四川巴中市普通高中2027届高三“零诊”考试数学试题

巴中市普通高中2024级“零诊”考试 数学试题 （满分150分120分钟完卷)】 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置 2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色 墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效 3.考试结束后，考生将答题卡交回 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1复数的共靶复数是 A.1-3i B.1+5i C.-1-3i D.-1+3i 2.单位向量可，，且可=分，则百-女 A.1 B.√2 C.5 D.2 3.若正实数m,n,满足m+2=1,则1+2的最小值为 m n A.3 B.6 C.8 D.9 4.下列四个函数中，以π为最小正周期且在（巧，）上单调递减的偶函数是 A.y=-|tanx| B.y=-tanx C.y=sinx D.y=cosx 5.若f(x)满足f(x+y)=f(x)fy),当x>0时，f(x)>1,则x<0时，f(x)的取值范围为 A.（-oo,1) B.(0,1) C.(1,+0) D.(0,+∞) 6.下列命题正确的是 A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 B.过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 数学·第1页（共4页) 7.若数列{an}的前n项和为Sn,且2a2是a3与a+2的等差中项，an+1=2Sn+1,则a6= A.27 B.54 C.81 D.243 8.设f(x)=e(2x-1)-a(x-1),若f(x)有两个零点，则a的取值范围是 A.(0,1) B 3 C 4e2,+o0 D.(0,)U 4e2,+o0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法错误的是 A.数据2,3,4,5,6,6,8,10,12,15的第70百分位数为8 B.已知一组样本数据：，2，…，xn的平均数为4，极差为6，中位数为5，则 -2x+1,-2x2+1,…,-2xn+1的平均数为-7，极差为12，中位数为-9 C.若随机变量X满足D(X)=3,则D(2X+3)=15 D.若P(0=0.4,PB|)=0.5,P(BA)=0.2,则P(B)=0.32 10.已知双曲线二-上=1的左右焦点分别为，B,过乃的直线与双曲线交于A, 45 B两点，则 A.F2到渐近线的距离为√ B.AB的最小值为5 C.若A,B在左右两支上，则直线1的斜率的取值范围为 22 D.若A在左支上，则△AFF的内切圆的圆心的横坐标为定值 11.正方体ABCD-4BCD的棱长为2，P是上底面4BCD1的一个动点（含边界），E, F分别是棱BC,DD的中点，则下列结论正确的是 A.△PAE在平面BBCC上投影的面积为定值 B.一只蚂蚁从E点出发沿正方体表面运动到F点，则其最短路程为2√2 C.经过E，F的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D.|PE|+|PFI的最小值为√4 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.1+2x)6的展开式中，x3的系数为 13.在△ABC中，a=3,b=2,则(acos B+bcos A)(acos B-bcos A)= 14.已知抛物线y2=2x,过点M(-1,0)的两条直线1,2分别与抛物线交于A,B,C, D四点，直线AC交y轴于点N(O,2),则直线BD的斜率为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分) 近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某 调研团队记录了民俗节期间30天的数据.设x,表示第i天的平均气温（单位：°℃)， y,表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人)，其中i=1,2,3,…,30」 根据统计，计算得到如下数据： 2(x-=80,2(0y-=12802x-0y-列=288. 2飞-y-可 附：相关系数 2(x-2-列 (1)根据所给数据，计算相关系数r，并判断是否可用线性回归模型拟合y与x 的关系；（r>0.75,则认为两个变量具有较强的线性相关性) (2)该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品.纪念品由某厂甲，乙，丙三台 机器生产，合格率分别为了，名，}，且三台机器产量和同，产品混放。现征取一件 纪念品，求其合格的概率. 16.（15分) 已知数列{an}满足a1=6,an1=3an+4n（n∈N) (1)设bn=an+2n+1,求证数列{bn}为等比数列，并求bn; (2)求数列{an}的前n项和Sn· 数学·第3页（共4页） 17.（15分) 如图，三棱锥A-BCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，AB·AD=0,AB=AD, AC=BC,点O是BD的中点，点M是线段AB上一点. （1)求证：AO⊥平面BCD; (2)若二面角M-CD-B为 0 求直线CB与平面MCD所成角的正弦值， 18.(17分) 已知函数-“.间-“ 2 (1)求证：f(2x)=2f2(x)-1;g(2x)=2f(x)g(x); (2)解不等式()： (3)当x>0时，求证：f(x)>g(x). 19.（17分) 已知椭圆E: 。京+京=1(a>b0),焦距25，离心率为5 x2.y2 (1)求E的方程； (2)F为E的右焦点，过点F作倾斜角为0的直线1交E于M,N两点 @若0=行，求N; ②在E上取5个不同的点M1,M2,M3,M4,M5, 满足∠M1OM2=∠M2OM3=∠M3OM4=∠M4OM5=∠M5OM1, 1 。1 1 1 计算1 oM,"M"DM,f "DM,,pM,T的值 数学·第4页（共4页)巴中市普通高中2024级“零诊”数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 题号 2 X 6 7 答案 A C D C E C D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 160 13. 5 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) (1)解：由题意得 288 288 288 =0.9…2分 V2-到2-或 √/80×1280√102400 320 .=0.90>0.75,则y与x有较强的线性相关关系 …4分 故可用线性回归模型拟合y与x的关系 5分 (2)解：设该产品为甲机器生产为事件A1,其产品合格率为P(B):该产品为乙机器 生产为事件A2,其产品合格率为P(B);该产品为丙机器生产为事件A3,其产品合 格率为P(B):任取一件产品合格为事件B …6分 由题意知P(A)=P(A)=P(A)=吉 …7分 又.纪念品合格与否相互独立 .P(BA)=P(B),P(B2A)=P(B2),P(B3A3）=P(B3)…8分 ∴.P(B)=P(B1A1)P(A1)+P(B2A2)P(A)+P(B3A3)P(A3)…10分 号×日+×分+是×号++是 = …12分 故任取一件纪念品其合格的概率为3…13分 4 ·第1页·（共5页） 16.（15分) (1)证明：当n=1时，b=a1十2十1=9…1分 bn=an+2m+1,.bn+1=an+1+2(n+1+1=an+1+2n+3…2分 又an+1=3am十4m,∴.bn+1=3am+4n+2m+3=3(an+2m+1)=3bn…4分 即=3，数列{b}是以9为首项，公比为3的等比数列…6分 b .bn=9X3m-1=3n+1…8分 (2)由(1)知am+2m十1=3+1，得an=3m+1-2n-1… …10分 ∴.Sn=a1+a2+a3十…+an =（32+33+34+…+3m+1)-(3+5+7+…+(2%+1)…11分 32(1-3”） n(3+2m+1) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1-3 2 …13分 =3+-2m2-4n-9 …15分 2 17.(15分) (1)方法1： 证明：连接OC,点O是BD的中点， 由题意知，AO⊥BD…1分 :AB·AD=0且AB=AD,:·AB⊥AD,则△ABD为等腰直角三角形 C AO=1… …2分 △BCD是边长为2的等边三角形，CO=√5…3分 .AO2+CO2=4=AC2,.∠AOC=90°，即AO⊥OC.…5分 又BD∩OC=O,.AO⊥平面BCD…6分 方法2：证明：连接OC,点O是BD的中点 由题意知，AO⊥BD,CO⊥BD,∴.∠AOC为二面角A-BD-C的平面角 :AB·AD=0且AB=AD,.AB⊥AD,则△ABD为等腰直角三角形， AO=1……2分 又：△BCD是边长为2的等边三角形，.CO=√ 又：AO2+CO=4=AC,.∠AOC=90°，即面ABD⊥面BCD …4分 又.面ABD∩面BCD=BD,AO⊥BD .AO⊥平面BCD… …6分 ·第2页·（共5页） (2)方法1： 解：取CD的中点为点E, 过点B作BF⊥平面MCD,垂足为点F, D 由题意知，BE⊥CD,BE=√3 …8分 又，BF⊥平面MCD,CDC平面MCD,∴.BF⊥CD …9分 又.BE∩BF=B,.CD⊥平面BFB,则FE⊥CD… …10分 故∠FEB为二面角M-CD-B的平面角，即∠FEB= 6 …11分 在直角三角形FEB中，sin∠FEB= 器分则= …12分 2 又.BF⊥平面MCD,.∠BCF为CB与平面MCD所成角.…I3分 3 则sin/BCF-BF 、=—= …14分 4 故直线CB与平面MCD所成角的正弦值为 …15分 4 方法2：由(1)知AO⊥平面BCD, .建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则O(0,0,0),A0,0,1),B(1,0,0),C(0,√5,0)，D(-1,0,0)M …7分 设M(1,0,1-)(0<1<1) 取平面BCD的一法向量元=OA=(0,0,1)8 9分 设平面MCD的法向量n2=(x,y,z) -D=0,即1++1-=0，取二5，则z=1+刘 C. 元DC=0 x+√3y=0 y=1 1-入 √3(1+) 由题意得cos<,>= 21·n2 1-1 元元 /4 「√3(1+λ) 1-入 则v31+) 1-入 =±25，即1+分=2，解得1= 1- 3 或1=3（舍） =(-√5,1,2W/5)…13分 设直线CB与平面MCD所成角为0 .sin=cos<n,BC>= n2BC 2w3 z·BC 8 4 故直线CB与平面MCD所成角的正弦值为Y …15分 4 ·第3页·（共5页） 18.(17分) 解：12)-1=2×(e°广-1=+。+2-1 5 e+e2 2 =f(2x)…2分 2f(a)g(a)-2.ete-.e-e=e-e-2 2 2 2 =g(2x),即结论成立…4分 2)令e十e≤5，t=e>0,化简得：3t-10t+3≤0…6分 2 解得：行≤t≤3，即号≤e≤3 ……8分 又y=e单调递增，所以解得：-ln3≤x≤ln3, .不等式解集为：{x-ln3≤x≤ln3}… …10分 3原不等式等价于：，兰>e>0) 2 又e+e>0即证：>二8(>0 即E:>1-7>02 e2m+1 >1-(x>0)）(*）…12分 当r≥1时，27>0,1-0≤0，不等式成立；…13分 e2m+1 ②当0<D<1时，令(=2+0<<1， e2m+1 h'(x)=- 4e2x eo+1+1 (e2m-1)2 (e2+17 >0,则h(x)在0<x<1上单调递增 h(x)>h(0)=1…l6分 综上所述：当x>0时，xf(x)>g(x)…17分 19.(17分) [2c=2√5 c=√3 解：(1)由题意有： e=8=9,解得：a=2 2 …2分 a a2=c2+b2 b=1 E的方程为：军+y=1 …4分 (2)①由（①）知F(3,0),若日=否，则直线1方程为：y=5x-3 …5分 立层4-，消y:1-2w5-2=0 :F(√，0)在E内部，△>0恒成立.设M(,h),N(四，)， ·第4页·（共5页） 则 +2= 24w5 13 (西 …7分 13 则|MW=√1+(W31x1-l=√1+(3×Vx+x2)2-4c 1245)2 =2V13° …9分 ②∠MO6=∠6OM=∠AMOM=∠LOM,=∠MOM=g元 不妨设M1在第一象限，M1、M,、M、M、M逆时针排列，记∠MFx=0,则： 1M(QM.cos9,OMsin8),代入E方程得.OMcos0+OMsin6=1 4 化简得：0元二子十是0…2分 园毛可得：o=子+子mp+号小以t关推 1 1 1 1 TOMTIOM.F +TOMP+JOMF 1 IOMP n0+是+星sin0,++sin+号x 3 1 4 父土3n(日+号元++3 4sin20+ 3 sin20+sin2(0 号xj+simg+号)+sin+gx+sim6+ 2 5 元 5+ (sin9+sin(a+号x+sin(8+专x+sin(0-5r+sin0-号 4 454 36o20-a20-号-c0s29+习co2g 号元-os(2- 5π/ +(侵号(cos29+cos29+x+os20+g)+cs29-)+os(20-) 1 8 其中：cos20+cos20+吉x)+cos(20+gx)+cos20-号j+cos20-吉x -c2+co0)2co20c) -cos291+2(os告j+eos(grx》）-cos291+2os(号j+oas号》 号元+c0s号，B=c0s号元-c0专，则AB=c0s号 令A=co 9 π-cos4 2AB=2c082元 5π=cos 2 则A=号cos201+2cos(告xj+cos(号x刘》=0…15分 1 1 1 1 1 oMP+1OzF+O话+OZF+OM 综上： 1 1 1 1 1 =25 OMOMP OMOM 8 …17分 OMP ·第5页·（共5页）