专题20 综合与实践-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

【应用拓展】 解得：6=142 15 m), 如图2，过点B作BM⊥AD于点M,过点C作CN⊥ AD于点N. ABx1 8X15 ≈20(m). 答：信号塔AB的高度约为20m. [学习实践] 1.C 2.2 3.(1)∠MNB的度数为143° 门框所在位置 图2 M 70 由题意得：BG⊥DG,CD⊥DG, (2)如图： ∴.∠AGD=∠CDG=∠BMA=∠CND=90°. B :∠BAM=∠GAD, .∴.90°-∠BAM=90°-∠GAD, (3)sin∠ONM的最大值是0.75. 即∠ABM=∠ADG 专题20综合与实践 :∠ADG+∠DAG=90°，∠ADG+∠CDN=90°， [学习领航 ∴∠CDN=∠DAG, 例1解：(1)这5枚古钱币，所标直径的平均数是： .90°-∠CDN=90°-∠DAG, 即∠DCN=∠ADG, 5×(45.4+48.1+45.1+4.6+45.5)= ∴.∠DCN=∠ADG=∠ABM, 45.74(mm). '.△DCNp△ABM, 这5枚古币的厚度分别为：2.8mm,2.4mm, 思 2.3mm,2.1mm,2.3mm, 其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多， 由题意得：AE=AD-DE=17-2.8=14.2(m). .这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm. imAG-是 将这5枚古饯币的质量按从小到大的顺序排列为： 13.0g,20.0g,21.7g,24.0g,24.4g, CN7i,ta∠ABM=AM& tan∠DCN=DN=& BM151 ∴这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g 设DN=am,AM=-bm,则CN-1g,BM-1 故答案为：45.74；2.3；21.7. 8 (2)“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质 .CN2+DN2=CD2, 量与实际质量差异较大， ()‘+a2=1., 其余四个盒子的质量的平均数为： 解得：a=0.8m(负值已舍去)， 34.3+34.1+34.3+34.1=34.2(g), 4 ∴EN=DE-DN=2.8-0.8=2(m),CN=15X0.8 55.2-34.2=21.0(g). 8 答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0g =1.5(m), 例2(1)设h1=V,将(100,2.5)代入得：2.5=100k,解得 品 AB=176 8 a 同【问题背景】得：△BMEc∽△CNE, ,V=40, 兴兴 .h1=1.0. 故答案为：1.0. 15b 1* 2 45 (2)如图1所示 th/cm 29×29号 12 猜想：AB+AC=2AB·AC·cosa, (2)AB+AC=√3AB·AC 0 +9 证明：如图2，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 8 7 点F,过点C作CG⊥AB于点G. 6 G30 2 B 0.1g0200.300:.4005p0:77mL D 图2 图1 (3)①当V=320mL时，h1=8.0cm,由图像可知相差 :AD平分∠BAC, ∠BAC=60°， 约为1.2cm,如图2所示. ↑h/cm rF3 ∴∠BAD=∠CAD=号∠BAD=30 12 Rt△ADE中，DE=AD·sin∠BAD=1×sin30° 9 8 7 :AD平分∠BAC, 6 DE⊥AB,DF⊥AC, 4 3 DF=DE=合 Rt△ACG中，CG=AC·sin∠BAC=AC·sin60°= 0.1g0290.300.4005p0:77mL c 图2 :SAARC=SAABD十SAACD' 故答案为：1.2. ②解法一：在①的条件下两杯相差1.2cm,此时h1大 2AB.CG=AB·DE+AC,DF, 约是8.0，加上0.6约为8.6cm 解法二：观察图像可知，当两个水杯的水面高度相同 时，估算高度约为8.6cm ,∴.√3AB·AC=AB+AC 故答案为：8.6 (3)不变化. 例3解：(1)如图1. 补全图形如图3所示. 设∠A=a. 4 .'BD=AD. 5030 ∠ABD=∠A=a, D 图1 ∴.∠BDC=∠ABD+∠A=2a. .'BD=BC. ,AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC ∴.∠BCD=∠BDC=2a. .'AB=AC, 图 在Rt△ABD中，AB= AD 1 =25 cos∠BADcos30°=3· ∠ABC=∠ACB=2a. :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ·AC=AB=23 3 .a+2a+2a=180°， 两腰之和为AB+AC=4y 解得：a=36°. 3 ,两腰之积为AB·AC= ∴.∠A=∠ABD=∠CBD=36° 46 如图4，过点E作EF⊥AB于点F,EH⊥BC于点H, 停车， 过点N作NG⊥AB于点G i.当25≤t<90时，d1>d2, Rt△BEF中，EF=BE· .d1-d2|=d1-d2, sin∠ABD=BE·sin36°； ∴.4t-4.8(t-25)=60, Rt△BEH中，EH=BE· t=75(分钟)； sin∠CBD=BE·sin36°； i.当90≤≤t≤100时，d1≥d2, Rt△BNG中，NG=BN· d1-d2l=d1-d2, sin∠ABC=BN·sin72°. ∴.360-4.8(t-25)=60, SABMN -SABEM+SABEN 图4 t=87.5(分钟)，不合题意，舍去： BM·NG=BM·EF+BN·EBH, im.当100<t≤110时，d1<d2, ∴d1-d2l=d2-d, 2BM·BN·sn72=号BM·BE·s血36+ ∴.4.8(t-25)-360=60, t=112.5(分钟)，不合题意，舍去； 2BN·BE·sin36, iV.当110<t150时，d1<d2, BM·BN·sin72°=BE·sin36°·(BM+BN), d1-d2|=d2-d, .4.8(t-25)-[360+4(t-110)]=60, 西 t=125(分钟). 1 BM+BN sin72° 综上所述，当t=75或125时，|d1-d2=60. ∴六BM十BN-BM·BN-BE·sin36: 2.解：(1)函数y=x-1与x轴的交点坐标为(1,0)，与y ,BE为定长，sin36°和sin72°为定值， 轴的交点坐标为(0，一1)， sin72° 六BE,sn36为定值。 函数y=x2一1与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交 点坐标为(0，一1)， “成+赢的值不变化 1 函数y=x2一x与x轴的交点坐标为(1,0)，与y轴的交 [学习实践] 点坐标为(0,0)， 1.解：(1)D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B 函数y=x2-1为函数y=x-1的轴点函数，函数y= 站到C站行驶了60分钟， x2一x不是函数y=x一1的轴点函数 故答案为：90,60. 故答案为：①. (2)①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需90十 (2)令y=0,得x+c=0, 60=150(分钟)，G1002次列车从A站到C站共需35+ 解得：x=一c, .A(-c,0). 60+30=125(分钟). 令x=0,得y=c, .∴.150v1=125v2, 5 ∴.函数y=x十c(c为常数，c>0)的图像与y轴交于点 v26 (0,c). 故答案为：县 其轴点函数y=a.x2+bx十c经过点A(一c,0), ∴.ac2-bc+c=0,且c>0, ②：0=4干米/分钟，2=点， ∴.ac-b+1=0,即b=ac+1, v2-6 ∴y=ax2+(ac+l)x十c. .02=4.8(千米/分钟). 设B(x,0), 4×90=360(千米)， ∴.A与B站之间的路程为360千米. 则()=后 :360÷4.8=75(分钟)， ∴.x'= 1 ∴.当t=100时，G1002次列车经过B站 由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站 B(-.0). 停车. ∴OB= 1 '.G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站 ,OA=c. 47 OB-0A (4mt2-2nt+t=0, =, 九=t. 2m ∴ac=土4， a= .b=5或-3. (3)由题意得：M(一2t,0),C(0,t),N(t,0). 综上所述，n的值为1或一巨-1或 ,四边形MNDE是矩形，ME=OM=2t, 3.解：【实践操作】 ∴.D(t,2t),E(-2t,2t). (1)①如图1. 当m>0时，轴点函数y=mx2+nz十t的顶点P与点M 重合，即P(-2t,0),如图1. 图1 图1 n2-4mt=0, 点M即为所求作的点. _九=一2t. 2m ②如图2. ∴n2-n=0,且n≠0， ,.n=1. 当m<0时，轴点函数y=mx2十nx十t的顶点P在DE 边上，即P(x,2t),如图2. 图2 点P即为所求作的点。 图2 (2)作法一，如图3. '4mt-2t+t=0, 4m-元=2. 4m 消去m,t,得n2+2n-1=0, 解得：n1=√2-1，n2=-√2-1. :函数y=mx2十nx十t的对称轴在y轴左侧， .n与m同号，即n<0, 图3 ∴n=-√2-1. 作法二，如图4. 当m<0时，轴点函数y=mz2+nx十t的顶点P在DN P PPP 边上，即P(t,s),如图3. y D D 图4 点N,M即为所求作的点. 【探索发现】 图3 (3)作法一，如图5. 解为0,1. 19.证明：四边形ABCD是平行四边形， .∠B=∠D,BC=DA. ∠B=∠D, 在△BCN和△DAM中，BC=DA, 图5 ∠BCN=∠DAM, 作法二，如图6. ∴.△BCN≌△DAM(ASA), .'.BN=DM. 20.(1)2023(2)25%(3)173196(4)②③ 21.1片(2)小张和小李述择相同主题的概率为。 10l=50a, 22.解：由题意得， 图6 1010l=50(50+a), 作法三，如图7. /=0.5, l=2.5. 设“200g”刻度线到零刻线的距离为x厘米. .210×2.5=50(x+0.5), .x=10, .50-x=40. 答：“200g”刻度线到末刻度线的距离是40厘米， 作法四，如图8 23.解：(1)在R△ACD中，∠ACD=90° a∠Dac-是. .CD=AC·tan51.34°≈40×1.25=50(cm). ∴建筑物CD的高度为50米. (2)如图，过点D作DG⊥EF于点G. D26.57 作法五，如图9. 51.34°98.20 人64.43 A C B 在Rt△BCD中，∠BCD=90°. :tan∠DBC=BC, CD 图9 CD 50 ∴，BC 点Q即为所求的点. tan68.20≈2.5-20(cm). 初中数学学业水平考试把脉卷（一） .·∠DCB=∠GEC=∠DGE=90°， .四边形DCEG是矩形， 1.C2.C3.D4.C5.A6.B ∴.CD=EG=50,DG=CE 7号号8≠3男.351020红-3 设EF=x米， 11.180°12.713.AD=AB(答案不唯一)14.4或0 在Rt△DFG中，∠DGF=90°. 1.2016号+ 'tan∠FDG= 卡0，.DG=x-50 tan26.57 在Rt△FBE中，∠BEF=90°. 17.3√2-5 18.不等式组的解集为一4≤x<2,则不等式组的非负整数 m乙F能器E-m点S 49专题20 综合与实鞋 专题20 综合与实践 【学习要点】 ①方程与不等式 ②函数 ①提出解决思路 实际情境结合」 ③图形的变化 ②设计解决方案 ④图形与坐标 转化. 数学问题 ③构建数学模型 ⑤抽样与数据分析 ④计算得到结论 ⑥其他学科的知识 ⑤求出模型答案 解决问题 【学习领航】 例1如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质 量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm,24.4g”是指该枚古钱币的直径为 45.4mm,厚度为2.8mm,质量为24.4g.已知这些古钱币的材质相同. 45.4*2.8mm,24.4g48.1*2.4mm,24.0g45.1*2.3mm,13.0g44.6*2.1mm,20.0g45.5*2.3mm,21.7g 文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉 连中三元 根据图中信息，解决下列问题。 (1)这5枚古钱币，所标直径的平均数是 mm,所标厚度的众数是 mm, 所标质量的中位数是 g; (2)由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐 用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下， 名称 文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉 连中三元 总质量/g 58.7 58.1 55.2 54.3 55.8 盒标质量/g 24.4 24.0 13.0 20.0 21.7 盒子质量/g 34.3 34.1 42.2 34.3 34.1 请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚 古钱币的实际质量约为多少克. 考点追踪：本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，掌握相关定义是解答本题的 关键 138 专题20 综合与实胜 试题精析：(1)利用平均数的计算公式计算平均数； (2)“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，先算出其 余四个盒子的质量的平均数，进而得出“鹿鹤同春”的实际质量」 解题逻辑： (1) 直径分别为：45.4mm、48.1mm、45.1mm、44.6mm、45.5mm 直径的平均数是：号×（45.4+48.1+45.1+44.6+45.5)=45.74(mm) 由图可知 厚度分别为：2.8mm、2.4mm、2.3mm、2.1mm、2.3mm 这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm 质量按从小到大的顺序排列为：13.0g,20.0g,21.7g,24.0g,24.4g 这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g (2) 鹿鹤同春”密封盒的质量异常，与实际质量差异较大 由表可知 其余四个盒子的质量的平均数为：343+34.1+34.3+34.1-34.2(g “鹿鹤同春”的实际质量约为55.2-34.2=21.0(g) 例2小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）.在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能 软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯（记为2号杯）示意图如图， 当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位：cm) 和2号杯的水面高度h2(单位：cm),部分数据如下： V/mL 0 40 100 200 300 400 500 h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 139 专题20 综合与实胜 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）. (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画1与V,h2与V之间的关系.在给出的平面直角 坐标系中，画出这两个函数的图像. (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320L水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约 为 cm(结果保留小数点后一位)； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时， 其水面高度约为 cm(结果保留小数点后一位). ↑h/cm 13- 12 10 9 7 6 2 100200.300.400.500V/mL 考点追踪：本题主要考查了一次函数的应用、函数的图像与性质、描点法画函数图像，正确理解 题意、熟练掌握知识点是解题关键， 试题精析：(I)观察表格数据可知，h1和V是正比例函数关系，设解析式，代入求解即可. (2)描点、连线画出函数图像即可； (3)由图像观察可得出①②的答案。 解题逻辑： (1) 观察V与h, 设h,=kW =100,h,=2.5 h=40 h=1.0 V=40 (2)依据表格中的数据 描点一连线 (3)①V=320mLV h,=8.0cm 相差约为1.2cm 两杯相差1.2cm ② 高度约为8.6cm h,=8.0cm 140 专题20 综合与买胜 例3综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动. 【特例探究】 (1)如图1,2,3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积 60 609 B D 图1 图2 图3 图4 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图1 60° 4 又 图2 1 45° √2 2√2 2 图3 1 30° 请补全表格中数据，并完成以下猜想， 已知△ABC的角平分线AD=1,AB=AC,∠BAD=a,用含a的等式写出两腰之和 AB十AC与两腰之积AB·AC之间的数量关系： 【变式思考】 (2)已知△ABC的角平分线AD=1,∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB十AC与两边 之积AB·AC之间的数量关系，并证明， 【拓展运用】 (3)如图4，△ABC中，AB=AC=1,点D在边AC上，BD=BC=AD.以点C为圆心、 CD长为半径作弧与线段BD相交于点E,过点E作任意直线与边AB,BC分别交于M,N两 点请补全图形，并分析+六的值是香变化 考点追踪：本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质、角平分线性质、三角形面积、解直角三 角形，添加辅助线构造直角三角形是解题关键， 试题精析：(I)根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,再运用解直角三角形即可求得答案. (2)过，点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,过，点C作CG⊥AB于点G.运用等腰 三角形性质可得DF=DE=专，利用SAA=SAAID十SAAm,即可求得答案。 (3)根据题目要求画图.设∠A=a.运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α= 36°.过，点E作EF⊥AB于点F,EH⊥BC于点H,过，点N作NG⊥AB于点G,利用S△mN= S△BM十S△BEN,即可求得答案. 4 专题20 综合与实鞋 解题逻辑： (1) AB=AC AD⊥BC AB= AD 1 25 cos L BAD cos30° AD平分∠BAC 两腰之和为AB+4C=4 猜想： 3 AB=AC=2/3 AB+AC=2AB·AC·coSa 两腰之积为AB·AC=等 4 (2)AD平分∠BAC ∠BAD=∠CAD ∠BAC=-609 7∠BMD-=309 DE- Rt△ADE中，DE=AD·sin∠BAD DE-DF- AD平分∠BAC DE-DE DE⊥AB,DF⊥AC Rt△4CG中，CG=4C·sinL BAC=-4Csin60°=5AC SAABC-SAABD+SAACD 3AB·AC=AB+AC (3) SABn=S△BB+S△BEN BM·NG=号BM·EF+BN·EH BM+BN sin72° BM·BNBE·sin36 BMBN·sin72°=BM·BE·sin36°+BN·BE·sin36 BM+BN sin 72 BM+Bm=BM·BNBE·sin36 +成的值不变化 1 BE为定长，sin36°和sin72°为定值 142 专题20 综合与买胜 【学习实践】 1.某条城际铁路线共有A,B,C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中 D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站， 两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情 况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示 列车运行时刻表 A站 B站 C站 车次 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8:00 9:30 9:50 10:50 G1002 8:25 途经B站，不停车 10:30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟，从B站到C站行驶了 分钟. (2)记D1001次列车的行驶速度为v1,离A站的路程为d1;G1002次列车的行驶速度为 v2,离A站的路程为d2. ①= 02 ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如上午9：15，则t=75),已知v1=240千米/小 时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150)，若 |d1-d2|=60,求t的值. 143 专题20 综合与实胜 2.定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数 为一次函数的轴点函数. 【初步理解】 (1)现有以下两个函数：①y=x2一1；②y=x2一x,其中， 为函数y=x一1的轴点 函数.（填序号） 【尝试应用】 (2)函数y=x十c(c为常数，c>0)的图像与x轴交于点A,其轴点函数y=ax2十bx十c与 x轴的另一交点为点B.若OB=4OA,求b的值. 【拓展延伸】 (3)如图，函数y=2x十：为常数，>0)的图像与c轴、y轴分别交于M,C两点，在工轴 的正半轴上取一点N,使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽， 在x轴的上方作矩形MNDE.若函数y=2x十t(t为常数，t>0)的轴点函数y= mx2+nx十t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值， M 144 专题20 综合与买胜 3.主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图. 【阅读理解】 任务：如图1，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，DE∥BC,仅用一把无刻度的直尺作 DE,BC的中点. D 图1 图2 操作：如图2，连接BE,CD交于点P,连接AP交DE于点M,延长AP交BC于点N,则 M,N分别为DE,BC的中点， 理由：由DE/BC可得△ADMO△ABN及△AEM∽△ACN,所以N-N,兴 A,所以BYN同里，南△DMPU△CNP及△BM∽△BNP,可0N部. 所以器-袋所以、-X,则BN-CN,DM=BM,即M,N分判为 EM MP DM CN DE,BC的中点. 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹： (1)如图3，l1∥儿2，点E,F在直线l2上. ①作线段EF的中点； ②在①中作图的基础上，在直线12上位于点F的右侧作一点P,使得PF=EF 图3 145 专题20 综合与实胜 (2)小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、 k倍(k为正整数)的线段.如图4,11∥儿2，已知点P1,P2在1上，他利用上述方法作出 了P2P3=P3P4=P1P2.点E,F在直线L2上，请在图4中作出线段EF的三等分点. PPPP 图4 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹 (3)如图5，DE是△ABC的中位线.请在线段EC上作出一点Q,使得QE=CE.(要求用 两种方法) 图5 146