精品解析：四川省泸州市合江县第五片区2025-2026学年九年级上学期第一次联合检测数学试题

合江县 2025 年秋期合江第五学区第一次自主检测 九年级数学学科 全卷分为第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页 第 I 卷（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题3 分，共 36 分）在每小题给出的四个选项中，有且只有 个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．二次函数的顶点式为(a，h，k是常数，)，其顶点坐标为． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解：， 其中，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 4. 把方程化成的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型． 根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案． 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即， ，， 则． 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程得，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6. 已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（　　） A. a＜c＜b B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜b＜c 【答案】C 【解析】 【分析】将A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）分别代入y＝﹣2（x+1）2+3中，求得a、b、c的值，然后比较它们的大小． 【详解】解：∵点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上， ∴a=﹣2（-2+1）2+3=1 b=﹣2（-1+1）2+3=3 c=﹣2（3+1）2+3=-29 ∴c＜a＜b． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大 B. 二次函数中，当 时，有最大值0 C. 二次函数中，当时，随的增大而增大 D. 不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大，故该选项不正确，符合题意； B. 二次函数中，当 时，有最大值0，故该选项正确，不符合题意； C. 二次函数中，当时，随的增大而增大，故该选项正确，不符合题意； D. 不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数（）的性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 8. 某种商品原价是 100 元，经过两次提价后的价格是 120 元，求平均每次提价的百分率．设平均每次提价的百分率为x ，下列所列方程中正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键，若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，根据一元二次方程的增长率问题直接进行求解即可． 【详解】解：由题意，得， 故选：． 9. 把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　） A. 向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向上平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象． 故选C． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 10. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有两个实数根得到，求出的取值范围． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 又， 且． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 11. 等腰三角形的腰和底分别是的两根，则该三角形的周长为 （ ） A. 14 B. 22 C. 22 或14 D. 22 或 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，因式分解法求出方程的解，根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的腰，根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵不能构成三角形， ∴10为等腰三角形的腰长，2为底边长， ∴该三角形的周长为； 故选B． 12. 已知抛物线（其中） 有两点 ，且则 m 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴，增减性，列式解答即可． 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键． 【详解】解：∵抛物线（其中）， ∴， ∴抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴与对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ∵抛物线上的两点 ， ∴它们到对称轴的距离分别为，， ∵， ∴， 当时，，恒成立； 当时，，无解； 当时，， 解得； 综上所述，， 故选：A． 第 Ⅱ卷（非选择题 共 84 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题3 分，共 12 分） 13. 请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则 m 的取值是 _________ ． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式．由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可． 【详解】关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 15. 已知 α、 β 是方程的两根，则___________ . 【答案】57 【解析】 【分析】根据根与系数关系定理，方程根的定义解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵α、 β是方程 的两个根， ∴ ，， ∴， ∴ ， 故答案为：57． 16. 已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质；根据二次函数的对称性可知，当B，C，D三点共线时，的值最小，求出直线的解析式，进而求出D 的坐标． 【详解】解：， 对称轴为直线， 令，得， 解得， ， 令，， ， 如图， 连接，交对称轴于D，则， ， 当B，C，D三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分） 17. 计算：． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算．根据算术平方根定义，负整数指数幂和零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）直接开平方求解即可； （2）先移项，再对等式左边因式分解，再求解即可． 【小问1详解】 解：， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 19. 先化简，再求值：，其中x=2． 【答案】,3 【解析】 【分析】先按分式的相关运算法则将原式化简，再代值计算即可. 【详解】原式= = = 当时， 原式=. 四、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 20. 某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙的最大可用长度为），现在已备足可以砌长的墙的材料，当矩形花园的面积为时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，则的长为，根据“矩形花园的面积为”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设的长为，则的长为，根据题意得： ， 解得：， ∵围墙的最大可用长度为， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙的最大可用长度为，舍掉不符合题意的数据． 21. 已知关于 x 的方程． （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若是该方程的一个根，求 k 的值 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得， 解得． 五、解答题（本大题共 2 个小题，每小题8 分，共 16 分） 22. 已知关于 x的一元二次方程 ． （1）若该方程有实数根，求 m 的取值范围． （2）若是方程的两根，且时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，先求出的值，再根据根与系数的关系和整体代入法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点C （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点P是抛物线的顶点，求面积 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式求解及三角形面积计算，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，以及通过坐标计算图形面积． （1）利用抛物线经过的两个点的坐标，代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到函数表达式； （2）先求出抛物线与轴交点和顶点坐标，再通过图形分割或面积公式计算三角形面积． 【小问1详解】 解：已知抛物线过，代入得： ， 解得， 故； 【小问2详解】 解：令，得，即， ， ∴顶点， ． 六、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分） 24. 网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）． （1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式 （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值． 【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可； （2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果； （3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值． 【详解】解：（1）当，即， ． ∴当时， 当时， ． （2）当时，． ∵对称轴为， ∴当时，元． 当时，． ∵对称轴为， ∴当时，元． ∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元． （3）， ，则． 令，则． 解得：． 在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图． 观察示意图可知： ． 又， ． ． 对称轴为 ， 对称轴． ∴当时，元． ， ． 又， ． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键． 25. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 此时，，点Q不在在点P上方时， 故舍去 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县 2025 年秋期合江第五学区第一次自主检测 九年级数学学科 全卷分为第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页 第 I 卷（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题3 分，共 36 分）在每小题给出的四个选项中，有且只有 个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 把方程化成的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 6. 已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（　　） A. a＜c＜b B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜b＜c 7. 下列说法错误的是（ ） A. 抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大 B. 二次函数中，当 时，有最大值0 C. 二次函数中，当时，随的增大而增大 D. 不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点 8. 某种商品原价是 100 元，经过两次提价后的价格是 120 元，求平均每次提价的百分率．设平均每次提价的百分率为x ，下列所列方程中正确的是 （ ） A. B. C. D. 9. 把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　） A. 向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向上平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 10. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 11. 等腰三角形的腰和底分别是的两根，则该三角形的周长为 （ ） A. 14 B. 22 C. 22 或14 D. 22 或 14 12. 已知抛物线（其中） 有两点 ，且则 m 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 第 Ⅱ卷（非选择题 共 84 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题3 分，共 12 分） 13. 请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 14. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则 m 的取值是 _________ ． 15. 已知 α、 β 是方程的两根，则___________ . 16. 已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ． 三、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分） 17. 计算：． 18. 解方程 （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中x=2． 四、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 20. 某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙的最大可用长度为），现在已备足可以砌长的墙的材料，当矩形花园的面积为时，求的长． 21. 已知关于 x 的方程． （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若是该方程的一个根，求 k 的值 五、解答题（本大题共 2 个小题，每小题8 分，共 16 分） 22. 已知关于 x的一元二次方程 ． （1）若该方程有实数根，求 m 的取值范围． （2）若是方程的两根，且时，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点C （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点P是抛物线的顶点，求面积 六、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分） 24. 网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）． （1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式 （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值． 25. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $