专题1 实数概念及运算-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

第一部分 学习要点领航 专题1实数概念及运算 【学习要点】 1. 实数的概念 正负数的概念：大于0的数叫正数： 按性质分类 正数、负数 正数前面加上符号“”的数叫负数 正负数的意义：表示具有相反意义的量 实数的分类 数轴比较法 按定义分类 有理数、无理数 无理数的估算 实数的大小比较 类别比较法 作差比较法 0.0 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数叫互为相反数，a的相反数记为-a. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫a的绝对值，记为al 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数记为a(a≠0) 表示“较大数” 实数的相关概念 科学记数法：表示形式为a×10",其中1≤d<10,n为整数. 表示“较小数” 近似数：近似数与精确数的接近程度通常用精确度来表示， 般四舍五入 到哪一位就说近似数精确到哪一位 2.实数的运算 加法法则 转化 减法法则 乘法法则 转化除法法则 正整数指数幂：d"(n为正整数)表示n个a相乘 实数的运算 乘方 零次幂：dP=1（a≠0) 负整数指数幂：a(a≠0，n为正整数) 二次根式 开方 平方根：若x2=a(a≥0)，则x叫a的平方根（或二次方根)，记作±a 算术平方根：非负实数a(a≥0)的算术平方根记作a 立方根：若x=a,则x叫a的立方根（或三次方根)，记作a. 绝对值、括号内运算 运算顺序 乘方、开方 四则运算 运算律 乘法、除法 加法、减法 专题1 实数概总及运算 【学习领航】 例1如图，数轴上点A和点B分别在原点左侧和右侧，点A, A B对应的实数分别是a,b,下列结论成立的是 () A.a+6<0 B.6-a<0 C.2a2b D.a+2<b+2 考点追踪：此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时考查了实数的运算及不等式的基 本性质。 试题精析：首先由数轴上的信息确定实数α，b的特征，然后利用实数的运算及不等式的基本 性质进行判断即可解决问题. 解题逻辑： 图形 信息 加工 结论 数轴上，点A和，点B的位置→实数a,b的特征 →计算或推理 依次判断各选项正误 例2若n为正整数，且满足估算n<√5×(3√5+√6)<n十1，则n的值为 考点追踪：本题主要考查无理数估算，解题关键是熟练掌握二次根式运算及估算无理数的大小， 试题精析：先根据二次根式的乘法法则计算√5X(3√5十√6)的结果，然后估算结果中√30的大 小，再根据不等式的性质估算计算结果的大小，最后结合已知条件得到答案， 解题逻辑； 5×(35+6) 乘法分配律 15+30 不等式的性质 20<15+30<21 已知条件 n=20 次根式的乘法 5<30<6 例3(1)(2024·宿迁)计算：（π-3）°一2sin60°+|-√3|； (2)计算：(-1)2o2+1W3-3- 3 +√9 考点追踪：本题主要考查了实数的运算.一般单独考查实数的运算时，题目会比较简单，对于实 数的运算，首先要熟记特殊角的三角函数值、整数指数幂、平方根、立方根及绝对值等运算，其 次要注意运算顺序，分清先算什么，后算什么， 试题精析：(I)先进行零指数幂、特殊三角函数值、绝对值的初步运算，再进行加减运算； (2)先算乘方、开方和绝对值，再进行加减运算，注意计算绝对值前要估算原数的正负， 解题逻辑：有理数混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左 到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算 (1)先求出（π3）°，sin60°及|一√3的值，再算乘法，最后算加减； 专题1 实数概念及运算 (2)先求出(-1)2022 ,√9的值，并判断√3一3的正负后得W3一3的值，接着算 加减 例4如图是一个数值转换器，原理如图所示. 输入x 取算术平方根 结果 是无理数 输出y 是有理数 (1)当输入x值为16时，求输出的y值 (2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x 值；如果不存在，请说明理由. (3)输入x是一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出y,请写出两个符合要求的 x值 考点追踪：本题考查了实数的开方运算，读懂流程图中的计算程序并理解题目中规定的运算是关键 试题精析：(1)根据运算的定义即可直接求解 (2)始终输不出y值，分两种情况：①输入x值后，取算术平方根没有意义；②输入x值后 取算术平方根，经过任意次运算后都是有理数 (3)写出一个正无理数，使它第一次平方后的结果是有理数，并且第二次平方后的结果是 一个两位数 解题逻辑： 4 2 2 (1)输入x=16 第一次运算 第二次运算 第三次运算 (有理数) (有理数) (无理数》 输出y值 第一次运算 没有意义 (2)输入x 输不出y值 任意次运算 有理数 输入x 第二次逆运算 (3) (两位数) 正有理数 第一次逆运算 输出y值 (平方) (平方) （正无理数) 3 专题1 实数概总及运算 例5（2024·盐城)请根据以下素材，完成探究任务 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式。 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件， 背景1 或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等。 生产背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； 背景2 ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平 均每件获利将减少2元. 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数/人 每人每天加工量/件 平均每件获利/元 信息整理 风 y 2 24 雅 x 个y 正 1 48 任务1 探寻变量关系 求x,y之间的数量关系. 探究任务 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为心元，求心关于x的函数表达式. 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案. 考点追踪：在综合题中，实数的运算考查一般蕴含在整个解题过程中，本题主要考查函数的应 用，理解题意，根据函数的性质，结合实数的运算进行求解是解题关键， 试题精析：任务1：根据题意，安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工 “正”服装的人数，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意，“雅”服装每天获利为x[100一2(x一10)]，然后将2种服装的获利求和 即可得出结果； 任务3：根据任务2所得结果，结合函数的性质及实数的运算求解即可。 解题逻辑： x名加工“雅”服装 每人每天加工1件 加工“雅”服装x件 (1)70名工人 y名加工“风”服装 每人每天加工2件 加工“风”服装2y件 相等 名加工“正”服装 每人每天加工1件 加工“正”服装件 A 专题1 实数概悬及运算 加工“雅”服装x件 [100-2x-10)]元/件 利润：[100-2x-10]元 (2)加工“风”服装2件 24元/件 利润：2y×24元 总利润w元 加工“正”服装(70-x-y)件 48元/件 利润：(70-x-y)×48元 w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2x-10)] 化简 (3) 般式：w=-2x2+72x+3360 配方 顶点式：w=-2x-18)2+4008 求w的最大值 【学习实践】 1.(2023·淮安)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是() A.a<-2 B.b<2 C.a>b D.-a<6 2（2023·绵阳)若x=3是关于x的一-元二次方程x2-3ax-a2=0a>0)的一个根，下面 对a的值估计正确的是 () Aa &1a<号 C.a D.2<a<2 5 专题1实数概盒及运算 3.(1)(2024·无锡)在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世 界.截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km.数据45000用科学记数法表示 为 (2)(2023·泰州)溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CCO3的溶度积约为 0.0000000028,将数据0.0000000028用科学记数法表示为 4(2023·南京)计算2×4×（得）日 的结果是 5.(2023·常州)如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地 面均无缝隙).在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面.若 这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 (精确到个位，参考数据： √/21≈4.58). 30 cm 60 cm 书柜 地面 L33 cm x cm 扫地机 衣柜 60 cm 底座 60 cm 90 cm 6.(2023·重庆)对于一个四位自然数M,若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位 数字多2，则称M为“天真数”.如：四位数7311，.7一1=6,3一1=2，.7311是“天真数”； 四位数8421，.8一1≠6，.8421不是“天真数”.则最小的“天真数”为 ,一个“天 真数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记P(M)=3(a+ b+c+d,QCMD=a-5,若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 7(2023.呼和浩特)计算：5-3十(》-√20+v3cos30 6 专题1实数抵高及运算 8.(2023·连云港)目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定 了下表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 0~400m3(含400)的部分 2.67元/m 若家庭人口超过4人的，每 增加1人，第一、二阶梯年 第二阶梯 400~1200m3(含1200)的部分 3.15元/m3 用气量的上限分别增加 第三阶梯 1200m3以上的部分 3.63元/m3 100m3、200m3. (1)一户家庭人口为3人，年用气量为2003，则该年此户须缴纳燃气费用为 元； (2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x>1200),该年此户须缴纳燃气费用为y 元，求y与x的函数表达式； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855 元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气.（结果精确到13）参考答案 整理得，w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+ 第一部分学习要点领航 (-2x2+120x)=-2x2+72x+3360(x>10). 专题1实数概念及运算 任务3：由任务2得w=-2x2+72x十3360=-2(x 18)2+4008. [学习领航] .当x=18时，获得最大利润 例1由图形可知：a<0<b,且a|<|b.A.a为负数，b为 正数，且|a<|b|,由加法法则知a十b>0,故结论错 但y=- ×18+号-号不合题意.≠18 误；B.由b>a知b一a>0,故结论错误；C.由a<b 抛物线开口向下(a=-2<0),∴.取x=17或 知2a<2b,故结论错误；D.由a<b知a十2<b+2, x=19, 故结论正确.故选D. 53 例2√5×(3√5+√6)=√5×3√5+5×√6=15+√30， 当x=17时，0y=3(不合题意)： 由√25<√/30<√36知：5<√30<6， 当x=19时，y==17(符合题意)，此时70一z 3 .5+1515+√30<6+15，即20<15+√/30<21， -y=34. .n的值为20. 综上，安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工 例34D(x-30-260+1-5-1-2×9+5 “风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大 利润。 1-√3+3=1； [学习实践] 2(-1)2+w3-31-(3） +9=1+3-√3- 1.D2.B3.(1)4.5×10(2)2.8×1094.16 1 3+3=4-√3， 5.746.62009313 例4(1)√16=4W4=2,则y=√2. 7原式=3-5+2-25+5× =3-√5+2-25+ (2)存在. 0,1的算术平方根是本身，一定是有理数， 8-18-35. 2-2 ∴当x=0或1时，始终输不出y值 8.(1)200×2.67=534(元). 另外，若输入负数，由于负数没有算术平方根，同样始 (2)根据题意得：y=400×2.67+(1200-400)×3.15+ 终输不出y值 3.63(x-1200)=3.63x-768. 综上所述，x=0或1或负数， ,.y与x的函数表达式为y=3.63x一768(x>1200). (3)答案不唯一.例如：x=[(5)2]2=25或x= (3).400×2.67+(1200-400)×3.15=35883855, [(W6)2]2=36或x=[(W7)]=49或x= ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯， [(W8)2]2=64. 由(2)知，当y=3855时，3.63x-768=3855,解得x 1273.6. 例5任务1：根据题意得，安排70名工人加工一批夏季 又.2.67×(100+400)+3.15×(1200+200-500)= 服装。 4170>3855,且2.67×(100+400)=1335<3855， 安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风” ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯. 服装， 设乙户年用气量为am3,则2.67×500十3.15(a一500) 加工“正”服装的有(70一x一y)人 3855,解得a=1300. “正”服装总件数和“风”服装相等， 1300-1273.6=26.4≈26(m3) (70-x-y》X1=2,整理得y=-号x+四 1 答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气。 任务2：根据题意得，“雅”服装每天获利为x[100 专题2整式运算与因式分解 2(x-10)], [学习领航] .w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x 例1A.a2Xa3=a,故本选项不符合题意；B.a2与a3不 10)], 是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；C