专题19 跨学科主题学习-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题19 跨学科主题学习 专题19跨学科主题学习 【学习要点】 所谓“跨学科”型问题，主要是指在问题中渗透了初中数学中没有学过的其他学科中的一 些概念、新运算、新符号，或者说借用了高一级学科或者同阶段中另外学科知识，引导学生在理 解的基础上能对学过知识的灵活运用，这就要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行 理解. 解决“跨学科”问题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理运用已学知识点进行迁移. 【学习领航】 例1物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法， 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B',设AB=36cm, A'B'=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B的距离为 cm. 考点追踪：此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形 A B' 的性质是解题关键 试题精析：利用已知得出：△ABO△A'B'O,进而利用相似三角形的 性质求出即可 解题逻辑： -30cm -?cm→ AB∥A'B △ABO∽△A'B'O 设小孔O到4'B的 距离为xcm x=20 例2某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(P)是气 球体积V(m3)的反比例函数，且当V=3m3时，p=8000Pa.当气球内的气体压强大于 40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m3. 考点追踪：本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式 解答题目的问题。 试题精析：设气球内气体的压强p(Pa)与气球体积V(m)之间的函数解析式为p= ,把V 3m3时，=8000Pa代入解析式求出k值，得到p关于V的函数解析式，再根据气球内的气 体压强大于40000Pa得到关于V的不等式，从而确定正确的答案， 专题19 跨学科主题学习 解题逻辑 设气球内气体的压强p(Pa)》 与气球体积V(m3)之间的 函数解析式为p=各 k=24000 p=24000 V V=3m3时，p=8000Pa 24000≤40000 V p≤40000时 气球不爆炸 V≥0.6 例3如图，电路图上有A、B、C3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开关A、B都 可以使小灯泡发亮.任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 A B &☒ 考点追踪：此题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比 试题精析：直接由概率公式求解即可求得答案， 例4如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为 30℃，流速为20mL/s;开水的温度为100℃，流速为15mL/s.某学生先接了一会儿温水，又接了一 会儿开水，得到一杯280L温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间. 物理常识 0。o100C 开水和温水混合时会发生热传递， 温水 开水 开水放出的热量等于温水吸收的热量， 出水口 可以转化为开水的体积×开水降低的 温度=温水的体积×温水升高的温度： 考点追踪：本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键。 试题精析：设该学生接温水的时间为xs,则接温水20xmL,开水(280一20x)mL,由物理常识 的公式可得方程，解方程即可。 解题逻辑： 温水的体积为20x 20x×(60-30) 温水升高的温度为60-30 20x×(60-30)=(280 20x)×(100-60) 开水的体积为280-20x 280-20x)×(100-60) x-8 开水降低的温度100-60 133 专题19跨学科主题学习 例5【问题背景】 由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图1，即∠CEF=∠AEF).小军测量某建筑物 高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看 到建筑物AB的顶端A.经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m,BE=20m,DE= 2m,求建筑物AB的高度， 【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图2）：他让小军站在点D 处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出DE1=2;再将镜 子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出DE2=3.4m.经测得，小军的眼晴 离地面距离CD=1.7m,BD=10m,求这个广告牌AG的高度. 【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下 测量步骤（如图3）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m), 小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B;②测出DE= 2.8m:③测出坡长AD=17m,④测出坡比为8：15（即tan∠ADG=:通过他们给出的方 案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数） B 7 E2 E D 图1 图2 图3 考点追踪：本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股 定理、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数 定义、证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型 、试题精析：间题背】匹△AEB∽△CED,得护，印可解决问题， 【活动探究】过点E1作E1F⊥BD,过点E2作E2H⊥BD,证△GE1B∽△CE1D, 4EB∽△CED,得部-E,品-E.再由BE=BD-DE=8m,BE,=BD DE2=6.6m,然后求出GB、AB的长，即可解决问题. 【应用拓展】过，点B作BM⊥AD于点M,过点C作CN⊥AD于，点V,证△DCN∽ 专题19 跨学科主题学习 △ABM,得店，再由饭有三角面放走又得∠ABM-剑-淡DN=am,AM DN DC bm,则CN= Sa,BM=156 8,进而由勾股定理求出a=0,8m,然后由相似三角形的性质得 BM EM CN一EN,即可解决问题 解题逻辑： 【问题背景】 ∠CEF=∠AEF ∠AEB=LCED △AEB∽△CED ABBE CD DE ∠ABE=∠CDE AB=1.7×20=17m） 2 【活动探究】 ∠CE,H=∠AEH, ∠GE,B=∠CE,D. ∠CE,F=∠GE,F ∠AE,B=∠CE,D △GEB∽△CED, 过点E,作E,F⊥BD, △AE,B∽△CE,D ∠GBE,=∠CDE1, 过点E,作E,H⊥BD ∠ABE,=∠CDE, GB BE AB BE2 CD DE CD DE, BE=8m, BE2=6.6m AG=GB-AB GB=6.8m, =3.5m AB=3.3m 【应用拓展】 ∠BAM=∠GAD ∠ABM=∠ADG ∠CDN=∠DAG 过点B作BM⊥AD ∠ADG+∠DAG=90°. 于点M,过点C作 ∠ADG+∠CDN=90° CN⊥AD于点N ∠DCN=∠ADG DN CD AM AB △DCN∽△ABM ∠DCN=∠ADG=∠ABM an∠ADG=tan∠DCN=tan∠ABM= CN=15a, AB176 8 M-15b 8 8 设DN=am,AM=bm CN2+DN2 =CD a-0.8m EN=DE-DN=2m Cw=15×0.8=1.5m 8 135 专题19 跨学科主题学习 15b 兴别 8 14.2+b 1.5 2 4B=号x=20cm 【学习实践】 1.“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法. 步骤： 第一步，水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直； 第二步，闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上； 第三步，闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置 有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度； 第四步，将横向距离乘10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体 离观测点的距离值. 如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米， 则汽车到观测点的距离约为 () 被测 睁开左眼时， 物体 大拇指指向 横向 的位置 距离 被测物体离观 测，点的距离 大拇指 手臂长度 左眼眼右眼 A.40米 B.60米 C.80米 D.100米 136 专题19 跨学科主题学习 2.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向 击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系是h=一5t2+ 20t,当飞行时间t为 s时，小球达到最高点 3.小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角 大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.如图1是俯视图，OA, OB分别表示门框和门所在位置，点M、N分别是OA,OB上的定点，OM=27cm,ON= 36cm,MF,NF是定长，∠MFN大小可变， 门框所在位置 N M -0 A B 门所在位置 图1 门框所在位置 M 0完 F 开 时 所 y 在 门框所在位置 B 位 A M 置 F 图2 图3 (1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB,∠MFN=180°，求∠MNB的度数； (2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门 的位置OB(用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (3)在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值= 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75. 137例4解：设该学生接温水的时间为xs。 根据题意可得：20x×(60-30)=(280-20x)× (100-60), 解得x=8, .20×8=160(mL) .280-160=120(mL), ∴.120÷15=8(s), 该学生接温水的时间为8s,接开水的时间为8s 图2 例5【问题背景】解：由题意得：AB⊥BD,CD⊥BD,EF 矩形AMCN, ⊥BD, ∴.AMCN,MO=NO, .∠ABE=∠CDE=∠FEB=∠FED=90°. 由作图得BM=MN, :∠CEF=∠AEF, ∴.△MBF∽△NBC, ∠FEB-∠AEF=∠FED-∠CEF, 器 即∠AEB=∠CED, ∴.△AEBp△CED, ∴点F为BC的中点. ·AB_BE 同理得：点E为AB的中点，点G为DC的中点，点H为 …CDDE1 AD的中点. AB=1,7X20=17m. 2 专题19 跨学科主题学习 答：建筑物AB的高度为17m. [学习领航] 【活动探究】 例1解：设小孔O到A'B'的距离为xcm. 如图1，过点E作EF⊥BD,过点E2作E2H⊥BD. 由题意可得：△ABO△A'B'O, 则品费 解得：x=20. 故答案为：20 例2解：设气球内气体的压强p(Pa)与气球体积V(m3)之 D 间的函数解析式为p一长， 图1 由题意得：GB⊥BD,CD⊥BD, ,当V=3m3时，p=8000Pa, ∠GBE1=∠CDE1=∠ABE2=∠CDE2=∠FE1B ∴.k=Vp=3×8000=24000, =∠FED=∠HE2B=∠HE2D=90°. ÷p=24000 ,'∠CE2H=∠AE2H,∠CE1F=∠GE1F, V ,气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸， .∠FEB-∠GE1F=∠FED-∠CE1F, ∠HE2B-∠AE2H=∠HE2D-∠CE2H, ·≤40000时，气球不爆炸， 即∠GE1B=∠CE1D,∠AE2B=∠CEzD, :24000≤4000， V .△GE1Bc∽△CE1D,△AE2BC∽△CE2D, 解得：V≥0.6. .GB BE AB BE2 .为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.63. …CD-DE'CDDE2 例3解：闭合开关C或者同时闭合开关A、B,都可使小 :BE1=BD-DE1=10-2=8(m),BE2=BD 灯泡发光： DE2=10-3.4=6.6(m), ∴.任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小 ÷GB==17)X8=6.8m, 2 灯泡发光的只有闭合C这1种结果， “小灯泡发光的概率为3 AB=1.7X6.6=3.30m, 3.4 ∴.AG=GB-AB=6.8-3.3=3.5(m) 故答案为：日 答：这个广告牌AG的高度为3.5m. 【应用拓展】 解得：6=142 15 m), 如图2，过点B作BM⊥AD于点M,过点C作CN⊥ AD于点N. ABx1 8X15 ≈20(m). 答：信号塔AB的高度约为20m. [学习实践] 1.C 2.2 3.(1)∠MNB的度数为143° 门框所在位置 图2 M 70 由题意得：BG⊥DG,CD⊥DG, (2)如图： ∴.∠AGD=∠CDG=∠BMA=∠CND=90°. B :∠BAM=∠GAD, .∴.90°-∠BAM=90°-∠GAD, (3)sin∠ONM的最大值是0.75. 即∠ABM=∠ADG 专题20综合与实践 :∠ADG+∠DAG=90°，∠ADG+∠CDN=90°， [学习领航 ∴∠CDN=∠DAG, 例1解：(1)这5枚古钱币，所标直径的平均数是： .90°-∠CDN=90°-∠DAG, 即∠DCN=∠ADG, 5×(45.4+48.1+45.1+4.6+45.5)= ∴.∠DCN=∠ADG=∠ABM, 45.74(mm). '.△DCNp△ABM, 这5枚古币的厚度分别为：2.8mm,2.4mm, 思 2.3mm,2.1mm,2.3mm, 其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多， 由题意得：AE=AD-DE=17-2.8=14.2(m). .这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm. imAG-是 将这5枚古饯币的质量按从小到大的顺序排列为： 13.0g,20.0g,21.7g,24.0g,24.4g, CN7i,ta∠ABM=AM& tan∠DCN=DN=& BM151 ∴这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g 设DN=am,AM=-bm,则CN-1g,BM-1 故答案为：45.74；2.3；21.7. 8 (2)“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质 .CN2+DN2=CD2, 量与实际质量差异较大， ()‘+a2=1., 其余四个盒子的质量的平均数为： 解得：a=0.8m(负值已舍去)， 34.3+34.1+34.3+34.1=34.2(g), 4 ∴EN=DE-DN=2.8-0.8=2(m),CN=15X0.8 55.2-34.2=21.0(g). 8 答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0g =1.5(m), 例2(1)设h1=V,将(100,2.5)代入得：2.5=100k,解得 品 AB=176 8 a 同【问题背景】得：△BMEc∽△CNE, ,V=40, 兴兴 .h1=1.0. 故答案为：1.0. 15b 1* 2 45