专题8 四边形-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题8 四边形 专题8四边形 【学习要点】 四边形 ①两组对边分别相等的四两组对边分别平行 边形是平行四边形： ①平行四边形的对边相等： ②两组对角分别相等的四 判定 性质 ②平行四边形的对角相等： 边形是平行四边形 ③平行四边形的对角线互： ③对角线互相平分的四边 平行四边形 相平分 形是平行四边形： ④一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形 个角是直角一组邻边相等 ①菱形的四条边都相等； ①矩形四个角都是直角：性质 性质②菱形的两条对角线互 ②矩形的对角线相等. 相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角。 ①对角线相等的平行四 边形是矩形； 判定 矩形 菱形 判定四条边相等的四边形是 ②有三个直角的四边形 菱形. 是矩形 正方形 【学习领航】 例1如图，在□ABCD中，点M,N分别在边BC,AD上，且AM∥CN,对角线BD分别交 AM,CN于点E,F.求证BE=DF. 考点追踪：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解 题的关键， 试题精析：连接AC交BD于，点O,根据平行四边形的性质得到AO=OC,BO=DO,根据全等 三角形的性质得到OE=OF,于是得到结论 48 专题8 四边形 解题逻辑： 平行四边形ABCD AO=OC. BO=DO △AOE≌△COF OE=OF AM∥CN ∠EAC=∠FCA BE=DE 例2如图，AM∥BN,AC平分∠BAM,交BN于点C,过点B D 作BD⊥AC,交AM于点D,垂足为O,连接CD.求证：四边形 ABCD是菱形. 考点追踪：本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等 B 腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握菱形的判定定理是解题的关键， 试题精析：由平行线的性质和角平分线定义得∠BCA=∠BAC,则BA=BC,再证∠ABO= ∠ADO,则AB=AD,然后证四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论 解题逻辑： AM∥BN ∠DAC=∠BCA ∠BCA=∠BAC BA=BC AC平分∠BAM ∠DAC=∠BAC BD⊥AC ∠AOB=∠AOD=90° ∠ABO=∠ADO AB=AD 平行四边形 BD⊥AC 四边形ABCD是 AD∥BC ABCD是菱形 平行四边形 AD=BC 49 专题8 四边形 例3如图，点E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF,CE相交于点M, 连接AG,CH相交于点N. D (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； E (2)若□AMCN的面积为4，求口ABCD的面积 考点追踪：本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形 重心性质的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质。 试题精析：(I)依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN,依据四边形AECG是平行 四边形，可得ANCM,进而得出四边形AMCN是平行四边形， (2)连接AC,依据三角形重心的性质，即可得到S△ACN= 3SaMm,再根据CH是△ACD 的中线，即可得出S△ACN= 3 SAACD,进而得到SAMCN= SBABCD,依据□AMCN的面积为4， 3 即可得出结论 解题逻辑： (1)点F,H为BC,AD中点 四边形AFCH AH∥CF 是平行四边形 AM∥CN 四边形AMCN 是平行四边形 点E,G为AB,CD中点 四边形AMCN AE∥CG 是平行四边形 AN∥CM (2)H,G分别是AD CD的中点 CN=2HN AC SAACD CH是△ACD的中线 S△cH2S△cD SOABCD=12 SGAKN号SaHD 50 专题8 四边形 例4综合与探究. 【问题情境】 如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥AD于点F. E C 图1 【猜想证明】 (1)判断四边形AECF的形状，并说明理由. 【深入探究】 (2)将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG,点E,B的对应点分别为点 G,H. 如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD,CD交于点M,N.猜想线 段CH与MD的数量关系，并说明理由. 图2 考点追踪：本题主要考查了四边形综合以及菱形的性质、矩形的判定和性质、旋转的性质，熟练 掌握这些基础知识是解题关键。 试题精析：（①）根据矩形的判定方法（有三个角是直角的四边形是矩形）很容易证出； (2)先证△HAM≌△DAC,得出AM=AC,减去公共边得出CH=MD. 解题逻辑： (I)AE⊥BC,CF⊥AD ∠AEC=90°，∠AFC=90 四边形AECF 为矩形 四边形ABCD为菱形 AD∥BC ∠ECF=909 51 专题8 四边形 (2 菱形ABCD AB=AD, ∠B=∠D AH-AD, ∠H=∠D AB=AH, 旋转 ∠B=∠H △HAM≌△DAC ∠HAM=∠DAC=∠D AM=AC CH=MD 例5已知，点E,F,G,H分别在正方形ABCD的边AB,BC,CD,AD上. (1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB. (2)如图2，已知AE=AH,CF=CG,当AE,CF的大小有 关系时，四边形 EFGH是矩形. 52 专题8 四边形 (3)如图3，AE=DG,EG,FH相交于点O,OE:OF=4：5,已知正方形ABCD的边长 为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明 你的结论， D 图1 图2 图3 考点追踪：本题属于四边形综合题，考查正方形的性质、矩形的判定和性质、平行四边形的判定 和性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角 形解决问题，学会利用参数构建二次函数，解决最短问题，属于中考压轴题. 试题精析：(1)证明△AEH≌△BFE(AAS),推出AH=BE,可得结论 (2)当AE=CF时，四边形EFGH是矩形.根据有三个角是直角的四边形是矩形证明 即可 (3)如图3中，过点H作HM⊥BC于，点M,交EG于点N.四边形AEGD是平行四边形， 单出AD/G.GC,可得0E=,0F=,HN=h:到合02，可 得h=4(4-x),可得S-2OE·HN= X4xX4(4-x)=-8(x-2)2+32,可知x=2时， 2 △OEH的面积最大，求出OE,OG,OH,OF的长，可得结论 解题逻辑： (1)正方形ABCD ∠A=∠B=90° ∠AEH+∠AHE=90° ∠BEF=∠AHE △AEH≌△BFE ∠HEF=909 正方形EFGH AH=BE EH=EF AE+AH=AE+BE=AB (2) AB=CD=AD=BC, 正方形ABCD ∠A=∠B=∠C=∠D=90° BE=BF.DH-DG AE=AH,CF=CG ∠AEH=∠BEF=45° 四边形EFGH是矩形 同法可证，∠EHG=∠EFG=90 ∠HEF=90° 53 专题8 四边形 (3)0 正方形ABCD AB∥CD 四边形AEGD 是平行四边形 AD∥EG EG∥BC AE-DG S=-8x-22+32 h=4(4-x) 设OE=4x,OF=5x HN=h x=2时，△OEH的 OE=4x=8=号EG=OG 面积最大 OF=5x=10=HF=OH 四边形EFGH是平行四边形 【学习实践】 1.如图，在□ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB,DC于点E,F, 连接DE,BF, 求证：(1)△DOF≌△BOE;(2)DE=BF. 54 专题8 四边形 2.如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD. 图1 图2 (1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为2c,将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为 8cm,求此时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数. 55..BC=AB=2. 13 当BC=2√2时，过点A作AH⊥BC于点H. ∴.SAAPQ=261 如图2： 13 同理SAAPR=2一6 4(4) .两块三角板重叠部分图形的面积为1 3 3 (3)连接AF,如图5： 图2 .'AB=AC, ∴BH=CH=2x-E, BH=瓦， ASm∠BAH-A 图5 :AB=AC,F为BC中点， .∠BAH=45°， ∴.∠AFB=90°， ,∠BAC=2∠BAH=90° ∴F的运动轨迹是以AB为直径的圆， .a=120°-90°=30°. 如图3： ∴点F的运动路径长为2x×9=2元 2 故答案为2元 专题8四边形 [学习领航] H 例1证明：连接AC交BD于O. 4(A) ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=OC,B0=DO. .AM//CN, 图3 ∴.∠EAC=∠FCA. 同理可得∠BAC=90°. 在△AOE与△COF中， ∴.a=60°+90+60°=210° ∠EAC=∠FCO, ∴.当BC=2√2时，a=30°或210° AO-CO, 故答案为2,30或210. ∠AOE=∠COF, (2)如图4： ∴.△AOE≌△COF(ASA), ,∠ADB=90°，∠B=30°，AB=2, A(A') ..OE=OF, .AD=1. ∴.BO-OE=OD-OF, a=90°， 即BE=DF. .∠BAC=60°+60°-90°=30°， 例2证明：AM∥BN, .∠QAD=∠BAD-∠BAC=30°， .∠DAC=∠BCA. DQ-AD_/3 图4 .AC平分∠BAM, 33, ∠DAC=∠BAC, Saw=2x1x写-5 1 ∠BCA=∠BAC, 36 ∴.BA=BC. ∠D'=∠D'AD=∠D=90°，AD=AD', .BD⊥AC .四边形ADPD是正方形， ∠AOB=∠AOD=90° .'.DP=AD=1, ,∠DAC=∠BAC, 1 1 SAAPD=2X1X1=2, ∠ABO=∠ADO, ∴.AB=AD, 13 ∴.AD=BC :∠HAM=∠DAC, .AD∥BC, .△HAM≌△DAC, ,四边形ABCD是平行四边形. ∴.AM=AC, 又BD⊥AC, ∴.AH-AC=AD-AM, ∴.平行四边形ABCD是菱形 ∴.CH=MD. 例3解：(1)·点E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各 例5(1)证明：如题图1中， 边的中点， ,四边形ABCD是正方形， ..AH//CF,AH=CF, ∴.∠A=∠B=90°， ∴.四边形AFCH是平行四边形， ∴.∠AEH+∠AHE=90°. ∴.AM/CN. :四边形EFGH是正方形， 同理可得，四边形AECG是平行四边形， ∴.EH=EF,∠HEF=90°， ∴.AN∥CM, ∴∠AEH+∠BEF=90°， ∴.四边形AMCN是平行四边形. .∠BEF=∠AHE. (2)如图所示，连接AC. 在△AEH和△BFE中， H,G分别是AD,CD的中点， ∠A=∠B=90°， ∴点N是△ACD的重心， ∠AHE=∠BEF, ∴.CN=2HN, EH-FE, Ss-号5oa .△AEH≌△BFE(AAS), .'.AH=BE, 又CH是△ACD的中线， ∴.AE+AH=AE+BE=AB. 1 SACH-7SAACD (2)解：当AE=CF时，四边形EFGH是矩形， 理由：如题图2中， Sm-gsam ,四边形ABCD是正方形， 又，AC是☐AMCN和□ABCD的对角线， AB=CD=AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 1 .AE-AH,CF-CG ∴BE=BF,DH=DG, 又□AMCN的面积为4， ∴.∠AEH=∠BEF=45, .□ABCD的面积为12. ∴.∠HEF=90, 同法可证，∠EHG=90°，∠EFG=90° ∴.四边形EFGH是矩形 故答案为AE=CF. B (3)解：结论：四边形EFGH是平行四边形 例4解：(1)四边形AECF为矩形.理由如下： 理由：如图，过点H作HM⊥BC于点M,交EG于 .AE⊥BC,CF⊥AD, 点N. ∴∠AEC=90°，∠AFC=90°. .四边形ABCD是正方形， LI ,四边形ABCD为菱形， .AB∥CD. ..AD//BC, :AE=DG,AE∥DG, ∴.∠AFC+∠ECF=180°，∠ECF=180 .四边形AEGD是平行四边形， -∠AFC=90°： :.AD//EG, 四边形AECF为矩形. ∴.EGBC, (2)CH=MD.理由如下： :四边形ABCD为菱形， 品 .AB=AD,∠B=∠D. .OE:OF=4:5, ,△ABE旋转得到△AHG, AB=AH,∠B=∠H. 设0E=4红，0F=5z,HN=,则品-202052 ∴AH=AD,∠H=∠D. ∴.h=4(4-x), ∴S=20B.HN=号×4zX44-x)=-8(x 1 .∠1=30° 2)2+32. 专题9圆 .-8<0, [学习领航] 例1，AB是圆的直径， .x=2时，△OEH的面积最大， ∴.AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°， ∴0E=4红=8=号BG=0G,0F=5z=10= ,∠1，∠2，∠3，∠4所对的弧的和为半圆. 合Hr=-OH ∴∠1+∠2+∠3+∠4=号×180=90 ∴.四边形EFGH是平行四边形 故答案为90. [学习实践] 例2解：如图，由题意得，OA=2,OB=3. 1.证明：(1)，点O为对角线BD的中点， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线 ..OD-OB. 1的距离最大， :四边形ABCD是平行四边形， 此时，点P到直线l的最大距离是3+2=5. :.DF//EB, 故选B. ∠DFE=∠BEF, 在△DOF和△BOE中， (∠DFO=∠BEO, ∠DOF=∠BOE, DO=BO, .△DOF≌△BOE(AAS). (2),△DOF≌△BOE, 例3解：如图，过点C作CM⊥AB于点M,则AM=BM= .'.DF=EB .DF//EB, AB=5. .四边形DFBE是平行四边形， .'DE=BF. 2.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下： 如图1，作CH⊥AB,垂足为点H,CG⊥AD,垂足为点G. 两个纸条为矩形， .ABCD,AD∥BC, ,六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为 .四边形ABCD是平行四边形. 点O, SCABCD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG, ∠A0B=360 =60° 6 ..AB=AD, .OA=OB, ,.四边形ABCD是菱形 .△AOB是正三角形. :点C是△AOB的内心， ÷∠CAB=∠CBA=号X60=30,∠ACB 2∠AOB=120° 在Rt△ACM中，AM=√3，∠CAM=30°， 图1 图2 ..AC=AM c0s30°=2， (2)如图2，作AM⊥CD,垂足为点M. :S菱形AD=CD·AM=8cm2,且AM=2cm, AB的长为120xX2_4 180 3π， ∴.CD=4cm, 4 花窗的周长为3πX6=8元 .'.AD=CD=4 cm. AM 1 故答案为8π 在Rt△ADM中，sin∠I=AD=2' 例4解：，ACBD,且AC=BD， 15