专题14 尺规作图-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题14 尺规作图 专题14 尺规作图 【学习要点】 作一条线段等于已知线段作法： L a 用直尺画射线AC,再用圆规在射线AC上截取AB=a. BC 作法： 作一个角等于已知角 (1)以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA,OB于 B 点C,D; (2)画一条射线0A',以点0为圆心、OC长为半径画弧， 交OA'于点C'; B (3)以点C'为圆心、CD长为半径画弧，与第2步中所画的 D' 弧相交于点D'; (4)过点D'画射线O'B',则∠AOB=∠A'O'B'. 作法： 作角平分线 (1)以点O为圆心、适当长为半径画弧，分别交OA于点M, 基 交OB于点N: (2)分别以点M,N为圆心，大于)MN的长为半径画弧，两 弧在∠AOB的内部相交于点C; 图 (3)画射线OC,射线OC即为所求 过一点作已知直线的垂线 作法： (1)过直线上一点作已知直线的垂线，作法同“作平角的 C 角平分线” E B (2)过直线外一点作已知直线的垂线，作法如下： ①任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁； ②以点C为圆心、CK长为半径画弧，交AB于点D和E; ③分别以点D和E为圆心、大于)DE的长为半径作弧、 两弧相交于点F; ④作直线CF,直线CF即为所求 作线段的垂直平分线 作法： (1)分别以点A和点B为圆心、大于号AB的长为半径作弧， 两弧相交于C,D两点； D (2)作直线CD,直线CD即为所求 【学习领航】 例1如图，在△ABC中，AB>AC.尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点 92 专题14 尺规作图 D,使得DB=DC.(不写作法，保留痕迹) B C 考点追踪：本题主要考查角平分线以及垂直平分线的作法， 试题精析：作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于，点D,即为所求， 解题逻辑： ∠BAC的角平分线 两线交点即为点D DB=DC BC的垂直平分线 例2如图，已知线段AC和线段a. (1)用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） ①作线段AC的垂直平分线l,交线段AC于点O; ②以线段AC为对角线，作矩形ABCD,使得AB=a,并且点B在线段AC的上方. (2)当AC=4,a=2时，求(1)中所作矩形ABCD的面积. a A 考点追踪：本题考查作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质、勾股定 理，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及矩形的判定与性质是解答本题的关键， 试题精析：(1)①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可 ②以，点O为圆心、OA的长为半径画孤，再以点A为圆心、线段α的长为半径画孤，两孤在 线段AC上方交于点B.同理，以，点O为圆心、OC的长为半径画孤，再以，点C为圆心、线段a的 长为半径画孤，两孤在线段AC下方交于，点D.连接AD,CD,AB,BC,即可得矩形ABCD. (2)利用勾股定理求出BC,再利用矩形的面积公式求解即可. 解题逻辑：(1)作AC的垂直平分线即可. (2) OA=OB 以点O为圆心、OA的 长为半径画弧 两弧在线段AC 矩形ABCD 以点A为圆心、线段a 上方交于点B AB=a 的长为半径画弧 以点O为圆心、OC的 两弧在线段AC OC=OD 长为半径画弧 下方交于点D 连接AD,CD,AB,BC, 即可得矩形ABCD 93 专题14 尺规作图 (3) ∠ABC=90° 矩形ABCD AB=CD=2 BC=AD-VAC2-AB=23 AC=4 矩形ABCD的面积为AB·BC =2×23=43 例3如图，△ABC为锐角三角形 (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D,使∠DAC= ∠ACB,且CD⊥AD;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若∠B=60°，AB=2,BC=3,则四边形ABCD的面积为 图1 图2 考点追踪：本题考查作图一复杂作图、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基 本作图，属于中考常考题型。 试题精析：(1)根据要求作出图形即可； (2)过点A作AH⊥BC于点H,求出AH,AD,利用梯形面积公式求解 解题逻辑： (1) 作一个角等 ∠DAC=∠ACB 于已知角 两线交点即为点D CD⊥AD 过直线外一点作已 知直线的垂线 94 专题14 尺规作图 (2)AB=2 BH=AB·cos60°=1 AH=AB·sin60°=5 CH=BC-BH=2 ∠B=60° ∠DAC=∠ACB AD∥BC 矩形AHCD AH⊥CB,CD⊥AD Smw2×(2+3)x5=号月 AD-CH-2 例4如图，已知∠PAQ及AP边上一点C. (1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕 迹，不写作法) 9 (2)在(1)的条件下，以点O为圆心、OA为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺和 圆规在射线CP上求作点M,使点M到，点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作 图痕迹，不写作法) (3)在.②)的条件下，者smA-,CM=12,求BM的长。 考点追踪：本题考查作图一复杂作图、线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角 形的判定和性质，0解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 试题精析：(1)作AC的垂直平分线交AQ于，点O. (2)作AC的垂直平分线交AQ于点O,以点O为圆心、OC为半径画圆交AQ于点B,作 ∠CBQ的角平分线交AP于点M,点M即为所求. (3)可以假设BC=3k,AB=5k,则AC=4k,证明△MBC≌△MBH(AAS),推出BC= BH=3k,推出AH=AB十BH=8k,推出MH=6k,构建方程求解. 解题逻辑： (1) ∠COQ=2∠CAQ ∠CAQ=LACO 法一：作线段CO的垂直平分线 法二：作一个角等于已知角 构造等腰△ACO,利用外角得∠COQ=2∠CAQ 95 专题14 只规作图 (2)以点O为圆心、以0A为半径的圆交射线40于点B 点B,M卿为所求 点M到点C的距离与点M到 射线AQ的距离相等 BM平分∠CBQ (3) OA=OC=OB ∠ACB=909 设BC=3k,AB=5k,则AC=4K BM平分∠CBQ,MC⊥CB △MBC≌△MBH BC=BH=3k MH⊥BQ,BM=BM AH=AB+BH-8k sim4盟号 BH-6 BM=65 MH=12 k=2 12-6k AM=10k,MH=MC=6k 例5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)尺规作图：作⊙O,使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D;(请保 留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法) C B (2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，AB=4,求⊙O与△ABC重叠部分的面积. 考点追踪：本题考查了作图一复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质， 结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了切线的判定与性质 和扇形面积的计算。 96 专题14 尺规作图 试题精析：(1)先作∠ABC的平分线交AC于点D,再作DO⊥AC交AB于O点，则以O,点为 圆心、OB为半径的圆满足条件 (2)⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE.设⊙O的半径为r,则OB=r,根据切线 的性质得到OD⊥AC,再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA=2r,接着求出 T=膏，然后根格肩形的西积公式，利用O0与△ABC重叠部分的西积=SAm十Sa进行 计算。 解题逻辑： (1)⊙0与边4C相切于点D OD∥BC ∠C=-909 BD平分∠ABC OD=OB 作DO⊥AC交AB于O点 以O点为圆心、OB为半径作圆即可 (2)LC-90° ∠A=30° ∠ABC=60° 设半径为r OA=21 AB=2r+r=4 120××(} S形EOF 360 OB=OE ∠OBE=609 等边△OBE Smx(号-4 ⊙O与△ABC重叠部分的面积= m+4 97 专题14 R规作图 【学习实践】 1.如图，在□ABCD中，AB=5,AD=3√2，∠A=45°. (1)求出对角线BD的长； (2)尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点 E处，请作出折痕.（不写作法，保留作图痕迹） A B 2.如图，已知∠APB,点M是PB上的一个定点， (1)尺规作图：请在图1中作⊙O,使得⊙O与射线PB相切于点M,同时与PA相切，切点 记为N; (2)在(1)的条件下，若∠APB=60°，PM=3,则所作的⊙O的劣弧MN与PM,PN所围 成图形的面积是 M B 图1 图2 98 专题14 只规作图 3.【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使 扇形的面积被这条直线平分 【问题联想】如图2，已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等 腰直角三角形MNP. 【问题再解】如图3，已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆 弧，使扇形的面积被这条圆弧平分 (友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹) M 图1 图2 图3 99..AD2=AP2-PD2=PE2 +AE2-PF2-DF2=82- 52=39, :DF的最小值为， .AD=√39. 3.解：(1)如图1. (4)如图4，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1,将 △AEC沿AC对折，E的对应点为E1,连接D1E1. ..CD=CD,CE=CE1. G 图1 :正方形ABCD,EFGH及圆为正方形ABCD的内切 圆，为正方形EFGH的外接正方形， .AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m, ∠A=90°， E .AB=AD=2m,EF=√2m, 图4 .S正方形ACD=4m2,S正方形ErGH=(W2m)2=2m2. 再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图5， .大正方形面积是小正方形面积的2倍。 得△B1D1E2,连接E1E2,BE2. 故答案为：2. (2)如图2. B 6 D() 图2 图5 .EG⊥FH, ..a2=OF2+OE2,c2=0G2+0H2,d2=OE2+0H2, 由(2)可得：AE+BD=D1E2十BD. b2=0F2+0G2, 当E2,D,B三点共线时，AE十BD=D1E2十BD a2+c2=b2+d. 最短 结合图形变换可得：PA2十PC2=PB2+PD2. .AC+CD=5,BC+CE-8, (3)如图3，将△PDC绕点P逆时针旋转， .E1E2=5,BE1=8, 点D在以点P为圆心、PD为半径的圆上运动. ∴.BE2=√BE+E1E=V82+5=√89. AE+BD的最小值为√89. 专题14尺规作图 [学习领航] 例1解：如图，AD即为所求 图3 A为圆外一个定点， .当AD与⊙P相切时，∠DAP最大， .PD⊥AD, .∴.AD2=AP2-PD2 由(2)可得：AE=DF, .PE=8,PF=5, 例2解：(1)①如图1，直线1即为所求 27 (2)如图，点B,M即为所求 (3)由作图可知OA=OC=OB, .∠ACB=90° m4-6-号 图1 .可以假设BC=3k,AB=5k,则AC=4k. ,BM平分∠CBQ,MC⊥CB,MH⊥BQ, ②如图2，矩形ABCD即为所求， ∴.∠MBC=∠MBH,∠MCB=∠BHM=90°. .'BM=BM, ∴.△MBC≌△MBH(AAS), ∴.BC=BH=3k, .AH=AB+BH=8k」 图2 如A-限骨 (2)·四边形ABCD为矩形， ∴.AM=10k,MH=MC=6k, .∠ABC=90°. .12=6k, .a=2, .k=2, ..AB=CD=2, .BH=6,MH=12, ..BC=AD=AC2-AB2=2/3, .BM=√BH+MH=6√5. ∴.矩形ABCD的面积为AB·BC=2×23=43. 例5解：(1)如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D,再 例3解：(1)如图，点D即为所求. 过D点作AC的垂线交AB于O点，然后以O点为圆 心、OB为半径作⊙O,则⊙O为所作 B (2)如图，过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△ABH中，AB=2,∠B=60°， (2)⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE, .BH=AB·cos60°=1，AH=AB·sin60°=√3， 如图. 设⊙O的半径为r,则OB=r. ∴.CH=BC-BH=2. ∠DAC=∠ACB, ,AC为⊙O的切线， ∴.OD⊥AC,OD=r. ..AD//BC. :∠C=90°，∠ABC=60°， AH⊥CB,CD⊥AD, ∠A=30°， ∴.∠AHC=∠ADC=∠DCH=90°， ∴.OA=2r. .四边形AHCD是矩形， AB=4, .'.AD=CH=2. ∴.2x+r=4, Sam-号X2+3Xw月=a 1 条得一青 故答案为：昌5 OB=OE,∠OBE=60, 例4解：(1)如图点O即为所求. .△OBE为等边三角形， ∴.∠BOE=60°， M ∴.∠EOF=120°， ∴.⊙0与△ABC重叠部分的面积=S扇形Bor十S△oBE 360 28 [学习实践] 专题15图形变化 1.解：(1)如图1，连接BD,过点D作DH⊥AB于点H. [学习领航] :∠A=45°，∠AHD=90°， 例1(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD, .∠ADH=45°=∠A, .∠AGB=90. △ADH是等腰直角三角形. ,四边形ABCD是矩形， 又AD=3√2， ∴.∠BAD=∠ABC=90°， ..AH=DH=3, ∴∠BAF=∠ADB. .BH=AB-AH=5-3=2. AD=√2AB, Rt△BDH中，BD=√32+2=√I3. 设AB=a,则AD=√2a, D .tan∠BAF=tan∠ADB, 器怨。 H B 图1 图2 .BF_a (2)如图2，AG即为所求 a 2a' 2.解：(1)如图，⊙O为所作 A 解得BF 2a. BC=AD=√2a, .BF BC. M 点F为BC的中点 (2)PM和PN为⊙O的切线， (2)解：∠AGH=120°.理由如下： .OM⊥PB,ON⊥PN,∠MPO=∠NPO= 连接HF,如图. 号APB=3D ∴.∠OMP=∠ONP=90, .∠M0N=180°-∠APB=120°. 在Rt△POM中，：∠MPO=30°， 由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH,BF=HF, 3PM-3 OM- ×3-3, ∴∠GBH=∠FBH,∠FBH=∠BHF, ∴⊙O的劣弧MN与PM,PN所围成图形的面积 ∴.∠GBH=∠BHF, =S网边形PMON一S扇形MON .BD∥HF, .∠DGH=∠GHF. =2x号×3Xw5-120XdB) 360 由(1)知AF⊥BD,可得AF⊥HF, =3W3-元 ∴.∠AGD=90°，∠GFH=90°. 3.解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求. 设AB=a,则AD-2a=BC,BF=HF= 2, 【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求。 【问题再解】如图3中，DF即为所求. ·BG 3, ·GF-6 . √6 在Rt△GFH中，tan∠GHF= GF 643 2 图2 图3 .∠GHF=30°， ∴.∠DGH=30° ∴.∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°. 29