专题10 相似形与锐角三角函数-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题10相以形与锐角三角函数 专题10相似形与锐角三角函数 【学习要点】 相似图形 →位似图形 →应用 ①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似： 相似多边形 判定 ②三边成比例的两个三角形相似： ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似， 相似三角形 ①相似三角形的对应角相等； 性质 ②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形对应线段的比等于相似比： ④相似三角形的周长比等于相似比； ⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方. 直角三角形 相似的直角三角形 的边角关系 ∠A的正弦sin∠A=乙A的对边 斜边 锐角三角函数 ∠A的余弦cos4=∠A的邻边 特殊角的 斜边 三角函数 ∠A的正切tan∠A= ∠A的对边 ∠A的邻边 解直角三角形 实际问题 【学月领航】 例1如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 ( D B A.5 B.6 n号 考点追踪：本题主要考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式，解题的关键在于证 明三角形相似， 试题精析：寻找相似三角形，再根据三角形的面积关系求得结果. 65 专题10相似形与锐角三角函数 解题逻辑： AB∥CD △ABE∽△CDE 品2 EG-S-9 例2如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面 A 的高度为60cm;当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度 为90cm.则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是 () A.36 cm B.40 cm 77777777777 C.42 cm D.45 cm 考点追踪：本题考查了相似三角形的应用，构造A字形相似三角形是解题的关键 试题精析：当A端碰到地面时，过，点B作BC⊥AH于点C,再证明△AOH∽△ABC,可得 OH AO BC一AB:当B端碰到地面时，过点A作AD⊥BH于点D,再证明△BOHO△BAD,可得 OH OB AD AB ,最后进行计算即可解答， 解题逻辑： OH⊥AC, ∠AHO=∠ACB=90 BC⊥AC △AOH∽△ABC OH AO BC AB ∠OAH=∠BAC OH⊥BD, AD⊥BD ∠BHO=∠BDA=90° △BOH∽△BAD OH BO AD AB ∠OBH=∠ABD OHOH OH=36 OH⊥.OHAO⊥BOAO+BOAB 60 90 BC AD ABAB AB AB 例3四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如 B 图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支 7 架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN,垂足为点H), 篮板 在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN),EF是可以调 伸缩臂 GF 节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架 BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板 的高度).已知AD=BC,DH=208cm,测得∠GAE=60时，点C地面7 H 离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF,将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高 度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6） 考点追踪：本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助 线构造直角三角形是解题的关键。 试题精析：当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA,交HA的延长线于点K,根据已知易证 BC∥AH,可得四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD,然后利用平行线的性质可得 ∠ADC=∠GAE=60°，再根据已知求出DK=80cm,最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函 66 专题10相似形与锐角三角函数 数求出CD的长，当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA,交HA的延长线于点Q,求出 ∠ADC=∠GAE=54°，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数求出DQ=96cm,然后计算DQ DK的值，即可解答 解题逻辑： BC⊥MN, AH⊥MN BC∥AH 四边形ABCD是平行四边形 AD-BC AB∥CD ∠ADC=∠GAE-60° ∠CDQ=∠GAE-54° DK=80 CD=160 在Rt△CDK中，cos∠CDK=DK CD 在R△CDQ中，sCD-2品 点C离地面的高度升高约16cm D0-DK=16DQ-96 例4图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组 也类比进行了如下探究：如图2，正人边形游乐坡A1A,AA,AA,A,Ae的边长为号km,南 门O设立在A；A,边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,A6A,在BM上（门 宽及门与道路间距离忽略不计)，东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在A1处 测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上. 6 专题10相似形与锐角三角函数 C A3 59 A2 459 A 4 As M B 图1 图2 (1)∠CA1A2= °，∠CA2A1= (2)求点A1到道路BC的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，她离B处不超过多少千米，才能 确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？ (结果精确到0.1km,参考数据：√2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86， tan59°≈1.66) 考点追踪：本题考查了正多边形的外角、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，掌握 综合推理能力是解题的关键 试题精析：(1)求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； (2)过点A1作A1D⊥BC于点D,解Rt△A1A2C,求出A1C=A1A2·tan∠CA2A1= 2W2km再解Rt△CA1D,求出A1D=A1C·cos∠CA1D=2.0km; (3)连接CAg并延长交BM于点E,延长A1A8交BE于点G,解Rt△A,AgG,求出 AG,证明△EAG∽△ECB,根据对应边成比例求解即可」 解题逻辑： (1) 正八边形的外角=360° =45 8 ∠CAA2=45°+45°=90° 正八边形的内角=180°-45°=135° ∠CA2A,=360°-59°-90°-135°=76° (2) Rt△AA,C中，tan∠CA,4,=4C 4,C=44,·am76°=号×4-2万 AA Rt△CA,D中，cos∠CAD= AC A,D=A,C·c0s45 AD-2 68 专题10相以形与锐角三角函数 (3) Rt△4，A,G中，sinA,4,G=A,C AAs AG=AAg·sin45° BC2+5 CD-2 BD=2+1 BD=A G 2 2 A,G=2+1 2 AsG EG △EAG∽△ECB AG∥BC ∠A,GAg= BC EB ∠ABC=909 EB-2 2+5 EB EB≈2.4km 2 69 专题10相似形与锐角三角函数 例5在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶，点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形 沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对 称.例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE,再将△ADE沿过点A的 直线L翻折，得到△AFG,则△ABC和△AFG成自位似轴对称. D 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC,CD⊥AB,垂足为D.下列3对三角形： ①△ABC和△ACD;②△BAC和△BCD;③△DAC和△DCB.其中成自位似轴对称的是 (填写所有符合要求的序号) (2)如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE,Q是DE上一点，用直尺和 圆规作点P,使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）， (3)如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE=∠C,∠BAE= ∠CAD,连接DE.求证：DE∥AC. 考点追踪：本题考查了轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解 决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形。 试题精析：(1)作出图形，进而得出结果； (2)先作出△ADE关于对称轴的对称△ADE',进而作出，点Q的对称点Q',进一步得出 结果； B延长BE,交AC于F,可延得△ABE∽△ACD,得把=，再证明△4BF☑ △ACB,得AB-BF .BE BF ACCB,所以CDCB,进而得出BE=EF,进一步得出结论. 解题逻辑： (1)如答图1，△ACD可以由△ABC经过缩小得到△ACD',再沿着过，点A的直线翻折得到 如答图2，△BCD可以由△ABC经过缩小得到△BCD',再沿着过，点B的直线翻折得到 (2) AE=AE △ADE由△ABC缩小得△AD'E, ∠DAE=∠D'AE △ADE≌△AD'E 再沿着过点A的直线翻折得到 AD=AD 以点D'为圆心、DQ为半径画弧， 交DE于Q',连接AQ',延长AQ 交BC于点P 点P即为所求 70 专题10相似形与锐角三角函数 (3)∠ABE=∠C, △ABE∽△ACD AB BE ∠BAE=∠CAD AC CD 路器 ∠BAF=∠CAB △ABF∽△ACB AB BE ∠ABF=∠ACB AC CB 点D是BC的中点 DE∥AC 点E是BF的中点 器= 专题10相似形与锐角三角函数 【学习实践】 1.花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔一阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝 塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C 的仰角∠CAE=45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE= 53°，AB=10m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在 一条直线上，FG=1.5m,GD=2m. (1)求阿育王塔的高度CE; (2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED (注：结果精确到0.01m,参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327) GD 专题10相似形与锐角三角函数 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=√5，BC=2√5，点F在AB 上，连接CF并延长，交⊙O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为E. (1)求证：△DBEp△ABC; (2)若AF=2,求ED的长， C o E DAC ∴是C2距 2 CG B(E) M 品证 图3 BE=-号cG+6 在△BOH和△AOD中， BE随CG的增大而减小. ∠BHO=∠ADO, 综上所述： ∠BOH=∠AOD, 当CG≥6时，BE随CG的增大而增大； OB=OA, 当3<CG<6时，BE随CG的增大而减小. ∴.△BOH≌△AOD(AAS), 专题10相似形与锐角三角函数 .'.AD=BH=3, 学习领航] .AC=2AD=6, 例1解：如图，过点E作EG⊥AB于点G,交CD于点H, ..AB=AC=BC=6, 则GH⊥CD △ABC为等边三角形， CD∥AB, ∴.∠BAC=∠ACB=60°， '.△ABE∽△CDE, .∠CAG=30°，∠CAG+∠G=60°， .∠G=30°=∠CAG, 器部音- ..CA=CG=6. ②当CG≥6时，如图4，过点A作直径AM,交BC于 ·BG=2。 -3 GH-- 8 3 3, 点H .S阴=S△ABE= 2AB·EG= 24X816 331 故选C. 图4 B G ∠E=∠CAH,∠EDC=∠AHC=90°， 例2解：如图1，过点B作BC⊥AH,垂足为点C. ∴.△ACHp△ECD, 畏。 32 H ACEC' 图1 .OH⊥AC,BC⊥AC, CG 3 2 ∠AHO=∠ACB=90° ∴GBE+6' :∠OAH=∠BAC, :BE-0G-6 ∴.△AOH∽△ABC, .BE随CG的增大而增大 器品 ③当3<CG<6时，如图5，连接AO,交BC于点M. 如图2，过点A作AD⊥BH,垂足为点D. '∠ACM=∠DCE,∠EDC= A ∠AMC=90°， M/E 0 ∴.△AMC∽△EDC, D B -儡 图5 图2 19 ,OH⊥BD,AD⊥BD, 高约16cm. ∴.∠BHO=∠BDA=90°. 例4解：(1)正八边形A1A2A3A4AA6A,A8的外角= ,∠OBH=∠ABD, 360° 8=45, .△BOH∽△BAD, .∠CA1A2=45°+45°=90°. 阳 .正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内角=180° 45°=135°， 器+器器器” AB AB1. ∴∠CA2A1=360°-59°-90°-135°=76. .BC=60,AD=90, 故答案为90；76. ÷00+90-1 (2)如图，过点A1作A1D⊥BC于点D. 由题意得，∠CA1D=45°. 解得：OH=36. 在R△A1A,C中，tan∠CA,A,=A,A:' AC '.跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是 36cm. 六AC=AA2·tan76≈2 2 ×4=2/2(km). 故选A 例3解：点C离地面的高度升高 在Rt△CA:D中，cos∠CA,D=AD AC 理由：如图1，当∠GAE=60时，过点C作CK⊥HA, AD=A1C·cos45°=2W2X号=2.0k 交HA的延长线于点K. 答：点A1到道路BC的距离为2.0千米. .BC⊥MN,AH 小 (3)如图，连接CAg并延长交BM于点E,延长A1Ag ⊥MN, 交BE于点G ∴.BC∥AH. 篮板 E ∠A,AgG=∠A8A,G=45, .AD=BC, D伸缩臂 ∴.∠A,GA8=90° ∴.四边形ABCD是平 在Rt△A,A,G中，sin∠AA,G=A,A。, ABG 行四边形， ..AB//CD, 地面 H AG=AA·5-号x号-m ∴∠ADC=∠GAE= M 60. 图1 A,G=A1A+A,G=巨，km, 2 ,点C离地面的高度 为288cm,DH=208cm, :CB-CD+BD-5km. 2 ∴.DK=288-208=80(cm) .∠A,GA8=∠MBC=90°，∴.AG∥BC, 在Rt△CDK中，coS∠CDK=D ∴.△EA,G∽△ECB, D DK 80 4器 ..CD= c0s60°= 1 =160(cm). 1 2 EB-2 如图2，当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA,交HA √2+5 EB 2 的延长线于点Q. 得EB≈2.4km. :AB//CD, ∴∠CDQ=∠GAE= 答：小李离点B不超过2.4km,才能确保观察雕塑不 篮板 会受到游乐城的影响。 54 在Rt△CDQ中， D伸缩臂 cos∠CDQ-CD, DQ A3 59 ∴.DQ=CD·c0s54°≈ H 45 160X0.6=96(cm). 地面 后 D .96-80=16(cm),. 图2 As 点C离地面的高度升 M AE G 例5(1)解：如图1,2 答：阿育王塔的高度CE约为40.58m. D (2)由题意知：∠CED=∠FGD=90°，∠FDG=∠CDE, .∴.△FGDC∽△CED, D C 器品脚6品 图1 图2 解得ED≈54.11m 故答案为①②. 答：小亮与阿育王塔之间的距离ED约为54.11m. (2)解：如图3. 2.(1)证明：AB为直径， ∴.∠ACB=90°. BE⊥CD, ∴∠BED=90° ,BC所对的圆周角为∠BDE和∠BAC, .∠BDE=∠BAC, 图3 .△DBEp△ABC 以点A为圆心、AE为半径画弧交AC于E',以点A (2)解：如图，过点C作CG⊥AB,垂足为G 为圆心、AD为半径画弧，交AB于D',以点D'为圆 ,∠ACB=90°，AC=√5，BC=25, 心DQ为半径画弧，交D'E于Q',连接AQ',延长 AQ交BC于点P,则点P就是求作的点. ∴AB=√AC2+BC=5. (3)证明：如图4，延长BE,交AC于点F CG⊥AB, :∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD, AG-ACc0s A-5x5 s1, '.△ABEC∽△ACD, .AF=2, 提器 ..FG=AG=1, :∠BAF ∠CAB, ∴.CG是AF的垂直平分线， ∠ABF=∠ACB, ∴.AC=FC, .△ABF∽△ACB ∴∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF, 图4 提器 ..BD=BF=AB-AF=5-2=3. .△DBEC∽△ABC, 器腮 .BD_DE AB AC D是BC的中点， 兽 0 5’ ∴ED=35 器 5 .DE∥AC [学习实践] 1.解：(1)在Rt△CAE中， ∠CAE=45°， ..CE=AE. :AB=10m, 专题11 统计与概率 .BE=AE-10=CE-10. [学习领航] 在Rt△CEB中， 例1解：(1)本次调查的样本容量是50÷25%=200， m∠CBE=m3r6是Eo, 20 扇形统计图中C对应圆心角的度数为360°× 200 CE 36° 1.327≈CE-10' 故答案为200,36. 解得CE≈40.58m. (2)B项目的人数为200一54-20-50-46=30.