专题4 方程(组)-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题4 方程（组） 专题4方程（组） 【学习要点】 次方程（组）、一元二次方程和分式方程，强调分式方程的检验；通过具体问题中的数量 关系，利用方程思想解决问题. 【学习领航】 例1我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳 长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来 量，井外余绳一尺.绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为 () 4x1 B-4 4x1 c3x-4=7+1 1 D.3x+4=x+1 考点追踪：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方 程是解题的关键。 试题精析：设绳长是x尺，根据把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列 方程即可. 例2我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），就是一个三阶“幻方”（图2）.观察图1、图2，我们可 以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（图3）中，根据找出的关 系，可推算出yx的值为 0-0-000-00-00 4 9 3 8 1 6 图1 图2 图3 考点追踪：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解 题的关键。 试题精析：由图2中的数据，可得出“幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和相等，结 合图3中的数据，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之可得出x,y的值，再将其代入y 中，即可求出结论 20 专题4 方程（组） 例3若一次函数y=kx十b(k≠0)的图像经过第一、二、四象限，求方程bx2一2x十k=0有几 个根。 考点追踪：本题考查了一次函数性质、根的判别式，根据当△>0时方程有两个不相等的实数 根来解答 试题精析：根据一次函数图像经过的象限可得出<0，b>0,利用根的判别式即可解答 解题逻辑： 一次函数y=+b的图像经过 k<0,b>0 -bk>0 第一、二、 四象限 △=(-2)2-4bk=4-4bk 方程有两个不相等的实数根 △>0 例4为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A,B两种机器，A型机器比B型机器每天 多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数 相等.B型机器每天处理多少吨垃圾？ 考点追踪：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键， 试题精析：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x十40)吨垃圾，利用工作时 间一工作总量÷工作效率，结合A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃 圾所用天数相等，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，即可得出结论 专题4 方程（组） 例5为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程 队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积/m2 每天施工费用/元 甲 x+300 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工1800m所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等 (1)求x的值. (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工 22天，且完成的施工面积不少于150002.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工 费用？ 考点追踪：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的 关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的 函数关系式 试题精析：(1)利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队施工1800所需天数与乙工 程队施工1200所需天数相等，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，即可得出x的值 (2)设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工(22一m)天，根据22天完成的施工面积 不少于15000，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围.设该段时间 内体育中心需要支付0元施工费用，利用总费用=3600X甲工程队施工时间十2200×乙工 程队施工时间，可找出®关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题. 【学习实践】 1.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要 7天，大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少 天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是 () A. 9x1 C.9x+7x=1 D.9x-7x=1 22 专题4 方程（组） 2.若实数x,y,m满足x十y十m=6,3x-y+m=4,则代数式-2xy十1的值可以是（) A.3 C.2 n 3.已知a,b是方程x2-3x十2=0的两个根，则数据：2，a,7,b,8的平均数是 4.某商店购进A,B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元.用600元 购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同. (1)求纪念品A,B的单价分别是多少元. (2)商店计划购买纪念品A,B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍. 若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 5.某校积极开展劳动教育，两次购买A,B两种型号的劳动用品，购买记录如下表. A型劳动用品/件 B型劳动用品/件 合计金额/元 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求A,B两种型号劳动用品的单价. (2)若该校计划再次购买A,B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量 不少于10件且不多于25件.该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A,B 两种型号劳动用品的单价保持不变) 232 m2-p2=2..③的结论正确. a+1 当a=-2时， :1+1-1=0,.1=1-1==:mp=1, m n p m p n np 原式=一 2 -2+1=2, 1 ∴.=n一p.m一n+p=0,.m=n一p,元 =m, x4B之7 例4解：(1)八A=, .m2=1,.m=士1.∴.④的结论不正确 x-4 正确的结论为①②③.故选C A+B=+=7-2红二8-2x=④=2 x-4x-4x-4x-4 3.解：a2-b2=4ab, ∴.A与B互为“和整分式”，“和整值”=2. .a2-4ab=b2, (2)①：C=4x二4 G .(a-2b)2=5b2, ∴.a=(2±5)b. C+D=4x-4 G (4x-4)(x+2) x-2 x24=(x+2x-2 a>0,b>0, ∴.a=(2+√5)b, G 4x2+4x-8+G (x+2)(x-2)(x+2)(x-2) :a+2%-2+6)b+2b45+5 C与D互为“和整分式”，且“和整值”=4， a-2b(2+5)b-2b 5 的-4 放答案为1行 4x2+4x-8+G=4(x2-4), 4解：原式=2-1-8.二红-D 得G=-4x-8. x-1 (x-3)2 ②D= -8 G -4(x+2) (x+3)(x-3)-(x-1) x2-4 (x+2)(x-2) x-1 (x-3)8 4 x+3 x-21 x-31 若x为正整数，分式D的值也为正整数， 当x取1,3时，原式无意义 x-2=-1或x-2=-2或x一2=-4. 把x=2代入得： ∴.x=1(x=0,x=-2舍去). 2+3-5. [学习实践] 原式=一2-8 1.解：原式=1-m1+m-1十m 5.解：)M-N三名-8a6十3)-6a+D 1-m =6(6+3)-b(b+3) 当m=0时，原式=1； ab+3a-ab-b 3a-b b(b+3) b(b+3) 当m=一1时，原式=0. .3a>b>0, .1-m≠0， .∴.3a-b>0,b(b+3)>0, .m≠1，原式≠2. .不可能为2. 0>0MN 故选D. 2.解：m-n十p=0,.n一p=m.m>0,.n-p>0, (e器-器-×8器X品 68×65 68X65<0, n>p..①的结论正确. ,m-n+p=0,p=1,∴.m-n=-1,∴.n=m+1. 常器 1+1-1=0,p=1, 11 m n p =1,%t=1, 故答案为：< m'n mn 专题4 方程（组） .m十n=mn,∴.m十m十1=m(m+1),∴.m2-m=1 [学习领航 .②的结论正确」 例1解：设绳长是x尺 +-=0，m十=- 1 1 依愿意得了x一4= 4x1. -m=-上，」 C,1=m二卫.m一n+p=0,n马 故选A mp mp 例2解：，4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5 n+b,.1=mb,mp=（m十p)(m=p)= +1=2+7+6=4+5+6=2+5+8=15, .“幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和 故选A 相等 x+y=6-m, 2.解：由题意可得： 4+x=3-1, 3x-y=4-m, 根据题意得： x-1=3+y, 5-m 元= x=一2， 2 解得： 解得： y=-6 2 y=(-6)-21=36. 故答案为：36. -2y+1=-2×520×22+1 例3解：，一次函数y=x十b的图像经过第一、二、四 象限， =-5-m)(7-m）+1 2 ∴y随x的增大而减小， =_m2-12+35+1 .k<0,b>0. 2 .△=(-2)2-4bk=4-4bk, =-m2-12m+36)-1+1 2 又k<0,b>0, ∴.bk<0, +< 2 .-bk>0, 故选D .△>0， 3.解：：a,b是方程x2-3x十2=0的两个根， .方程有两个不相等的实数根 .a+b=3, 例4解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天 数据：2，a,7,b,8的平均数是： 处理(x十40)吨垃圾 (2+a+7+b+8)÷5 根据题意得90一9 =(2+7+8+a+b)÷5 解得：x=60, =20÷5 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意！ =4. 答：B型机器每天处理60吨垃圾 故答案为：4 例5帝，①根系题意得：十0。-12公四， 4.解：(1)设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为 (m+10)元 解得：x=600, 经检验，x=600是所列方程的解，且符合题意 根据题意得。织 答：x的值为600. 解得m=20, (2)设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工(22一 经检验m=20是原方程的根， m)天. .m十10=30. 根据题意得：(600+300)m+600(22-m)≥15000， 答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元 解得：m≥6. (2)设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念 设该段时间内体育中心需要支付心元施工费用，则 品(400一t)件. =3600m+2200(22-m), 根据题意，=30t+20(400一t)=10t+8000, 即=1400m+48400. ∴.w与t的函数关系式为w=10t十8000. 1400>0, ,纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍， ,∴.®随m的增大而增大， .t≥2(400-t), ∴.当m=6时，取得最小值，最小值=1400×6+ 解得≥26号 48400=56800. 答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工 t为整数， 费用. ∴.t最小值取267 [学习实践] 在w=10t十8000中，随t的增大而增大， 1.解：设经过x天相遇。 .当t=267时，w取最小值，最小值为10×267+8000= 可列方程为：7x+日x=1 10670, .10670<11000,符合题意， 6 此时400-t=400一267=133， ∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用 :不等式组至少有2个整数解，1+受≤4，解得： 最少，最少费用为10670元. a≤6. 5.解：(1)设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动 “关于y的分式方程二+ 4 y-22-y =2有非负整数解， 用品单价为y元. 20x+25y=1150, ∴.a-1-4=2(y-2), 根据题意得： 0x+20y=800, 解得：y= 2即2≥0且g≠2， 2 解得：/20， 解得：a≥1且a≠5， y=30. ∴.a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5. 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品 a可以取：1,3， 单价为30元， .1+3=4. (2)设够买A种型号劳动用品α件，则够买B种型号劳动 故答案为：4 用品(40一a)件. 例4解：(1)购买一件原价为450元的健身器材时， 根据题意可得：10≤a≤25. 设购买这40件劳动用品需要W元，则 活动一需付款：450×0.8=360（元），活动二需付款： W=20a+30(40-a)=-10a+1200. 450-80=370(元)， :-10<0, 活动一更合算 .W随a的增大而减小， (2)设这种健身器材的原价是x元，则0.8x=x一80， .当a=25时，W取最小值，W=一10×25+1200=950. 解得x=400. ∴.该校购买这40件劳动用品至少需要950元 答：这种健身器材的原价是400元. 专题5不等式（组） (3)这种健身器材的原价为a元. [学习领航] 则活动一所需付款为：0.8a元. 例1解：一次函数y=x一k,∴y随x的增大而增大. 活动二，当0<a<300时，所需付款为：a元； 对于x<3范围内任意自变量x的值，其对应的函数 当300≤a<600时，所需付款为：(a-80)元； 当600≤a<900时，所需付款为：(a一160)元 值y都小于2k,3-k≤2k,解得k≥1. ①当0<a<300时，a>0.8a,此时无论a为何值，都 故答案为：k≥1. 例2解：.a-b+1=0,.b=a十1. 是活动一更合算，不符合题意； 0<a+b+1<1, ②当300≤a<600时，a一80<0.8a,解得300≤ ∴.0<a+a+1+1<1,即0<2a+2<1, a<400,即当300≤a<400时，活动二更合算； ③当600≤a<900时，a-160<0.8a,解得600≤ -1Ka<-号，故选项A错误，不合题意 a<800,即当600≤≤a<800时，活动二更合算. b=a+1,-1<a<- ∴0<<日，放选项B错 综上，当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更 合算 误，不合题意 例5解：(1)如图1，作y=x2一x一6的图像， 由-1Ka<-号得，-2<2a<-1,-4<4a<-2: y=x2-x-6 由0<<号得，0<40<2,0<26<1. ,∴.一2<2a十4b<1,故选项C正确，符合题意. 3 ∴.一4<4a十2b<-1,选项D错误，不合题意 故选C 例3解 ,@ 图1 由方法1可知，不等式x2一x一6<0的解集为一2 (2x-a≥2，② <x<3 解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x≥1+， 故答案为：一2<x<3. (2)由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想 “不等式的解集为1+号≤x<5. 方法.故选D.