精品解析：山东省枣庄市滕州市北辛中学2023-2024学年上学期10月月考八年级数学试题

2023-2024年度八年级第一学业达标检测数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1； ②5，12，13； ③6，8，10； ④，，． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【详解】0.6²+0.8²=1²，能构成直角三角形，但不是正整数，因此不是勾股数； 5²+12²=13²，能构成直角三角形，是正整数，因此是勾股数； 6²+8²=10²，能构成直角三角形，正整数，因此是勾股数； () ²+() ²≠() ²，不能构成直角三角形，不是正整数，因此不是勾股数； 共2组勾股数， 故选B. 2. 实数，1.414，，﹣，π，，1.2，1.202120021200021…中无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，据此定义解题． 【详解】解：是分数，不是无理数；1.414，1.2，是有限小数，不是无理数；，π，1.202120021200021…是无理数；﹣，是整数，不是无理数；即无理数的个数是3个， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数与无理数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3. 根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理判断A、D即可，根据勾股定理的逆定理判断B、C即可． 【详解】解：A、：：：：，， ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； B、, ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、, ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D， ， ， ，无法确定、是否有直角，故无法判断是不是直角三角形，故本选项符合题意故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理．掌握基本概念和定理是解题关键． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根、平方根、二次根式有意义的条件，根据算术平方根、平方根的计算方法以及二次根式有意义的条件逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故没有平方根，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算和化简，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 6. 下列各式：①，②，③，④，最简二次根式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②，是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 最简二次根式有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解；能理解最简二次根式的定义是解此题的关键． 7. 如图，中，，垂直平分线分别交，于点D，E，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先利用线段垂直平分线的性质可得，然后设设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8. 已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，且AD＝12，则BC的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 14或9 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD，问题得解． 【详解】解：①如图， 锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12， 由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 即BD＝5， 在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12， 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 即CD＝9， ∴BC的长为BD＋DC＝9＋5＝14， ②如图， 钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12， 由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 即BD＝5， 在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12， 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 即CD＝9， ∴BC＝DC﹣BD＝9﹣5＝4 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论思想等．借助相等的边长，反复用勾股定理解答是关键. 9. 如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（　　） A. 16cm B. 20cm C. 24cm D. 28cm 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA，根据等角对等边证明FC=AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解． 【详解】∵长方形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA， 又∵∠BAC=∠EAC， ∴∠EAC=∠DCA， ∴FC=AF=25cm， 又∵长方形ABCD中，DC=AB=32cm， ∴DF=DC-FC=32-25=7cm， 在直角△ADF中，AD==24（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键． 10. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由于，由此根据算术平方根的概念可以找到10接近的两个完全平方数，再估算与最接近的整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵15和16比较接近， ∴与4比较接近， ∴与5比较接近． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，熟练运用“夹逼法”是解题关键． 11. 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”则输出的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和流程图，先计算出前面结果和作比较，再根据流程图计算即可，理解框图中的运算法则是解题的关键． 【详解】解：输入数字“9”后， ， ， 故输入数字“9”则输出的结果是7， 故选：D． 12. 如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3， ∴设，则， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，，， ∴图①中正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：，故D正确． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 的相反数是_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一个数前面加上“-”就得到这个数的相反数进行求解即可． 【详解】的相反数是-（）， 即：的相反数是， 故答案为：． 【点睛】本是考查了实数的性质，解题的关键是熟练掌握数a的相反数是-a． 15. 若直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的知识．注意可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：①当边长为的边是直角边时，斜边； ②当边长为的边是斜边时，这个三角形的斜边为， 故答案为：或． 16. 如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm． 【答案】15 【解析】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为 ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ； 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是； 根据勾股定理求得； ∴； 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 17. 如图，由图中的信息可知点表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，利用勾股定理求出GH即可． 【详解】解：由题意得GP=GH=， ∴点P表示数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的计算，熟练掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 18. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和6，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形ABCD的边长为，小正方形EFHG的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（共7题，共60分） 19. 求下列各式中x的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接开平方，得到两个一元一次方程，求解即可； （2）先移项，然后开立方即可求解． 【小问1详解】 解：或 解得：或 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 20. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，零指数幂，化简绝对值，再合并同类二次根式，即可求解； （3）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解； （4）根据二次根式的除法以及加减进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 21. 已知平方根是，的立方根是2，是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义，求得和的值； （2）根据（1）的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解． 【小问1详解】 解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 即，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵是的整数部分， ∴， 由（1）知，， 所以， 那么9的算术平方根是3， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算等知识内容，难度较小，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度为米 （2）他应该往回收线米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， （米）， （米）， 他应该往回收线米． 23. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均在格点上． （1）直接写出的长为_____，的面积为_____； （2）求点到的距离． 【答案】（1）， （2）点到的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的除法； 利用网格求三角形的面积，解题的关键熟练掌握勾股定理和利用割补法求三角形面积． （1）根据勾股定理直接计算即可求解；用矩形面积减去3个三角形的面积计算即可求得的面积． （2）设点到的距离为，根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：； ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设点到的距离为， ， ， ∴点到的距离为 24. 阅读下面的文字后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中a=5．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． （1）　　的解答是错误的． （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：　　． （3）模仿上题解答：化简并求值：，其中a=2． 【答案】（1）甲；（2）=|a|，当a＜0时，= -a．（3）8． 【解析】 【分析】（1）当a=5时，1-3a＜0，甲求的算术平方根为负数，错误； （2）二次根式的性质，=|a|，当a＜0时，=-a； （3）将被开方数写成完全平方式，先判断当a=2时，1-a，1-4a的符号，利用二次根式的性质及绝对值的性质，化简求值即可． 【详解】解：（1）当a=5时，甲没有判断1-3a的符号，错误的是：甲； （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：=|a|，当a＜0时，= -a． （3）∵a=2， ∴1-a＜0，1-4a＜0， =a-1+4a-1 =5a-2． ∴原式=a-1+4a-1=5a-2=8． 故答案为（1）甲；（2）=|a|，当a＜0时，= -a．（3）8． 【点睛】本题考查二次根式的化简运算，需要先根据题目条件判断被开方数底数的符号． 25. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：； [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024年度八年级第一学业达标检测数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1； ②5，12，13； ③6，8，10； ④，，． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 2. 实数，1.414，，﹣，π，，1.2，1.202120021200021…中无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式：①，②，③，④，最简二次根式有（　　） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，且AD＝12，则BC的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 14或9 9. 如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（　　） A. 16cm B. 20cm C. 24cm D. 28cm 10. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”则输出的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 7 12. 如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 的平方根是_______． 14. 的相反数是_____． 15. 若直角三角形两条边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是_____． 16. 如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm． 17. 如图，由图中的信息可知点表示的数是__________． 18. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和6，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（共7题，共60分） 19. 求下列各式中x的值. （1）； （2） 20. 计算： （1） （2） （3） （4） 21. 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 23. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均在格点上． （1）直接写出的长为_____，的面积为_____； （2）求点到的距离． 24. 阅读下面的文字后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中a=5．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． （1）　　的解答是错误的． （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：　　． （3）模仿上题解答：化简并求值：，其中a=2． 25. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $