第02讲 一元二次函数、方程和不等式（复习讲义）（广东小高考专用）2026年春季高考数学

第02讲 一元二次函数、方程和不等式 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 4 考点一 不等式的性质（重点） 4 考点二 直接法求最值 4 考点三 配凑法求最值 5 考点四 “1”的代换求最值（重点） 6 考点五 一元二次不等式的解法（重点） 7 考点六 由二次不等式的解确定参数 8 考点七 在R上的恒成立问题 8 考点八 在给定区间上的恒成立问题（难点） 9 实战精练与提升 10 考情解读 一、考试要求 了解现实与日常中的不等关系及不等式（组）实际背景，会从实际情境抽象一元二次不等式模型； 借函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系，掌握一元二次不等式解法； 了解基本不等式证明过程，会用其解决简单最值问题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 不等式的性质 5年2考 由不等式的性质比较大小 预测2026年在选择题中考查由不等式的性质比较大小 基本不等式 5年5考 利用基本不等式求最值 预测2026年在选择或填空题中考查利用基本不等式求最值 一元二次不等式 5年4考 解一元二次不等式 预测2026年在选择或填空题中考查解一元二次不等式 知识梳理 知识点1、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 知识点2、基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 知识点3、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点精讲 考点一 不等式的性质 解题策略 利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例1．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，那么 D．若，则 例2．（2024·25高三上·广东·期中）已知，，则p是q的（    ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 练习1．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 练习2．（2021·广东珠海·二模）已知a，，若，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东清远·期末）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 练习4．已知a、b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 直接法求最值 解题策略 （1）如果积是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 例3．（2024·25高三上·广东惠州·期末）若，则有（    ） A．最小值3 B．最小值6 C．最大值6 D．最大值3 例4．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 练习1．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 练习4．（2024·25高三上·广东深圳·期中）用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则矩形面积的最大值为 . 考点三 配凑法求最值 例5．（2024·25高三上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 例6．（2024·25高三上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 练习1．（2025·26高三上·广东东莞·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 练习2．已知，则的最大值为 ． 练习3．若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 练习4．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 . 考点四 “1”的代换求最值 解题策略 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 例7．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．9 D． 例8．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 练习1．（2024·25高三下·广东·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 练习3．已知实数满足，则的最小值为 . 练习4．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 考点五 一元二次不等式的解法 解题策略 解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 例9．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 例10．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东·阶段练习）不等式的解集是 （用集合的形式填写）. 练习2．（2025·26高三上·广东·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 练习4．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六 由二次不等式的解确定参数 解题策略 （1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 例11．（2024·25高三上·广东茂名·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．1 B． C．1或 D．0.5 例12．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是，则 ． 练习2．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 练习4．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 考点七 在R上的恒成立问题 解题策略 一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； 例13．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 例14．（2024·25高三上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期末）已知命题为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 练习2．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是 ． 练习4．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为实数集，则实数k的取值范围为 ． 考点八 在给定区间上的恒成立问题 解题策略 含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例15．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 例16．（2024·25高三上·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 练习1．（2024·25高三上·山东·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 练习4．（2024·25高三上·广东佛山·期中）对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． n战训练 1．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高三上·广东佛山·期末）若正数满足，则的最小值为 . 3．（2025·26高三上·广东中山·阶段练习）已知，则 mn的最大值为 （    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·25高三下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 7．（2024·25高三下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（2025·26高三上·广东梅州·开学考试）不等式的解集为 . 9．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）若命题：，是假命题，则实数的取值范围是 . 10．（2024·广东佛山·模拟预测）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 11．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数,若,都有,则实数的取值范围是 ． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一元二次函数、方程和不等式 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 4 考点一 不等式的性质（重点） 4 考点二 直接法求最值 4 考点三 配凑法求最值 8 考点四 “1”的代换求最值（重点） 10 考点五 一元二次不等式的解法（重点） 12 考点六 由二次不等式的解确定参数 15 考点七 在R上的恒成立问题 15 考点八 在给定区间上的恒成立问题（难点） 20 实战精练与提升 20 考情解读 一、考试要求 了解现实与日常中的不等关系及不等式（组）实际背景，会从实际情境抽象一元二次不等式模型； 借函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系，掌握一元二次不等式解法； 了解基本不等式证明过程，会用其解决简单最值问题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 不等式的性质 5年2考 由不等式的性质比较大小 预测2026年在选择题中考查由不等式的性质比较大小 基本不等式 5年5考 利用基本不等式求最值 预测2026年在选择或填空题中考查利用基本不等式求最值 一元二次不等式 5年4考 解一元二次不等式 预测2026年在选择或填空题中考查解一元二次不等式 知识梳理 知识点1、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 知识点2、基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 知识点3、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点精讲 考点一 不等式的性质 解题策略 利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 例1．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，那么 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，则，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：D 例2．（2024·25高三上·广东·期中）已知，，则p是q的（    ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则， 可得，即， 可知由p可以推出q，则p是q的充分条件； 例如，可知，满足， 但不满足，可知p不是q的必要条件； 综上所述：p是q的充分不必要条件. 故选：B. 练习1．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，得，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，由，得，因此，D正确. 故选：D 练习2．（2021·广东珠海·二模）已知a，，若，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，，， 所以， 所以，故A错误； 则，所以，故B错误； 由得，即，所以，故C正确，D错误. 故选：C. 练习3．（2024·25高三上·广东清远·期末）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， 当时，，所以， 可得，所以充分性成立； 但当时，即也成立， 所以必要性不成立． 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 练习4．已知a、b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 当时，，，则，即成立，满足充分性. 当时，，但不成立，所以，不能推出，不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 考点二 直接法求最值 解题策略 （1）如果积是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 例3．（2024·25高三上·广东惠州·期末）若，则有（    ） A．最小值3 B．最小值6 C．最大值6 D．最大值3 【答案】B 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立.所以，当时，则有最小值6， 故选：B. 例4．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 练习1．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 练习2．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D. 练习3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最大值. 故选：C. 练习4．（2024·25高三上·广东深圳·期中）用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则矩形面积的最大值为 . 【答案】 【详解】设矩形的长为cm，则宽为， 则矩形的面积， 当且仅当，即时取得面积最大值为， 故答案为：. 考点三 配凑法求最值 例5．（2024·25高三上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 例6．（2024·25高三上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 练习1．（2025·26高三上·广东东莞·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题意知，， 则， 当且仅当时取等号，故的最小值为3. 故选：B 练习2．已知，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为． 故答案为：. 练习3．若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题意，，而， 当且仅当，即时，等号成立，所以． 故选：C 练习4．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立. 故. 故答案为： 考点四 “1”的代换求最值 解题策略 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 例7．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】，，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 例8．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 练习1．（2024·25高三下·广东·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得且， 所以， 当且仅当，即时,即时等号成立. 故选：C 练习2．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为8. 故选：D. 练习3．已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 练习4．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3 考点五 一元二次不等式的解法 解题策略 解一元二次不等式的一般步骤： （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 例9．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由不等式可得， 故不等式的解集为. 故选：A. 例10．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】， 可得，解得， 故选：A． 练习1．（2025·26高三上·广东·阶段练习）不等式的解集是 （用集合的形式填写）. 【答案】 【详解】由，得，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 练习2．（2025·26高三上·广东·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式的性质，等价于或. 故选：D. 方法二： 因为，所以，或. 解得，或. 故选：D. 练习3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】， ， 所以时成立，但时，不一定成立， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 练习4．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 化简得，即， ． 故选：B． 考点六 由二次不等式的解确定参数 解题策略 （1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 例11．（2024·25高三上·广东茂名·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．1 B． C．1或 D．0.5 【答案】B 【详解】由题意得，为方程的根， ∴，解得. 故选：B. 例12．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，显然解集为空，满足题设； 当时，在上无解， 所以，可得； 综上，. 故选：C 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是，则 ． 【答案】 【详解】因为不等式的解集是， 可知，是方程的两个实根，且， 由韦达定理得，解得，， 所以． 故答案为：. 练习2．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式的解集为， 得，且，是的两个根， 则有，， 即，， 则不等式可转化为， 即，解得：， 则不等式的解集为． 故选：D. 练习3．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可得，解得， ∴代入不等式得：， 整理可得：，即， ∴或， 故选：D. 练习4．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式的解集为， 方程的两个实数根为和， 由根与系数的关系得：，则，故， 即：，解得或； 所求不等式的解集为. 故答案为：. 考点七 在R上的恒成立问题 解题策略 一元二次不等式在上恒成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可； 例13．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意得，“存在，使”是假命题， 没有实根或有重根， ，解得. 故选：A. 例14．（2024·25高三上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期末）已知命题为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由命题为假命题，则为真命题， 当时，恒成立，满足要求； 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 练习2．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 故答案为：. 练习3．（2024·25高三上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，不等式可化为，显然恒成立， 当时，若不等式对一切实数x都成立， 需满足，且，即； 综上可得，, 即k的取值范围是. 故答案为： 练习4．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为实数集，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，有，解得. 综上可得，. 故答案为：． 考点八 在给定区间上的恒成立问题 解题策略 含参数的一元二次不等式恒成立，若能够分离参数成或形式．则可以转化为函数值域求解．设的最大值为，最小值为. ①恒成立⇔，恒成立⇔. ②恒成立⇔，恒成立⇔. 例15．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 例16．（2024·25高三上·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 练习1．（2024·25高三上·山东·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 练习2．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由命题“”为真命题，即不等式在上恒成立， 设， 根据二次函数的性质，可得，所以. 故选：A. 练习3．（2024·25高三上·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】当时，由可得恒成立， 故， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 当时，原不等式为恒成立， 综上可得， 故答案为： 练习4．（2024·25高三上·广东佛山·期中）对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在上单调递减，， ，解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. n战训练 1．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以A、B错误； 易知，所以，则，即，所以C错误； 而根据同向同正可乘性知，即D正确. 故选：D 2．（2024·25高三上·广东佛山·期末）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】25 【详解】解：因为正数满足， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25， 故答案为：25 3．（2025·26高三上·广东中山·阶段练习）已知，则 mn的最大值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由基本不等式得：， 所以，即mn的最大值为 当且仅当，即时取等号. 故选：D 4．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 5．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式，得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 6．（2024·25高三下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】， 当时取等，所以的最小值为. 故选：C. 7．（2024·25高三下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由，则，故， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 8．（2025·26高三上·广东梅州·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】或 【详解】，解得或， 故解集为或. 故答案为：或. 9．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）若命题：，是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题是假命题， 则命题，是真命题， 所以，解得， 故答案为：. 10．（2024·广东佛山·模拟预测）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】所以恒成立，即在恒成立， 所以且，又因为在上是增函数， 所以，所以. 故答案为：. 11．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数,若,都有,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据题意得当时,恒成立, 即对恒成立, , 当且仅当即时等号成立, . 故答案为:. 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $