精品解析：河南省濮阳市范县2022-2023学年八年级上学期期中阶段性评价数学试题

2022～2023学年第一学期期中阶段性评价 八年级数学试题 （满分120分时间100分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A 1cm，2cm，3cm B. 2cm，5cm，8cm C. 3cm，4cm，5cm D. 4cm，5cm，10cm 2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是 A. BC=EC，∠B=∠E B. BC=EC，AC=DC C. BC=DC，∠A=∠D D. ∠B=∠E，∠A=∠D 4. 已知三角形三个内角的度数之比为3：3：4，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 如图，，若，，，则的度数为（　　） A B. C. D. 6. 画的平分线的方法步骤是： ①以O圆心，适当长为半径作弧，交于M点，交于N点； ②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③过点C作射线．射线就是的角平分线． 请你说明这样作角平分线的根据是（　　） A. B. C. D. 7. △ABC中、AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（　　） A. 50° B. 60° C. 150° D. 50°或130° 8. 如图，在ABC中，AD平分∠BAC，，AB=7cm，BD=3cm，则BDE的周长为（ ） A. 13cm B. 10cm C. 4cm D. 7cm 9. 如图，平面直角坐标系中，已知定点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形点有（ ）个． A. B. C. D. 10. 如图,已知：∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 二、填空（每题3分，共15分） 11. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 12. 已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n=_____． 13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 14. 如图，已知，再添加一个适当的条件______使（只需填写满足要求的一个条件即可）． 15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是_______． 三、解答题（共75分） 16. 如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E. 求证：∠ADB＝∠FCE. 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 18. 如图： （1）画出关于y轴的对称图形； （2）请计算的面积； （3）直接写出关于x轴对称的三角形的各点坐标． 19. 已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，求∠DAE的度数； （2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系　 　，并证明你的结论． 20. 如图，是等边三角形，，分别是，的中点，连接． （1）求证：； （2）在线段的延长线上取点，，使，直线，交于点． ①求证：； ②请判断的形状，并说明理由． 21. 如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A在直线l上，BM⊥，CN⊥l，垂足分别为M，N． （1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由． （2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由． 22. 阅读理解题 初二（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案： （Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接、，并分别延长至，延长至，使，，最后测出的距离即为的长； （Ⅱ）如图2，先过点作的垂线，再在上取、两点使，接着过作的垂线，交的延长线于，则测出的长即为的距离． 阅读后回答下列问题： （1）方案（Ⅰ）是否可行？请直接说出结论． （2）方案（Ⅱ）否可行？请说明理由． （3）方案（Ⅱ）中作，目的是______； （4）若仅满足，方案（Ⅱ）是否成立？______． 23. 如图，在等腰ABC中，AB=AC=6cm，∠B=30°，点D在BC边上由点C向点B匀速运动（点D不与点B，C重合），速度为2cm/s，连接AD，作∠ADE=30°，DE交线段AC于点E． （1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA=75°，则∠BAD=______°． （2）点D运动3s后到达图2位置，则CD= cm．此时ABD和DCE是否全等，请说明理由． （3）在点D运动过程中，ADE的形状也在变化．当ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022～2023学年第一学期期中阶段性评价 八年级数学试题 （满分120分时间100分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，5cm，8cm C. 3cm，4cm，5cm D. 4cm，5cm，10cm 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：1+2=3，不能组成三角形； B选项：5+2＜8，不能组成三角形； C选项：3+4＞5，能够组成三角形； D选项：4+5＜10，不能组成三角形． 故选C． 2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键． 3. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是 A. BC=EC，∠B=∠E B. BC=EC，AC=DC C. BC=DC，∠A=∠D D. ∠B=∠E，∠A=∠D 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定 【详解】A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意； D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，选择合适的判定方法是解决此题的关键． 4. 已知三角形三个内角的度数之比为3：3：4，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】（方法一）设三角形最大的内角为4x°，则另外两个内角均为3x°，利用三角形内角和定理可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再分别将其代入3x°，4x°中可求出三角形的各内角，进而可得出这个三角形是等腰三角形； （方法二）由三个内角之间的比例关系，利用等腰三角形的定义，可得出这个三角形为等腰三角形． 【详解】解：（方法一） 设三角形最大的内角为4x°，则另外两个内角均为3x°， 依题意得：3x＋3x＋4x＝180°， 解得：x＝18， ∴3x°＝3×18°＝54°，4x°＝4×18°＝72°， ∴这个三角形是等腰三角形； （方法二） ∵三角形三个内角的度数之比为3：3：4， ∴这个三角形为等腰三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、解一元一次方程以及等腰三角形的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键． 5. 如图，，若，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得到，在中可求得，则可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 6. 画的平分线的方法步骤是： ①以O为圆心，适当长为半径作弧，交于M点，交于N点； ②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③过点C作射线．射线就是的角平分线． 请你说明这样作角平分线的根据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定和性质．先利用证明，再利用全等的性质证明角相等． 【详解】解：如图， 从画法①可知， 从画法②可知， 又，由可以判断， ∴， 即射线就是的角平分线． 故选：A． 7. △ABC中、AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（　　） A. 50° B. 60° C. 150° D. 50°或130° 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，分①△ABC是锐角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求解即可；②△ABC是钝角三角形时，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】 解：①△ABC是锐角三角形时，如图1， ∵∠AED=40°， ∴顶角∠A=90°-40°=50°； ②△ABC是钝角三角形时，如图2， ∵∠AED=40°， ∴顶角∠BAC=90°+40°=130°， 综上所述，此等腰三角形的顶角为50°或130°． 故选D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，需要注意的是要分两种情况解答． 8. 如图，在ABC中，AD平分∠BAC，，AB=7cm，BD=3cm，则BDE的周长为（ ） A. 13cm B. 10cm C. 4cm D. 7cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线和平行线的性质，得；根据等腰三角形的性质，得，从而推导得BDE的周长，即可得到答案． 【详解】∵AD平分∠BAC ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵AB=7cm，BD=3cm ∴BDE的周长 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、平行线、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形的性质，从而完成求解． 9. 如图，平面直角坐标系中，已知定点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识．分三种情况：，，，分别进行解答即可． 【详解】解：、， ，， 设点坐标为，则， 当时，可知点在线段的垂直平分线上，可知点在点，即此时点为； 当时，此时， ∴， 此时点为； 当时，即，可解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的位置有个． 故选：B 10. 如图,已知：∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案． 【详解】∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°， ∴∠2=120°， ∵∠MON=30°， ∴∠1=180°−120°−30°=30°， 又∵∠3=60°， ∴∠5=180°−60°−30°=90°， ∵∠MON=∠1=30°， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°,∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3， ∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°， ∴A2B2=2B1A2， ∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为2n-1， ∴△A6B6A7的边长为：26-1=32. 故选B. 【点睛】此题考查等边三角形的性质，解题关键在于利用其性质得出规律. 二、填空（每题3分，共15分） 11. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性的应用，用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n=_____． 【答案】-1 【解析】 【详解】∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称， ∴m﹣1=2，n+1=﹣3， 解得：m=3，n=﹣4， ∴m+n=﹣1． 故答案为：-1 13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 14. 如图，已知，再添加一个适当的条件______使（只需填写满足要求的一个条件即可）． 【答案】或或（写一个即可）． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据题意可知，，再根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵，， 若添加，则； 若添加，则； 若添加，则； 故答案：或或（写一个即可）． 15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是_______． 【答案】3cm 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE=CD，然后即可解答． 【详解】如图，∵∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB， ∴DE=CD， ∵CD=3cm， ∴DE=3cm． 故答案为3cm． 【点睛】此题考查角平分线的性质，熟记性质并准确识图是解题关键． 三、解答题（共75分） 16. 如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E. 求证：∠ADB＝∠FCE. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：要证明∠ADB=∠FCE，只需证它们所在的三角形全等即可． 试题解析：∵BC=DE，∴BC+CD=DE+CD，即DB+CE． 又∵AB=FE，∠B=∠E，∴△ABD≌△FEC． ∴∠ADB=∠FCE． 考点：全等三角形的证明． 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，角平分线， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图： （1）画出关于y轴的对称图形； （2）请计算的面积； （3）直接写出关于x轴对称的三角形的各点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，网格中求三角形面积： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解；由题意得，； 【小问3详解】 解：∵与关于x轴对称，， ∴． 19. 已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，求∠DAE的度数； （2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系　 　，并证明你的结论． 【答案】（1）15°；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和可得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠BAE＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，利用三角形的外角性质，求出∠AEC，然后利用∠DAE＝90°﹣∠AEC，即可求解； （2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C﹣∠B的关系． 【详解】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°． ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝45°． ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°+45°＝75°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADE＝90°． ∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣75°＝15°． （2）由（1）知， ∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（ ） 又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∴∠DAE＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C）， ＝（∠C﹣∠B）． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质，角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 20. 如图，是等边三角形，，分别是，的中点，连接． （1）求证：； （2）在线段的延长线上取点，，使，直线，交于点． ①求证：； ②请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，证出是等边三角形，可得出，则可得出结论； （2）①根据全等三角形的判定方法可证明； ②证出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， ∵，分别是，的中点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【小问2详解】 ①证明：， ， 在和中， ， ； ②解：是等腰三角形， 理由：∵， ∴， ， ， ． 即是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的判定，等腰三角形的判定，证明≌是解题的关键． 21. 如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A在直线l上，BM⊥，CN⊥l，垂足分别为M，N． （1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由． （2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）． 理由：∵，， ∴， ∴，． ∴． 在和中 ∴． （2）结论：． 由（1）得， ∴，． ∵． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 22. 阅读理解题 初二（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案： （Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接、，并分别延长至，延长至，使，，最后测出的距离即为的长； （Ⅱ）如图2，先过点作的垂线，再在上取、两点使，接着过作的垂线，交的延长线于，则测出的长即为的距离． 阅读后回答下列问题： （1）方案（Ⅰ）是否可行？请直接说出结论． （2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由． （3）方案（Ⅱ）中作，目的是______； （4）若仅满足，方案（Ⅱ）否成立？______． 【答案】（1）方案（Ⅰ）可行 （2）方案（Ⅱ）可行，理由见解析 （3） （4）方案（Ⅱ）不成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由题意可证明，，故方案Ⅰ可行； （2）由题意可证明，，故方案Ⅱ可行； （3）方案Ⅱ中作，的目的是； （4）根据所给条件无法利用所学知识得到的长，故不成立． 【小问1详解】 解：方案Ⅰ可行；理由如下： ，， 在和中， ， ， ， 测出的距离即为的长， 故方案Ⅰ可行． 【小问2详解】 解：方案Ⅱ可行；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， 测出的长即为的距离， 故方案Ⅱ可行． 【小问3详解】 解：方案Ⅱ中作，的目的是使． 故答案为：； 【小问4详解】 解：若仅满足，方案Ⅱ不成立； 理由如下： 若，， 则无法证明， 则无法得到和其他线段的关系，则无法测出其他线段长度， 方案Ⅱ不成立； 故答案为：不成立． 23. 如图，在等腰ABC中，AB=AC=6cm，∠B=30°，点D在BC边上由点C向点B匀速运动（点D不与点B，C重合），速度为2cm/s，连接AD，作∠ADE=30°，DE交线段AC于点E． （1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA=75°，则∠BAD=______°． （2）点D运动3s后到达图2位置，则CD= cm．此时ABD和DCE是否全等，请说明理由． （3）在点D运动过程中，ADE的形状也在变化．当ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为 ． 【答案】（1）大，75；（2）6，，见解析；（3）60°或105° 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，，逐渐增大，即可求解，根据三角形内角和的性质可以求得的大小； （2）根据运动时间以及运动速度，求得长度，再根据三角形外角的性质得到，即可求解； （3）根据ADE是等腰三角形，分三种情况讨论，当时、当时、当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）由三角形外角的性质可得： 逐渐增大，所以变大 由三角形内角和性质可得： 故答案为：大；75． （2）6；． 理由：∵点D匀速运动的速度为2cm/s， ∴， ∴． ∵． ∴． 在中，． 又∵． ∴． 在和中， ∴． （3）ADE是等腰三角形，分三种情况 当时， ∴ ∵，点D不与点B，C重合 ∴ 当时， ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 综上所得：为60°或105°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，涉及了三角形内角和性质以及外角和的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的有关性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $