精品解析：甘肃省张掖市临泽县校联考2025-2026学年九年级上学期学情摸底检测数学试卷

九月份学情摸底检测试卷 初三数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断错误的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形有矩形和菱形的一切性质 3. 若是方程的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 4. 用配方法解方程时，应将其变形为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A. 75° B. 55° C. 15° D. 25° 6. 顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.） 11. 如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为____． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 13. 一个三角形的两边长为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的面积为______． 14. 设m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝_____． 15. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 16. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程__________． 三、解答题（共96分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3） 18. 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 19. 在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标． （1）画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标； （2）求点在函数图象上的概率． 20. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 21. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接，． （1）请判定与的数量关系； （2）当D在的中点，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 22. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 23. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 24. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 25. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． （1）运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 26. 阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形： 因为 所以 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为 （2）求代数式的最大或最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九月份学情摸底检测试卷 初三数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A．a=0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B．，整理后不是一元二次方程，故本选项不合题意； C. 是一元二次方程，故此选项符合题意 D．是分式方程，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）． 2. 下列判断错误的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形有矩形和菱形的一切性质 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定以及菱形的判定，根据矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，故正确， B、四条边都相等的四边形是菱形，故原说法错误， C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确， D、矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质，故正确， 故选：B． 3. 若是方程的一个解，则m的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的解，把代入方程求出m即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故选：D． 4. 用配方法解方程时，应将其变形为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方即可. 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查的是解一元二次方程的配方法，配方法要先把二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方是关键. 5. 如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A. 75° B. 55° C. 15° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ∴， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 6. 顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，设点，，，分别是四边形各边的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴ ∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形． 故选：D． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据列出方程即可． 【详解】根据题意，得． 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 9. 某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x-1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x（x-1）=2550． 【详解】解：∵全班有x名学生， ∴每名学生应该送的相片为（x-1）张， ∴x（x-1）=2550． 故选：B． 【点睛】此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语． 10. 如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接．证明，可得，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.） 11. 如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为____． 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义进而分析得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴=2，m-2≠0， 解得：m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握当且时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 根据一元二次方程的定义以及根的判别式列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 一个三角形的两边长为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，解方程求出第三边，根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：解方程，得， 当时，，因此，3，5不能构成三角形， 当时，，此三角形为直角三角形， ∴该三角形的面积为：， 故答案为：6． 14. 设m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根和根与系数关系，代入求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根， ∴m 2＋3 m-7＝0，即m 2＋3 m＝7；m＋n＝-3． ∴m2＋4m＋n ＝（m 2＋3 m）＋（m＋n） ＝7-3 ＝4． 故答案为：4 15. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 16. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，平移的性质，由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，据此根据矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形， 由题意得，， 故答案为：． 三、解答题（共96分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解答本题的关键． （1）方程整理后，利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （3）方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， 即， ， ∴． 18. 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 【答案】1米 【解析】 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532． 整理，得x2﹣35x+34=0， 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 19. 在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标． （1）画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标； （2）求点在函数图象上的概率． 【答案】（1） 由题意，列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 点Q所有可能的坐标有：，，，，，，，，，，，共12种； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率： （1）根据题意列出表格，找出所有的点Q坐标； （2）根据函数上的点的特征得出符合条件的点，根据概率的计算方法进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：共有12种等可能的结果，其中在函数图象上的有4种，即：， ∴． 20. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 21. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接，． （1）请判定与的数量关系； （2）当D在的中点，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形是菱形；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 22. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 23. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1） （2）长为9m，宽为5m 【解析】 【分析】（1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 故答案为:； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为9m，宽为5m． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． 24. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）从假期第一天到第三天的平均日增长率为 （2）①；②每把扇子应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 25. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． （1）运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据“路程速度时间”可表示出和，从而可得； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：四边形能够成为菱形，理由如下： 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 26. 阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形： 因为 所以 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为 （2）求代数式的最大或最小值； 【答案】（1）3；（2）最大值为； 【解析】 【分析】（1）根据题意把原式转换成，得到它的最小值是3； （2）根据题意把原式转换成，得到它有最大值10． 【详解】解： ， 当时，， 因此有最小值，即代数式的最小值为； 故答案是：； 由于，所以 当时，， 则最大值为． 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用它来进行配方求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $