专题5 不等式(组)-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题5 不等式（组） 专题5不等式（组） 【学习要点】 解不等式：求不等式解集的过程. 概念：用不等号表示不等 性质1：不等式的两边都加（或 关系的式子 不等式 减)同一个数（或整式），不 解：能使不等式成立的未 等号的方向不变 知数的值叫不等式的解， 基本性质 性质2：不等式的两边都乘（或 解集：一个含有未知数的不等 除以)同一个正数，不等号的 式的所有的解，组成这个不等 方向不变：不等式的两边都乘 依据 式的解的集合. (或除以)同一个负数，不等 号的方向改变 概念：只含有一个未知数， 并且未知数的次数都是1， 元一次 步骤 去分母，去括号，移项，合 系数不等于0的不等式 不等式 并同类项，系数化1. ()实际问题的应用：根据实 概念：把几个含有同一个末 际问题建立不等式或不等 知数的一次不等式联立在 式组，并求解得到符合要 元一次不等式组 一起，组成一个一元一次 求的答案 不等式组 (2)不等式（组）与方程、函 数、几何等知识点结合，形 解集：不等式组中所有不等 成综合题型 式的解集的公共部分，叫 这个不等式组的解集」 不等式组 数轴 解集 口决 (a<b) 表示 「>a 。 x-b 同大取大 xb x<a x<b x<a 同小取小 x>a x<b 。b 大小小大 a<x<b 中间找 x<a 无解 大大小小 x>b 无解了 【学习领航】 例1已知一次函数y=x一k,若对于x<3范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都 小于2k,则k的取值范围是 考点追踪：本题考查一次函数图像与系数的关系，明确题意，列出正确的不等式是关键。 试题精析：根据一次函数的性质和题意，可以得到3一k≤2，然后解不等式即可 解题逻辑： y=x-k y随x的增大而增大 3-k≤2k k≥ 对于x<3范围内任意自变量的值， 其对应的函数值y都小于2k 24 专题5 不等式（组） 例2已知实数a,b满足a一b十1=0,0<a十b十1<1，则下列判断正确的是 A-2a<0 k合h C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0 考点追踪：本题主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质 依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 试题精析：由a-b+1=0得6=a+1,代入0<a十b+1<1可得-1<a<-2,再求0<6< 司分到代入选项刺断即可。 解题逻辑： a-b+1-=0b=a+1 -2<2a+4b<1 -1<a< <B<] 0<a+b+1<1 4<4a+2b<-1 x+3 例3若关于x的一元一次不等式组2 4 ,至少有2个整数解，且关于y的分式方程 2x-a≥2 a-1+4 y-22-y =2有非负整数解，则所有满足条件的整数α的值之和是 考点追踪：本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键。 试题精析：先解不等式组，确定a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=4。] 2，由 分式方程有非负整数解，列出不等式组，确定a≥1且a≠5，则a的取值范围1≤a≤6且a卡 5,a取整数值相加即可得到答案. 解题逻辑： 解不等式组 +号≤x≤5 至少有2 个整数解 1+号≤4 a≤6 解分式方程 =q- 有非负 a≥1 2 整数解 ≠2 a≠5 a-1和3 例4某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种， 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如所购商品原价为300元，可减80元，需 付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元.) (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由， (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相 25 专题5 不等式（组） 等，求一件这种健身器材的原价. (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活 动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围， 考点追踪：本题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，审清题意，理解题目中的数量 关系，注意分类讨论是解答本题的关键， 试题精析：(1)分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可. (2)设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列 方程求解即可 (3)由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二：当0<a<300时，所需付款为a元；当 300≤a<600时，所需付款为(a一80)元；当600≤a<900时，所需付款为(a一160)元，然后根 据题意列出不等式即可求解， 解题逻辑： (1)活动-450×0.8=360 360<370 活动一划算 活动二：450-80=370 (2) 选择活动一和选择活 0.8x=x-80 x=400 动二的付款金额相等 (3) 活动一：0.8a元 当0<a<300时， 付 款为a元 a>0.8a(舍 动 当300≤a<600时， 活动二比 活动 一更 a-80<0.8a 300≤a<400 付款为(a-80)元 合算 a-160<0.8d 600≤a<800 当600≤a<900时， 付款为（a-160)元 26 专题5 不等式（组） 例5阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2一x一6<0的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1方程x2一x一6=0的两根为x1=一2，x2=3,可得函数y=x2一x一6的图像与x轴的两个 交点横坐标为一2,3，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2一x一6<0 的解集。 方法2不等式x2-一x一6<0可变形为x2<x十6，问题转化为研究函数y=x2与y=x十6的图像关 系.画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是一2,3；y=x2的图像在y=x十6的图像下方的点， 其横坐标的范围是该不等式的解集。 方法3当x=0时，不等式一定成立当>0时，不等式变为x一1<，当x<0时，不等式变为x 6 转化为研究函数y=x一1与y=。的图俊 任务： (1)不等式x2-x一6<0的解集为 (2)3种方法都运用了 的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像解答： 考点追踪：本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数 的图像，解题的关键在于理解题意并正确地画出函数图像， 试题精析：(1)作y=x2一x一6的图像，由方法1可知，不等式x2一x一6<0的解集为一2< x<3; (2)由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法； 6 (3)作函数y=x一1与y=°的图像，由图像可得，x2-x-6<0的解集为一2<x<0或 0<x<3,进而可得x2一x一6<0的解集。 解题逻辑： (1)作yx2-x-6的图像 y=x2-x-6<0 由方法1可知：-2<x<3 (2) y=x2-x-6的图像与不等式x2-x-6<0结合 将“式”变形 与“形”结合 y=x2在y=x+6下方的图像与不等式x2<x+6结合 y=x1与y=的图像的关系与不等式x2-x-6<0结合 27 专题5 不等式（组） (3) x=0时x2-x-6<0成立 -2<x<0 y=x-1的图 像在y=的 r0时.r小是 图像上方 x≠0时 作yx1和=的图像 0时，1< y=x-1的图 像在y=的 0<<3 图像下方 【学习实践】 1.若一次函数y=kx十b的图像如图所示，则关于kx+6>0的不等式的解集为 2.根据以下对话： 1班所有人的身高均不 2班所有人的身高均超 超过180cm 过140cm. 我发现，1班同学的 哦，我发现，1班同学的 最高身高与2班同学的最 最低身高与2班同学的最 1班班长 高身高之和为350cm, 低身高之和为290cm. 2班班长 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm; ②1班学生的最低身高小于150cm; ③2班学生的最高身高大于或等于170cm, 上述结论中，所有正确结论的序号是 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 28 专题5 不等式（组） 3.某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表 进货批次 甲种水果质量/千克 乙种水果质量/千克 总费用/元 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价 (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动.第三次购进甲、乙 两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元.将其中的m千克甲种水果和3m 千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的 价格销售.若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元， 求正整数m的最大值， 29此时400-t=400一267=133， ∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用 :不等式组至少有2个整数解，1+受≤4，解得： 最少，最少费用为10670元. a≤6. 5.解：(1)设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动 “关于y的分式方程二+ 4 y-22-y =2有非负整数解， 用品单价为y元. 20x+25y=1150, ∴.a-1-4=2(y-2), 根据题意得： 0x+20y=800, 解得：y= 2即2≥0且g≠2， 2 解得：/20， 解得：a≥1且a≠5， y=30. ∴.a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5. 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品 a可以取：1,3， 单价为30元， .1+3=4. (2)设够买A种型号劳动用品α件，则够买B种型号劳动 故答案为：4 用品(40一a)件. 例4解：(1)购买一件原价为450元的健身器材时， 根据题意可得：10≤a≤25. 设购买这40件劳动用品需要W元，则 活动一需付款：450×0.8=360（元），活动二需付款： W=20a+30(40-a)=-10a+1200. 450-80=370(元)， :-10<0, 活动一更合算 .W随a的增大而减小， (2)设这种健身器材的原价是x元，则0.8x=x一80， .当a=25时，W取最小值，W=一10×25+1200=950. 解得x=400. ∴.该校购买这40件劳动用品至少需要950元 答：这种健身器材的原价是400元. 专题5不等式（组） (3)这种健身器材的原价为a元. [学习领航] 则活动一所需付款为：0.8a元. 例1解：一次函数y=x一k,∴y随x的增大而增大. 活动二，当0<a<300时，所需付款为：a元； 对于x<3范围内任意自变量x的值，其对应的函数 当300≤a<600时，所需付款为：(a-80)元； 当600≤a<900时，所需付款为：(a一160)元 值y都小于2k,3-k≤2k,解得k≥1. ①当0<a<300时，a>0.8a,此时无论a为何值，都 故答案为：k≥1. 例2解：.a-b+1=0,.b=a十1. 是活动一更合算，不符合题意； 0<a+b+1<1, ②当300≤a<600时，a一80<0.8a,解得300≤ ∴.0<a+a+1+1<1,即0<2a+2<1, a<400,即当300≤a<400时，活动二更合算； ③当600≤a<900时，a-160<0.8a,解得600≤ -1Ka<-号，故选项A错误，不合题意 a<800,即当600≤≤a<800时，活动二更合算. b=a+1,-1<a<- ∴0<<日，放选项B错 综上，当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更 合算 误，不合题意 例5解：(1)如图1，作y=x2一x一6的图像， 由-1Ka<-号得，-2<2a<-1,-4<4a<-2: y=x2-x-6 由0<<号得，0<40<2,0<26<1. ,∴.一2<2a十4b<1,故选项C正确，符合题意. 3 ∴.一4<4a十2b<-1,选项D错误，不合题意 故选C 例3解 ,@ 图1 由方法1可知，不等式x2一x一6<0的解集为一2 (2x-a≥2，② <x<3 解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x≥1+， 故答案为：一2<x<3. (2)由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想 “不等式的解集为1+号≤x<5. 方法.故选D. (3)如图2，作函数y= 12= 该函数y随x的增大而减小，∴当y>3时，x< x-1与y=的图像 -1, x .6 .不等式x十b>3的解集为x<-1 由图像得，x2-x-6<0 故答案为：x<-1. 的解集为一2<x<0或 (2)解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作 0<x<3. BD⊥x轴于点D. 综上，x2一x一6<0的解 图2 1 集为-2<x<3. SM=2x [学习实践] 1-1=合，5m 1.解：，一次函数y=kx十b的图像过点(2,0)， .2k+b=0,.b=-2k, =7×141=2 关于缸+6>0> ∠ACO=∠ODB=90°， 2 ·(-2k)=3k OA⊥OB, >0,x>3. .∠AOC=∠OBD=90°-∠BOD, 故答案为：x>3. ∴.△AOCC∽△OBD, 2.解：设1班同学的最高身高为xcm,最低身高为ycm, 2班同学的最高身高为acm,最低身高为bcm OA OA OB ),即= ,器负值 根据1班班长的对话，得x≤180，x十a=350. .x=350-a,∴.350-a≤180，解得a≥170.故①错误， 舍去). 故选A ③正确. (3)解：·a>0时，抛物线的开口向上；对称轴为直线 根据2班班长的对话，得b>140,y十b=290. 21 ∴.b=290-y,.290-y>140,.y<150.故@正确. x-2a 1 =。>0,c=2>0, 故选C 二次函数图像必经过一、二象限 3.解：(1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进 .b2-4ac=4-2a<4, 价为每千克b元 当4一2a≤0时，抛物线与x轴无交点或一个交点，二 (60a+40b=1520 根据题意，得 30a+50b=1360 解方程组，得=12， 次函数图像只经过一、二象限； b=20. 当0<4一2a<4时，抛物线与x轴有两个交点，二次 答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为 函数图像经过一、二、四象限， 每千克20元. 故①错误，②正确， (2)设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进(200 a>0时，抛物线的开口向上，对称轴为直线x= x)千克乙种水果， 21 根据题意，得12x十20(200-x)≤3360.解这个不等式， 2aa>0, 得x≥80. 当x<合时y随x的增大而减小：x>2时y随x a 设获得的利润为w元。 的增大而增大. 根据题意，得 ,a>0,∴.当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0 =(17-12)×(x-m)+(30-20)×(200-x-3m)= 时，增减性不确定 -5x-35m+2000. 故③正确，④错误 -5<0,.w随x的增大而减小. 故选B. .当x=80时，w的最大值为一35m十1600. 例2解：(1)A(一2,0)，C(6,0),∴.AC=8. 根据题意，得一35m十1600≥800. 又.AC=BC,.BC=8. 解这个不等式，得m≤7， ≤160.正整数m的最大值为22. ,∠ACB=90°，点B(6,8) 设直线AB的函数表达式为y=ax+b. 专题6变量与函数 将A(-2,0),B(6,8)代入y=ax+b,得 [学习领航] -2a+b=0 例1(1)解：由题图可得，当x=一1时，y=3. 6a+b=8, 解得/1， 6=2.