专题17 数学思想方法-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

在R△AB0中，∠AB0-8器-5，得∠AB0-60 ∴矩形E'FGH'和菱形ABCD重叠部分为等边三角 3 在Rt△BME中，由EM=EBXtan60,EB=1-2 形，该等边三角形的边长为2×an60=2 4 合得EM=停 1 此时面积3最小是小值为宁×宁×怎-停 六SaA版=号BXM=怎同里，得SAm 1 √3 .11w3. 8 签上所述，当<Y时，则<5< ·'EE'=t,得S矩形EEHH=EE'XEH=t. 专题17数学思想方法 又S=S矩形EHH一S△ME一S△BNH, [学习领航] 2-1 例1解：m2+n2=2十m, ∴.(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n) 当EE-EM-时，则矩形E'FGH和菱形ABCD =4m2+9n2-12mn+m2-4n2=5m2+5n2-12mm 重叠部分为△BEH', =5(mm+2)-12mm=10-7mm ,m2+n2=2+mn, t的取值范围是 2 <t≤3， 六(m+n)2=2+3mn≥0，∴mm≥- 3, ②由①及题意可知当2y3< ≤35时，矩形E'F'GH 3≤t≤2 ∴.(m-n)2=2-mm≥0，∴.mm≤2， .2mn≤2，=4≤10-7mns3, 和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的：当，≤1≤ 1,5时，矩形EF'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积 即(2m-3n)+(m+2m)(m一-2n)的最大值为号. 故选B S是减小的. 例2解：(1)图中点B表示的实际意义为当销量为60kg ·当t=3y3级 2时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分 时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元. (2)设甲种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位： 如图2，此时面积S最大，最大值为S=1×√3=√3. kg)之间的函数表达式为y甲=kx(k≠0)， y 把(60,1200)代入解析式得：1200=60k,解得k=20. ∴.甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数表达式 GHN 为y甲=20z(0≤x≤120). B 当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y与销售量x之 间的函数表达式为y2='x('≠0). 图2 把(30,750)代入解析式得：750=30k',解得k'=25. ..y=25x. 当t=13 4 时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分 当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y与销售量x 如图3. 之间的函数表达式为yz=mx十n(m≠0). 则 /30m+n=750, /m=15, 解得： G H N H G 60m+n=1200, (n=300. H B >D yz=15.x+300, PEE E 综上，乙种苹果销售额y与销售量x之间的函数表达 A 25x(0≤x≤30)， 图3 式为yz (15.x+300(30<x≤120)， 由(1)可知B,D之间的水平距离为2√3，则有点D到 (3)①当0≤a≤30时， GF"的臣离为后-(5-2v3)-写 根据题意得：(20-8)a十(25-12)a=1500, 解得：a=60>30,不合题意； 由①可知：∠D=∠B=60°， ②当30<a≤120时， 38 根据题意得：(20-8)a十(15-12)a十300=1500， 2(m-6)2+200, 解得：a=80. 当m=6时，PB2+PC2有最小值200. 综上，a的值为80. 例4解：(1)将(-1,4)，(1,0)代入y=ax2+bx十3，得 例3【探究发现】解：上述结论依然成立. 1a一b+3=4, 理由：如图1，作AE⊥BC于点 a+b+3=0, E,DF⊥BC于点F, .∠AEB=∠DFC=90°. 解得公一1， 6=-2. :四边形ABCD是平行四 图 ∴.二次函数的表达式为y=一x2一2x十3. 边形， (2)y=-x2-2x十3=-(x+1)2+4, .ABDC,且AB=DC, .将二次函数y=一x2一2x十3的图像向右平移(k ∠ABE=∠DCF, >0)个单位得y=一(x一k+1)2十4的图像，新图像 ,∴.△ABE≌△DCF(AAS), 的对称轴为直线x=k一1，如图1. ∴.AE=DF,BE=CF 设AE=DF=x,BE=CF=y. 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=x2+y2; 在R△ACE中，AC2=AE2+CE2=x2+(b-y)2, 在Rt△BDF中，BD2=DF2+BF2=x2+(b+y)2. .AC2+BD2=x2+(b-y)2十x2+(b十y)2= 2a2+2b2. 图1 【拓展提升】证明：如图2，延长BO至点E,使BO= ,当-1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5 OE. 时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下， BO是AC边上的中线， .3≤k-1≤4，解得4≤k≤5. ..AO-CO. ∴.符合条件的二次函数y=mx2十.x十q的表达式可 又.BO=OE 以是y=一x2十6.x一5（答案不唯一）. .四边形ABCE是平行四 ∴.k的取值范围是4≤≤≤5. 边形 图2 (3)把点A、B的横坐标m、m+1分别代入函数表达 由【探究发现】，可得BE2+AC2=2AB2+2BC2 式，得 .BE=2BO, A(m,-m2-2m+3),B(m十1，-m2-4m),点B在 .BE2=4BO2, 点A右侧. .AB=a,BC=6,AC=c, ,点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物 ∴.4B02+c2=2a2+2b2, 线对称轴为直线x=一1， ∴B0=a2+6c2 ∴.C(-2-m,-m2-2m+3). 24· 当m<-1,即点A在点C左侧时， 【尝试应用】解：如图3，取BC的中点M,连接PM ①点B在点C左侧，如图2. 过点B作BH⊥AC于点H,连接BC. HM 图3 在△PBC中，由【拓展提升】可得2PB2+2PC2= 4PM2+BC2. 过点P作PH⊥BC于点H,PH=AB=8. 设AP=m. 在Rt△PHM中，PM2=PH2+HM2=82+(6 图2 m)2. ∴.BH-yg-yc--m2-4m-（-m2-2m+3)= -2m-3, ∴PB+PC2=2PMr+2BC2=2m2-24m+272= CH=xc-xB=(-2-m)-(m+1)=-2m-3, 9 ∴.BH=CH, 11a+2 2是整数，且a≠b≠c≠d,1≤a≤9,1≤b≤ ∴△BHC是等腰直角三角形， .∠HCB=45°，即∠ACB=45° 9,1≤c≤9,0≤d≤9. ②点B在点C右侧，如图3. α=9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符 过点B作BH⊥AC于点H. 合题意，舍去， 当a=8时，b=1,此时71-11c=d, c取9或8或7时，均不符合题意； 当c取6时，d=5. ∴.满足条件的数的最大值是8165. 故答案为：4312；8165. 例2(1).四边形ABCD是正方形， ∴.∠C=90 图3 :△OAB≌△OCD, ∴.BH=yc-yB=-m2-2m+3-(-m2-4m)= .∠OAB=∠C=90° 2m+3, O是边BC上的一点， CH=xB-xc=(m+1)-(-2-m)=2m十3， .正方形不存在“等形点” ∴.BH=CH,.∠HCB=45°，即∠ACB=135° 故答案为：不存在 当m>一1，即点A在点C右侧时，如图4. (2)如图，作AH⊥BO于点H. ,边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”， ∴.△OAB≌△OCD, .AB=CD=42, OA=O℃=5. .BC=12, .BO=7. 图4 设OH=x,则BH=7一x. 同②得BH=CH,此时∠ACB=45°. 由勾股定理得，(4√2)2一(7一x)2=52-x2, 综上所述，∠ACB的度数是45°或135°. 解得，x=3, [学习实践] .∴.OH=3, 1.-10122.B .AH=4, 3.(1)①-2(-1,0)②-2<x<-1或3<x<4 ∴.C0=8. (2)t-12+6 4 (8)n=-5,b=-3,m≤ 21 在Rt△CHA中，AC=√AH2+CH=√4+82= 专题18新定义问题 45. [学习领航] (3),边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”， 例1第1空，由题意可得10a十3-31-12， ∴.△OEF≌△OGH, ∴.∠EOF=∠HOG,OE=OG,∠OGH=∠OEF 解得a=4,.这个数为4312. EH//FG, 第2空，由题意可得，10a十b-(10b十c)=10c十d, ∴.∠HEO=∠EOF,∠EHO=∠HOG, 整理，可得10a一9b-11c=d. ∴.∠HEO=∠EHO 一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三 个数字组成的三位数bcd的和为： ..OE=OH, ∴.OH=OG, 100a+10b+c+100b+10c+d ∴.OE=OF =100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c =110a+101b 98%-1 =99(a+b)+11a+2b, 例3(1)如图1，与二次函数y=2x2-4x一3有3个交点的 又，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与 后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除， 是y=一3 x专题17 数学思想方法 专题17数学思想方法 【学习要点】 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本 策略.数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展 和应用的过程中，数学思想方法是数学的精髓，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思 想的习惯， 中考常用到的数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、化归思想、数形结合思想、函数 与方程思想等 【学习领航】 例1已知实数m,n满足m2+n2=2+mm,则(2m一3n)2+(m十2n)(m一2n)的最大值为 () A.24 C. D.-4 考点追踪：此题主要考查了完全平方公式、整式的乘法，运用整体的思想方法将代数式灵活变 形是关键. 试题精析：将所求代数式化简成只含有mn的代数式，再将m2十n2=2十mn变形，运用完全平 方式是非负数的特点求出mm的取值范围，即可求出答案， 解题逻辑 化简(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n) 10-7mn (m+n)2=2+3mn≥0 4≤10-7mn≤44 1m2+n2=2+1mn (m-n)）2=2-1mm≥0 代数式的最大值是号 ≤mn≤2 例2某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg,这两种苹果的销售额 y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的关系如图所示. (1)写出图中点B表示的实际意义； ↑y/元 甲 (2)分别求甲、乙两种苹果销售额y与销售量x之间的函数表 达式x的取值范围； 1200 (3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg 750 时，它们的利润和为1500元，求a的值. 3060 120 x/kg 考点追踪：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确 专题17 数学思想方法 函数图像所给信息，利用数形结合的思想解答 试题精析：(1)根据图形即可得出结论； (2)用待定系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间 的函数表达式即可； (3)分0≤a≤30和30<a≤120两种情况列方程求解即可. 例3【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC2=a2+ b2.同理BD2=a2+b2.故AC2+BD2=2(a2+b2). 【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是否依 然成立？请加以判断，并说明理由， 【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证： B02=a2+b2c2 2 4 【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12,点P在边AD上，则PB2+ PC2的最小值为 图1 图2 图3 图4 考点追踪：四边形综合题，勾股定理、运算能力、运用转化与化归的数学思想将复杂问题转化为 简单问题，同时运用函数思想解决几何图形中的最值问题， 119 专题17 数学思想方法 试题精析：【阅读理解】根据矩形对角线相等可得AC=BD,最后由勾股定理可得结论. 【探究发现】作AE⊥BC于，点E,DF⊥BC于点F,可得△ABE≌△DCF,AE=DF=x, BE=CF=y,根据勾股定理，可得AC2+BD2=AE2十EC2十DF2+BF2,代入化简即可. 【拓展提升】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCE是平行四边形，由【探究发 现】，可得BE2十AC2=2AB2+2BC,于是得到结论 【安试应用】取BC的中点M,连接PM,拓展提升】可得PB+PC2-2PM+号BC 设AP一，根据勾股定理建立PB2十PC2与m的函数关系，运用二次函数的性质即可得到 结论，也可以过，点P作PH⊥BC于，点H,根据矩形的性质得到AB=PH=CD=8,AP BH,PD=CH,直接写出PB2+PC2与m的函数关系. 解题逻辑： 阅读理解 探究发现 拓展提升 尝试运用 矩形ABCD中 □ABCD中，作 延长BO至点 取BC的中点 ∠ABC=90° AE⊥BC于点E, E,使BO=OE M,连接PM AC=BD DF⊥BC于点F ☐ABCE中，由 由【拓展提升】 AC2+BD2 AE=DF=x, 【探究发现】 可得PB2+PC2 =2(AB2+BC2 BE=CF=y 可得BE?+AC? =2a2+2b2 =2AB2+2BC2 -2PM+BC2 AC2+BD 即(2B0)2+c2 法 =AE2+EC2+DF2+BF2 =2a2+2b2 设AP=m. PB2+PC2= 比 =x2+(b-y)2+x2+(b+y)2 =2x2+2y2+2b2 B02=q2+b2 2(m-6)2+200 c2 =2a2+2b2 2 4 PB2+PC最 转化的数学思想 小值为200 120 专题17 数学思想方法 例4已知二次函数y=ax2+bx十3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表： … -1 0 1 2 3 … 4 3 0 -5 -12 (1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式 (2)将二次函数y=ax2+bx十3的图像向右平移(k>0)个单位，得到二次函数y= mx2+nx十g的图像，使得当一1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5时，y随x增大而 减小.请写出一个符合条件的二次函数y=mx2+nx十g的表达式y= ,实数的取 值范围是 (3)A,B,C是二次函数y=ax2十bx十3的图像上互不重合的三点.已知点A,B的横坐 标分别是m,m+1,点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数， 考点追踪：考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、抛物线的平移变换、等腰直角三角形的判 定等知识，解题的关键是数形结合、分类讨论思想的应用. 试题精析：(1)用待定系数法任选两组x,y值（不含x=0,y=3)代入可得二次函数的表达式 为y=-x2-2x+3. (2)将二次函数y=一x2一2x十3的图像向右平移(k>0)个单位得y=一(x一k十 1)2十4的图像，新图像的对称轴为直线x=k一1，根据当一1<x<3时，y随x增大而增大；当 4<x<5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，画出符合条件的图像可知3≤k一1≤4， 即可得到答案4≤k≤5 (3)求出A(m,-m2-2m+3),B(m+1,一m2-4m),C(-2-m,-m2-2m+3),画出 图像，根据三点的位置进行分类讨论，过，点B作B日⊥AC于点H,用m的代数式表示BH, CH的长，可得BH=CH,'.△BHC是等腰直角三角形.当∠ACB为锐角时，∠ACB=45°， 当∠ACB为钝角时，同理可得∠ACB=135°. 120 专题17 数学思想方法 【学习实践】 1.若实数m满足(m-2023)2+(2024一m)2=2025,则(m-2023)(2024一m)= 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB=30°，∠ADC=60°，BC=CD=2.若线段 MN在边AD上运动，且MN=1,则BM+2BN2的最小值是 () M ND λ号 R智 C39 D.10 4 3.已知二次函数y=x2十bx一3(b为常数) (1)该函数图像与x轴交于A,B两点，若点A坐标为(3,0). ①b的值是 ,点B的坐标是 ②当0<y<5时，借助图像，求自变量x的取值范围. (2)对于一切实数x,若函数值y>t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）， (3)当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n),自变量x的取值范围是1<x<2,求n与b 的值及m的取值范围. 122