第5章 对函数的再探索（复习讲义）数学青岛版九年级下册

第5章 对函数的再探索（复习讲义） 1．掌握函数的概念，了解函数的表示方法，并且能解决相关实际问题。 ①掌握函数的概念；②了解函数的表示方法。③能解决函数的相关实际问题。 2．学习反比例函数，理解其图像特征并且能将反比例函数应用到实际问题中去。 ①掌握反比例函数的概念;②理解其图像特征；③能够将反比例函数应用到实际问题中去 3．掌握二次函数的图像和性质，理解和应用二次函数的标准形式，能够通过给定条件求出二次函数的具体表达式并且能够将二次函数的知识运用到实际问题中。 ①掌握二次函数的图像和性质；②理解和应用二次函数的标准形式，能够通过给定条件求出二次函数的具体表达式；③理解并能解决二次函数与一元二次方程的关系及实际问题；④能够将二次函数的知识运用到实际问题中，解决问题并做出合理解释。 知识点01：函数与它的表示法 1）函数的表示方法：图象法、列表法、解析法 2）图象法的优缺点：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势，不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函数值。 3）列表法的优缺点：列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值，不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值。 4）解析法的优缺点：解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在 可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数 值，不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式。 5）函数：在同一个变化过程中，有两个变量 x，y 。如果对于变量 x 在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。 知识点02：反比例函数 1）反比例函数：一般的，形如 y =（k 是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 2）反比例函数的性质：反比例函数 y = 的图象称作双曲线。当 k > 0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当k < 0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 3）一般的，从反比例函数 y = 图象上任一点 P，向 x 轴和 y 轴作垂线，以点 P 的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数| k |。 知识点03：二次函数 1）二次函数：一般的，形如 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数叫做二次 函数。 2）二次函数y=ax 2 +bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围。 知识点04：二次函数的图象和性质 1）二次函数 y = ax2 的图象是抛物线。我们把二次函数 y = ax2 的图象也叫做抛物线y=ax2 ，它的对称轴是y轴。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 y = ax2 的顶是坐标原点。当 a > 0 时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当 a < 0 时，它的开口向下，顶点是它的最高点。 2）二次函数 y = ax2 + c 的图象是抛物线，它与抛物线 y = ax2 的形状相同，将抛物线 y = ax2 沿 y 轴向上或向下平移 | c | 个单位长度便得到抛物线y = ax 2 + c。当c > 0时，向上平移；当c < 0时，向下平移。 3）二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象是抛物线，它与 y = ax2的图象形状相同，只是位置不同。因此，它可由抛物线 y = ax 2经过平移而得到。二次函数y = a（x-h）2 + k及其图象有如下性质： （1）a > 0 时，开口向上，顶点是图象最低点；a < 0时，开口向下，顶点是图象最高点。 （2）对称轴是经过点（h，0）且平行于y轴的直线x = h。 （3）顶点坐标是（h，k）。 （4）如果 a > 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 的增大而增大。如果 a < 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > h 时，y 随 x的增大而减小。 4）一般的，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是抛物线，它的对称轴是直 线 x = - ，顶点坐标是 （- ，）。若 a > 0，抛物线的开口向上。当x < - 时，y随x的增大而减小，当x > - 时，y随x的增大而增大，顶点是这条抛物线的最低点。若a < 0，抛物线的开口向下。当x < - 时，y随 x 的增大而增大，当 x > - 时，y 随 x 的增大而减小，顶点是这条抛物线的最高点。 知识点05：确定二次函数的表达式 1)如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式写成 y = a（x + h）2 + k 的形式，其中（-h，k）已知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便可以利用待定系数法确定系数a的值。 2)在二次函数 y=a x 2 +b x+c 的表达式中，a，b，c 是待定系数，如果已知不共线的三点的坐标将它们分别代入这个表达式，便可得到一个关于a，b，c 的三元一次方程组，解这个方程组，便可确定表达式中的未知系数。这就是说，知道不共线的三点的坐标，便可确定经过这三点的抛物线。 知识点06：二次函数的图象与一元二次方程 1)如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，那么公共点的 横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的实根。 知识点07：二次函数的应用 1)一般的，因为抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是抛物线的最低（高）点， 所以当 x = - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值，最小（大） 值为。 题型一 根据反比例的定义求参数 【例1】若函数是反比例函数，则 ． 【变式1-1】若是反比例函数，则a的值为 ． 【变式1-2】已知函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 【变式1-3】已知 若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值．    题型二 判断反比例函数图象 【例2】物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】当压力时，物体所受压强P(单位：)关于受力面积S(单位：)的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知圆柱体体积一定，则它的底面积与高之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，，是反比例函数图象上不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，且，，三点不在同一条直线上．若，则 ． 题型四 已知反比例函数的增减性求参数 【例4】反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式4-2】在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【变式4-3】已知反比例函数图像经过、，如果，，那么 0．（填“”或“”） 题型五 已知比例系数，求特殊图形的面积 【例5】如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式5-2】如图，已知双曲线经过等腰三角形顶角的顶点，过轴上一点作轴的垂线交双曲线于点，连接，若的面积为12，则的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．21 【变式5-3】如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 题型六 二次函数图象与各项系数符号 【例6】二次函数的图象如图所示（示意图），下列结论错误的是（   ） A． B． C．当时，y随x增大而增大 D．图象与y轴交点在正半轴 【变式6-1】已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有 ．（写出序号即可） 题型七 反比例函数、二次函数图象综合判断 【例7】已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式7-2】抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． x题型八 抛物线与X轴的交点问题 【例8】若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【变式8-1】已知一元二次方程有两个实数根和（），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 题型九 根据交点确定不等式的解集 【例9】已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【变式9-1】如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【变式9-2】二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为 ． 【变式9-3】如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 题型十 二次函数的应用 【例10】如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为 时，猪舍面积最大（为整数） 【变式10-1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． (1)用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． (2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ (3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【变式10-2】如图，在中，，，，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，如果分别从同时出发，设的面积为，出发时间为． (1)写出和的函数关系式： (2)当为何值时，面积为？ 【变式10-3】某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 基础巩固通关测 1、 单选题 1．反比例函数的比例系数是（    ） A． B． C． D． 2．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 4．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 8．抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 9．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为 ．    10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点，则四边形的面积是 ． 三、解答题 11．已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 12．已知二次函数（m是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值； (2)为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点Q的坐标； 13．已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 14．喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 15．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 2．已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过抛物线（，为常数，且）的顶点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 6．如果函数是反比例函数，那么m的值是 ． 7．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有 ．（填序号） 8．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的延长线交轴于点，连接交双曲线于点，连接，若，则的面积是 ． 9． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 10．已知二次函数（为常数且），下列五个结论： ①该函数图象过； ②当时，该函数与轴有两个不同的交点； ③若，且当时，随的增大而增大，则的取值范围为； ④若，且该二次函数与轴负半轴交于，则； ⑤若，则关于的方程的正根只有一个． 其中正确的有 ． 三、解答题 11．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 12．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒，记的面积为，矩形与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 13．在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2． (1)求与的数量关系； (2)当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式； (3)设点是线段边上的点，在（2）的条件下，是否存在点，以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 15．如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 对函数的再探索（复习讲义） 1．掌握函数的概念，了解函数的表示方法，并且能解决相关实际问题。 ①掌握函数的概念；②了解函数的表示方法。③能解决函数的相关实际问题。 2．学习反比例函数，理解其图像特征并且能将反比例函数应用到实际问题中去。 ①掌握反比例函数的概念;②理解其图像特征；③能够将反比例函数应用到实际问题中去 3．掌握二次函数的图像和性质，理解和应用二次函数的标准形式，能够通过给定条件求出二次函数的具体表达式并且能够将二次函数的知识运用到实际问题中。 ①掌握二次函数的图像和性质；②理解和应用二次函数的标准形式，能够通过给定条件求出二次函数的具体表达式；③理解并能解决二次函数与一元二次方程的关系及实际问题；④能够将二次函数的知识运用到实际问题中，解决问题并做出合理解释。 知识点01：函数与它的表示法 1）函数的表示方法：图象法、列表法、解析法 2）图象法的优缺点：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势，不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函数值。 3）列表法的优缺点：列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值，不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值。 4）解析法的优缺点：解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在 可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数 值，不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式。 5）函数：在同一个变化过程中，有两个变量 x，y 。如果对于变量 x 在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。 知识点02：反比例函数 1）反比例函数：一般的，形如 y =（k 是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 2）反比例函数的性质：反比例函数 y = 的图象称作双曲线。当 k > 0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当k < 0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 3）一般的，从反比例函数 y = 图象上任一点 P，向 x 轴和 y 轴作垂线，以点 P 的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数| k |。 知识点03：二次函数 1）二次函数：一般的，形如 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数叫做二次 函数。 2）二次函数y=ax 2 +bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围。 知识点04：二次函数的图象和性质 1）二次函数 y = ax2 的图象是抛物线。我们把二次函数 y = ax2 的图象也叫做抛物线y=ax2 ，它的对称轴是y轴。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 y = ax2 的顶是坐标原点。当 a > 0 时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当 a < 0 时，它的开口向下，顶点是它的最高点。 2）二次函数 y = ax2 + c 的图象是抛物线，它与抛物线 y = ax2 的形状相同，将抛物线 y = ax2 沿 y 轴向上或向下平移 | c | 个单位长度便得到抛物线y = ax 2 + c。当c > 0时，向上平移；当c < 0时，向下平移。 3）二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象是抛物线，它与 y = ax2的图象形状相同，只是位置不同。因此，它可由抛物线 y = ax 2经过平移而得到。二次函数y = a（x-h）2 + k及其图象有如下性质： （1）a > 0 时，开口向上，顶点是图象最低点；a < 0时，开口向下，顶点是图象最高点。 （2）对称轴是经过点（h，0）且平行于y轴的直线x = h。 （3）顶点坐标是（h，k）。 （4）如果 a > 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 的增大而增大。如果 a < 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > h 时，y 随 x的增大而减小。 4）一般的，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是抛物线，它的对称轴是直 线 x = - ，顶点坐标是 （- ，）。若 a > 0，抛物线的开口向上。当x < - 时，y随x的增大而减小，当x > - 时，y随x的增大而增大，顶点是这条抛物线的最低点。若a < 0，抛物线的开口向下。当x < - 时，y随 x 的增大而增大，当 x > - 时，y 随 x 的增大而减小，顶点是这条抛物线的最高点。 知识点05：确定二次函数的表达式 1)如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式写成 y = a（x + h）2 + k 的形式，其中（-h，k）已知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便可以利用待定系数法确定系数a的值。 2)在二次函数 y=a x 2 +b x+c 的表达式中，a，b，c 是待定系数，如果已知不共线的三点的坐标将它们分别代入这个表达式，便可得到一个关于a，b，c 的三元一次方程组，解这个方程组，便可确定表达式中的未知系数。这就是说，知道不共线的三点的坐标，便可确定经过这三点的抛物线。 知识点06：二次函数的图象与一元二次方程 1)如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，那么公共点的 横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的实根。 知识点07：二次函数的应用 1)一般的，因为抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是抛物线的最低（高）点， 所以当 x = - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值，最小（大） 值为。 题型一 根据反比例的定义求参数 【例1】若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】若是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，一元二次方程的解法，掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的定义，得到且，求出a的值即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】已知函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数“一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数”，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．根据反比例函数的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】已知 若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令且即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得，    的值为． 题型二 判断反比例函数图象 【例2】物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象，反比例函数图象，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三个量，其中一个量一定，剩下两个量的函数关系来确定函数图象． 【详解】解：当m一定时，公式为，这是反比例函数，故A符合； 当ρ一定时，公式可变形为，这是正比例函数，故C符合； 当V一定时，或，这是正比例函数，故B不符合，D符合； 故选：B． 【变式2-1】当压力时，物体所受压强P(单位：)关于受力面积S(单位：)的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象和应用，解题的关键是正确分析题意． 根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可判断． 【详解】解：根据，当时，，P是S的反比例函数，则函数图象是双曲线在第一象限的一支． 故选：A． 【变式2-2】已知圆柱体体积一定，则它的底面积与高之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．先根据圆柱体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的图象特点即可得． 【详解】解：由题意得：， 则， 所以这个函数的图象为反比例函数的图象在第一象限内的部分． 故选：C． 【变式2-3】面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 由是反比例函数，根据反比例函数的性质可得结果． 【详解】解：∵面积为4的矩形一边为x，另一边为y， ∴． 即． 所以上述函数为反比例函数，且． 故选：C． 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 【变式3-1】若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 【变式3-2】如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，，是反比例函数图象上不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，且，，三点不在同一条直线上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的对称性是解题的关键．根据反比例函数的对称性得到、的坐标，代入反比例函数中，即可求得． 【详解】解：由题意可知、两点关于直线或关于直线对称， 当、两点关于直线对称时，点，， ； 当、两点关于直线对称时，点，， ，即． 故答案为：． 题型四 已知反比例函数的增减性求参数 【例4】反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 【变式4-1】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的增减性．熟记相关结论即可． 根据反比例函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】已知反比例函数图像经过、，如果，，那么 0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数性质，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．先根据，判断出点、都在第二象限，且y随x的增大而增大，再根据反比例函数性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数图像经过、，且，， ∴点、都在第二象限，且y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 题型五 已知比例系数，求特殊图形的面积 【例5】如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点， ， 设，则， 则， ，， 四边形面积， 故选：C． 【变式5-1】如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式5-2】如图，已知双曲线经过等腰三角形顶角的顶点，过轴上一点作轴的垂线交双曲线于点，连接，若的面积为12，则的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．21 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等知识．证明，可得，再根据反比例函数k的几何意义得出答案． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D， ∵的面积为12，， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：A． 【变式5-3】如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 题型六 二次函数图象与各项系数符号 【例6】二次函数的图象如图所示（示意图），下列结论错误的是（   ） A． B． C．当时，y随x增大而增大 D．图象与y轴交点在正半轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线的增减性等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， 故A正确，不符合题意； ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， 故D错误，符合题意； ∵对称轴为直线， 故当时，y随x增大而增大， 且, ∴, 故B,C正确，不符合题意； 故选：D． 【变式6-1】已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点位置，即可得到、、的正负性，从而判断A选项；把代入二次函数解析式中，即可判断B选项；根据二次函数图象的对称轴可判断C选项的正确性；根据二次函数图象与轴有个交点，从而判断D选项． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ，，故C选项正确； 二次函数图象与轴的交点在轴上方， ， ，故A选项错误； 当时，， ，即，故B选项错误； 二次函数图象与轴有个交点， ，故D选项错误； 故选：C ． 【变式6-2】二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①，，， ，错误； ②由图象可知：对称轴为直线，且， ，正确； ③由图象可知：当时， ， 又当时，， ； 与相加得， ，正确； ④， ， 又， ，正确． 综上，正确结论的序号是②③④． 故选：D． 【变式6-3】如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有 ．（写出序号即可） 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得， 由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得， 所以，故①不正确； 由抛物线的对称轴是直线， 所以，即，故②错误； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，都等于c，又， 当时，，因此③正确； 由图象可知，当时，， 因为， 所以，即，故④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤， 故答案为：③⑤． 题型七 反比例函数、二次函数图象综合判断 【例7】已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 【变式7-1】已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象．由点关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，从而排除选项A． 【详解】解：由在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由在同一个函数图象上，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 【变式7-2】抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数与反比例函数图象的综合应用问题，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而得出一次函数与反比例函数图象的分布位置即可求解，掌握二次函数、一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵对称轴直线， ∴， ∴， ∴直线经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在一、三象限， 故选：． 【变式7-3】抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 题型八 抛物线与X轴的交点问题 【例8】若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 【变式8-1】已知一元二次方程有两个实数根和（），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可得，设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，根据增减性可推导出当时，x的值一个小于，一个大于，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小， ∴在中，当时，x的值一个小于，一个大于，即， 故选：B． 【变式8-2】抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．根据抛物线解析式得其对称轴为直线，设另一个交点是，则，进而可得答案． 【详解】解：∵对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴两个交点关于直线对称， 设另一个交点是， 则， 解得：， ∴另一个交点为． 故选：C． 【变式8-3】已知抛物线（a是常数）． (1)求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或5 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程综合． （1）令，得，证明即可； （2）令，得，根据根与系数的关系可得进而得到根据得到求解即可． 【详解】（1）证明：令，得， 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； （2）解：令，得， 该抛物线与轴交于点A，B，且， 整理，得，解得或． 题型九 根据交点确定不等式的解集 【例9】已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的对称性、抛物线与线段交点个数等知识点，分情况画出图形成为解题的关键． 分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出点m的值，然后再结合图形即可解答． 【详解】解：∵抛物线为， ∴如图：当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线的顶点在线段上时，，解得：； 结合图象可知，m的取值范围是或或． 故答案为：或或． 【变式9-1】如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【变式9-2】二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式9-3】如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 题型十 二次函数的应用 【例10】如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为 时，猪舍面积最大（为整数） 【答案】9 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设，猪舍的面积为，则，根据矩形面积计算公式可得，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，猪舍的面积为，则， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当时，y有最大值， ∴当时，猪舍面积最大， 故答案为：9． 【变式10-1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． (1)用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． (2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ (3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【答案】(1)； (2)55元件 (3)当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）①根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【详解】（1）①每件商品的利润为元， 故答案为：； ②每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； （2）设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． （3）解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 【变式10-2】如图，在中，，，，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，如果分别从同时出发，设的面积为，出发时间为． (1)写出和的函数关系式： (2)当为何值时，面积为？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，， 进而得到，再根据三角形的面积公式列出函数关系式，再求出的取值范围即可； （2）把代入（1）中所求函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （2）解：当时，即， 解得， ∴当为3时，面积为36． 【变式10-3】某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．反比例函数的比例系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解反比例函数解析式中k的值就是比例系数是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：反比例函数的比例系数是， 故选：． 2．在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 3．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，已知比例系数求特殊图形的面积，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先设，再求得，从而可求得，，再分别用表示出与，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与过原点的直线交于点A， ∴设， ∵延长至点B使得， ∴点A为的中点， ∴， ∵轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 4．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出， 因为对称轴在轴右侧，对称轴为， 而，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可知， 故，①正确； 由图象知，当时，， ，故②正确； 对称轴， ， ， 故③错误； 抛物线与轴有两个交点， ， 故④正确； 故选：C． 二、填空题 6．已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 8．抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线与轴没有交点，可知当时，方程没有实数根，则，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， 方程没有实数根， ， 解得：， 故答案为：． 9．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的交点问题，解决此题的关键是正确的理解图示及不等式关系；先找到交点，是两个函数值相等的时候，再找到抛物线在直线下方的时候自变量的取值范围即可； 【详解】解：由图可知：当或时，一次函数和二次函数的函数值是相等的， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，矩形的判定与性质等知识点． 连接，过点作轴于点，则四边形是矩形，由反比例函数k的几何意义得到，那么，最后由求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 三、解答题 11．已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上；点在此函数图像上； (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可求解； （2）根据待定系数法，把点代入函数的解析式即可求出k的值，再利用代入法判断在不在函数的图像上； （3）分别求出和时的y值，根据函数的增减性判断y的取值范围即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数 ∴且 解得：且 又∵随的增大而增大 ∴即 ∴ （2）由（1）可知： ∴由得：，故点不在此函数图像上； 由得：，故点在此函数图像上； （3）∵反比例函数， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， 当时，代入反比例函数得； 当时，代入反比例函数得； ∴的取值范围为：. 12．已知二次函数（m是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值； (2)为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点Q的坐标； 【答案】(1)m的值为或 (2)点Q的坐标为 【分析】本题考查二次函数的性质（与x轴的交点、二次函数的最值）．解题用到的思想是代数方程思想，方法是利用判别式解决抛物线与x轴的交点问题，利用二次函数的顶点式求最值；解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数最值的求解方法；易错点是在计算判别式和二次函数最值时，容易因符号或运算错误导致结果出错． （1）根据抛物线与x轴只有一个公共点时判别式，先确定二次函数中a、b、c的值，代入判别式公式列出方程，进而求解m的值． （2）先将点代入抛物线解析式得到n关于m的表达式，再将其代入得到关于m的二次函数，最后根据二次函数的性质求出其最大值对应的m、n的值，从而得到点Q的坐标． 【详解】（1）由题意得，在函数中，，，，则： 令，即， 得， 解得或． （2）因为在抛物线上，所以将，代入，得： 则． 这是一个关于m的二次函数，开口向下，其最大值在顶点处取得． ． 将代入，得： ． 所以点Q的坐标为． 13．已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到二次函数的顶点； （2）利用描点法画函数图象； （3）根据二次函数的图象直接解答即可． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：列表： 0 1 2 3 0 0 描点、连线，画图： （3）解：由图象得，当时，． 14．喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 【答案】(1)2，3.2 (2)图见解析， (3)40，3.6，10 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量和函数值，画函数图象，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）根据，求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据均值不等式，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； ∴； 故答案为：2，3.2； （2）描点，连线，画出函数图象如图： 由题意，可知：； （3）首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵， ∴，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：40，3.6，10 15．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为； （3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征判断即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可； （3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 能力提升进阶练 一、单选题 1．关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、由于，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、由于，图象在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，错误，符合题意； C、由，可得图象经过，正确，不符合题意； D、的图象关于直线对称，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，正确，不符合题意． 故选：B． 2．已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握图象的形状和所在象限． 根据一次函数的性质和反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图象是在第二、四象限的双曲线， ∵，， ∴的图象是经过一、三、四象限的直线， 只有选项C符合要求． 故选： C． 3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．将代入得， ∴点C的坐标为， 故A正确； B．由题意可知， ， ， ， ， 故B错误； C．若，则， ∴的图象关于x轴对称，故C正确； D．当时，， ∵反比例函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，，故D正确． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过抛物线（，为常数，且）的顶点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．根据函数图象，确定交点横坐标，再找出直线在抛物线下方的部分，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为、， 当时，直线在抛物线下方， 不等式的解集为， 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 二、填空题 6．如果函数是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 根据反比例函数的定义，只需令且即可． 【详解】解：因为函数是反比例函数， 所以， 所以， 故答案为：． 7．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断①，特殊点判断②，对称轴判断③，最值判断④，根据，得到的关系式判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴，，故①③错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，为， ∴当时，， ∴；故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故⑤错误； 故答案为：②④． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的延长线交轴于点，连接交双曲线于点，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，综合运用以上知识点是解题的关键；连接，作 轴于点，轴于点，轴于点，设 ，证明，可得，，进而求得，证明可得，则，即可得解． 【详解】如图，连接，作 轴于点，轴于点，轴于点， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 把代入得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， 又， ． 故答案为：． 9． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 10．已知二次函数（为常数且），下列五个结论： ①该函数图象过； ②当时，该函数与轴有两个不同的交点； ③若，且当时，随的增大而增大，则的取值范围为； ④若，且该二次函数与轴负半轴交于，则； ⑤若，则关于的方程的正根只有一个． 其中正确的有 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①不正确； 当时，， ，该函数与轴有两个不同的交点，故②正确； 若， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴ 解得，故③不正确 若，且该二次函数与轴负半轴交于， ∴抛物线的开口向上， 时，， 当时，， ∴，故④正确； ∵， ∴当时，， ∵ ∴开口向上，对称轴，在轴的左侧， 与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， ∴有一个正根， 当时，与直线有两个交点，一个在轴上，一个在第三象限， 综上所述，，则关于的方程的正根只有一个．故⑤正确； 故答案为：②④⑤． 三、解答题 11．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 【答案】(1)见解析 (2)①增大；② (3)上；2个；或 【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可． 【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， （2）解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为：； （3）解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， ∵当时，， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． 12．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒，记的面积为，矩形与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）当点P在线段上，即时，，当点P在线段上，即时，，据此求出关于的函数关系式即可；由勾股定理可得，则，过点D作于E，解直角三角形可得的长，则根据可得的值，再求出矩形的面积即可求出关于的函数关系式 （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再求出对应的函数性质即可； （3）求出两函数的交点横坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴； 当点P在线段上，即时，， ∴； 当点P在线段上，即时，则， ∴； 综上所述，； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，过点D作于E， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可得，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； （3）解：联立得 ，解得或（舍得）； 联立得，解得或（舍得）； ∴由函数图象可得，当时，的取值范围为或． 13．在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2． (1)求与的数量关系； (2)当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式； (3)设点是线段边上的点，在（2）的条件下，是否存在点，以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数的性质（反比例函数上点的横纵坐标之积为定值）、锐角三角函数的定义、一次函数解析式的求法及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反比例函数点的坐标关系推导与的数量关系，结合三角函数和三角形面积求函数解析式，再通过分类讨论相似三角形的对应关系求点坐标． （1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积为，得，化简得； （2）过作于，由得，结合面积为列方程求，进而得、，确定反比例函数解析式；再根据B、两点坐标求直线解析式； （3）分和两种情况，作，利用相似三角形的对应边成比例求的长度，结合直线解析式求点坐标． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数上， ∴，即，． ∴，化简得． （2）如图，过点作于点． 在中，， 由点、知，， 故，， ， ． ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式． 由知，，则， ∴，又即， 设直线的解析式为，将点B与点D的坐标代入， ，解得， ∴直线的解析式为． （3）如图，作于， ①当时，， ， ， ， 即 ②当时， ， 即 ． 综合①②可知，或． 14．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】(1) (2)第5天的销售利润为18000元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； （3）不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元． 15．如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 【答案】(1)，12，， (2)①，说明见解析；② 【分析】（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出反比例函数解析式，再求出点D坐标代入抛物线即可得到答案； （2）根据题意求出新抛物线的交点求出A点坐标，将横坐标及横坐标加2代入抛物线即可得到d的取值范围； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，球台到轴的距离为6米， ∴， 将代入得， ， ∴， ∵到轴的距离为3米， ∴，故， 将代入得， ，解得：， 故答案为：，12，，； （2）解：解：①∵抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 把代入，解得， ∴的表达式为， ∵点A在反比例函数，且米， ∴点A的坐标为，当时，， ∴与弯道不相交，小球不能落在弯道上. ②当时，； 当时，， 综上，； 【点睛】本题考查二次函数与反比例函数综合问题，解题的关键根据题意找点代入求出解析式，求出交点． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $