专题12 代数最值问题-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

补全条形统计图如下： 故答案为> 球类情况条形统计图 例5解：(1)画树状图如下： y 开始 60 54 50 So 46 0 30 30 2 20 乙丙丁 甲丙丁 10 共有12种等可能的结果，其中恰好是甲、乙的结果有 0 A B D E x 2种. (3)2000×200 46 460(名). “恰好是甲、乙的概率=2=6 21 答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名 (2)画树状图如下： 例2解：(1)，抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和 开始 可靠性， ∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度 作为样本。 z人 故答案为③. (2)①频率分布表中的m=1-(0.04十0.45十0.3十 共有24种等可能的结果，其中甲、乙在其中的结果有 12种， 0.09)=0.12. 121 故答案为0.12 甲、乙在其中的概率为24=2 ②麦穗长度频率分布在6.1≤x<6.8之间的频数有： 100×0.3=30. 故答案为号 频数分布直方图补全如下： [学习实践] 试验田100个麦穗长度频数分布直方图 (2)2 ↑频数 1.c2.B3号 3 50 45 专题12 代数最值问题 40 30 30 [学习领航] 20 例1解：，m2+n2=2十mn, 12 10 .(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n) 4 0V404.75.4616.875长度1cm =4m2+9n2-12mn+m2-4n2 =5m2+5n2-12mn (3)0.45+0.3+0.09=0.84. =5(mm+2)-12mn 故长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例 =10-7mm. 为84%. m2+n2=2+m, 例3解：①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数 ∴.(m十n)2=2十3mm≥0（当m十n=0时，取等号）， 都不低于300次，故正确； 2 ②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足 ∴.mn≥-3' 500≤t<600,故正确： .(m-n)2=2-mn≥0（当m一n=0时，取等号）， ③这20个充电宝的完全充放电次数在300≤t<400 .mm≤2， 中只有2个，故平均数一定大于400，故不正确。 2 故答案为①②. 3 ≤mn≤2， 例4解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标 -14≤-7mm≤3， 枪的平均数相同，均为20m. ,第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上， -4长10-7m<告 =0, 即(2m-3n)P+(m+2m0m-2m)的最大值为号. s7>s. 例2解法一：W=5x2-4xy十y2-2y+8x+3 22 =x2+4x2-4xy十y2-2y+8x+3 ∴.两张纸片重叠部分的形状是菱形 =4x2-4xy十y2-2y十x2+8x+3 故答案为：菱形 =(4x2-4xy+y2)-2y+x2+8x+3 (2),△ABC,△DEF都是等边三角形， =(2x-y)2-2y+x2+4x+4x+3 ∴.∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AC=BC=6cm. =(2x-y)2+4x-2y+x2+4x十3 EF//BC, =(2x-y)2+2(2x-y)+1-1+x2+ ∠CHE=∠DEF=60°， 4x+4-4+3 ∴∠ABC=∠CHE, =[(2x-y)2+2(2x-y)+1]+(x2+ ∴.BGEH, 4x+4)-2 ∴.四边形BHEG是平行四边形 =(2x-y+1)2+(x+2)2-2, :∠C=∠CHE=60°， xy均为实数， △EHC是等边三角形. .(2x-y+1)2≥0，(x十2)2≥0， 如图2，过点E作ET⊥HC,垂足为T. .原式W>≥-2， 即原式W的最小值为一2. 解法二：令W=5.x2-4xy+y2-2y+8x+3.由题意 得：5x2+(8-4y)x+(y2-2y+3-W=0. x为实数，∴方程有实数根. .(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)≥0， 即5W>≥(y+3)2-10≥-10， 图2 .W≥-2， ,设EH=CH=2xcm, .W的最小值为-2. H-(6-2x)cm,HTCH-em 故答案为：一2. 例3解：(1)如图1所示，连接BE,CD. .ET=√EH-HT=√3xcm, .S重蚕=S四边形BHBC=BH·ET=√3x(6-2x)= -2(e2-3x+是-）=-2(-)+ -2√3<0， 当=时5有最大值，最大值为 cm2 图1 例4解：设G(m,m-1),则H(m,m2+bm-1),1≤m≤3. △ABC,△DEF都是等边三角形， 过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平 .∠ACB=∠EDF=60°， 行线， ∴.B,D,C,E四点共圆. 令x2+bx-1=x-1, ,点E是AC的中点， 解得x1=0,x2=1-b. ∠BEC=90°， b≤-2， BC为过点B,D,C,E的圆的直径. .x2=1-b≥3， 又DE=BC=6cm, 点G在H的上方，如图1. .DE为过点B,D,C,E的圆的直径， 点H为圆心， .'.EH=BH, ∴.∠HBE=∠HEB=30°， ∴∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°， .BGEH,BH∥EG, .四边形BHEG是平行四边形 又EH=BH, 图1 ,∴.四边形BHEG是菱形， 设GH=t,则t=-m2+(1-b)m, 23 其对称辅为m且≥ ①当号<2≤3时，即-5<b<-2 由图2可知， D 当加-时取得最大值4， 设直线EC的解析式为y=kx十b, 解得b=-3或b=5(舍去). b-4, l8k+b=6, 1 k一4 解得： b=4. 1 ∴直线EC的解析式为y=x+4, ,直线OA的解析式为y=x, 图2 y=x, -号 ②当28时，得K5 联立 解得 y= 4x+4, 16 y=3 由图3可知， 当m=3时，t取得最大值4， P(侣)为 解得6=9合去》. 故选D. 例2解：如图，连接AC,交EF于点O. D、F 112 E 四边形ABCD是矩形， .AB∥CD,∠B=90° 图3 AB=√3，BC=1, 综上所述，b的值为一3. .AC=2. [学习实践] :动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单 1.D2.B 位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动， -x+70(22≤x≤30) 3.(1)y= ∴.CF=AE. (2)当销售价格为35 -2x+100(30<x≤≤45) .AB//CD, 元/kg时，利润最大为450元. .∠ACD=∠CAB. 专题13几何最值问题 又，∠COF=∠AOE, [学习领航] .△COF≌△AOE(AAS), 例1解：，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(8,8), .AO=C0=1. .AB=OB=8,∠AOB=45°. .AG⊥EF, “品-日点D为0B的中点， .点G在以AO为直径的圆上运动， ∴.AG为直径时，AG有最大值为1. ∴.BC=6,OD=BD=4, 故选D. ∴.D(4,0),C(8,6). 例3解：如图，过点C作CK⊥I于点K,过点A作AH⊥ 如图，作点D关于直线OA的对称点E,连接EC BC于点H. 交OA于点P,则此时，四边形PDBC周长最小， 在Rt△AHB中， E(0,4). :∠ABC=60°，AB=2,专题12 代数最值问题 专题12代数最值问题 【学习要点】 定义：在代数式中，使某个代数式取得最大或最小值的数据 代数最值定义 分类：绝对值最大最小、平方最值、平方和最值等. 配方法：将代数式化简为完全平方式，再进行计算 求代数最值的 代数运算：通过计算符号对代数式进行变形，以 代数最值 方法 求得最值 图像法：将代数式化为函数形式，通过函数图像来 判断最值」 几何问题：利用代数最值解决几何问题，如三角形 代数最值的 的最值、圆的最值等 实际应用 实际应用问题：利用代数最值解决最值问题. 【学习领航】 例1已知实数m,n满足m2十n2=2十mn,则(2m一3n)2+(m十2n)(m-2n)的最大值为多 少？ 考点追踪：此题主要考查了完全平方公式、整式的乘法，化简(2m一3n)2十(m十2n)(m一2m) 以及求出mn的范围是解本题的关键， 试题精析：先化简(2m一3n)2十(m十2n)(m一2m)=10一7mn,再判断出mn的范围，即可求出 答案。 解题逻辑： 化简（2m-3n)2+(m+2n)(m-2n） 10-7mn 代数式的最值 m2+n2=2+mn (m+n)2=2+3mn mn的范围 80 专题12 代数最值问题 例2若W=5x2一4xy十y2一2y十8x十3(x,y为实数)，则W的最小值为多少？ 考点追踪：本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方十常数” 的形式是解题的关键 试题精析：将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案， 解题逻辑： 解法一 5x2-4xy十y2-2y十8x十3→乘积项：一4xy,-2y,8x→ 配方成(2x-y十1)2+(x十2)2-2 解法二： 5x2-4xy+y2-2y+8x+3 主元法，看成是x的一元二次方程 方程有根（△≥0） 5x2+(8-4y)x+(y2-2y+3-W)=0 专题12 代数最值问题 例3将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC,DEF叠放在一起，使，点E,B分别在边AC, DF上（端点除外），边AB,EF相交于点G,边BC,DE相交于点H. (1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 (2)如图2，若EF∥BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值. 图1 图2 考点追踪：本题主要考查了二次函数的应用、等边三角形的性质与判定、平行四边形的性质与 判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键， 试题精析：(1)连接BE,CD,先证明四边形BHEG是平行四边形，再根据EH=BH,得出四 边形BHEG是菱形. (2)过点E作ET⊥HC.设EH=CH=2xcm,则BH=(6-2x)em,HT=CH xcm,ET=√EH-HT=V3xcm,S重垂=Sa边形BHc=BH·ET=√3x(6-2x)= -2,5-8x+是)=-25(-}+，得出当元=8时，S有装大值，大值为 9 2cm2. 解题逻辑： (1) ∠ACB=∠EDF=60° B,D,C,E四点共圆 BC为圆的直径 点E是AC的中点 ∠BEC-90° DE为圆的直径 BC=DE BG∥EH,BH∥EG ∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=3O EH=BH H为圆心 四边形BHEG是平行四边形 四边形BHEG是菱形 EH=BH 82 专题12 代数最值问题 (2 △ABC,△DEF都是等边三角形 四边形BHEG是平行四边形 △EHC是等边三角形 EF∥BC 设EH=CH=2x S重叠=S四边形HBG 8e-25(x+9 例4在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx一1(b为常数).当b≤一2时，过直 线y=x一1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的最大值为4，求 b的值. 考点追踪：本题考查二次函数的综合应用、二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的 关键 试题精析：设G(m,m一1)，则H(m,m2十bm-1),1≤m≤3，求出x2=1-b≥3，得到点G在 H的上方设GH=1,故1=一m+1-6,头对轴方m1号，分为是号字≤3和 号之一3两件情况计论脚可。 83 专题12 代数最值问题 解题逻辑： 设G(m,m-1)月 H(m,m2+bm-1） x2+bx-1=x-1 解得x,=0,x2=1-b →点G在H的上方 设GH=,则t=-m2+(1-b)m 对称轴为m=空，且字≥多 【学习实践】 1.若实数x,y,m满足x+y十m=6,3x一y十m=4,则代数式-2xy十1的值可以是() A.3 R月 C.2 n号 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB=30°，∠ADC=60°，BC=CD=2.若线段 MN在边AD上运动，且MN=1,则BM2+2BN的最小值是 () A号 N D D.10 84 专题12 代数最值问题 3.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg, 不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数 关系如图所示. (1)求y关于x的函数表达式. (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利 润是多少？（销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量) 48. 40 10------ 223045x 85