专题7 三角形-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

.B(1750,21875). ∴.△ACE是等边三角形， 把B的坐标代入解析式得：21875=1750k,解得= ∠ACE=60. 12.5. 例3 (1)证明：.·∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B十 .当一次性销售不低于1750千克时函数解析式为y= ∠BAE=∠AED+∠CED, 12.5x. ∠BAE=∠CED. 当y=22100时，则22100=12.5x,解得x=1768. 在△ABE和△ECD中， 综上所述，当一次性销售为1300或1700或1768千克 |∠BAE=∠CED, 时利润为22100元. ∠B=∠C, 3.解：(1)由题意得：y1=x(x-2)=x2-2x. BE=CD, 而y2过(2,0)，(4,0)，则y2=(x-2)(x-4)= ,∴.△ABE≌△ECD(AAS), x2-6x+8. ..AE=ED, (2)设点P(p,p2一2饣)、点A(2,0),直线PA的表达式 ∴.∠EAD=∠EDA, 为：y=k(x一2). (2)解：.∠AED=∠C=60°，AE=ED, 将点P的坐标代入得：p2-2p=k(p一2)， △AED为等边三角形， 解得：=p,则直线AP的表达式为：y=p(x一2). ∴.AE=AD=ED=4. 联立上式和抛物线的表达式得：x2-6x十8=p(x一2)， 过A点作AF⊥ED于点F, 解得：xQ=4十p,则x0一xp=4十p一p=4. .EF-ED-2, (3)由(1)知，y1=x(x-2)=x2-2x, 联立1得2-2=2-x十，颜得=行， ∴.AF=√AE2-EF2=VW42-22=23, SAm=2ED·AF=2×4X2原=45. 则点C(合-) 由点C,M的坐标得，直线CM的表达式为：y= (m+名-2)z-日m 联立上式和y的表达式得：x2一8x十t= 例4证明：(1)AD⊥BC, (m+日-2)z-m, ∴·∠ADB=∠ADC=90°， 整理得：x2-(6+m+后)r+(+石m4=0, 在△ADB和△ADC中， AD-AD, 则xc+N=6+m+名，即名+n=6+m+名， ∠ADB=∠ADC, BD-CD. 即n一m=6,即|m一n=6为定值. ∴.△ADB≌△ADC(SAS), 专题7三角形 ∴∠B=∠C [学习领航] (2)小军的证明过程： 例1解：A.5十7=12，不能构成三角形，故此选项不合题 分别延长DB,DC至E,F两点，使得BE=BA,CF= 意；B.7+7<15,不能构成三角形，故此选项不合题 CA,如图所示. 意；C.6十9<16，不能构成三角形，故此选项不合题 意；D.8十6>12，能构成三角形，故此选项符合题意. 故选D. 例2(1)证明：在△ABC和△ADE中， E… BC=DE, .AB+BD=AC+CD, ∠B=∠D, ∴.BE+BD=CF+CD, AB=AD. ..DE=DF. ∴.△ABC≌△ADE(SAS). AD⊥BC, (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE, ∠ADE=∠ADF=90°. ,∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°， 在△ADE和△ADF中， 11 AD-AD, ∴∠EFG=∠FGQ, ∠ADE=∠ADF, ∴.EM=MG=MF DE=DF, [学习实践] ∴.△ADE≌△ADF(SAS), 1.(-2,-1) ∴∠E=∠F 2.(1)证明：在△BCD和△FCE中， .BE=BA,CF=CA, (BC=FC, .∠E=∠BAE,∠F=∠CAF ∠BCD=∠FCE, ,∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF, CD-CE ∴.∠ABC=∠ACB. .△BCD≌△FCE(SAS), 小民的证明过程： .∠DBC=∠EFC, AD⊥BC, ∴.BD∥EF ,·△ADB与△ADC均为直角三角形 ,AF⊥EF, 根据勾股定理，得： .BD⊥AF AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2, (2)解：由题意补全图形如下： ∴.AB2-BD2=AC2-CD2, ∴.AB2+CD2=AC2+BD2 .AB+BD=AC+CD, ..AB-CD=AC-BD, ∴.(AB-CD)2=(AC-BD)2 ∴AB2-2AB·CD+CD2=AC2-2AC·BD+BD2, AB·CD=AC·BD, CD=CH 提品 证明：延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF, .AC⊥BF,BC=CF, 又·∠ADB=∠ADC, ..AB=AF. ∴.△ADBc∽△ADC, 由(1)可知BD∥EF,BD=EF, ∴.∠B=∠C. 又AB2=AE2+BD2, 例5(1)解：△BFG为等腰直角三角形.证明如下： ..AF2=AE2+EF2, 由题意可得∠EBF=45°， ∠AEF=90°， ,正方形ABCD, 即AE⊥EF, ∴∠BCA=∠ACD=45. .BD⊥AE, ∠EBF=45°， 即∠DHE=90° '.△BHG∽△CHF, 又CD=CE, .BH HG …CHHF' ..CH=CD=CE. 鼎 3.解：(1)如图1： A(A) :∠GHF=∠BHC, ∴.△BHC∽△GHF, ∴∠BCH=∠GFH=45°， ∴△GBF为等腰直角三角形. (2)证明：PQ∥AD, ∴∠PGB=∠AEB. 图1 翻折， ∠ADB=∠A'D'C=90°，∠ABD=∠A'CD'=30, ∴·∠AEB=∠BEF. .∠BAD=∠D'AC=60° :∠PGB=∠EGQ, 当a=60时，A,D',B共线，A,D,C共线. ∴∠BEF=∠EGQ, .'AB=AC, ,∠BEF+∠EFG=∠EGQ+∠FGQ=90°， '.△ABC是等边三角形， ..BC=AB=2. 13 当BC=2√2时，过点A作AH⊥BC于点H. ∴.SAAPQ=261 如图2： 13 同理SAAPR=2一6 4(4) .两块三角板重叠部分图形的面积为1 3 3 (3)连接AF,如图5： 图2 .'AB=AC, ∴BH=CH=2x-E, BH=瓦， ASm∠BAH-A 图5 :AB=AC,F为BC中点， .∠BAH=45°， ∴.∠AFB=90°， ,∠BAC=2∠BAH=90° ∴F的运动轨迹是以AB为直径的圆， .a=120°-90°=30°. 如图3： ∴点F的运动路径长为2x×9=2元 2 故答案为2元 专题8四边形 [学习领航] H 例1证明：连接AC交BD于O. 4(A) ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=OC,B0=DO. .AM//CN, 图3 ∴.∠EAC=∠FCA. 同理可得∠BAC=90°. 在△AOE与△COF中， ∴.a=60°+90+60°=210° ∠EAC=∠FCO, ∴.当BC=2√2时，a=30°或210° AO-CO, 故答案为2,30或210. ∠AOE=∠COF, (2)如图4： ∴.△AOE≌△COF(ASA), ,∠ADB=90°，∠B=30°，AB=2, A(A') ..OE=OF, .AD=1. ∴.BO-OE=OD-OF, a=90°， 即BE=DF. .∠BAC=60°+60°-90°=30°， 例2证明：AM∥BN, .∠QAD=∠BAD-∠BAC=30°， .∠DAC=∠BCA. DQ-AD_/3 图4 .AC平分∠BAM, 33, ∠DAC=∠BAC, Saw=2x1x写-5 1 ∠BCA=∠BAC, 36 ∴.BA=BC. ∠D'=∠D'AD=∠D=90°，AD=AD', .BD⊥AC .四边形ADPD是正方形， ∠AOB=∠AOD=90° .'.DP=AD=1, ,∠DAC=∠BAC, 1 1 SAAPD=2X1X1=2, ∠ABO=∠ADO, ∴.AB=AD, 13专题7 三角形 专题7三角形 【学习要点】 三角形的任意两边之和大于 三角形的 三边关系： 第三边，任意两边之差小于 第三边 ①等腰三角形是轴对称 图形，有一条对称轴； 三角形的内角和 ①三角形的内角和等于180°； 性质： ②三角形的一个外角等于与 ②等边对等角； 定理及其推论： 它不相邻的两个内角和. ③三线合一. ①直角三角形的两个锐角互余： ②直角三角形中，30°角所对的 ①有两边相等的三角形 等腰三角形 直角边等于斜边的一半： 性质： ③直角三角形中，斜边上的中线 判定：是等腰三角形； 等于斜边的一半： ②等角对等边 ④勾股定理：若直角三角形的两 直角边分别是a,b,斜边为c, ①等边三角形是轴对称 则a2+b2=c2 图形，有三条对称轴； 性质：②三条边都相等： ①有一个角是直角的三角形是直 ③三个内角都相等，都 直角三角形 角三角形： 等于60°. ②有两个角互余的三角形是直角 三角形； ①三条边都相等的三角 等边三角形 判定： ③勾股定理逆定理：如果直角三 形是等边三角形： 角形的三边长分别为a,b,c(最 判定：②三个内角都相等的三 长边长)，且a2+b2=c2,那么这个 角形是等边三角形； 三角形是直角三角形. ③有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形， ①全等三角形对应边相等： ②全等三角形对应角相等； 性质： ③全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等； ④全等三角形的周长相等，面积相等。 ①三边分别相等的两个三角形全等： ②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等： 全等三角形 判定： ③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等： ④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等： ⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 常见模型平移型： 对称型： 旋转型： 入 40 专题7 三角形 【学习领航】 例1下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm),其中能搭成一个三角形的是( ) A.5,7,12 B.7,7,15 C.6,9,16 D.6,8,12 考点追踪：此题考查了三角形三边关系，能否组成三角形，看较小的两个数的和能否大于第三 个数。 试题精析：根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析 判断 解题逻辑： 三角形的三边关系：两边之和大于 简便方法：看较小的两数之和能 第三边，两边之差小于第三边 否大于第三边 D6+8>12 例2如图，点C在线段AD上，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1)求证：△ABC≌△ADE; (2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数. 考点追踪：此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三 角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键， 试题精析：(1)由BC=DE,∠B=∠D,AB=AD,根据“SAS”证明△ABC≌△ADE; (2)由全等三角形的性质得AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°，可证△ACE是等边三角 形，求出∠ACE的度数 解题逻辑： (1) BC=DE ∠B=∠D △ABC≌△ADE AB=AD (2) AC=AE ∠ACE=∠AEC △ABC≌△ADE 等边三角形AEC ∠BAC=∠DAE=60 ∠ACE=60° 41 专题7 三角形 例3如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE=CD,∠B=∠AED=∠C: (1)求证：∠EAD=∠EDA; (2)若∠C=60°，DE=4时，求△AED的面积. 考点追踪：本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角 形的面积等知识的综合运用， 试题精析：(1)利用AAS证明△ABE≌△ECD,即可证明结论； (2)先证明△AED为等边三角形，可得AE=AD=ED=4,过A,点作AF⊥ED于，点F,利用 等边三角形的性质可得E℉=2，再根据勾股定理求得AF的长，利用三角形的面积公式可求解。 解题逻辑 (1)∠B=LAED=LC ∠BAE=∠CED BE=CD △ABE≌△ECD LB=LC EA-ED ∠E.AD=∠EDA (2) EA-ED ∠B=60° ∠AED=609 EA=4 AF=23 SAAED-TED·AF ∠AED=∠B S△BD43 例4【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C. ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC,即知AB十BD= AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC十CD,还能推出∠B=∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了 不同的证明方法. 42 专题7 三角形 小军 小民 证明：·AD⊥BC, 证明：分别延长DB,DC至E,F两点，使得… .△ADB与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. D 备用图 考点追踪：本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角 形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 试题精析：(1)根据AD⊥BC,可以得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据SAS可以证明 △ADB≌△ADC,从而可以得到结论成立. (2)根据小军的证明过程可知：分别延长DB,DC至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA, 然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；由 小民的证明过程可知，是根据勾股定理和相似三角形的判定和性质求的结论成立的，写出相应 的证明过程即可 解题逻辑： (1)AD⊥BC BD=CD △ADB≌△ADC ∠B=LC AD=AD AB+BD-AC+CD DE-DF AB=BE,AC=CF AD⊥BC △ADE≌△ADF ∠E=∠F AD=AD BA=BE CA=CF ∠ABC=∠ACB (2) AD2+BD2=AB2 AD⊥BC AB2-BD2=AC2-CD2 AB2+CD2=AC2+BD2 AD2+CD2=AC2 AB+BD=AC+CD ∠B=LC △ADB∽△ADC AB·CD=AC·BD (AB-CD)2=(AC-BD)2 专题7 三角形 例5在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动. 【操作判断】 操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD,得到折痕AC,把纸片展平； 操作二：如图2，在边AD上选一点E,沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折 痕BE; 操作三：如图3，在边CD上选一点F,沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF. 把正方形纸片展平，得图④，折痕BE,BF与AC的交点分别为G,H. 根据以上操作，得∠EBF= 图1 图2 图3 图4 【探究证明】 (1)如图5，连接GF,试判断△BFG的形状并证明. (2)如图6，连接EF,过点G作CD的垂线，分别交AB,CD,EF于点P,Q,M.求证： EM-MF. D 图5 图6 考点追踪：本题考查相似形的综合应用，主要考查折叠的性质、相似三角形的性质与判定、等腰 直角三角形的性质与判定、旋转的性质、全等三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握这些性 质定理是解题的关键， 试题精析： 【操作判断】根据折叠的性质即可解答， 【探究证明】(1)证明△BHGp△CHF,△BHCp△GHF,得到∠BCH=∠GFH=45°， 即可解答；(2)根据等腰直角三角形的性质证明△PBG≌QGF(AAS),利用平行线的性质及折 叠的性质，即可得证。 专题7 三角形 解题逻辑： 【探究证明】 (1) ∠GBF-459 GHB=∠FHC △BHG∽△CHF 器跟 ∠GCD-459 △GBF为等腰直角三角形 ∠BCH=∠GFH=45° △BHC∽△GHF (2) GB=GF ∠BPG=∠GOF=909 △GBF为等腰直角三角形 △PBG≌QGF ∠BGF-90° ∠PGB=∠AEB PQ∥AD ∠PGB=LQFG LAEB=LBEF,∠PGB=∠EGQ ∠BEF=LEGQ ∠EFG=LFGQ EM-MG=MF 45 专题7 三角形 【学习实践】 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A 的坐标是(2,1)，则点C的坐标是 2.在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接BD,DC,延长DC到点E,使得 CE=DC. (1)如图1，延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证：BD⊥AF. (2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2,用 等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明. D D 图1 图2 46 专题7 三角形 3.【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究 活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C,∠ADB=∠A'D'C=90°，∠B=∠C= 30°，设AB=2. 【操作探究】 如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD,A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方 向旋转，旋转角为α(0°≤a≤360°)，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC. (1)当a=60时，BC= ;当BC=2√2时，a= (2)当α=90时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积. (3)如图2，取BC的中点F,将△A'D'C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 4(A) A(A') D'◇ B D(D') B D 图1 图2 备用图 47