精品解析：江西省赣州市厚德外国语学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

厚德外国语学校精品高中2025－2026学年第一学期10月月考 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 方程表示的图形是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 点 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得,解方程即可判断. 【详解】方程,则,解得：,所以方程表示的图形是点； 故选：C 2. 直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角为大小为， 则， 因为， 所以， 故选：D 3. 过点且斜率为的直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线与轴的交点坐标即可得解. 【详解】所求直线方程为，该直线交轴于点， 因此，该直线在轴上的截距是. 故选：D. 4. 若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据椭圆的方程得出的值，再根据椭圆的定义结合已知条件求出的周长． 【详解】 椭圆方程为， ， 为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点， ， 又，，三点共线， 的周长为：， 故选：D． 5. 直线和直线的位置关系是（ ） A. 相交且垂直 B. 平行 C. 相交且不垂直 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据和分类讨论即可． 【详解】解：当时， 当时，，， 则，则． 综上，知， 故选：A． 6. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率得，利用双曲线定义可得，由勾股定理逆定理可知为直角三角形进而得面积. 【详解】由题意可知，所以， 由双曲线定义可得，则， 则， 所以为直角三角形， 所以． 故选：B. 7. 坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点．这个过程称为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，然后根据旋转变换公式列方程组表示出，代入曲线的方程化简可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 8. 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则（ ） A. 关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出曲线的图象，利用点对称可判断A；结合图象可判断B；直线恒过点，求出上半圆与直线相切时的值，结合图象可判断C；直线恒过定点，求出曲线与直线相切时的值，结合图象可判断D. 【详解】当时，曲线的方程为，表示为圆心在原点、半径为1的上半圆； 当时，曲线的方程为，表示为焦点在轴、对称中心在原点的双曲 线的轴下方的部分，其渐近线方程为； 对于A，设点在曲线上，点关于轴对称的点为， 因为，所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，时，直线恒过定点，如图， 当，或时，曲线与直线只有1个交点， 当，曲线与直线有2个交点，所以，故B正确； 对于C，当时，直线恒过定点点， 当曲线与直线相切时， 圆心到直线的距离为，解得， 当，或，或时，曲线与直线只有1个交点， 当时，曲线与直线没有交点； 当时，曲线与直线有2个交点； 所以，故C错误； 对于D， 时，直线恒过定点点， 当曲线与直线相切时， 圆心到直线的距离为，解得， 当直线过时，得， 当直线过时，得， 若曲线与直线有2个交点时， 则，或， 若曲线与直线有1个交点时， 则，或 ，或， 当时，曲线与直线没有交点； 当直线与曲线相切时，联立方程 得， 可得，解得， 当，或时， 直线与曲线有2个交点， 当，或时， 直线与曲线有1个交点， 当时，曲线与直线没有交点； 所以当直线与曲线与有2个交点、与 有1个交点时，，或； 当直线与曲线有1个交点、与 有2个交点时，，或， 综上所述，时，曲线：与直线交点个数为3个， 故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是结合图象解题. 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10. 热爱数学的小数同学经研究发现，函数的图象是双曲线.设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 不是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 若点到距离为，则点到点距离为或 D. 类比以上结论可猜测的图象是双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义与性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，由反比例函数的性质可知是函数的对称轴，故A错误； 对于B，根据反比例函数的图象知两条坐标轴是其渐近线，两渐近线互相垂直，由双曲线定义知其为等轴双曲线，即，故B正确； 对于C，易知与的交点为， 即该双曲线的两个顶点为，所以， 所以两焦点坐标为和， 根据双曲线的定义知：若,所以P更靠近， 则，故C错误； 对于D，的渐近线为，对称轴为两条渐近线角平分线， 其图象绕原点逆时针旋转即可得到标准的双曲线方程，故D正确. 故选：BD 11. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点在以为圆心，16为半径的圆上 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：根据椭圆的定义结合余弦定理计算即可得；对B：根据题意结合椭圆的光学性质可得为的角平分线，再利用等面积法计算即可得；对C：借助椭圆的光学性质计算即可得；对D：根据题意结合正弦定理运算即可得. 【详解】对A：由题意可得，， 则，， 则，故A正确； 对B：由椭圆光学性质结合可得为的角平分线， 又， 则， 化简得，即，故B正确； 对C：由椭圆光学性质可得在直线上，且， 则，故点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确； 对D：由正弦定理可得，， 即有，， 又、， 故，则， 即，故，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，是直线上的两点，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由两点间的距离公式可求解. 【详解】因为，是直线上的两点， 所以，． 根据两点间的距离公式，得 ， 解得. 故答案为： 13. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】假设点在第二象限，设，则,结合双曲线定义、勾股定理得，再由勾股定理得，结合离心率公式解方程即可得解. 【详解】假设点在第二象限，如图，设，则． 由双曲线的定义得，． 因为，所以在中，， 即，整理得， 所以，， 故在中，，即， 整理得，所以．又，所以． 故答案为：. 14. 若关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围是____________． 【答案】或. 【解析】 【分析】作出半圆和直线，由题意，两个图象有且仅有一个公共点，即可求解. 【详解】解：由题意，原问题等价于直线与曲线有且仅有一个交点， 因为，即，所以曲线表示以为圆心，半径为3的圆的上半部分， 结合图象，当直线经过时，； 当直线经过时，； 当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）； 所以实数a的取值范围是或， 故答案为：或. 四、解答题（共77分） 15. 已知中，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再通过两点式求出直线的方程； （2）先用两点间距离公式求出的长度，再利用点到直线距离公式求出点到的距离，最后根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 为边上的中线，， 为边的中点，坐标为， 又， 所在直线方程为，即， 边上的中线所在直线的一般式方程为：． 【小问2详解】 ， ， ， 边所在直线方程为：，一般式为， 点到直线的距离为：， ． 16. （1）过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）已知中，点，，，求的外接圆的方程； （3）已知圆的圆心在直线上，且与圆：外切于点，求圆的方程. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得圆心为，半径为，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，结合直线与圆相切列出方程，即可求解； （2）设的外接圆的方程为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. （3）求得圆心为，半径为，根据题意，得到在同一直线上，求得直线的方程，联立方程组，求得圆的圆心坐标，再由，即可求解. 【详解】（1）由圆可化为， 可得圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，过点的直线的方程为，恰与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 依题意，圆心到直线的距离为， 整理得，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. （2）设的外接圆的方程为， 因为点，，在圆上， 可得，解得， 所以的外接圆的方程为. （3）由圆可化为， 可得圆心为，半径为， 因为圆与圆外切于点，可得在同一条直线上， 则，故的方程为，即， 又因为圆的圆心在直线上， 联立方程组，解得，即圆心， 因圆的半径为，所以圆的方程为. 17. 在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． （1）设点的轨迹为，求曲线的方程； （2）设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】（1）； （2） 设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 【解析】 【分析】（1）利用斜率之积即可求动点轨迹方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组，即可求中点坐标，从而可证明在直线上. 【小问1详解】 设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. 【小问2详解】 略 18. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，与轴非正半轴交于点，与轴非负半轴交于点，过原点的直线（非坐标轴）与曲线交于两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断直线与直线的位置关系并证明. 【答案】（1） （2） 易知，设点，则，， ，则， 则，， ， 所以，即 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义计算即可； （2）设M坐标，含参表示坐标，利用两点斜率公式及点在椭圆上消元化简即可. 【小问1详解】 易知，， 所以点的轨迹为以为焦点，长轴为4的椭圆，即； 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的方程：，点是椭圆的右焦点. （1）点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.求的最小值； （2）以坐标原点为圆心，以为半径的圆记为圆.平行四边形的四个顶点均在椭圆上，圆内切于此平行四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）当直线的斜率不存在，或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解； （2）（i）当直线的斜率不存在，或为零时，四边形为正方形，符合题意；当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据圆内切于四边形求得，结合韦达定理，利用数量积坐标运算得，则，此时平行四边形为菱形，即可证明. （ii）当四边形为正方形时，；当四边形不为正方形，而为菱形时，先求出，再代入面积公式得，令，根据二次函数性质求得的最大值，对比即可求解菱形的面积最大值. 【小问1详解】 因为切线交轴于点，所以，则， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厚德外国语学校精品高中2025－2026学年第一学期10月月考 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 方程表示的图形是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 点 D. 线段 2. 直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且斜率为的直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 4. 若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 5. 直线和直线的位置关系是（ ） A. 相交且垂直 B. 平行 C. 相交且不垂直 D. 不确定 6. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点．这个过程称为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则（ ） A. 关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“” 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 热爱数学的小数同学经研究发现，函数的图象是双曲线.设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 不是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 若点到距离为，则点到点距离为或 D. 类比以上结论可猜测的图象是双曲线 11. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点在以为圆心，16为半径的圆上 D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，是直线上的两点，若，则______ 13. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为______． 14. 若关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围是____________． 四、解答题（共77分） 15. 已知中，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求的面积． 16. （1）过点的直线与圆相切，求直线的方程； （2）已知中，点，，，求的外接圆的方程； （3）已知圆的圆心在直线上，且与圆：外切于点，求圆的方程. 17. 在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． （1）设点的轨迹为，求曲线的方程； （2）设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 18. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，与轴非正半轴交于点，与轴非负半轴交于点，过原点的直线（非坐标轴）与曲线交于两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断直线与直线的位置关系并证明. 19. 已知椭圆的方程：，点是椭圆的右焦点. （1）点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.求的最小值； （2）以坐标原点为圆心，以为半径的圆记为圆.平行四边形的四个顶点均在椭圆上，圆内切于此平行四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $