4.4一次函数的应用（题型专练）数学北师大版2024八年级上册

4.4 一次函数的应用 题型一 根据描述求一次函数解析式 1.如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为 ． 3．（2025·湖北·模拟预测）摩托车油箱中有升油，行驶时每小时耗油升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围为 ． 题型二 根据图象求一次函数解析式 4．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 6.如图，在空中，自地面算起，每升高千米，气温下降若干度（），某地空中气温（）与高度（千米）间的函数的图像如图所示，那么当高度 千米时，气温低于0（）    题型三 根据表格求一次函数解析式 7．（2025·山西长治·一模）物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块，在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度（单位：）与铁块的质量（单位：），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块的质量为时，木块露出水面的高度为 ． 实验次数 一 二 三 铁块的质量 25 50 75 高度 44 38 32 题型四 根据题意求变量的值解决问题 8.已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，则飞机在着陆后滑行 停下． 题型五 行程问题的图象信息问题 9.甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 10.在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 题型一 根据实际情境列一次函数解析式 1．（23-24七年级上·全国·期末）甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 题型二 一次函数的图象信息题 3.甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 4.某市出租车计费方法如图所示，表示行驶距离，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是 元； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的距离． 5.某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． (1)请根据图象填空：_______，_______． (2)与之间的函数关系式为_______． (3)如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 题型三 与一次函数有关的方案问题 6．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 7.某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题． (1)如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________； (2)如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案． 题型四 最大利润与最少费用问题 8．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 9.某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 10.“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 题型五 一次函数与图形综合 11.在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上存在点，使点关于轴的对称点在线段上，则的取值范围为 ． 12.如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．若是轴上一点，且的面积为5，则点的坐标为 ． 13.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，则点坐标为 ． 题型一 一次函数的实际应用 1．在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 2.甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 题型二 一次函数与图形综合 3.如图，在中，，是边上的中线，是边上的一点，且，与交于点，则 ． 4.如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 一次函数的应用 题型一 根据描述求一次函数解析式 1.如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查一次函数的应用，依据题意得，从而可以判断得解．解题时要能读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 3．（2025·湖北·模拟预测）摩托车油箱中有升油，行驶时每小时耗油升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求自变量的取值范围、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用， 根据行驶时每小时耗油升，则行驶小时耗油，剩余油量为，据此列出函数解析式写出自变量取值范围即可，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为：，自变量取值范围为：． 故答案为：；． 题型二 根据图象求一次函数解析式 4．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点， 即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， ∴方程的解是， 故选：． 6.如图，在空中，自地面算起，每升高千米，气温下降若干度（），某地空中气温（）与高度（千米）间的函数的图像如图所示，那么当高度 千米时，气温低于0（）    【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，再分析气温低于时的高度范围． 先设出气温与高度的一次函数关系式，利用图像上的点求出关系式，再令求出对应的，从而确定气温低于时的范围． 【详解】解：设气温与高度的函数关系式为（、为常数）， 由图像可知，当时，，即；当时，， 把代入中，可得，解得， 所以函数关系式为， 当时，即，移项可得， 解得：． 故答案为：． 题型三 根据表格求一次函数解析式 7．（2025·山西长治·一模）物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块，在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度（单位：）与铁块的质量（单位：），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块的质量为时，木块露出水面的高度为 ． 实验次数 一 二 三 铁块的质量 25 50 75 高度 44 38 32 【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块的质量的关系式是解此题的关键． 设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 将代入解析式得：， 解得：， ∴高度与铁块的质量的关系式为：， 当时，， ∴当铁块质量为时，木块露出水面上的高度为， 故答案为：． 题型四 根据题意求变量的值解决问题 8.已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，则飞机在着陆后滑行 停下． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 先求出速度降为0时所用时间，再把此时求出的时间代入，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 行程问题的图象信息问题 9.甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质． 根据图像信息分析结论即可． 【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意． B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意． C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意． D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意． 故选：B． 10.在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式． ①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出甲爬山的速度；②当时，根据高度初始高度速度时间，即可得出关于的函数关系，令可求出相应的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解． 【详解】解：①甲的爬山高度是 米，用时 20 分钟，故速度是米／分，故①正确； ②当时，， 当时，，故，故②正确； ③乙提速后距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 甲爬山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 当时， 解得：；故③正确； ④令， ， 甲乙相遇后，甲再经过 1 分钟与乙相距 20 米，故④正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 题型一 根据实际情境列一次函数解析式 1．（23-24七年级上·全国·期末）甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键． 先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围． 【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米． 由题意可得． 当乙追上甲时，，即， 解得； 当乙刚要出发时， ，所以的取值范围是． 所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（）， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键． 分和两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可． 【详解】解：当时由题意得：， 当时由题意得：， 综上，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 题型二 一次函数的图象信息题 3.甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：甲车从地到地时间为（分钟）， 故A选项不符合题意； 甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟， 行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为， 甲、乙两车的速度之比为， 甲车速度是乙车速度的3倍， 故B选项符合题意； 甲车行驶路程是乙车的2倍， 故C选项不符合题意； 设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米， 设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则 解得， 设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则， 解得， （分钟）， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟， 故D选项不符合题意． 故选：B． 4.某市出租车计费方法如图所示，表示行驶距离，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是 元； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的距离． 【答案】(1)8 (2)这位乘客乘车的距离是 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、梯度计价问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由函数值求自变量的值． （1）根据函数图象可以得出出租车的起步价． （2）设时，y与x的函数关系式为 ，运用待定系数法求解解析式；将解析式即可求出x的值． 【详解】（1）解：由图象得：出租车的起步价是8元． （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 由函数图象，得 ， 解得：， 故y与x的函数关系式为：， 当时，， ∴， 答：这位乘客乘车的距离是． 5.某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． (1)请根据图象填空：_______，_______． (2)与之间的函数关系式为_______． (3)如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 【答案】(1)10；50 (2) (3)选择种收费方式合算，见解析． 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、梯度计价问题 【分析】（1）根据表格和图象可以得到、的值，从而可以解答本题； （2）根据表格中的数据可以求得之间的函数关系式； （3）将分别代入和函数解析式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，， 故答案为：，； （2）解：由图象知：超时费（元/h）； 当时，， 故答案为：； （3）解：当时，， ∵， ∴如果每月上网时间小时，选择B方式上网学习合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果． 题型三 与一次函数有关的方案问题 6．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【答案】(1) (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元 (3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多 【难度】0.65 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设对应的函数表达式为，由待定系数法就可以求出解析式； （2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为元，设对应的函数表达式为，利用待定系数法求得，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元； （3）由建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售方案． 【详解】（1）解：设对应的函数表达式为． 由题图，得， 解得， 对应的函数表达式为． （2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元， 设对应的函数表达式为． 把代入，得， 解得， 方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元． （3）（3）由（1）知，．由（2）知，． 令，解得． 当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等． 由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图像的意义是关键． 7.某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题． (1)如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________； (2)如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)当人数时，按普通门票购票省钱；当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；当人数时，按团体门票购票省钱，详见解析 【难度】0.65 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际运用， （1）买普通门票可根据：买票总费用＝门票单价×门票张数，列函数关系式； （2）买团体票，需要一次购买门票10张及以上，即，利用打折后的票价乘人数即可； （3）根据8张普通门票的费用张团体门票费用，分类讨论：、、三种情况讨论； 根据数字特点找出临界点是解决问题的关键． 【详解】（1）∵普通门票，价格为80元/张，该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元， ∴， 故答案为：； （2）∵团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元， ∴； （3）∵， 当人数时，按普通门票购票省钱； 当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱； 当人数时，按团体门票购票省钱． 题型四 最大利润与最少费用问题 8．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键； （1）根据总利润等于两种商品利润和即可列出函数关系式； （2）根据函数式及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 整理得：， 由于购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件，则； ∴与的函数关系式为，自变量的取值范围为； （2）解：，且， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大利润，且最大利润为（元）， 此时购进B种商品为（件）； 答：购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元． 9.某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【答案】(1)，，且为整数； (2)66000元，生产A产品60件，B产品30件． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意列出函数关系式即可； （2）根据题意可得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得： ，且，为整数； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵，随的增大而增大， ∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元）， ∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为元． 10.“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) (2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可； （2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可． 本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴y与x之间的函数关系式． （2）解：y与x之间的函数关系式，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大， （枝）． 答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润． 题型五 一次函数与图形综合 11.在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上存在点，使点关于轴的对称点在线段上，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了一次函数的应用，点的坐标—轴对称，不等式的性质，先求出线段的表达式为，设，则点关于轴的对称点为，再结合题意得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设线段的表达式为， 将，代入线段的表达式可得， 解得， ∴线段的表达式为， ∵直线上存在点， ∴设， ∴点关于轴的对称点为， ∵点关于轴的对称点在线段上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12.如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．若是轴上一点，且的面积为5，则点的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何综合，先求出点的坐标为，点的坐标为．设点的坐标为，再根据三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：因为一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 所以当时，；当时，，解得， 所以点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为， 因为， 所以， 解得或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或． 13.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，则点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形定义，过点作轴，交轴于，交过点与轴平行的直线于，则，由直线的解析式为，当时，，则有，然后证明，所以，设，然后通过两点间的距离即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于，交过点与轴平行的直线于，则， 由直线的解析式为，当时，， ∴， ∵为斜边在下方作等腰， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 题型一 一次函数的实际应用 1．在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯形的面积判断出当时对应的速度，即可判断出选项是否正确；然后求出与之间的函数关系式，取和22求得对应的时间，即可判断和是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项是否正确． 【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动路程，某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速， 图中函数图象与横轴、纵轴、直线围成的梯形的面积为500． 设时对应的车速为， ． 解得：． ∴该车进入隧道时的速度为. 故A选项正确，不符合题意； 设v与t的函数关系式为：． 解得： ． ． 当时，． 解得：． 即． 故B错误，符合题意； 当时，． 解得： 即． 故C正确，不符合题意； 到时间段内该车的平均速度为：. 故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到时间段的运动路程． 2.甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从上中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型二 一次函数与图形综合 3.如图，在中，，是边上的中线，是边上的一点，且，与交于点，则 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、一次函数的应用、两点间的距离公式等知识点，根据题意建立直角坐标系成为解题的关键． 以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，易得，，运用待定系数法可得直线的解析式为、直线的解析式为，设，易得；再求得直线的解析式为，易得，最后根据两点间距离公式求解即可． 【详解】解：以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． ∵， ∴， ∵是边上的中线，即D是的中点， ∴， 设直线的解析式为则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：（已舍弃负值）， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 4.如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $