精品解析：广东省佛山市南海区第一中学2025-2026学年高一上学期阶段测试一数学试题

南海一中2025-2026学年度高一上学期阶段测试一数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填途在答题卡相应的位置上． 1. 下列各组集合表示同一集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 命题：p：的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（ ） A. 1600元 B. 1680元 C. 1800元 D. 2250元 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 若是定义在上的偶函数，，有，则（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则． C. “”的一个必要不充分条件是“” D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，函数的最小值为3 B. 若，，，则最小值为4 C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2 D. 若，则的最大值是1 11. 下列关于函数，下列结论正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 当时， D. 在上是增函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的定义域为___________． 13. 已知，则__________. 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，，. （1）若的解集为，求在上的最大值和最小值； （2）若，求不等式的解集. 17. 已知函数． （1）若，判断的奇偶性并加以证明． （2）当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值． （3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 18. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 19. 已知，函数． （1）当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）； （2）记在区间上的最小值为，求的表达式； （3）对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海一中2025-2026学年度高一上学期阶段测试一数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填途在答题卡相应的位置上． 1. 下列各组集合表示同一集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素的性质可判断ACD的正误，算出B中后可判断B的正误. 【详解】对于A，是数的集合，而是点的集合，故不是同一集合，故A错误； 对于B，，，故不是同一集合，故B错误； 对于C，不是同一个点，故不是同一集合，故C错误； 对于D，由集合元素的无序性可得，故D正确； 故选：D. 2. 命题：p：的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断即可. 【详解】命题，的否定为，. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式性质检验充分性和必要性. 【详解】若，时，不成立，充分性不成立； 若成立，则一定成立，从而，必要性成立． 故选：B 4. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为，函数定义域为，A不是； 对于B，函数的值域为，函数的值域为，B不是； 对于C，与的定义域均为，且，即对应法则相同，C是； 对于D，函数定义域为，函数定义域为，D不是. 故选：C 5. 已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】函数的图象对称轴为， 由函数在区间上是单调函数，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 6. 为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（ ） A. 1600元 B. 1680元 C. 1800元 D. 2250元 【答案】B 【解析】 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与 轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 8. 若是定义在上的偶函数，，有，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，且在上为减函数，得出，即可求解. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 又因为时，有， 所以函数在上为单调递减函数，可得， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则． C. “”的一个必要不充分条件是“” D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，根据充分不必要条件的定义即可求解C，利用作差法，结合不等式的性质即可求解D. 【详解】对于A，由于，，则，故，A正确， 对于B，由于，则，，故B错误， 对于C，由于“”是“”的充分不必要条件， 故“”的一个充分不必要条件是“”，C错误， 对于D，，因为， ，所以， 但无法判断真假，所以大小无法确定，故D错误． 故选：BCD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，函数的最小值为3 B. 若，，，则最小值为4 C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2 D. 若，则的最大值是1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AD，根据条件等式结合基本不等式可判断B；利用基本不等式结合不等式恒成立问题判断C. 【详解】对于A，由于，故， 则， 当且仅当，即时等号成立，但，取不到， 故函数的最小值不为3，A错误； 对于B，，，， 则， 当且仅当，即时取等号，即最小值为4，B正确； 对于C，对，， 故对，恒成立，则，实数m的最大值为2，C正确； 对于D，因为，故， 故， 故，当且仅当，即时取等号， 故的最大值是，D错误， 故选：BC 11. 下列关于函数，下列结论正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 当时， D. 在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】化，结合定义域、值域和单调性逐选项判断即可. 【详解】由， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，的值域为，B正确； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递增， 而，，则时，，C错误； 对于D，由C知在上单调递增，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义，得到，解出 的取值范围，即可求解. 【详解】根据题意，解得且，所以函数定义域为， 答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法直接进行求解即可. 【详解】 ， 故答案为： 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得 ， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，进而求交集； （2）分析可知，分类讨论集合A是否为空集，结合交集列式求解即可. 【小问1详解】 对于，解得或，可得集合； 对于，可得，解得，可得集合； 所以. 【小问2详解】 若，则，可知， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，可得，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数，，. （1）若的解集为，求在上的最大值和最小值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）最小值为，最大值为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为1，2，且，利用韦达定理可得，结合二次函数性质求最值即可； （2）分析可得，分类讨论最高项系数的符号以及两根的大小，解不等式即可. 【小问1详解】 若的解集为， 可知的两根为1，2，且， 则，解得，所以， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 根据二次函数图象的对称性可知： 在上的最大值为，最小值. 【小问2详解】 因为，即，可得. 不等式等价于，即. 若，则不等式等价于，解得； 若，则，解得； 若，则，解得或； 若，则，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）若，判断的奇偶性并加以证明． （2）当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值． （3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）奇函数；证明见解析 （2）证明见解析；最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）证得，即可得到为奇函数. （2）将代入，由定义法证明在[1，）上的单调性即可，再由单调性即可求得最小值. （3）首先参变分离，然后将题目转化为大于函数在上的最大值即可. 【小问1详解】 因为， 定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 【小问2详解】 当时，， 且，有． 所以，函数在上单调递增， 函数在上的最小值为． 【小问3详解】 若对任意恒成立， 则， 所以，问题转化为大于函数在上的最大值． 且函数在上单调递减， 所以最大值为， 故实数的取值范围是 18. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）至少5分钟； （3）时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 【解析】 【分析】（1）当时，，当时,,由题可求出,即可得到答案. （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益最大值. 【小问1详解】 由题知，当时，； 当时,, 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人， 此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人， ，解得， 此时， 所以. 【小问2详解】 依题意， 当时，，满足题意； 当时，，即， 解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人. 【小问3详解】 由（1）知 时，当且仅当等号成立， 时 当上,单调递减,则 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 19. 已知，函数． （1）当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）； （2）记在区间上的最小值为，求的表达式； （3）对（2）中的，当，恒有成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值. （2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式； （3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可. 【小问1详解】 解（1）当时，， 即，则， 故函数的递增区间为，递减区间为，. 【小问2详解】 由题可知， 当时，在上递减，在递增，则； 当时，在上递减，则， 综上：． 【小问3详解】 （3）令，只需， 当，且时，，在上单调递减， ∴， 当时，，在上单调递增， ∴； 当时，，在上递减，∴， 综上可知，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $