专题9 圆-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

∴S=20B.HN=号×4zX44-x)=-8(x 1 .∠1=30° 2)2+32. 专题9圆 .-8<0, [学习领航] 例1，AB是圆的直径， .x=2时，△OEH的面积最大， ∴.AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°， ∴0E=4红=8=号BG=0G,0F=5z=10= ,∠1，∠2，∠3，∠4所对的弧的和为半圆. 合Hr=-OH ∴∠1+∠2+∠3+∠4=号×180=90 ∴.四边形EFGH是平行四边形 故答案为90. [学习实践] 例2解：如图，由题意得，OA=2,OB=3. 1.证明：(1)，点O为对角线BD的中点， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线 ..OD-OB. 1的距离最大， :四边形ABCD是平行四边形， 此时，点P到直线l的最大距离是3+2=5. :.DF//EB, 故选B. ∠DFE=∠BEF, 在△DOF和△BOE中， (∠DFO=∠BEO, ∠DOF=∠BOE, DO=BO, .△DOF≌△BOE(AAS). (2),△DOF≌△BOE, 例3解：如图，过点C作CM⊥AB于点M,则AM=BM= .'.DF=EB .DF//EB, AB=5. .四边形DFBE是平行四边形， .'DE=BF. 2.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下： 如图1，作CH⊥AB,垂足为点H,CG⊥AD,垂足为点G. 两个纸条为矩形， .ABCD,AD∥BC, ,六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为 .四边形ABCD是平行四边形. 点O, SCABCD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG, ∠A0B=360 =60° 6 ..AB=AD, .OA=OB, ,.四边形ABCD是菱形 .△AOB是正三角形. :点C是△AOB的内心， ÷∠CAB=∠CBA=号X60=30,∠ACB 2∠AOB=120° 在Rt△ACM中，AM=√3，∠CAM=30°， 图1 图2 ..AC=AM c0s30°=2， (2)如图2，作AM⊥CD,垂足为点M. :S菱形AD=CD·AM=8cm2,且AM=2cm, AB的长为120xX2_4 180 3π， ∴.CD=4cm, 4 花窗的周长为3πX6=8元 .'.AD=CD=4 cm. AM 1 故答案为8π 在Rt△ADM中，sin∠I=AD=2' 例4解：，ACBD,且AC=BD， 15 ∴.四边形ACBD是平行四边形， ∴.OC⊥AB AE-BE-AB. OA=OB,∠AOB=120°， A为定点，且AB⊥L2, ∴∠A0C=∠B0C=2∠A0B=60 AE为定值， .OD=OC,OC=OE, BH⊥CD, ∴.△ODC和△OCE都是等边三角形， ∠BHE=90°， ..OD=OC=DC,OC=OE=CE, .点H在以BE为直径的圆上运动（如图，O为 ∴.OD=CD=CE=OE, 圆心)， .四边形ODCE是菱形. (2)解：如图2，连接DE交OC于点F」 D 此时0E=E=A 图2 四边形ODCE是菱形， :当AH与⊙O相切时∠BAH最大， sn∠BAH-8A-方 OH 1 OF-10 0C=1,DE=2DF,LOFD=90 在Rt△ODF中，OD=2, 故答案为行 ∴.DF=√OD2-OF=√22-1平=√3， 例5(1)证明：如图，连接OE. .DE=2DF=25 .OA=OE, ,∴.图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积一菱形 ∠OAE=∠OEA. ODCE的面积 .'∠EAB=∠EAD, 120元X221 360 OC·DE ∴∠EAD=∠OEA, ∴OEAF. =41 3-2×2X2w3 EF⊥AD, ∴EF⊥OE. =暂-2， :OE是⊙0的半径， EF是⊙O的切线. 即图中阴影部分的面积为好-2V3. (2)解：如图，连接OD 例7解：(1)，CA=CB,∠ACB=60°， AB//DC, ∴.△ABC为等边三角形， ∴∠BAE=∠DEA. .∴.∠BAC=60°. ,∠EAB=∠EAD, ,AD为⊙O的直径， .∠EOB=∠EOD, .∴.∠ABD=∠ACD=90°，∠BAD=∠CAD= ∴·∠EOB=∠EOD=∠DOA=60° 1 ∠BAC=30, .OE∥AF,AB∥DC ∠C=60°. .CD-BD-AD, 例6（(1)证明：如图1，连接OC ∴.AD-BD=CD. 故答案为AD-BD=CD. (2)若∠ACB=60°，点C,D在AB同侧，AD-BD与 CD的数量关系为AD一BD=CD.理由： 延长BD至点E使DE=CD,连接CE,如图1. 图1 .CA=CB,∠ACB=60°， ,⊙O和底边AB相切于点C, ∴.△ABC为等边三角形， 16 ∴.∠BAC=∠ACB=∠ABC ∠ACD=∠BCE, =60° CD=CE, :四边形ABDC为圆的内接四 ∠ADC=∠E, 边形， ∴.△ACD≌△BCE(ASA), ∴∠CDE=∠BAC=60°. ∴.AD=BE. .DE=CD, .BE=BD+DE=BD+2CD.sin- △CDE为等边三角形， 2, '.CE=CD,∠DCE=∠E=60°， 1 AD-BD=2CD·sin2a. ∴.∠ACD=∠ACB+∠BCD=6O°+∠BCD, :∠BCE=∠BCD+∠DCE=6O°+∠BCD, ②当点C,D在AB两侧时，延长DB至点E,使BE= AD,连接CE,过点C作CF⊥DE于点F,如图3. ∴∠ACD=∠BCE. CA=CB,∠ACB=a, :∠ADC=∠ABC=60°， .∠CAB=∠CBA=90° ∴∠ADC=∠E=60°， 1 在△ACD和△BCE中， 2a. (∠ACD=∠BCE, 四边形ACBD为圆的内接 CD-CE, 四边形， ∠ADC=∠E, ∴∠CBE=∠DAC. 图3 .△ACD≌△BCE(ASA), 在△CAD和△CBE中， ..AD=BE. CA=CB, .BE=BD+DE=BD+CD, ∠CAD=∠CBE, ∴.AD=BD十CD, AD-BE, ∴.AD-BD=CD. ∴.△CAD≌△CBE(SAS), (3)①当点C,D在AB同侧时，延长BD至点E,连接 ∴.CD=CE,∠ADC=∠E. CE,使CE=CD,过点C作CF⊥DE于点F,如图2. CA=CB,∠ACB=a, :ZADC=∠ABC=90-7c, ∠CAB=∠CBA=90°-20. ∠E=90- 2a. :四边形ABDC为圆的内接四 CF DE, 边形， ∴∠DCF=∠ECF-2,DF=EF=CD,sinZ, ∠CDE=∠BAC=90-Za 图2 DE-CD sin 1 .CE=CD, 1 ∠CDE=∠E=90°-2a,∠DCE=a. 1 .DE=2CD·sin2a. CF⊥DE, DE=BD+BE=AD+BD, 1 ∴.∠DCF=∠ECF= 1 2a,DF=EF=CD·sin2a, AD+BD=2CD·sin2a. 1 综上，若∠ACB=a,AD,BD,CD满足的数量关系：当 DE=2DF=2CD·sin2a 点C,D在AB同侧时AD-BD=2CD·sin2a;当 :∠ACD=∠ACB+∠BCD=a+∠BCD,∠BCE ∠BCD+∠DCE=a十∠BCD, 点C,D在AB两侧时，AD+BD=2CD·sin之a, ∴.∠ACD=∠BCE. [学习实践] :∠ADC=∠ABC=90°-2a, 1 1.62 ∠ADC=∠E. 2.解：BC与⊙O相切.理由如下： 如图，连接OD. 在△ACD和△BCE中， .OA=OD, ∴.∠OAD=∠ODA, 17 由折叠的性质得： .AB=AC, ∠CAD=∠OAD, .AM⊥BC, ,∠CAD=∠ODA, ,.∠E+∠EOM=90°. ..AC//OD, .AC⊥EF, ∴.∠ODB=∠ACB= ∴∠OAD+∠AOD=90°， 90°， ∴∠E=∠OAD, .OD⊥BC OA=OF, OD是⊙O的半径， ∴∠OAD+∠DAF=∠AFO=∠E+∠G, ∴.BC与⊙O相切. ∴.∠DAF=∠G, 3.解：(1)BD为⊙O的直径， ..AC=CG. ∴.∠BCD=∠DCE=90°. (2)解：AB=AC,AM⊥BC, :AC平分∠BAD, ∴.∠BAM=∠CAM. ∴.∠BAC=∠DAC, 设∠BAM=∠CAM=2a, ∴.BC=DC=22, ∴∠ABC=∠ACB=2Is0-∠BAC=90-2a. ∴.BD=2W2XW2=4. AC=CG, (2)BE=5√2， ∴∠CAG=∠CGA=45°-a, ∴.CE=3√2. ∠BAG=2a十2a十45°-a=45°+3a. .BC=DC, 如图2，连接AE,连接AO,并延长，交BC于点M. S=Sm=2X22×3w反=6. 4.(1)证明：CD=BD 0 .∠CAD=∠DAB. .DE-AD, B ∴∠DAB=∠E, 图2 .∠CAD=∠E. 又.∠C=∠C :EF⊥AC,又EF过圆心， .△CADp△CEA .EF垂直平分AC, (2)连接BD,如图. ∴.EC=AE :AB为直径， ,BM=MC,又EB=CG, ∴.∠ADB=90° ∴.ME=MG, 设∠CAD=∠DAB=a, .AM垂直平分EG, ∴.∠CAE=2a. ..AE=AG 由(I)知：△CADP△CEA, ∴EC=AG. ∴.∠ADC=∠CAE=2a. EB=CG, 四边形ABDC是圆的内接四边形， ..EB+BC=BC+CG, .∠CAB+∠CDB=180°， ..EC=BG, 即2a+2a+90°=180°， ∴AG=BG, 解得：a=22.5°. ∠BAG=∠ABG, .∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45. ∴.45°+3a=90°-2a, 5.(1)证明：如图1，连接AO,并延长，交BC于点M. a=9°， ∴.∠BAC=4a=36° (3)答：当CG=6,BE=0. 当CG≥6时，BE随CG的增大而增大； 当3<CG<6时，BE随CG的增大而减小， 说明：①如图3，过点A作直径AM,交BC于点H.当BE 图1 =0时，即点E与B重合 18 AC ∴是C2距 2 CG B(E) M 品证 图3 BE=-号cG+6 在△BOH和△AOD中， BE随CG的增大而减小. ∠BHO=∠ADO, 综上所述： ∠BOH=∠AOD, 当CG≥6时，BE随CG的增大而增大； OB=OA, 当3<CG<6时，BE随CG的增大而减小. ∴.△BOH≌△AOD(AAS), 专题10相似形与锐角三角函数 .'.AD=BH=3, 学习领航] .AC=2AD=6, 例1解：如图，过点E作EG⊥AB于点G,交CD于点H, ..AB=AC=BC=6, 则GH⊥CD △ABC为等边三角形， CD∥AB, ∴.∠BAC=∠ACB=60°， '.△ABE∽△CDE, .∠CAG=30°，∠CAG+∠G=60°， .∠G=30°=∠CAG, 器部音- ..CA=CG=6. ②当CG≥6时，如图4，过点A作直径AM,交BC于 ·BG=2。 -3 GH-- 8 3 3, 点H .S阴=S△ABE= 2AB·EG= 24X816 331 故选C. 图4 B G ∠E=∠CAH,∠EDC=∠AHC=90°， 例2解：如图1，过点B作BC⊥AH,垂足为点C. ∴.△ACHp△ECD, 畏。 32 H ACEC' 图1 .OH⊥AC,BC⊥AC, CG 3 2 ∠AHO=∠ACB=90° ∴GBE+6' :∠OAH=∠BAC, :BE-0G-6 ∴.△AOH∽△ABC, .BE随CG的增大而增大 器品 ③当3<CG<6时，如图5，连接AO,交BC于点M. 如图2，过点A作AD⊥BH,垂足为点D. '∠ACM=∠DCE,∠EDC= A ∠AMC=90°， M/E 0 ∴.△AMC∽△EDC, D B -儡 图5 图2 19专题9 圆 专题9 圆 【学习要点】 垂径定理：垂直于弦的 点与圆：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧 切线判定：经过半径的外端并 轴对称 且垂直于这条半径的直线。 推论：平分弦（不是直径)》 直线与圆 的直径垂直于弦，并且平 切线性质：圆的切线垂直于过 分弦所对的两条弧， 切点的半径 圆心角定理：在同圆或等 三角形的外心 圆中，相等的圆心角所对 三角形与圆 三角形的内心 切线长定理 的弧相等，所对的弦也相 等 圆周角定理：一条弧所对 四边形与圆：圆内接四边形对角互补 的圆周角等于它所对的圆 中心对称 心角的一半 正多边形与圆 推论：①同弧或等弧所对 的圆周角相等；②半圆 (直径)所对的圆周角是 扇形→圆锥 直角，90°的圆周角所对 的弦是直径 【学习领航】 例1如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一 边分别经过点A,B,则∠1十∠2+∠3十∠4= 0 考点追踪：圆周角定理，半圆的度数为180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半. 试题精析：根据半圆的度数为180°，同孤所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果. 解题逻辑： 同弧所对的圆周角是圆心角的一半 ∠1+∠2+∠3+∠4=90° 半圆的度数为180° 56 专题9 圆 例2在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线1的距离为3，点P为圆上的一个动 点，则点P到直线的最大距离是 () A.2 B.5 C.6 D.8 考点追踪：本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关 系是解决间题的关键。 试题精析：根据圆心到直线1的距离为3，而圆的半径为2，此时直线与圆相离，当点P在⊙O 上运动时，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，根据题意画出 图形进行解答即可， 解题逻辑： 判断点P到直线的距离最大 直线与圆的位置关系 时P的位置 画出草图解得距离 B 例3铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗 示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为 点O,AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心.若AB=2√3，则花窗的周 长（图中实线部分的长度）= (结果保留π) 考点追踪：本题考查正多边形和圆、弧长的计算，掌握正六边形的性质、三角 形的内心的性质以及直角三角形的边角关系、弧长的计算方法，是正确解答的关键， 试题精析：根据正六边形的性质、三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出AB所对 应的圆心角的度数及半径，由孤长公式求出弧AB的长，再计算AB长的6倍即可， 解题逻辑： 根据正六边形的性质 解得AB所对应的圆心角的度数及半径 解得AC 根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系 根据弦长公式 根据花窗的周长与AB的关系求解解得AB 例4如图，已知两条平行线11，l2,点A是11上的定点，AB⊥l2于点 B,点C,D分别是L1,l2上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段 AB于点E,BH⊥CD于点H.则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 专题9 圆 考点追踪：本题主要考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键，其中 识别出隐圆模型至关重要， 试题精析：由题易得四边形ACBD是平行四边形，从而得到BE是定长.又由∠BHE=90°，得 出隐圆模型，再根据相切时∠BAH最大，求解即可. 解题逻辑： 根据平行四边形的判定 四边形ACBD是平行四边形 BE为定值 得出隐圆模型 BH⊥CD 解得sin∠B.AH的值 当AH与⊙O相切时∠BAH最大 例5如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D,与DC交于点E.连 接AE,∠EAB=∠EAD.作EF⊥AD,与AD的延长线交于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)求∠C的度数. 考点追踪：本题考查平行四边形的性质、切线的判定和性质以及圆周角定理，掌握平行四边形 的性质、切线的判定和性质以及圆周角定理是正确解答的关键， 试题精析：(1)连接OE,由等腰三角形的性质以及平行线的判定得出OE∥AD,再根据平行线 的性质得出OE⊥EF,由切线的判定方法即可得出答案； (2)连接OD,根据圆周角定理和平行线的性质可得出∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°， 再根据平行四边形的性质得出答案 解题逻辑： (1)0A=0E ∠OAE=∠OEA OE∥AF ∠EAB=∠EAD EF⊥OE EF⊥AD EF是⊙O的切线 58 专题9 圆 (2)四边形ABCD是平行四边形 AB∥DC ∠BAE=∠DEA ∠EOB=∠EOD-60° ∠EAB=∠EAD OE∥AF,AB∥DC ∠C=60° 例6如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙O和底边AB相切于点C,并与两腰 OA,OB分别相交于D,E两，点，连接CD,CE (1)求证：四边形ODCE是菱形； (2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积. 0 D C 考点追踪：本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、菱形的判定与性质， 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键， 试题精析：(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥AB,然后利用等腰三角形的三线合一性质 可得∠AOC=∠BOC=60°，从而可得△ODC和△OCE都是等边三角形，最后利用等边三角 形的性质可得OD=CD=CE=OE,即可解答； (2)连接DE交OC于点F,利用菱形的性质可得OF=1,DE=2DF,∠OFD=90°，然后 在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长，从而求出DE的长，最后根据图中阴影部分的 面积=扇形ODE的面积一菱形ODCE的面积，进行计算即可解答. 5g 专题9 圆 解题逻辑： (1) ⊙O和底边AB相切于点C OC⊥AB 利用等腰三角形OAB的三线合一性质 ∠AOC=∠BOC=60° △ODC和△OCE都是等边三角形 OD-CD-CE=OE 四边形ODCE是菱形 (2) 根据菱形ODCE的性质 解得OF的长，DF,DE的关系和∠OFD 解得DE,DF的长 利用勾股定理 解得图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积-菱形ODCE的面积 例7在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结 论，然后再研究一般情况，证明结论， 如图，已知△ABC,CA=CB,⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上(AD>BD),连接 AD,BD,CD. 60 专题9 圆 【特殊化感知】 (1)如图1，若∠ACB=60°，点D在AO延长线上，则AD一BD与CD的数量关系为 【一般化探究】 (2)如图2，若∠ACB=60°，点C,D在AB同侧，判断AD一BD与CD的数量关系并说明 理由； 【拓展性延伸】 (3)若∠ACB=a,直接写出AD,BD,CD满足的数量关系.（用含a的式子表示） D 图1 图2 备用图1 备用图2 考点追踪：本题考查了等边三角形的性质和圆的性质等，根据题目的已知条件并结合图形分类 讨论是解题的关键 试题精析：(1)利用等边三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可。 (2)延长BD至点E使DE=CD,连接CE,利用等边三角形的判定与性质、圆的内接四边 形的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可 (3)利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C,D在AB同侧时，延长BD 至点E,连接CE,使CE=CD,过，点C作CF⊥DE于点F,利用圆内接四边形的性质、等腰三 角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到DE=2DF=2CD·sin2a,再利用全等三角 形的判定与性质得到AD=BE,则结论可得；②当，点C,D在AB两侧时，延长DB至点E,使 BE=AD,连接CE,过，点C作CF⊥DE于点F,利用①的方法解答即可. 解题逻辑： (1)利用等边三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质 解得AD,BD,CD的数量关系 AD-BD=CD (2)利用等边三角形的判定与性质、圆的内接四边形的性质、圆周角定理 △ACD≌△BCE(ASA) AD=BE AD-BD-CD 61 专题9 圆 (3) 当点C,D在AB同侧时 利用圆内接四边形的性质、 等腰三角形的性质和直角 DE-2DF-2CD·sin 三角形的边角关系定理 分类讨论 利用全等三角形的判定与性质得到AD=BE AD-BD-2CD·sin 当点C,D在AB两侧时 利用圆内接四边形的性质 等腰三角形的性质和直角 DE-2DF=2CD·sin2a 三角形的边角关系定理 利用全等三角形的判定与性质得到AD=BE AD+BD=2CD·sin 62 专题9 圆 【学习实践】 1.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=. 2.如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD, 点O在边AB上，⊙O经过点A,D.若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明 理由 D 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD,CD=2√2，点E在 BC的延长线上，连接DE. (1)求直径BD的长； (2)若BE=5√2，计算图中阴影部分的面积. B 63 专题9 圆 4,如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O,CD=DB,AB,CD的延长线相交于点E,且 DE=AD (1)求证：△CADU∽△CEA; (2)求∠ADC的度数. B 5.如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为点 D,分别交直线BC,AC于点E,F,射线AF交直线BC于点G. (1)求证：AC=CG (2)若点E在CB的延长线上，且EB=CG,求∠BAC的度数 (3)当BC=6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明 理由 G 64】