专题2 整式运算与因式分解-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题2整式运算与因式分解 专题2整式运算与因式分解 【学习要点】 1.代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接 起来的式子叫代数式 代数式的相关概念 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的 运算关系计算得出的结果叫代数式的值 2.整式的运算 判断依据：①只有数字与字母相乘组成的代数式： 单项式 ②单独的一个数或字母。 次数：所有字母的指数和 系数：单项式中的数字因数 整式的有关概念 判断依据：几个单项式的和， 多项式 次数：次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数。 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项 合并同类项：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变 整式的加减 去括号法则：括号外是“+”，括号里各项都不变号： 括号外是“” ，括号里各项都要变号 整式的加减法则：几个整式相加减，先去括号，再合并同类项. 同底数幂相乘：am·a”=am"（m,n是整数). 幂的乘方：（a")=dm(m,n是整数)· 幂的运算 积的乘方：(ab)”=d·b(n是整数). 同底数幂相除：d"÷d"=a"(a≠0，m,n是整数). 单项式乘单项式 转化 整式的运算 整式的乘法 单项式乘多项式 转化 特殊化 多项式乘多项式 平方差公式：(a+b)(a-b)=2-b 乘法公式 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b 口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号看前方 整式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的 8 专题2整式运算与因式分解 3.因式分解 概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫因式分解 因式分解与整式乘法是互逆变形 提公因式法 因式分解 方法 套用公式法 十字相乘法 般步骤 提、二套、三查 【学习领航】 例1(2023·无锡)下列运算正确的是 () A.a2Xa3=a6 B.a2+a3=a5 C.(-2a)2=-4a2D.a6÷a4=a2 考点追踪：本题考查了合并同类项及幂的运算法则，掌握相关运算法则是解答本题的关键 试题精析：选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可； 选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可. 解题逻辑： 同底数幂的乘法 A.axa B.d+a 合并同类项 计算结果 判断正误 C.(-2a2 积的乘方 D.÷d 同底数幂的除法 例2(1)(2023·常州)分解因式：x2y一4y= (2)(2023·南京)分解因式3a2-6a+3的结果是 考点追踪：本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的 关键 因式分解的一般步骤：一提（提公因式法）、二套（套用公式法）、三查（检查是否分解到底）. 公式法包括平方差公式与完全平方公式： ①如果是平方差就用平方差公式来分解； ②如果是平方和，并且有两数乘积的2倍，就用完全平方公式来分解. 试题精析：(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解； (2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答， 9 专题2整式运算与因式分解 解题逻辑： 多项式 因式分解 提、二套、三查 几个整式的乘积 (1)xy-4y提公周我y(x2-40争方善公支y(x十2)(z-2》. (2)3a2-6a十3提公国我33(a2-2a十1)完全平方公式3(a-1)只. 例3（2024·常州)先化简，再求值：(x+1)2-x(x+1),其中x=√3-1. 考点追踪：本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。 试题精析：先利用完全平方公式，单项式乘多项式法则计算后再合并同类项，然后将已知数值 代入化简结果中计算即可. 解题逻辑：先进行整式的乘法（包括乘法公式），再进行整式的加减得到化简结果，最后代入求 值计算 例4若实数m满足(m一2023)2+(2024一m)2=2025,则(m一2023)(2024一m)= 考点追踪：本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式的变形是解题的关键， 试题精析：设m-2023=a,2024-m=b,则a十b=1,根据a2+b=(a十b)2-2ab即可得 答案 解题逻辑： (a+b)2=a2+2ab+b2 a2+b2=(a+b)2-2ab 设m-2023=a,2024-1m=b (m-2023)2+(2024-m)2=[(m-2023)+(2024-m)]P-2(m-2023)2024-m) 已知条件 求(m-2023)(2024-m)的值 例5(2024·无锡)已知二次函数y=ax2+x十c的图像经过点A(-1,-2)和点B(2,1). (1)求这个二次函数的表达式. (2)若点C(m十1，y1),D(m十2，y2)都在该二次函数的图像上，试比较y1和y2的大小， 并说明理由， 10】 专题2整式运算与因式分解 (3)点P,Q在直线AB上，点M在该二次函数图像上.问：在y轴上是否存在点N,使得 以P,Q,M,N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标； 若不存在，请说明理由。 考点追踪：本题考查了二次函数综合、解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定和性 质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答， 试题精析：(1)将，点A和，点B的坐标代入y=ax2十x十c,求出a和c的值，即可得出这个二次 函数的表达式。 (2)根据题意得出1=-号(m十1)+(m+1)+1,,= 2(m+2)2+(m+2)+1,再用 作差法得出y1一y2的结果，进行分类讨论即可. (3)求出直线AB的画数表达式为y=2,然后进行分类讨论：①PQ为正方形的边； ②PQ为正方形对角线，并结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答 解题逻辑： (1)二次函数=ar2+x+c的图像经过点4和点B (2 点C,D都在该二次函数的图像上 待定系数法 求y和y2 a和c的值 求y-y2 这个二次函数的表达式 分类讨论 比较y和y,的大小 (3) 点4A(-L,-)和点B2,) 待定系数法 直线AB的函数表达式为=x 分类讨论 点P,Q,M,N坐标的关系 已知条件 表示出点M,N的坐标 点M在该二次函数图像上 点N在轴上 求出点M,N的坐标 专题2整式运算与因式分解 【学习实践】 1.(2023·泰州)若a≠0，下列计算正确的是 () A.(-a)°=1 B.a6÷a3=a2 C.a=-a D.a6-a3=a3 2.(2023·镇江)如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2 个球放人乙袋，再从乙袋中取出(2z十2)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2”个球放入甲 袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于 () 丙袋 5 2 2+2 29 29 甲袋 乙袋 A.128 B.64 C.32 D.16 3.掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n的关 系为E=k×101.5”(其中及为大于0的常数)，那么震级为8级的地震所释放的能量是震 级为6级的地震所释放能量的 倍. 4.(2023·连云港)若W=5x2-4xy十y一2y+8x+3(x,y为实数)，则W的最小值为 5.(2023·泰州)计算：(x十3y)2-(x+3y)(x-3y). 2 专题2整式运算与因式分解 6.观察以下等式： 第1个等式：(2×1十1)2=(2×2+1)2-(2×2)2； 第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2； 第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2； 第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明. 13】 专题2整式运算与因式分解 7.(2023·河北)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1(a>1).某同学分 别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1,S2, 丙 甲 乙 乙 乙丙丙 乙乙乙乙乙丙 图1 图2 (1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时，求S1十S2的值； (2)比较S1与S2的大小，并说明理由 8.(2024·盐城) 发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 14 专题2整式运算与因式分解 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展 开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每 行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n,k均为正整数， n>k≥3，d>0),如图1所示. ● ●d● ● ● ● ● ● ● 图1 小明设计了如下三种铲籽方案， 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ,共铲 行，则铲除全部 籽的路径总长为 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长 ●一 。。。。。. 图2 图3 图4 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进 行评价. 15参考答案 整理得，w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+ 第一部分学习要点领航 (-2x2+120x)=-2x2+72x+3360(x>10). 专题1实数概念及运算 任务3：由任务2得w=-2x2+72x十3360=-2(x 18)2+4008. [学习领航] .当x=18时，获得最大利润 例1由图形可知：a<0<b,且a|<|b.A.a为负数，b为 正数，且|a<|b|,由加法法则知a十b>0,故结论错 但y=- ×18+号-号不合题意.≠18 误；B.由b>a知b一a>0,故结论错误；C.由a<b 抛物线开口向下(a=-2<0),∴.取x=17或 知2a<2b,故结论错误；D.由a<b知a十2<b+2, x=19, 故结论正确.故选D. 53 例2√5×(3√5+√6)=√5×3√5+5×√6=15+√30， 当x=17时，0y=3(不合题意)： 由√25<√/30<√36知：5<√30<6， 当x=19时，y==17(符合题意)，此时70一z 3 .5+1515+√30<6+15，即20<15+√/30<21， -y=34. .n的值为20. 综上，安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工 例34D(x-30-260+1-5-1-2×9+5 “风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大 利润。 1-√3+3=1； [学习实践] 2(-1)2+w3-31-(3） +9=1+3-√3- 1.D2.B3.(1)4.5×10(2)2.8×1094.16 1 3+3=4-√3， 5.746.62009313 例4(1)√16=4W4=2,则y=√2. 7原式=3-5+2-25+5× =3-√5+2-25+ (2)存在. 0,1的算术平方根是本身，一定是有理数， 8-18-35. 2-2 ∴当x=0或1时，始终输不出y值 8.(1)200×2.67=534(元). 另外，若输入负数，由于负数没有算术平方根，同样始 (2)根据题意得：y=400×2.67+(1200-400)×3.15+ 终输不出y值 3.63(x-1200)=3.63x-768. 综上所述，x=0或1或负数， ,.y与x的函数表达式为y=3.63x一768(x>1200). (3)答案不唯一.例如：x=[(5)2]2=25或x= (3).400×2.67+(1200-400)×3.15=35883855, [(W6)2]2=36或x=[(W7)]=49或x= ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯， [(W8)2]2=64. 由(2)知，当y=3855时，3.63x-768=3855,解得x 1273.6. 例5任务1：根据题意得，安排70名工人加工一批夏季 又.2.67×(100+400)+3.15×(1200+200-500)= 服装。 4170>3855,且2.67×(100+400)=1335<3855， 安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风” ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯. 服装， 设乙户年用气量为am3,则2.67×500十3.15(a一500) 加工“正”服装的有(70一x一y)人 3855,解得a=1300. “正”服装总件数和“风”服装相等， 1300-1273.6=26.4≈26(m3) (70-x-y》X1=2,整理得y=-号x+四 1 答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气。 任务2：根据题意得，“雅”服装每天获利为x[100 专题2整式运算与因式分解 2(x-10)], [学习领航] .w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x 例1A.a2Xa3=a,故本选项不符合题意；B.a2与a3不 10)], 是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；C (一2a)2=4a2,故本选项不符合题意：D.a6÷a4= a2,故本选项符合题意.故选D. ①：B2,1.taLB0C=2 例2(1)x2y-4y=y(x2-4)=y(x十2)(x-2); 过点M作y轴的垂线，垂足为点G,过点P作MG的 (2)3a2-6a+3=3(a2-2a+1)=3(a-1)2. 垂线，垂足为点H,如图1. 例3原式=x2+2x十1-x2-x=x十1， 当x=√3-1时，原式=√3-1+1=√3】 例4已知(m-2023)2+(2024-m)2=2025, 设m-2023=a,2024-m=b, 由a2+b2=(a十b)2-2ab得：(m-2023)2+(2024 m)2=[(m-2023)+(2024-m)]2-2(m-2023): (2024-m), 图1 即1-2(m-2023)(2024-m)=2025, PQMN,MG∥x轴，∴.∠BOC=∠NMG, 1-2025=2(m-2023)(2024-m),解得(m ∴tan∠B0C=ta∠NMG=号，则MG=2NG. 2023)(2024-m)=-1012. 例5①)把A(-1,-）,B2,1D代人y=ar+x+c, 设NG=t,则MG=2t,.M(-2t,-2t2-2t+1), .点N的纵坐标为-2t2-2t+1+t=-2t2-t+1, a-1十e=解得 1 即N(0,-2t2-t+1). a=- 得： 2 ,以P,Q,M,N为顶点的四边形是正方形， 4a+2+c=1, c=1. .∠PMN=90°，PM=MN, ∴这个二次函数的表达式为y=一2x2十x十1. ∴.∠PMH+∠NMG=90°. ,∠PMH+∠MPH=90°，.∠NMG=∠MPH. (2).C(m十1，y1),D(m十2，y2)都在该二次函数的 ,∠NMG=∠MPH,∠H=∠MGN,PM=MN, 图像上， ∴.△PHM≌△MGN, y1=-2(m+1)2+(m+1)+1,y=- 1 2(m+ ∴.PH=MG=2t,HM=NG=t, 2)2+(m+2)+1, .P(-3t,-2t2+1). -g=-合m+1D0+0m+1D+ 把P(-3,-2+1D代入y=,得：-22+1= 1-[-号om+2yP+m+2)+1] 合×(-30， =-m-m-+m十2 解得13+①，3二厘（舍去。 8 8 (（2m2-2m-2+m+3)=m+2 N,5后④)月 当m+>0,即m>-时>： ②如图2，构造Rt△MQG,Rt△NMH. O(B 当m十号-0，即m=一号时1=y: 当m+2<0,即m<-时n< (3)设直线AB的函数表达式为y=kx十e 把A(-1,-2),B2,1D代人y=x十e, 「1 图2 得：2 和①同理可得：△MQG2△NMH,tan∠MNH=分 1=2k十e, e=0. 设NH=GM=2t,则QG=MH=t. 直线AB的函数表达式为y=2x .M(2t,-2t2+2t+1),N(0,-2t2+t+1),Q(t, 当PQ为正方形的边时，分四种情况. -2t2+4t+1), 1 把Q(,-22+4+1D代入y=2x,得：-22+4红 点K. +1=7, 解得：4=2，t=4(舍去)N(0,-5), ③如图3，构造Rt△GMN,Rt△HPM. y G 图5 .PK∥x轴，∴∠QPK=∠BOC,∴tan∠QPK= 0 am∠80c=合 设QK=x,则PK=2x 图3 和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ 和O同理可得：△GNMN2△HPM,am∠GNM=. ≌△NQI, 设GN=HM=2t,则GM=HP=t. .HN=PG=MW=IQ,PH=GM=QJ=NI,∴.四 ∴.M(-2t,-2t2-2t+1),N(0,-2t2-t+1), 边形HGJI为正方形，PK=IJ=2x, P(-t,-2t2-4t+1). Q=PG=JK=(I-QK)=合x,则PH 把P(-,-2-红+1D代入y=号，得：-22 GM=Q=NI=是，.t/PMG-品号 红+1=24， 设PG=HN=t,则PH=GM=3t. 解得：t= a=-2含去)，N0,8） .M(2t,-2t2+2t+1),N(0,-2t2+6t+1),P(-t, -2t2+3t+1). ④如图4，构造Rt△GMN,Rt△HNP. 1 把P(-t,-22+3t+1)代入y=2x, G 得：-2+3+1=一，解得：4=2=一}（含 1 去)， .N(0,5). ⑥如图6，构造Rt△PMH,Rt△NPG, 图4 和O同理可得：△GMN2△HNP,a∠GMN=号· 设GM=HN=2t,则GN=HP=t. ∴.M(2t,-2t2+2t+1),N(0,-2t+t+1),P(t, -2t2-t+1). 把P,-20-1+1D代人y=号，得：-2- t十1=2， 图6 解得：=3④，，=3面（食去 同理可得：△PMH≌△NPG,am∠PNG=子 8 8 设PG=HM=t,则PH=GN=3t. N,15t指)} ∴.M(-2t,-2t2-2t+1),N(0,-2t2-6t+1), P(-3t,-2t2-5t+1). 当PQ为正方形对角线时，分两种情况. ⑤如图5，构造矩形HGJI,过点P作PK⊥IJ于 把P(-3,-2r-+1D代人y=号x,得：-2x 解决问题 由上得：2(n-1)dk-2(k-1)dn=2ndk-2d-2ndk+ 解得--一2C合去， 2dn=2d(n-k)>0 方案1的路径总长大于方案2的路径总长； No,-g)月 2k-1a-号×(2k-1)a= (2-√2)k-2+ 综上Nb,-15④)或N(0,158④)或 16 ]a, N0,-5或N0,5或N(o,8)或N0,-日) n>k≥3， [学习实践] 当=3时，(2-2)X3-2+5=4-5y>0,此时 1.A2.A3.10004.-25.6xy+18y2 2 2 6.(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2; 2(k-1)dn-2 (2)第n个等式：(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2-[(n+ ×(2k-1)dn>0, 1)×2n]2. ∴.方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择 证明：左边=(2n十1)2=4n2+4n+1, 最短的路径，减少对菠萝的损耗 右边=[(n+1)×2m+1]2-[(n+1)×2n] 专题3分式运算与变形求值 =[(n+1)X2m]2+2X(n+1)X2n+12 [学习领航] [(n+1)×2n]2 例1解：由题意得， =4n2+4n+1, a1= ∴.左边=右边，即原等式(2n+1)2=[(n+1)×2n+ 1+a4_1+2-3, 1]2-[(n+1)×2m]成立. a2=1-a11-2 7.(1)由题图可知：S1=(a十2)(a+1)=a2+3a+2, =1+a2=1+(-3=-1 a3=1-a21-(-3) 2 S2=(5a+1)×1=5a+1, 当a=2时，S1+S2=4+6+2+10+1=23. 1+a3 1+(》 1 (2)S1>S2,理由如下： a4一1一a3 3 S1-S2=a2+3a+2-(5a+1)=a2-2a+1=(a- 1)2, 1+ 1十a4 =2 又a>1,.(a-1)2>0,.S1-S2>0,即S1>S2. a=1一a413 1 8.分析问题 方案1：根据题意，每行有个籽，行上相邻两籽的间距为 d,∴每行铲的路径长为(n一1)d. a,的值按2，一3，弓，号…4次一个循环周期 每列有个籽，呈交错规律排列，相当于有2行， 的规律出现， ∴.铲除全部籽的路径总长为2(n-1)dk. .2023÷4=505…3, 故答案为：(n-1)d;2k;2(n-1)d. a2g的值是-2 1 方案2：根据题意，每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为 d,∴.每列铲的路径长为(k-1)d. 故选A :每行有n个籽，呈交错规律排列，∴相当于有2n列， .铲除全部籽的路径，总长为2(k-1)dm. 例2解“a+日-5， 故答案为：2(k-1)dn. =(a+）°-2=5)-28 …a2+1 方案3：由题图得，斜着铲每两个点之间的距离为 故答案为3. Va+d_2d 例3解：.a=-2, 2 2 .a-1=-3<0, 根据题意，得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线 段长，同时有(2k一1)个， 原式=（a+1)a-3).1-a (a+1)(a-1) 2 ∴铲除全部籽的路径总长为：号×(2k-1Dd, a+aDl 4