定a的值； （2）由题意可确定点B的横坐标为，从而可求出y的值，即得出的长． 【详解】（1）解：∵桥拱与抛物线的形状相同， ∴； （2）解：由（1）可知函数解析式为． ∵水面的宽度为， ∴点B的横坐标为． 将代入，得：， ∴桥拱顶点到水面的高度． 题型九 二次函数应用之销售问题 【例9】 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据“每降价1元，每星期可多卖出20本”列方程即可． 【详解】解：设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元， 由题意得：， 故选：B． 【变式9-1】 （2025·河北·模拟预测）某果农要销售红富士苹果，已知每千克红富士苹果成本为6元，在销售的80天里，售价m（元/千克）与时间t（销售开始后的第t天）之间的关系式为： （t为整数）．日销量y（千克）是时间t（销售开始后的第t天）的一次函数，且第1天销量为198千克，第10天销量为180千克． (1)求y与t之间的关系式； (2)哪一天日销售利润最大，并求最大值； (3)在销售前40天中，利用某平台进行销售．该果农每销售1千克，就要付给平台n元，在这前40天中每天扣除平台费用后，日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)第30天日销售利润最大，最大值为2450元； (3)． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到相等关系并确定函数解析式、分类讨论思想的运用及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得一次函数解析式； （2）根据“日销售利润=每斤的利润×日销售量”，结合t的取值范围分情况求解可得； （3）设日销售利润为，根据“日销售利润=（售价-成本-捐款）×日销售量”列出函数解析式，利用二次函数的性质结合每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大求解可得． 【详解】（1）解：设，将，代入可得， 解得， 与t之间的关系式为； （2）解：设日销售利润为W元， 当时，， 则 ， ， 当时，W有最大值2450， 当时，， 则 ， 二次项系数，对称轴为，在上W随t的增大而减小， 当时，（元）， ∵， 可知第30天日销售利润最大，最大值为2450元； （3）解：设扣除平台费用后利润为，前40天中， 对称轴为， 随t的增大而增大，且， ，解得， 又， 【变式9-2】 （2025·河北唐山·二模）某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． (1)求与的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 【答案】(1)与的函数表达式为； (2)糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； (3)的值为6． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润单件利润×销售量销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 把，；，代入， 得，解得， ∴与的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∵ ∴抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当时，有最大值为392， ∴糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∴， ∴， 解得：（舍去），． ∴的值为6． 【变式9-3】 （2025·河北唐山·二模）某商贸公司购进某种商品的成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来30天的销售单价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式为（x为整数），且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表： 时间x（天） 1 3 6 10 … 日销量 142 138 132 124 … (1)求m与x的函数关系； (2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润给当地福利院，后发现：在这30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)（且为整数） (2)第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据利润日销量单件利润构造二次函数求解即可； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据利润日销量（单件利润），构造二次函数，根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设，将，代入可得： ，解得， ∴； （2）解：设日销售利润为元，根据题意可得： 当且为整数时， ， 此时当时，取得最大日销售利润为1568元， 综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，由题意得： ， 其对称轴为直线， ∵在30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，且只能取整数， ∴，求得， 又∵， ∴的取值范围是：． 题型十 二次函数应用之投球问题 【例10】 （24-25九年级上·河北石家庄·期末）某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（   ） 在 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键．令求得的值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落地点到点的距离是米． 故选：D． 【变式10-1】 （2025·河北·二模）如图，物体从点A抛出，物体的高度y(m)与飞行时间t(s)近似满足函数关系式y=−(t−3)2+5． （1）OA= ． （2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 ． 【答案】 0≤t≤6且t≠3 【分析】（1）当t=0时，求得y的值，即可求解； （2）观察图象，当y≥，顶点除外时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，据此求解即可． 【详解】解：（1）当t=0时，y=−(t−3)2+5=-+5=；即OA=(m)； 故答案为：； （2）当y=时，−(t−3)2+5=， ∴t=0或t=6， ∴当0≤t≤6且t≠3时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间， 故答案为：0≤t≤6且t≠3． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确读图是解答本题的关键． 【变式10-2】 （2025·河北唐山·二模）如图，小山坡可近似的看成抛物线的一部分，建立恰当的平面直角坐标系，A的坐标为，一小球从离A点3米的点C处以一定的方向弹出，小球的飞行路线为抛物线的一部分，落在山坡的点D处（点D在小山坡的坡顶的右侧）． (1)求n的值； (2)若点D到的距离为12米． ①求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）； ②嘉淇认为“当小球运动到小山坡的坡顶正上方时，小球到小山坡的竖直距离最大”，你同意嘉淇的观点吗，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不同意．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用函数的性质解答． （1）运用待定系数法求解即可； （2）①先根据抛物线L1的解析式求出点D和点C坐标，再用待定系数法求出抛物线L2的函数解析式； ②设与之间的距离为h，求出，运用二次函数性质解答即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得； （2）解：①当时，， ， ， ∴将点代入=， 得， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为； ②不同意．理由： 设与之间的距离为h， ， ， 当时，， 又当小球运动到小山坡AB的坡顶正上方时，，此时， ∴嘉淇的观点不正确． 【变式10-3】 （2025·河北秦皇岛·一模）掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． (1)求抛物线的解析式； (2)求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； (3)如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 【答案】(1) (2)这次投掷中嘉嘉的成绩是米 (3)①这次投掷中嘉嘉的成绩是米；②调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等；③抛物线和之间的最大竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）设抛物线的解析式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入，解方程，即可求解； （3）①设解析式为，代入，，待定系数法求解析式即可求解； ②联立，解析式，即可求解； ③分，两种情况讨论，设和之间的竖直距离为，根据函数图象得出的解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． 设抛物线的解析式为，代入得， 解得： ∴ （2）解：当时， 解得：（舍去）或 答：这次投掷中嘉嘉的成绩是米； （3）解：①∵成绩提高2米．则与轴的交点为 ∵抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． 设解析式为，代入，得 解得： 答：调整出手角度后，实心球的最大高度为米； ②由①可得解析式为 联立 ∴ 解得：（舍去）， 答：调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等 ③解：设和之间的竖直距离为，当时， ∵，当时，取得最大值，最大值为 当时，， ∵时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 答：抛物线和之间的最大竖直距离为 题型十一 二次函数应用之喷水问题 【例11】 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 【变式11-1】 （2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 【答案】(1)点B的坐标为， (2)①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②， 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， 点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ， 整理得：； （2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ， ， 由（1）得， 抛物线的解析式为：， 水流恰好经过着火点A， 代入得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时， ， 解得：； 当抛物线经过点时， ， 解得：， 综上可得：， ，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为 故答案为：， 【变式11-2】 （2025·河北保定·一模）如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼米的位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上点距离地面米，窗上沿距离地面米． (1)如图，以消防员脚下地面为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿水平距离米处，且比窗上沿低米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：，结果精确到米） 【答案】(1) (2)消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求抛物线解析式； （2）把和代入函数解析式，分别求解对应的值和值，即可求解： 【详解】（1）解：由题意知，， 设水流抛物线的解析式为， 代入，得，解得， ∴水流抛物线的解析式是 （2）解：由题意知，失火中心点坐标是． 方案一：水流抛物线的解析式是， 当时，， 即抛物线向下平移（米）． 抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流抛物线的解析式是， 当时，， 解得，（舍去）， ， 即抛物线向左平移（米）， 抛物线正好经过失火中心． 所以消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心． 【变式11-3】 （2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 【答案】(1)水柱所在抛物线的解析式为 (2)水柱不会喷射到护栏上，理由见详解 (3)①河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处；②m与h的关系式为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解； （3）①根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可； ②将抛物线向上平移米，得到，当坝中水面离地面平面距离为米（取米），则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，根据坡比得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， 以O为原点建立平面直角坐标系， ∴点， 设抛物线解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：水柱不会喷射到护栏上，理由如下， 水柱所在抛物线的解析式为，对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， 绿道路面宽米，护栏高度为1.25米， ∴当时，（米）， ∵， ∴水柱不会喷射到护栏上； （3）解：①河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ∴， ∴（米）， ∴点到原点的水平距离为（米），即，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴当时，， ∴河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处； ②将抛物线向上平移米， ∴平移后的解析式为， 当坝中水面离地面平面距离为米（取米），则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，如图所示， ∵坝面的坡比为（其中）， ∴， ∴， ∴， 把点代入平移后的抛物线解析得，， 整理得，， ∴m与h的关系式为． 题型十二 二次函数应用之其他问题 【例12】 （2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可． 【详解】解：A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误； B．方程的解是或． 当时，，故B错误； C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确； D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误． 故选C． 【变式12-1】 （2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 【变式12-2】 （2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案．先求得点A、C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：令，由解得，， 令，则， ∴，， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：． 【变式12-3】 （2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，将的图象记为G，平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数的平移问题，设平移后的直线解析式为，可分别求出直线恰好经过时和直线与只有一个交点时的b的值，再计算出直线l分别平移到这两条直线的距离即可得到答案． 【详解】解：在中，当时， 设平移后的直线解析式为， 当直线恰好经过时，则， ∴， 当直线与只有一个交点时，则方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 设直线，，分别与y轴交于A、B、C， ∴， ∴； 设直线与x轴交于F，则， ∴， 又∵， ∴， 如图所示，过点A作分别交直线，于D、E 由平移的性质可， ∴， ∴， ∵， ∴平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为， 故选：A． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数，（其中）．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象开口向上 B．函数和的图象的对称轴有可能相同 C．若函数和的图象交于x轴上同一点，则该交点可能为或 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，逐一分析选项，结合二次函数的开口方向、对称轴、交点及函数值比较进行判断。 【详解】A：，二次项系数为， 由且， 得，故开口向下，选项A错误； B：的对称轴为，的对称轴为， 令两者相等，化简得， 因（否则，但而矛盾），且（因），故无解，选项B错误； C：若交点为，则且，需，此时成立；若交点为，需或，均与条件矛盾，故交点可能为，但不可能为，选项C错误； D：计算，因，故；当时，，故负数乘以负数，即，选项D正确； 综上，正确答案为D． 故选：D． 4．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象平移，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键． 先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离，再根据，即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线平移前的顶点纵坐标为， 平移后抛物线的顶点的纵坐标为， 平移的距离为， ， 平移后抛物线的顶点在线段的垂直平分线上， 平移得到的点的纵坐标为． 故答案为：B． 5．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在正方形中，点B、D的坐标分别是，，点C在抛物线的图象上，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得，若在第13段抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，旋转的性质，二次函数图象的平移，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【详解】解：一段抛物线：， 图象与x轴交点坐标为：，， 将绕点旋转得，交x轴于点； 将绕点旋转得，交x轴于点； … 如此进行下去，直至得 的解析式与x轴的交点坐标为，，且图象在x轴上方，相当于将平移到， 的解析式为：， 当时，， 故答案为： 9．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等；①由得，由二次函数的增减性，即可判断；②由时，，且经过即可判断；③由当时，，当时，，由二次函数与一元二次方程，即可判断；④由表格可求，将，代入求得，即可求解；掌握二次函数的性质，会用二次函数图象解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：①，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：①②③④． 11．（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 12．（2025·河北·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 13．（2025·河北·模拟预测）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，(4，2) 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为 （2）由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； （3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 14．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线经过点，平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； (3)若点在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)3 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）设的顶点的横坐标为，即的顶点坐标为，再利用配方法和原点对称可得，即可解得． （3）代入点可得，根据，，即可得，利用二次函数增减性可得当时，取得最大值，最大值为． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴， ∴的顶点坐标为； （2）解：设的顶点的横坐标为， ∵的顶点在直线上， ∴的顶点坐标为， ∴的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为， 将代入， 得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为或； （3）解：由（2）可设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由（2）知的顶点的纵坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴抛物线顶点纵坐标的最大值为3． 15．（2025·河北衡水·模拟预测）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)水流运行轨迹的顶点坐标为___________； (2)求水流运行轨迹的函数解析式； (3)若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)水流不能碰到这棵果树，见解析 【分析】（1）根据题目中“当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米”，直接确定顶点坐标． （2）设顶点式，再利用已知点代入求出的值，从而确定函数解析式． （3）将代入已求出的函数解析式，计算出对应的值，与果树高度米比较，判断是否碰到． 本题主要考查了二次函数的实际应用，涉及顶点坐标的理解、二次函数解析式的求解（顶点式的运用）以及函数值的计算与实际问题的结合．熟练掌握二次函数的顶点式、利用已知点求函数解析式的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为， 故答案为：； （2）解：设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， ∴抛物线为：． （3）解：不能，理由如下： 当时，， ∴水流不能碰到这棵果树． 能力提升进阶练 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的的取值范围为，于是可得的整数解为，，，根据函数图象分别求出当，，时的整点数，将其相加即可得出的值． 【详解】解：令， 解得：，， 抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：， 的整数解为：，，， 当时，，， 满足条件的整点为一个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 满足条件的整点共个，故， 即：的值为， 故选：． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知直线过点，二次函数的图象和直线交于点C，D（C在D的左侧），若，则满足条件的a的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．先利用待定系数法求出直线的解析式为，与二次函数的解析式联立可得，解方程可得或，再设点的坐标为，点的坐标为，且，则是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，然后分两种情况：①和②，分别求出的值，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立得：， ∴， 解得或， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为，且， ∴是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， 由①当时，， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得或，经检验，都是方程的解，且符合题设； ②当时，， 则， 同理可得：， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， 经检验，是方程的解，且符合题设； 综上，满足条件的的值有或或，共3个， 故选：C． 3．（24-25九年级下·河北·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 4．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出平移后的解析式为，得出顶点坐标为，然后分当顶点在上时，当顶点在上时，求出的值，从而求出范围； 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象的几何变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴顶点坐标为， ∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为， ∴新线顶点为， ∵与轴相交于点和点，与轴交于点， ∴当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 当顶点在上时，， 解得：， 当顶点在上时，， 解得：， ∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为； 故选C. 5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，，点D为斜边上一点（点D不与点A，B重合），作，交边于点E，则下列结论错误的是 （   ） A． B．存在3个值使是等腰三角形 C．当时， D． 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后证出，由此即可判断A正确；分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的判定与性质求出的长，由此即可判断B错误；求出，根据定理即可判断C正确；根据相似三角形的性质可得，设，则，然后利用二次函数的性质即可判断D正确． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，则选项A正确； ∵在中，，， ∴， ①当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时点与点重合，不符合题意，舍去； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，存在2个值，使是等腰三角形，则选项B错误； 当时，， ∴， 在和中， ， ∴，则选项C正确； 由上已证：， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴，则选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定、勾股定理、二次函数的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 6．（2025·河北·模拟预测）记抛物线L：与x轴围成的封闭区域为G，直线把区域G分成Ⅰ和Ⅱ两部分，如果两部分内（不含边界）的整点（即横坐标、纵坐标都是整数的点）个数之比为，则直线的解析式为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查二次函数和一次函数综合问题，先求出区域内（不含边界）的整点为，，，，，，共7个，再结合图形分四种情况：①当经过，时，②当经过，时，③当经过，时，④当经过，时，分别求解即可，理解二次函数的图象及性质，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：对于， 当时，，解得，， 当或2时，；当时，； ∴区域内（不含边界）的整点为，，，，，，共7个点， 如果两部分内（不含边界）的整点（即横坐标、纵坐标都是整数的点）个数之比为， 则必定经过这7个点中的2个点， ①当经过，时，代入可得：，则，此时直线的解析式为； ②当经过，时，同理可得此时直线的解析式为； ③当经过，时，同理可得此时直线的解析式为； ④当经过，时，同理可得此时直线的解析式为； 综上，直线的解析式为或或或， 故答案为：或或或． 7．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得点的横坐标，计算即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴有交点， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 8．（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是 (填序号)． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数符号判断，根据得到抛物线过，再结合已知条件画出大致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可． 【详解】解：∵， ∴过， ∵抛物线经过点 ∴抛物线开口向上，与轴有两个交点，且位于轴的两侧， ∴，故①正确； 由题意可知时，， ， ， ， ， 即， 故②正确； 如图，方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于， ∴ ∴的对称轴直线， ∴，故③不正确； ∵抛物线过点，则 ∵抛物线经过点 ∴ 又∵， ∴， ∵，则 ∴ ∴ ∴ 将代入得 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴，故④正确 结论①、②、④正确，③错误．正确结论的序号为①、②、④． 故答案为：①②④． 9．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 10．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 11．（2025·河北邯郸·一模）如图，中，，，．以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线过点，与轴正半轴的交点记为点． (1)用含的代数式表示． (2)若点坐标为，M是抛物线上段一动点，过点垂直于轴的直线交折线段于点． ①求抛物线的解析式； ②若M为抛物线的顶点，求长； ③若记②中的长为，当改变位置，使得，请直接写出满足条件的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）根据，，，得到，设，则，确定，代入解析式解答即可． （2）①根据点在上，列出方程组解答即可； ②根据，得到，求得直线的解析式，确定点N的坐标，再计算的长即可； ③当点M在段上运动时，由抛物线开口向下，故对称轴左侧，y随x的减小而减小，故，由，y随x的减小而增大，故，故，此时；设抛物线与y轴的交点为D，则，此时，连接，四边形是平行四边形，当点M在段上运动时，设与的交点为T，显然四边形是平行四边形，，，此时，不符合题意；当点M在段上运动时，由抛物线开口向下，故对称轴右侧，y随x的增大而减小，故，此时点N在x轴上，，此时，，符合题意即，综上所述，符合题意的x的取值范围是或． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 设，则， 解得， ∴， 把代入解析式 得， 解得． （2）解：①把点分别代入， ∴， 解得， ∴． ②解：∵， ∴， 设直线的解析式为，与对称轴的交点为N， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点， 故； ③解：由， 得， 解得， 故； 设抛物线的顶点为，对称轴与射线的交点为Q， 根据②中的计算，得， 当点M在段上运动时，由抛物线开口向下，故对称轴左侧，y随x的减小而减小， 故， 由，y随x的减小而增大， 故， 故， 此时； 设抛物线与y轴的交点为D，则， 此时， 连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 当点M在段上运动时， 设与的交点为T， 显然四边形是平行四边形， ∴， ∴，此时，不符合题意； 当点M在段上运动时， 由抛物线开口向下，故对称轴右侧，y随x的增大而减小， 故，此时点N在x轴上， ∴，此时，，符合题意； ∴， 综上所述，符合题意的x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点坐标，抛物线的增减性，平行四边形的判定和性质，分类思想，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法是解题的关键． 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）在矩形中，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上， ①，求的长； ②求线段的最大值； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，_____，求的长； (3)如图3，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2.5，② (2)， (3)存在， 【分析】（1）①根据矩形的性质证明，即可求解；②设，由得到，整理得到，可求y有最大值； （2）先求出，过点F作于点M，证明，得到，则，设，则，再证明，则，得到，再解一元二次方程即可； （3）连接，结合（1）可得 y有最大值，而，那么当时，有最大值，为，由于，则取最大值时，有最小值为：． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， 由①得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴的最大值为． （2）解：∵， ∴， 如图 ，过点F作于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍）， ∴； （3）解：的长度是存在最小值，理由如下：连接， 由（1）得， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，的最大值为， ∵， ∴ ∴取最大值时，有最小值为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握基本图形“一线三等角”相似是解题的关键． 13．（2025·河北邯郸·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知直线的解析式为． (1)求，的值，并直接写出抛物线的顶点坐标． (2)若点是第二象限内抛物线上一动点，则当点到直线的距离最大时，求点的坐标． (3)是直线上一动点，过点作线段，且，点在直线下方．当线段与抛物线有公共点时，求点的横坐标的取值范围． (4)若点，，在该抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)或 (4)或． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括交点问题，动点距离问题等，理解题意，结合二次函数的性质和图象求解是解题关键． （1）根据一次函数确定，然后利用待定系数法确定二次函数解析式，再化为顶点式即可； （2）过点P作的平行线，记为直线l，当l与抛物线只有一个交点时，P到直线的距离最大，设直线l的表达式为，结合一元二次方程的根的特点求解即可； （3）过点E作轴交AC于点F，过点D作于点H，根据题意得：，确定，再代入函数解析式求解，然后结合函数图象即可得出结果； （4）根据题意得出，然后分两种情况分析：当点M、N在点G的左侧，当点M、N在对称轴的两侧时，利用二次函数的性质求解即可 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴， 将代入得， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为：； （2）由（1）得， 过点P作的平行线，记为直线l，当l与抛物线只有一个交点时，P到直线的距离最大， 设直线l的表达式为， 令， 整理得：， ， 解得：， ∴解得：， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， 过点E作轴交于点F，过点D作于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， 当点E落在抛物线上时， 整理得：， 解得：，， ∴由图象得，线段与抛物线有公共点时，或； （4）当时，， 解得：或， ∴， ∵，，在该抛物线上，且， 又，， 当点M、N在点G的左侧， 当且时， 解得：且， ∴； 当点M、N在对称轴的两侧时， ，且 ∴且， ∴， 综上可得：或． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①点P的坐标为，点Q的坐标为；②16 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题． （1）将点和点代入即可求解； （2）设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为，即可得到抛物线的解析式为； （3）①通过联立方程组，求点P和Q的坐标； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，先求出直线的解析式为，设，，则，，求出当时，有最大值4，当时，有最大值4，再根据，得到当最大时，四边形面积的最大，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； （3）解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 15．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $