4.1指数【五大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

4.1指数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二：根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)． 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点三：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 知识点四：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【题型归纳】 题型一：利用根式的性质化简或求值 【例1】．（23-24高一上·全国）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据根式的运算性质直接求解即可； （3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可； 【详解】（1）. （2）. （3）. 故答案为：（1）；（2）；（3） 【变式1】．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 题型二：指数和指数幂的运算 【例2】．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【详解】（1） =； （2） . 【变式1】．（22-23高一上·广东深圳·期中）化简求值: (1); (2). 【答案】(1)109 (2)1 【详解】（1）解:原式为 （2）解:原式为 【变式2】．（2025高一·全国·专题练习）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【详解】（1）. （2） . 【点睛】本题考查指数的运算性质，属基础题. 题型三：根式与分数指数幂的互化 【例3】．（22-23高一上·上海松江·期中）将化成有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】根据分数指数幂与根式的关系集合指数幂运算法则计算即可. 【详解】解：. 故答案为：. 【变式1】．（22-23高一上·上海宝山·期中）把化成有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答. 【详解】，. 故答案为： 【变式2】．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算. 【详解】. 故答案为：. 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 【例4】10．（25-26高一上·江苏南通）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，得； （2）因为，所以，则； （3）因为，所以，则 【变式1】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【变式2】．（22-23高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1)89； (2)①；②. 【分析】(1)根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解； (2)①根据完全平方和公式化简计算可得，结合开平方即可； ②根据公式，结合①计算即可求解. 【详解】（1）原式； （2）①∵， ∴， 又由得， ∴， 所以； ②（法一） ， （法二） ， 而 ， ∴， 又由得， ∴， 所以. 题型五：分数指数幂运算的综合应用 【例5】．（25-26高一上·江苏·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）100；（2）. 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）由平方和公式和立方和公式即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）对两边平方得，所以， 再对两边平方得，所以 所以， 则. 【变式1】．（2025高一上·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）转化为指数式，利用指数幂的运算即可求解； （2）将根式转化为分数指数幂，利用指数幂的运算即可求解； （3）利用求和，代入即可求解. 【详解】 （1） ； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 【变式2】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一·全国·课后作业）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一上·陕西榆林·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 4．（24-25高一上·云南·期中）与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析的范围，再进行根式的运算，判断选项. 【详解】由得，所以． 故选：C 5．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 6．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 7．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 8．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 9．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 10．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 11．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 二、多选题 12．（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 13．（24-25高一上·广东·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 14．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 15．（2023高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【分析】根据指数幂和根式的概念相互转化. 【详解】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 三、填空题 16．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 17．（2024高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 18．（24-25高一·江苏·课后作业）已知，，且，求= . 【答案】 【分析】由已知可得，则，所以原式等价于，利用完全平方公式化简求值即可． 【详解】原式= 故答案为： 【点睛】本题考查指数幂和根式的运算，考查公式的应用，属于基础题． 19．（25-26高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】根据已知条件判断的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 【详解】由已知，即，即， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 20．（24-25高一上·安徽滁州·期中）化简的值为 . 【答案】 【分析】化根式为分数指数. 【详解】原式=    . 故答案为:. 【点睛】此题考查指数拓展后的分数指数运算. 四、解答题 21．（2023高一·上海·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)100 (3)3 (4) 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . （4）原式. 22．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）; （2）； （3）. 23．（2023高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1 (2). (3) (4) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 24．（23-24高一上·山西临汾·期中）（1）计算； （2）化简． 【答案】（1）41；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算规则化简计算； （2）由分数指数幂与根式的关系和指数幂的运算规则化简计算 【详解】（1）； （2）. 25．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算 (1)； (2)已知，求的值： 【答案】(1) (2) （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）因为，所以，即， 因为， 所以， 所以原式. 26．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1指数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二：根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)． 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点三：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 知识点四：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【题型归纳】 题型一：利用根式的性质化简或求值 【例1】．（23-24高一上·全国）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 【变式1】．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则 . 题型二：指数和指数幂的运算 【例2】．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【变式1】．（22-23高一上·广东深圳·期中）化简求值: (1); (2). 【变式2】．（2025高一·全国·专题练习） （1）计算： （2）化简： 题型三：根式与分数指数幂的互化 【例3】．（22-23高一上·上海松江·期中）将化成有理数指数幂的形式为 . 【变式1】．（22-23高一上·上海宝山·期中）把化成有理数指数幂的形式为 . 【变式2】．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 【例4】10．（25-26高一上·江苏南通）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式1】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式2】．（22-23高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 题型五：分数指数幂运算的综合应用 【例5】．（25-26高一上·江苏·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【变式1】．（2025高一上·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【变式2】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一·全国·课后作业）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西榆林·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南·期中）与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广东·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 15．（2023高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 三、填空题 16．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 17．（2024高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 18．（24-25高一·江苏·课后作业）已知，，且，求= . 19．（25-26高一·全国·单元测试）已知，化简 ． 20．（24-25高一上·安徽滁州·期中）化简的值为 . 四、解答题 21．（2023高一·上海·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 22．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 23．（2023高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 24．（23-24高一上·山西临汾·期中）（1）计算； （2）化简． 25．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算 (1)； (2)已知，求的值： 26．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $