重难点专题01 二次函数与线段、倍角、最值问题13题型（专项训练）数学苏科版九年级下册

重难点专题01 二次函数与线段、倍角、最值问题 重难点一 二次函数与线段问题 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 题型一 线段最值-平行于y轴 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)为时，的最大值为3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、求二次函数的最值： （1）将A和C的坐标代入二次函数解析式列方程组求解即可； （2）求出直线的解析式，设出P点和H点的坐标，表示出，利用二次函数性质求出其最大值即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：设直线解析式为， 将代入，得，解得， 则直线解析式为． 设，，则， ，， ∴当时，取得最大值，最大值为3， 当时，， ∴， ∴为时，的最大值为3． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 【分析】本题考查了求解二次函数解析式，二次函数的性质． （1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解． （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解． 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为． 题型二 线段最值-平行于x轴 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)存在，的最大值为， 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． （1）将A、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设，可求，从而可求，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为； 设， ， 解得：， ， ， ， ∵ ， ， ， ∴当时，的最大值为， ∴， ∴． 故的最大值为，． 题型三 线段最值-斜线 5．（黑龙江省大庆市萨尔图区区属学校2024-2025学年下学期九年级联考数学试题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，与轴另一个交点是B，作直线． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请求出线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请结合图像直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)  或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）求出直线的解析式为，设，则， 求得，求出，求出的最大值即可解答问题； （3）设，得出，得到，由求得  根据线段与抛物线有交点，结合图像可知点M的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴ ∴， ∴， 令，得 解得， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴，   过点作轴，交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则， 当点恰好在抛物线上时，则， ∴， 当时 解得：           ∵线段与抛物线有交点， ∴结合图像可知点M的横坐标的取值范围是：  或 6．（25-26九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与x轴交于点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法、轴对称，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次函数的交点式进行解题； （2）作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，此时最小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为：， 代入，， 有：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ，为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴交于点， 则，， 故当取得最大值时，取得最大值， 设点，则， 则， ∴当时，取得最大值， 此时点，， 则轴， 又∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴也为的中线， ∴为的中点， ∴，即； 作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点， 根据点的对称性，，， 则， 此时、、、四点共线，最小， 最小值为； 综上所述，当取得最大值时，，的最小值为． 7．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； (3)直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据抛物线的对称性质可知点的坐标为，把点和点的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰直角三角形的性质可知，根据，可知，从而可得：，根据点的横坐标是，可得：，从而可得方程，解方程求出点的横坐标，把横坐标代入解析式求出纵坐标即可； 设点的坐标是，点的坐标为，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，解方程组求出交点的横坐标，把的底边看作，则点的横坐标即为的高，根据三角形的面积公式计算出的面积即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴于、两点，对称轴为直线， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点和点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 当时，， 点的坐标是； （3）解：的面积是定值， 理由如下， 如下图所示， 设点的坐标是，点的坐标为， 当时，， 当时，， 直线与坐标轴交点的坐标是，， 直线与轴负半轴的夹角是， 点的坐标是，点的坐标为， ， 整理可得：， 或(舍去)， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标是， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：， ， ， ， 点的横坐标是， ， 的面积是， 的面积是定值． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 题型四 线段存在倍数关系 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)当点运动到什么位置时，的面积有最大值？ (4)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，，，， 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）根据列出二次函数解析式求解即可； （4）过作轴交直线于，求出，知，可求出，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得或，解出的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； （3）解： ∵ ∴当时，， 此时 （4）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 9．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图①，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求直线的表达式． (2)如图②，若点E为y轴上一动点，当时，求点E的坐标． (3)如图③，若点M是直线上方抛物线上一动点，过点M作轴于点N，交直线于点P． ①当线段取得最大值时，求点M的坐标． ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)点E的坐标为； (3)①；②． 【分析】（1）把，代入二次函数，求出点B、点C的坐标，再用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）设点E的坐标为，则，根据勾股定理得，再由即可列出方程求出a的值，从而得到点E的坐标； （3）①设点M的横坐标为m，则点M的坐标为，由于轴于点N，交直线于点P，所以点N，点P的横坐标都是m，进而得到点N的坐标为，点P的坐标为．已知点M，点N，点P的坐标，可得 ，根据二次函数的最值即可得到当时，线段有最大值，进而得到此时点M的坐标；②根据①中点M，点N，点P的坐标，得到，，根据可列出方程求出m的值，进而得到点P的坐标． 【详解】（1）把代入二次函数，得 解得， ∴点，点 把代入二次函数，得 ∴点 设直线的表达式为 ∵直线过点，点 解得 ∴直线的表达式为 （2）点E的坐标为 ∵点C的坐标为 ，， ∴在中， 解得 ∴点E的坐标为 （3）①设点M的横坐标为m， 把代入二次函数，得 ∴点 轴于点N，交直线于点P ∴点N的坐标为，点P的横坐标为m 把代入，得 ∴点P的坐标为 ∴当时，线段有最大值， 此时点M的纵坐标为 ∴点M的坐标为 ②， ∴当时， 解得，（舍去） 当时，点P的纵坐标为 ∴点P的坐标为 【点睛】本题主要考查待定系数法，直线或抛物线上点的坐标的求解，坐标系中内两点间的距离（即线段的长），利用两点间的距离构造方程是解题的关键． 10．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）． (1)若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是______； (2)若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点（在的左边），，则______； (3)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由题意可得，可得抛物线的表达式为，对称轴为直线，设点，再分点在轴左侧点在轴右侧两种情况，根据及二次函数的对称轴解答即可求解； （）时，得，由，，可得，，即得，，进而得到，据此即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何问题，配方法的应用，运用分类讨论思想解答 是解题的关键. 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：将代入抛物线表达式得，， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当点在轴左侧时，设点，则点， ∴抛物线的表达式为， ∵ ∴， 又∵， ∴， 解得； 当点在轴右侧时， 设点，则点， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）证明：时，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 11．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，直线交于第一象限内的点，且的面积为10． (1)求二次函数的表达式； (2)点为轴上一点，过点作轴的平行线交线段于点，交抛物线于点，当时，求点的坐标； (3)已知点是轴上的点，若点关于直线的对称点恰好落在二次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为5或 【分析】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含的代数式表示的坐标． （1）在中，令得，，根据的面积为10，即得，，用待定系数法即得二次函数的表达式为； （2）设，则，，由，可得，即可解得； （3）连接交直线于，过作轴于，设，可得，，即得，①，又，②，可解得，，故，，代入得，解得或． 【详解】（1）解：如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， 的面积为10， ，即， ， ， 把代入得： ， ， 二次函数的表达式为； （2）如图： 设，则，， ，， ， ， 解得或（舍去）， ； （3）连接交直线于，过作轴于，如图： 关于直线对称点为， ，是中点， 设， ，， 在直线上， ， 整理得：①， ， ， 变形得：②， 把①代入②得：， ， ③， 由①③可得，， ，， 在抛物线上， ， 解得或， 答：的值为5或． 12．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可； （2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可； （3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 当时，，即点的坐标为， 轴，， 点的坐标为，代入抛物线得：， ， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，令，即， 解得：，， ，， ，，， 设点， ①当为的最长边时，得， ， 解得：， 点； ②当为的最长边时，得， ， ， 点； ③当为的最长边时，得， 解得：无解，所以这个点不存在， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点在函数图象上，则设点， 二次函数对称轴为， ，， ， ， 或， 解得：，或，， 当时不符合题意， 故或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题． 题型五 等线段问题 13．（21-22九年级上·江苏镇江·期末）已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值； (3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ． 【答案】(1) (2)m=2 (3) 【分析】（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解； （3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可 【详解】（1）将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3， ∵对称轴是直线x=1， ∴=1，即-=l，解得b=2， ∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3； （2）令解得， ∴A(-1，0)，B（3，0）， ∴OB=3， ∵OC=3， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°，BC=， ∵PQ⊥OB，PE⊥BC， ∴∠PQB=∠PED=90°， ∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°， ∴△DQB和△PED是等腰直角三角形， ∴BQ=DQ，BD=，DE=， ∵P点横坐标是m，且在抛物线上， ∴PQ=，OQ=m， ∴BQ=DQ=3-m，BD=， ∴PD=PQ-DQ=，DE=， ∵DE＝BD， ∴， 解得：（舍去）， ∴m=2 （3）过点A作x轴的垂线交BC于点G， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 将B（3，0），C（0，3）代入，可得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为：y=-x+3， ∵A（-1，0）， ∴G（-1，4）， ∴AG=4， ∴PQ⊥OB，AG⊥OB， ∴PQ∥AG， ∴△PDH∽△AHG， ∴， ∴当a=时，有最大值，最大值是． 故答案为： 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键． 14．（2022·江苏盐城·一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积； (3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标； ②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线与轴交点，写出函数的交点式即可得出结果； （2）求出直线的表达式为：，得到点纵坐标，利用三角形面积公式求解即可； （3）①过点N作于点G，求出直线的表达式为：，得到，设，，再根据矩形性质求出他们的坐标，进而得到；②根据①中的相关信息，得出当点B、Q、M共线时，的周长最小，此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点， ∴抛物线的表达式为：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的表达式为：， 把代入得：， ∴； （3）解：①过点N作于点G， ∵过点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， ∴， 设，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴、， ∴， ， ∴； ②∵， ∴点Q在的垂直平分线上， 又∵，， ∴， ∴， ∴当点B、Q、M共线时，的周长最小， 此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点， ∵；， ∴， 把代入得：， ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求表达式、平面直角坐标系三角形面积求解、特殊平行四边形问题和动点最值问题，综合性强、难度较大，熟练掌握相关题型的解题方法是解决问题的关键． 15．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，且． (1)如图1，已知． ①请直接写出a，b，c的值； ②连接、，P为上方抛物线上的一点，连接交于点M，若，求点P的坐标； (2)如图2，已知，D为第三象限抛物线上一动点，直线交抛物线于另一点E，轴交直线于点F，连接，求出的最小值及此时点D的坐标． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】（1）①根据，得到点坐标，待定系数法求出的值即可；②作于N，证明，推出点的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式，作轴于点G，作点C关于的对称点H，连接，设点，表示出的解析式，根据的横坐标相等，求出纵坐标，进而得到的坐标，求出的长，根据，得到当三点共线时，的值最小，进而得出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 抛物线x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C， 设抛物线的解析式为：，将，代入，得： ，解得：， ∴， ∴； ②如图1，作于N，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线AM的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线AM的解析式为：， 由，得（舍去），， ∴； （2）如图2， ∵， 则：，解得L：， ∴抛物线的解析式为， 作轴于点G，作点C关于的对称点H，连接， 设点， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， ∵直线经过原点， ∴， ∴， ∵轴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，代入，得：， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 重难点二 二次函数与倍角问题 若题目中 “倍角” 为∠α=2∠β，需通过几何方法将∠α与∠β关联，常用方法如下： 1）利用角平分线 若∠α=2∠β，可作∠α的角平分线，将其分为两个等于∠β的角，此时可利用 “角平分线性质”（角平分线上的点到两边距离相等）或构造全等 / 相似三角形。 2）利用等腰三角形外角性质 等腰三角形中，外角等于不相邻两内角之和。若构造等腰三角形，使某一外角为∠α，则其不相邻的内角可为∠β（即∠α=2∠β）。 3）利用相似三角形 若两个角存在 2 倍关系，可通过构造相似三角形，使对应角成 2 倍关系，再利用相似比建立边长关系。 具体解题方法如下： 1)作平行，构造内错角或同位角； 2)作对称，构造对应角； 3)构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定； 4)构造全等或相似三角形，利用对应边成比例求解； 5)求出其中一个已知角的三角比，利用三角比(直线与x轴夹角的正切值)得到直线斜率，结合直线方程求解； 6)构造角分线或等腰三角形将二倍角内容转化为等角进行求解； 7)定角内容常和“辅助圆"结合，或特殊三角函数值，利用辅助圆或构造三角形确定满足条件的点的位置，再计算. 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点B作轴，交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为F，证明出，设D点的坐标为，则，，再结合，，得出，即，求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，，解得；令，得， ∴，， 把，代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点B作轴，交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为F， ∵轴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设D点的坐标为，则，， ∵，， ∴，即， 解得（舍去），， 当时，， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，2倍角关系和三角函数，将2倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，本题综合难度不大，是一道很好的压轴问题． 17．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴交于点，代入函数求解即可； （2）由（1）可知，则直线是过点且平行于y轴的直线，作点关于直线的对称点，连接与直线交点是Q，此时的长度最短，设直线的表达式为，代入点的坐标求解即可； （3）在y轴上取点D，使得，则 设，得，在中，根据勾股定理得，解得，可得，由，可得，连接，作轴于点，点在函数上，设，则 ，可得，列出，分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点． ∴ ∴ ∴该二次函数的表达式为． （2）解：∵C在y轴上， ∴当时，，则， 如图，直线是过点且平行于y轴的直线，作点关于直线的对称点，连接与直线交点是Q，连接， 则，即， ∴当三点共线时，的长度最短， ∵点是点关于直线的对称点，直线是过点且平行于y轴的直线， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得 ， ∴直线的表达式为， 设， ∵在直线上， ∴， ∴； （3）解：如图，在y轴上取点D，使得， 则，， ∴ ， 设， ∵， ∴ ， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 连接，作轴于点， ∵点在函数上，设，则 ， ∴在中， ， ∴ ， 即：， 整理得：， ①当取正时，即在轴上方时，， 解得或（舍去不合题意）， 当时，， ∴， ②当取负时，即在轴下方时，， 解得或（舍去不符合题意）， 当时，， ∴ ， 综上所述：的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数的综合与解直角三角形，勾股定理，两点之间线段求最小值的证明，以及倍角关系，在于会作辅助线，难度偏大，中考常考题型，熟练各个知识点是解题关键. 18．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的结合，利用等腰三角形的性质求点的坐标，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，列一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法先确定一次函数的解析式，通过一次函数解析式确定点的坐标，然后将顶点坐标代入到顶点式中求解即可； （2）设点，利用等腰三角形的性质，列出，然后进行求解即可； （3）根据题意画出图形，作于，作于，作于，在上截取，根据函数解析式求出相关点的坐标，设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 过， ， ， 抛物线的解析式为：，即； （2）解：设点， 是以为底边的等腰三角形, ∴， 化简，得，， ， 当时，， 当时，，` 或 （3）解：作于，作于，作于，在上截取， ， 由得，， 当二次函数解析式，函数值为0时，， 解得， ∴， 设， ， ， ， ∵, ∴ ， ， ， 由，，得，, ， ， ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得，（舍去），， ，，，， ，． 19．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据抛物线的解析式配方后可得对称轴，根据平行线分线段成比例定理可得点坐标，由对称性可得点坐标； （2）①根据的面积可得的长，表示点和点的坐标，根据两点的距离公式可列方程，解方程可得结论；②如图2，当点在的下方时，连接，根据顶点与点关于轴对称，结合已知可证得，在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式，进而求出点的坐标；当点在上方时，连接，设，，，，每个点的坐标易求出，可得，的长，所以有，易知是的平分线，因此有，然后过作轴，垂足为，由勾股定理可求出，根据等量代换进而求出点的坐标． 【详解】（1）解： ∵， ∴这个抛物线的对称轴是：直线， ∴， 如图1所示， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 根据抛物线的对称性得， 故答案为：； （2）解： ①如图1， 将代入二次函数中得：， ∴， ， ∴， ∵顶点与点关于轴对称， ∴，即， ， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴此时抛物线的函数解析式为：； ②如图2， 当点在的下方时，连接， ∵顶点与点关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得：， ∴； 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式， 设直线的解析式为：， ∵， ∴， 当时，， ， 如图3， 当点在的上方时，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ∵， ， ，，， ， 过作轴，垂足为， 在中， ， ， 或 (舍去)． ， 综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数解析式和二次函数解析式的确定，函数图象的平移，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法和一次函数与二次函数的图象与性质是解本题的关键． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将解析式化为顶点式，当及时，即可求解； （2）由待定系数法得直线的解析式为作点B关于y轴的对称点F，连接①当点P在x轴下方时，如图中点处，连接交于E，点B、点F关于y轴的对称，由对称的性质及等腰三角形的性质得，设点E坐标为，由勾股定理得，即可求出，由待定系数法得直线的解析式为，即可求解； ②当点P在x轴上方时，如图中点处， 与关于x轴对称，同理可求； （3），，，由待定系数法得直线的解析为中 ，同理可得直线的解析为，可得 ， 联立，由根与系数的关系 ，同理可求，代入可求，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 当时，， 令， ， 解得：或， ，． （2）解：∵，． ∴， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为 作点B关于y轴的对称点F，连接，如图， ①当点P在x轴下方时，如图中点处， 连接交于E， 点B、点F关于y轴的对称， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设点E坐标为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（舍去） ∴； ②当点P在x轴上方时，如图中点处， ∵， ∴与关于x轴对称， ， 同理可求经过的直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴ 综上，点P的坐标为或． （3）解：设，，， ， ， ， ， 设直线的解析为，则有 ， 解得：， ， 设直线的解析为， 经过， 同理可求， 直线的解析为， ， 直线的解析为， 联立， 整理得：， ， ， 联立， 整理得：， ， 得： ， ， ， 直线的解析式为， 直线必与直线平行， 故这条直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用中的角度问题，待定系数法，轴对称的性质，等腰三角形的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数综合应用中的角度问题的典型解法，并能熟练利用待定系数法及一元二次方程根与系数的关系进行求解是解题的关键． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点，若满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接、， ①求证：； ②在抛物线上找一点，使得，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）令，可求出A、B的坐标，然后求出C的坐标，最后把C的坐标代入函数解析式求解即可； （2）①证明，然后根据相似三角形的性质即可得证； ②取中点G，过G作交于H，连接，设点E满足，则，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，结合已知可得出，则，根据平行线分线段可得出H是中点，则，待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，即可求出E的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，即； ②如图，取中点G，过G作交于H，连接，设点E满足， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴H是中点， 又，， ∴即， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴E的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形，待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 重难点三 二次函数与最值问题 【线段和最小问题】解决这类问题的方法是作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点（利用将军饮马模型求解）. 【线段差最大问题】基本原理是三角形任何两边之差小于第三边.求解时，先根据原理确定线段差取最值时的图形，再根据已知条件求解. 【周长最值问题】基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上，从而将动点最值转化为定点最值. 【面积最值问题】 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 【将军饮马问题问题】 题型一 线段和最小 22．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 23．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可； 对于（2），先作轴，截取，得，再证明， 可得，即，然后求出直线的关系式，接下来根据勾股定理求出，当共线时，最小，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：，顶点； （2）解：过点在第二象限作轴，截取，则， ∵， ∴， ∴， 则． 设直线的关系式为， 将点代入关系式， 得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 当共线时，最小， 则， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键． 24．（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点； （3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答． 【详解】（1）解：把，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：令，可得， 解得， ， 点到直线的距离为定值， 的面积为定值， 当的面积取最大值时，的值最大， 当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，，解得， 所以直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 解得， 把代入，可得， ， 如图，作轴，作交于点， ，， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ， ，即； （3）解：如图，过点作，截取，连接， ，四边形为平行四边形， ， ， 当三点共线时，取最小值，最小值为， 根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大， ，即， ， ，即的最小值为． 题型二 线段差最大 25．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，得到，，表示出，结合二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得：， 解得：， 抛物线表达式为 将点，分别代入得：， 解得： 直线的表达式为； （2）解：设点坐标为， 轴， 点与点的横坐标相同，即点坐标为， ， 轴， 点与点的纵坐标相同， ， ， 即点坐标为， ， ，开口向下， 的最大值为． 26．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为直线．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限, 当的面积为10时． ①求的坐标； ②点足抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为；②， 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； ②运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 【详解】（1）抛物线过点且它的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 设抛物线的表达式为， 把代入，得，解得， 则． 故此抛物线的表达式为． （2）①点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限， 设． 设直线得解析式为，则， 解得， 直线的解析式为，    设直线与抛物线对称轴交于点，则， ． ， ， （正值已舍）． 即点的坐标为． ②由可知，当点在线段的延长线上时，如图，取最大值，最大值为的长．    设直线的解析式为． 把分别代入，得 解得 直线的解析式为． 令，解得（舍去）． 对于， 当时，， 此时， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，勾股定理，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 27．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)的最大值为，点M坐标为； (3)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）延长交对称轴于点M，此时有最大值，求得直线的解析式，据此即可求解； （3）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ，解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 延长交对称轴于点M，此时有最大值， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点M坐标为； 答：的最大值为，点M坐标为； （3）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接．点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交线段于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线对称轴上的一个动点，则|的最大值是______； (3)求的最大值，并写出此时点P的坐标； (4)在x轴上找一点M，抛物线上找一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，此时点P的坐标为 (4)点M的坐标为：或或或 【分析】（1）先求出点A、C的坐标，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）作点C关于抛物线的对称轴的对称点T，连接并延长交抛物线的对称轴于点D，由点的对称性知，，根据，得出当点D、T、B在同一直线上时最大，即最大，且此时； （3）过点P作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则，得出，得出当时，取最大值为3，此时，点P的坐标为：，根据轴，得出，根据，得出，求出当最大时，最大，最后求出最大值即可； （4）设点、点，则，分情况讨论：当是对角线时，当或为对角线时，根据中点坐标公式列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， 故点A、C的坐标分别为：，， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：作点C关于抛物线的对称轴的对称点T，连接并延长交抛物线的对称轴于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 由点的对称性知，， ∴， ∴当点D、T、B在同一直线上时最大，即最大，且此时， 由点B、T的坐标得：， 故的最大值为：， 故答案是：； （3）解：如图，过点P作轴交于点H， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另外一个交点坐标为， 设的解析式为：，把点B、C的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则， 则 ， ∴当时，取最大值为3，此时，点P的坐标为：， ∵轴， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∴，即当最大时，最大， ∴的最大值为：， 即最大值，点P的坐标为； （4）解：设点、点，则， 当是对角线时， 由中点坐标公式得：且， 解得：（不合题意的值已舍去）， 此时点M的坐标为：； 当或为对角线时，由中点坐标公式得： 或且， 解得：或， 即点M的坐标为： 或或 综上，点M的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，中点坐标公式，三角函数应用，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，注意进行分类讨论． 题型三 周长最值 29．（20-21九年级上·江苏·期中）已知抛物线 交 x 轴于，两点，交 y 轴 于点 C，直线 l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)在直线 l 上确定一点 P，使的周长最小，求出点 P 的坐标； (3)若点 D 是抛物线上一动点，当时，请直接写出点 D 的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等知识点； （1）抛物线的表达式为：，即可求解； （2）点A关于直线 l的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求，即可求解； （3），则，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 交 x 轴于，两点， ∴抛物线的表达式为：， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，， 点A关于直线 l的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得 解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点； （3）解：∵， ∴， 解得， ∴， 解得：或， 故点D的坐标为：或或或． 30．（24-25九年级上·江苏南通·期末）【动手操作】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下作图步骤： ①连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为； ②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点． 线段与的数量关系为________，其理由为：________； 【问题探究】 通过上述方法得到一系列的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线．对于曲线上的任意一点，试求出，满足的函数关系式； 【拓展延伸】 若点 （为任意实数），点为曲线上任意一点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】[动手操作]图见解析；，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；[问题探究]；[拓展延伸] 【分析】本题考查了确定一次函数和二次函数的解析式，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． [动手操作] ①按要求作图； ②根据垂直平分的性质得出结果； [问题探究] 根据列出，进而得出结果； [拓展延伸] 由得出，从而得出点在该直线上运动，设点，可得出的长等于点到轴的距离，作点关于直线的对称点，点，点，点的横坐标相同时，此时的周长最小，进一步得出结果． 【详解】[动手操作] 解：如图1， 根据题意可得，理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 故答案为：；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； [问题探究] 解：由可得，即， 可得， ； [拓展延伸]解：如图， 由， 可得，即经过点的直线解析式为， 设其与轴，轴分别交于点，， 当时，， 当时，， ， ，， ， ， 设点， ， ， 作点关于直线的对称点，点，点与点的横坐标相同时，此时的周长最小， 作轴于点，连接， 点关于直线的对称点， ，， ， ， ， ， 当时，， ． 31．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； (2)点M的坐标为； (3)的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 32．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F．    (1)点B的坐标是____________，点C的坐标是___________； (2)当时，求出点P的坐标； (3)当的周长最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式等知识． （1）分别令，，即可求解； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，再根据，建立方程求解即可； （3）先证得是等腰直角三角形，可得，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，进而可得的周长，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴点； 故答案为：；； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：或3， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∴的周长 ， ∴当时，的周长最大，最大值为，此时点P的坐标为． 33．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，抛物线经过点，点，且．点、为直线上的两个动点，且，点在点的上方．当四边形的周长最小时，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点点来求最小值，是本题的难点．在轴上取点，使，连接，交直线于点，所以的最小值为，则四边形的周长最小值为：，可得直线，令，则，即求得的坐标． 【详解】解：在轴上取点，使，连接，交直线于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，． ，， ， 直线为抛物线的对称轴， ， ， 的最小值为， 四边形的周长最小值为：， ，， 直线， 令，则 的坐标． 题型四 面积最值 34．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，连接，，，求当面积最大时点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，设抛物线解析式为，将顶点及原点坐标代入即可； （2）依据题意，求出点的坐标，直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，可用含的代数式表示出的面积，由二次函数的图象及性质可求出取最大值时对应的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为， ∵顶点， ∴， 又∵图象过原点， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：由题意，令， ∴， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为， 过点D作轴交于点F， 设，则， ∴． ∴． ∴当时，有最大值． ∴当时，， ∴D． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 35．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 36．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 37．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出的最值； （1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过P作轴于点F，交于点E，求出直线的解析式，设，则，进而可得，根据二次函数的性质求出的最大值，再加上面积即可得解． 【详解】（1）解：把代入，得， 抛物线的表达式为， 将点B的坐标代入上式得， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1，过P作轴于点F，交于点E， ∵四边形的面积的面积的面积，而的面积不变， ∴当的面积最大时，四边形的面积也最大， 令，则， 解得：， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，，， 此时， ∴此时四边形ABPC的面积也最大，， ∴此时点P的坐标为，四边形的最大面积为． 38．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为2 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； （3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 题型五 将军饮马 39．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交点为． (1)点C的坐标为________（用含m的代数式表示）； (2)点为该二次函数图象对称轴上一点，若最小值为，求的值． (3)在（2）的条件下，连接，点是直线下方二次函数图象上一点，连接，过点作，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入，解方程组即可得到结论； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，得到对称轴为直线，连接交对称轴于，则此时，，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，过作轴交与，过作轴交延长线于，如图：由（2）知，二次函数的解析式为，设，由，得直线解析式为，得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称， 连接交对称轴于， 则此时，， ，点， ， （负值舍去）； （3）解：如图， 过作轴交与，过作轴交延长线于，如图： 由（2）知，二次函数的解析式为， 设， 设直线解析式为，由，得 ，解得， 直线解析式为， ， ， 在中，令得， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 解得或． 或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 题型六 建桥选址 40．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 41．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或 ． 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线AC的解析式为，设点，过点作轴，交直线于点，可得 ，即得，即可得到 ，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点， 连接交直线l于点M，则，又可知四边形是平行四边形，得即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线 沿射线AC向下平移2的单位长度，再向右平移4的单位长度得到新的抛物线y'，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∵抛物线的函数图象与轴交于，两点，代入得，解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的函数图象与轴交于点， 当时，得， ∴， 设直线的解析式为， 把点，点的坐标分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， 过点作轴，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当 时， 的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：点的坐标为 或，理由如下： ∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由， 解得（不合，舍去）或 ， ∴ ； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 由 解得（不合，舍去）或， ∴ ； 综上所述，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 42．（21-22九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段DE上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程： (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接OB、BP，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)最小值是 【分析】（1）先求出点B的坐标，再运用待定系数法即可求得答案； （2）分3种情况求解即可； （3）连接，由对称性可知，由平行四边形的判定与性质可知，从而，可知当O，Q，D共线时的值最小，然后求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：由点的纵坐标知，正方形的边长为5， 则，故点B的坐标为， 则， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴， 如图1， 当四边形菱形时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图2， 当四边形菱形时，则，设，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图3， 当四边形菱形时，则，设，， ∵与对称轴垂直， ∴点N在对称轴上， ∴， ∴， ∴． 综上可知，点N的坐标为或或； （3）解：如图4， 连接，由对称性可知． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是定值， ∴最小时，也就是最小， ∴当点O，Q，D共线时，的值最小． 设的解析式为，把代入得，， ∴， ∴， 当时，， ∴最小值是． ∵， ∴， 即的最小值为． 最小值是 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，菱形的性质等知识，分类讨论是解（2）的关键，确定Q点的位置是解（3）的关键． 题型七 阿氏圆 43．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 44．（20-21九年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线， y与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标； （3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值． 【答案】（1），，；（2），；（3） 【分析】（1）通过解方程=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标； （2）根据题意可得两种情况：①AB//CD，点C与点D关于抛物线对称轴对称，由点C坐标可得点D坐标；②AB与CD不平行时，求出CD的解析式，联立方程组求解即可； （3）证明△得，，根据三点共线即可得到结论． 【详解】解：（1）将y=0代入得，=0， 解得x1=-2，x2=8， ∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）； 将x=0代入得y=-4， ∴点C的坐标为（0，-4）； （2）如图， ①∵∠ABC=∠BCD1 ∴AB//CD1 ∴点C与点D1关于抛物线对称轴对称， 由A，B两点坐标可知抛物线的对称轴为 ∵C（0，-4） ∴D1（6，-4） ②当∠ABC=∠BCD2时，CD2与x轴交于E，则有CE=BE， 设BE=CE=x，则OE=8-x 在Rt△OCE中， ∴，解得，x=5 ∴OE=8-5=3 ∴E(3，0) 设CD2的解析式为y=kx+b 把C(0，-4)，E(3，0)代入得 解得， ∴CD2的解析式为 联立得， 解得， ∴ （3）在OC上截取OM，使OM=OP=1， ∵∠，， ∴△， ∴， ∴， 当三点共线时，，最短， 根据勾股定理，最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，三角形相似的判断和性质等，第（3）问，构造相似三角形求解是关键． 题型八 胡不归 45．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式： (2)若点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标； (3)若P为y轴上的一个动点，连接，直接写出的最小值； (4)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标为t，当不小于时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】（1）将A，B两点坐标代入到二次函数解析式中进行求解即可； （2）证明，求出的长度，即求出E点纵坐标，将E点纵坐标代入到直线解析式后，求出其横坐标即可得到E点坐标； （3）过点P作于点M，求出点D的坐标为，求出，得出，则，得出当点D、P、M在同一直线上，且时，最小，最小值为的长，过点D作于点M，交y轴于点P，根据三角函数求出最值即可； （4）引入圆，分点在圆上，内，外进行分析，求出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得， ∴． （2）解：把代入得：， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． （3）解：过点P作于点M， 抛物线的对称轴为直线， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、M在同一直线上，且时，最小，最小值为的长， 过点D作于点M，交y轴于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3． （4）解：根据解析（3）可知，， 如图，作的平分线，交y轴于Q， 则， ∴， 以Q为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点，， 当点M在圆上时，则， 当点M在圆内时，， 当点M在圆外时，， 过Q作垂直于对称轴，垂足为H，连接， ∵对称轴为直线， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴此时点与点D重合， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法，圆周角定理，勾股定理，利用三角函数解直角三角形，和几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 46．（20-21九年级下·山西晋中·阶段练习）综合与探究 已知抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，其中点，，，如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)设是抛物线上位于线段上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)是对称轴上一点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为，再求出点坐标为，然后代入抛物线的解析式，即可求解； （2）过点作轴的平行线交于点，先求出直线的解析式为，设点坐标为，则点坐标为，用t表示出的长，然后三角形的面积公式可用t表示出，结合二次函数的性质即可解答； （3）过点作于，过点作于点，再求，可得当三点共线时，的值最小，即线段的长，然后求出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，点坐标为，， ∴点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵是抛物线的对称轴， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为， 代入抛物线的解析式，得：， 解得， ∴二次函数的解析式为，即． （2）解：如图1，过点作轴的平行线交于点． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，且最大值为． （3）解：如图2，过点作于，过点作于点， 根据题意得：，， ∴，． 在中，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，且最小值为线段的长， ∵，又， ∴，即， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数、三角形面积、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型． 47．（2023·辽宁大连·一模）已知抛物线过点，，三点，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上一点，连结，交线段于点，若，求点的坐标． (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）用待定系数法求出解析式，再将解析式化成顶点式即可； （2）分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，可得，所以，设，则，则，，所以，，则，解得的值即可得出结论； （3）过点作与轴夹角为的直线，过点作，垂足为，交轴于点，则，此时值最小，即求，根据，得出，根据，，求出，，由，则可求，在中，，则． 【详解】（1）抛物线经过，，三点， ， 解得， 抛物线的解析式为， ，且点是抛物线的顶点， ； （2）如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，   ， ， ， ，， 设直线的解析式为： ∴，解得 直线的解析式为：， 设，则， ，， ，， ：， 解得，负值舍去， ； （3）存在，理由：如图，过点作与轴夹角为的直线，过点作，垂足为，交轴于点，    则，此时值最小，即求， ∵， ， ， ，， ，， ， ， 在中，， ， 最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，一次函数，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，转化思想等知识，掌握相关知识是解题的关键． 48．（2025·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线解析式为；设，则，可得，则当时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；取，连接，过点N作于H，解直角三角形可得，则当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求解即可； （3）根据题意得将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度，设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线，则平移后的抛物线解析式为，利用待定系数法求出平移后的解析式，则可得到平移后的抛物线对称轴为直线；取，可证明是直角三角形，且，解直角三角形可证明，则，可得点Q在以为直径的圆上，设的中点为T，，则，，据此建立方程求解即可；同理当构造的直角中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为； 如图所示，取，连接，过点N作于H， ∵，轴， ∴P、E、F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 此时有， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度， 设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点C， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为； ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如图所示，取，则，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴B、Q、C、P四点共圆， ∴点Q在以为直径的圆上， 设的中点为T，，则，， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为或； 同理当构造的直角三角形中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，圆的相关性质，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，解（2）的关键在于设出点P坐标，进而表示出，利用二次函数的性质求出最大时点P的坐标，再通过构造直角三角形转换；解（3）的关键在于构造直角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 二次函数与线段、倍角、最值问题 重难点一 二次函数与线段问题 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 题型一 线段最值-平行于y轴 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 题型二 线段最值-平行于x轴 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； 题型三 线段最值-斜线 5．（黑龙江省大庆市萨尔图区区属学校2024-2025学年下学期九年级联考数学试题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，与轴另一个交点是B，作直线． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请求出线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请结合图像直接写出点的横坐标的取值范围． 6．（25-26九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与x轴交于点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值． 7．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； (3)直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 题型四 线段存在倍数关系 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)当点运动到什么位置时，的面积有最大值？ (4)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图①，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求直线的表达式． (2)如图②，若点E为y轴上一动点，当时，求点E的坐标． (3)如图③，若点M是直线上方抛物线上一动点，过点M作轴于点N，交直线于点P． ①当线段取得最大值时，求点M的坐标． ②当时，求点P的坐标． 10．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）． (1)若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是______； (2)若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点（在的左边），，则______； (3)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 11．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，直线交于第一象限内的点，且的面积为10． (1)求二次函数的表达式； (2)点为轴上一点，过点作轴的平行线交线段于点，交抛物线于点，当时，求点的坐标； (3)已知点是轴上的点，若点关于直线的对称点恰好落在二次函数的图象上，求的值． 12．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 题型五 等线段问题 13．（21-22九年级上·江苏镇江·期末）已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值； (3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ． 14．（2022·江苏盐城·一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积； (3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标； ②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标． 15．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，且． (1)如图1，已知． ①请直接写出a，b，c的值； ②连接、，P为上方抛物线上的一点，连接交于点M，若，求点P的坐标； (2)如图2，已知，D为第三象限抛物线上一动点，直线交抛物线于另一点E，轴交直线于点F，连接，求出的最小值及此时点D的坐标． 重难点二 二次函数与倍角问题 若题目中 “倍角” 为∠α=2∠β，需通过几何方法将∠α与∠β关联，常用方法如下： 1）利用角平分线 若∠α=2∠β，可作∠α的角平分线，将其分为两个等于∠β的角，此时可利用 “角平分线性质”（角平分线上的点到两边距离相等）或构造全等 / 相似三角形。 2）利用等腰三角形外角性质 等腰三角形中，外角等于不相邻两内角之和。若构造等腰三角形，使某一外角为∠α，则其不相邻的内角可为∠β（即∠α=2∠β）。 3）利用相似三角形 若两个角存在 2 倍关系，可通过构造相似三角形，使对应角成 2 倍关系，再利用相似比建立边长关系。 具体解题方法如下： 1)作平行，构造内错角或同位角； 2)作对称，构造对应角； 3)构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定； 4)构造全等或相似三角形，利用对应边成比例求解； 5)求出其中一个已知角的三角比，利用三角比(直线与x轴夹角的正切值)得到直线斜率，结合直线方程求解； 6)构造角分线或等腰三角形将二倍角内容转化为等角进行求解； 7)定角内容常和“辅助圆"结合，或特殊三角函数值，利用辅助圆或构造三角形确定满足条件的点的位置，再计算. 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线上方抛物线上的一点，，直接写出点D的坐标． 17．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标． 18．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 19．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点，若满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接、，①求证：； ②在抛物线上找一点，使得，请求出点的坐标． 重难点三 二次函数与最值问题 【线段和最小问题】解决这类问题的方法是作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点（利用将军饮马模型求解）. 【线段差最大问题】基本原理是三角形任何两边之差小于第三边.求解时，先根据原理确定线段差取最值时的图形，再根据已知条件求解. 【周长最值问题】基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上，从而将动点最值转化为定点最值. 【面积最值问题】1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 【将军饮马问题问题】 题型一 线段和最小 22．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 23．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 24．（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 题型二 线段差最大 25．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 26．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为直线．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限, 当的面积为10时． ①求的坐标； ②点足抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值． 27．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由． 28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接．点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交线段于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线对称轴上的一个动点，则|的最大值是______； (3)求的最大值，并写出此时点P的坐标； (4)在x轴上找一点M，抛物线上找一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 题型三 周长最值 29．（20-21九年级上·江苏·期中）已知抛物线 交 x 轴于，两点，交 y 轴 于点 C，直线 l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)在直线 l 上确定一点 P，使的周长最小，求出点 P 的坐标； (3)若点 D 是抛物线上一动点，当时，请直接写出点 D 的坐标． 30．（24-25九年级上·江苏南通·期末）【动手操作】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下作图步骤： ①连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为； ②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点． 线段与的数量关系为________，其理由为：________； 【问题探究】通过上述方法得到一系列的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线．对于曲线上的任意一点，试求出，满足的函数关系式； 【拓展延伸】若点 （为任意实数），点为曲线上任意一点，当的周长最小时，求点的坐标． 31．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 32．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F．    (1)点B的坐标是____________，点C的坐标是___________； (2)当时，求出点P的坐标； (3)当的周长最大时，求点P的坐标． 33．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，抛物线经过点，点，且．点、为直线上的两个动点，且，点在点的上方．当四边形的周长最小时，求点的坐标． 题型四 面积最值 34．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，连接，，，求当面积最大时点D的坐标． 35．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 36．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 37．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； 38．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 题型五 将军饮马 39．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交点为． (1)点C的坐标为________（用含m的代数式表示）； (2)点为该二次函数图象对称轴上一点，若最小值为，求的值． (3)在（2）的条件下，连接，点是直线下方二次函数图象上一点，连接，过点作，交于点，当时，求点的坐标． 题型六 建桥选址 40．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 41．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 42．（21-22九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段DE上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程： (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接OB、BP，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 题型七 阿氏圆 43．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 44．（20-21九年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线， y与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标； （3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值． 题型八 胡不归 45．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式： (2)若点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标； (3)若P为y轴上的一个动点，连接，直接写出的最小值； (4)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标为t，当不小于时，求t的取值范围． 46．（20-21九年级下·山西晋中·阶段练习）综合与探究 已知抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，其中点，，，如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)设是抛物线上位于线段上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)是对称轴上一点，连接，求的最小值． 47．（2023·辽宁大连·一模）已知抛物线过点，，三点，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上一点，连结，交线段于点，若，求点的坐标． (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 48．（2025·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $