第5章 对函数的再探索（知识清单）数学青岛版九年级下册

第5章 对函数的再探索 1.函数的表示方法：图象法、列表法、解析法 2.图象法的优缺点：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势，不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函数值。 3.列表法的优缺点：列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值，不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值。 4.解析法的优缺点：解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在 可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值，不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式。 5.在同一个变化过程中，有两个变量 x，y 。如果对于变量 x 在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。 知识点02：反比例函数 6.一般的，形如 y =（k 是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 7.反比例函数 y = 的图象称作双曲线。当 k > 0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当k < 0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 8.一般的，形如 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数叫做二次 函数。 9.二次函数y=ax 2 +bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围。 10.二次函数 y = ax2 的图象是抛物线。我们把二次函数 y = ax2 的图象也叫做抛物线y=ax2 ，它的对称轴是y轴。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 y = ax2 的顶是坐标原点。当 a > 0 时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当 a < 0 时，它的开口向下，顶点是它的最高点。 11.二次函数 y = ax2 + c 的图象是抛物线，它与抛物线 y = ax2 的形状相同，将抛物线 y = ax2 沿 y 轴向上或向下平移 | c | 个单位长度便得到抛物线y = ax 2 + c。当c > 0时，向上平移；当c < 0时，向下平移。 12.二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象是抛物线，它与 y = ax2的图象形状相同，只是位置不同。因此，它可由抛物线 y = ax 2经过平移而得到。二次函数y = a（x-h）2 + k及其图象有如下性质： （1）a > 0 时，开口向上，顶点是图象最低点；a < 0时，开口向下，顶点是图象最高点。 （2）对称轴是经过点（h，0）且平行于y轴的直线x = h。 （3）顶点坐标是（h，k）。 （4）如果 a > 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 的增大而增大。如果 a < 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > h 时，y 随 x的增大而减小。 13. 一般的，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是抛物线，它的对称轴是直线 x = - ，顶点坐标是 （- ，）。若 a > 0，抛物线的开口向上。当x < - 时，y随x的增大而减小，当x > - 时，y随x的增大而增大，顶点是这条抛物线的最低点。若a < 0，抛物线的开口向下。当x < - 时，y随 x 的增大而增大，当 x > - 时，y 随 x 的增大而减小，顶点是这条抛物线的最高点。 14. 如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式写成 y = a（x + h）2 + k 的形式，其中（-h，k）已知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便可以利用待定系数法确定系数a的值。 15. 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的实根。 16. 一般的，因为抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是抛物线的最低（高）点， 所以当 x = - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值，最小（大） 值为。 易错点1 反比例函数中利用k值求图形的面积 错误：1.忽略k的绝对值:计算面积时忘记用k，直接代入k的值，导致面积为负数。 2.记错面积公式:混淆了"矩形面积等于|k|"和"三角形面积等于|k|/2"。 3.找不到"关键点":不会从复杂图形中，找出在双曲线上的点，并向坐标轴作垂线。 4.多算或少算:对由多个基本图形组合成的复杂图形，面积计算容易出错。 注意：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 找到双曲线上的点P(x,y) -作:过P作x轴、y轴的垂线，利用矩形或三角形面积公式结合k求解。 例题1 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 易错点2 利用二次函数的定义求待定系数时忽略“ɑ≠0” 错误：利用二次函数的定义求待定系数时忽略“ɑ≠0”而导致错误。 注意：1.先列等式,求可能值:根据题目条件，比如"函数是二次函数"或"函数经过某点"，列出关于系数的方程，解出所有可能的解。 2.再用定义，定最终值:检查上一步得到的解。根据二次函数定义，二次项系数a不能为0. 例题2 已知函数的图像是抛物线，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得且， ∴． 故答案为： 易错点3 利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 错误：利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论而导致错误。 注意：1.定开口，分情况:二次函数的增减性由开口方向决定。当 a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧则增大。当 a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧 y随 x增大而增大，右侧则减小。解题时需分别讨论这两种情况。 2.列方程，求解集:在每种开口方向下，结合题目给出的增减性条件，列出关于系数的不等式或方程。解出每种情况下的系数取值范围。 3.得答案:将所有有效情况的解合并，得出最终的系数取值范围。 例题3 已知二次函数，当时，有最小值，则的值为 ． 【答案】5或 【详解】解：将二次函数化为顶点式：，所以其对称轴为直线． 时，二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值， 已知当时，有最小值，所以，解得， 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小． 所以在这个区间内，时，取得最小值． 把代入函数中，可得． 因为的最小值为，所以，解得． 综上，的值为5或． 故答案为：5或． 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：点、位于反比例函数图象上且关于原点对称， 、两点到轴的距离相等， ， ， ． 故选：C． 2．如图，设点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴，垂足分别是C、D．连接、，若交于点，且的面积是2011，则梯形的面积是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】C 【详解】∵点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 3．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得， 故选：C． 4．已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ①，抛物线开口向上， 时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， 对称轴为直线，在时有最小值， 时，有最小值， 解得：； 综上所述，或． 故选：D． 5．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形，，在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段的中点C，连接并延长交x轴于点D．则的面积为 ． 【答案】6 【详解】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 7．已知是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得， 故答案为：． 8．若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 故答案为：． 9．当 时，函数是二次函数． 【答案】 【详解】解：根据题意得：且， 由得， 由得， ． 故答案为：． 10．已知函数在上有最大值8，则常数m的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：（1）当时，函数为， 在上，其最大值为，不符合题意； （2）当时，， ∴对称轴为：， ①当时，对称轴， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得； ②当时，对称轴， a．当对称轴时，， ∴在上，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得（不符合题意）； b．当对称轴时，， ∴当，函数有最大值8， ∴，即， 解得（不符合题意）； c．当对称轴时，， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得（符合题意）； 综上，m的值为． 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 对函数的再探索 1.函数的表示方法：____________、_____________、_____________ 2.图象法的优缺点：图象法的优点是________，能够形象地反映出当___________________________________，所以常用来研究函数的________________________，不足之处是____________________________________。 3.列表法的优缺点：列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以_________________________，不足之处是______________________________________________。 4.解析法的优缺点：解析法的优点是________________________，对于自变量在 可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值，不足之处是_______________________，而且______________________________________________。 5.在同一个变化过程中，有两个变量 x，y 。如果对于变量 x 在可以取值的范围内________________________，变量y都有_______________________________，那么就说y是x的函数。 知识点02：反比例函数 6.一般的，形如_____________（k 是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 7.反比例函数 y = 的图象称作双曲线。当 k > 0时，图象的两个分支分别位于______________________，在每个象限内，_________________________________；当k < 0 时，图象的两个分支分别位于_________________________，在每个象限内，_____________________________。 8.一般的，形如________________________________（a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数叫做二次 函数。 9.二次函数y=ax 2 +bx+c的自变量x可以取值的范围是________________，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围。 10.二次函数 y = ax2 的图象是抛物线。我们把二次函数 y = ax2 的图象也叫做抛物线y=ax2 ，它的对称轴是__________。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的____________。抛物线 y = ax2 的顶是_______________。当 a > 0 时，它的开口_________，顶点是它的____________；当 a < 0 时，它的开口__________，顶点是它的_______________。 11.二次函数 y = ax2 + c 的图象是抛物线，它与抛物线 y = ax2 的形状___________，将抛物线 y = ax2 ______________________________________________________便得到抛物线y = ax 2 + c。当c > 0时，_______________；当c < 0时，_________________。 12.二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象是抛物线，它与 y = ax2的图象形状相同，只是______________。因此，它可由抛物线 y = ax 2经过__________而得到。二次函数y = a（x-h）2 + k及其图象有如下性质： （1）a > 0 时，开口____________，顶点是图象____________；a < 0时，开口__________，顶点是图象_____________。 （2）对称轴是经过点______________且平行于y轴的直线_____________。 （3）顶点坐标是______________。 （4）如果 a > 0，当 x < h 时，y 随 x 的___________________；当 x > h 时，y 随 x 的___________________。如果 a < 0，当 x < h 时，y 随 x 的__________________；当 x > h 时，y 随 x的_________________。 13. 一般的，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是抛物线，它的对称轴是直线________________ ，顶点坐标是____________________。若 a > 0，抛物线的开口_________。当x < - 时，y随x的增大而___________，当x > - 时，y随x的增大而__________，顶点是这条抛物线的_____________。若a < 0，抛物线的开口_____________。当x < - 时，y随 x 的增大而___________，当 x > - 时，y 随 x 的增大而_____________，顶点是这条抛物线的____________。 14. 如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式写成___________________________的形式，其中（-h，k）已知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便可以利用待定系数法确定系数a的值。 15. 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是___________________________________；反之，如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，那么公共点的横坐标就是_________________________________。 16. 一般的，因为抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是抛物线的_________________， 所以当 x = - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有_____________________，最小（大）值为_____________。 易错点1 反比例函数中利用k值求图形的面积 错误：1.忽略k的绝对值:计算面积时忘记用k，直接代入k的值，导致面积为负数。 2.记错面积公式:混淆了"矩形面积等于|k|"和"三角形面积等于|k|/2"。 3.找不到"关键点":不会从复杂图形中，找出在双曲线上的点，并向坐标轴作垂线。 4.多算或少算:对由多个基本图形组合成的复杂图形，面积计算容易出错。 注意：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 找到双曲线上的点P(x,y) -作:过P作x轴、y轴的垂线，利用矩形或三角形面积公式结合k求解。 例题1 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 易错点2 利用二次函数的定义求待定系数时忽略“ɑ≠0” 错误：利用二次函数的定义求待定系数时忽略“ɑ≠0”而导致错误。 注意：1.先列等式,求可能值:根据题目条件，比如"函数是二次函数"或"函数经过某点"，列出关于系数的方程，解出所有可能的解。 2.再用定义，定最终值:检查上一步得到的解。根据二次函数定义，二次项系数a不能为0. 例题2 已知函数的图像是抛物线，则k的值为 ． 易错点3 利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 错误：利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论而导致错误。 注意：1.定开口，分情况:二次函数的增减性由开口方向决定。当 a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧则增大。当 a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧 y随 x增大而增大，右侧则减小。解题时需分别讨论这两种情况。 2.列方程，求解集:在每种开口方向下，结合题目给出的增减性条件，列出关于系数的不等式或方程。解出每种情况下的系数取值范围。 3.得答案:将所有有效情况的解合并，得出最终的系数取值范围。 例题3 已知二次函数，当时，有最小值，则的值为 ． 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，设点A、B是反比例函数图象上的两点，、都垂直于轴，垂足分别是C、D．连接、，若交于点，且的面积是2011，则梯形的面积是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 3．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 4．已知二次函数在时有最小值，则（   ） A． B．或 C．或 D．或 5．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 6．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段的中点C，连接并延长交x轴于点D．则的面积为 ． 7．已知是关于的二次函数，则 ． 8．若函数是二次函数，则的值为 ． 9．当 时，函数是二次函数． 10．已知函数在上有最大值8，则常数m的值为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $