专题02 反比例函数k值的几何意义（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题02 反比例函数k值的几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1 题型二、已知比例系数求规则图形面积 2 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 3 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 2．如图，为等边三角形，点B恰好在反比例函数的图象上，且轴于点，若点C的坐标为，则k的值为 （    ） A． B． C． D． 3．如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 4．如图，P、Q分别为反比例函数（），（）图象上的点，且，若，则k的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 6．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，的顶点A是直线与双曲线在第一象限内的交点．已知的面积为3，则一次函数的解析式为 ． 8．反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点，交轴于点C，连接，若，则k的值为 ． 9．如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接，过点A作轴于点C，交于点    D．若，的面积为5，则k的值为 ． 10．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则 ． 11．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为 ． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为 ． 13．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，，求k的值． 14．如图，双曲线与的斜边交于点A，与交于点D，若，，求k的值． 15．如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D． (1)若，求直线的解析式； (2)若的面积为4，求 k的值． 题型二、已知比例系数求规则图形面积 16．如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 17．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 18．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 19．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 20．如图，直线交y轴于点C，与双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），Q为线段上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接，设的面积为、的面积为、的面积为，则有（　　） A． B． C． D．的大小关系无法确定 21．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 22．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 23．点是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过作轴于点，连接．在上取点，使得，则 ． 24．如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点，则四边形的面积是 ． 26．如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的延长线交轴于点，连接交双曲线于点，连接，若，则的面积是 ． 28．如图，双曲线与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积是多少？ 29．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 30．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 31．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线上的一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会（   ） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 32．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 33．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 34．如图，在反比例函数的图象上，有点它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，，…，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为……，则的结果为（   ） A． B． C． D． 35．如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 36．如图，点A是反比例函数在第一象限的图象上的一点，过点A作轴于点B．连结，以点A为圆心，分别以为半径作直角扇形和，并连接，则阴影部分面积的最小值是 37．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 38．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 39．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 40．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 41．如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 42．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 43．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求，，的值； (2)点是（）的图象上一点，抽交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 44．如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 45．如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数k值的几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1 题型二、已知比例系数求规则图形面积 2 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 3 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，由于同底等高的两个三角形面积相等，，然后根据反比例函数中k的几何意义，知，从而确定k的值． 【详解】解：的面积等于5， ， ， ， ； 又反比例函数的图象的一支位于第一象限， ． ． 故选：B． 2．如图，为等边三角形，点B恰好在反比例函数的图象上，且轴于点，若点C的坐标为，则k的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征先求出值及三角形面积进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，且轴于点A．点C的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数图象上在第二象限， ∴． 故选：C． 3．如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作轴于点F，过点B作轴于点E，设点，则，根据，结合相似三角形的性质写出点B和点D的坐标，再结合的面积列出方程求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，，， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：D． 4．如图，P、Q分别为反比例函数（），（）图象上的点，且，若，则k的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数的图像和性质． 作轴交轴于，作轴交轴于，根据三角函数和勾股定理求出，证明，可知，根据反比例函数的性质可知，，进而根据，作答即可． 【详解】如图，作轴交轴于，作轴交轴于， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵P、Q分别为反比例函数（），（）图象上的点， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理解题． 通过设点坐标，结合反比例函数性质和三角形面积公式来逐步推导． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 设点的坐标为， 是的中点， ， ，点的横坐标与点相同，为， 将代入，可得点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴，垂直于轴方向， 在中，（底，的长度为点的纵坐标（高， 根据三角形面积公式底高，可得： ， ， ， 故选：C． 6．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，则，设，由，可得，再，列方程，即可得出k的值． 【详解】解：过点E作，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 7．如图，的顶点A是直线与双曲线在第一象限内的交点．已知的面积为3，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数其系数的几何意义，求一次函数解析式，根据，以及反比例函数图象所在象限推出的值，即可解题． 【详解】解： 的面积为3， ，即， 双曲线在第一象限， ， 则一次函数的解析式为， 故答案为：． 8．反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点，交轴于点C，连接，若，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：轴， ，， ， ， 而， ． 故答案为：8． 9．如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接，过点A作轴于点C，交于点    D．若，的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的k的几何意义，三角形面积比与相似比的关系，作辅助线，得到的面积，知道是解题的关键． 连接 OA， 过点 作 轴于点 ，证得得到，再利用即可求解． 【详解】如图， 连接 OA， 过点 作 轴于点 ， ． 易证 ， ， ， ． 故答案为：36． 10．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则 ． 【答案】8 【分析】过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，根据，得出，根据，得出，求出A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2，证明，根据平行线分线段成比例，得出，得出，设，则，求出，根据两个点在反比例函数图像上，得出，求出m的值，得出答案即可． 【详解】解：过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，如图所示： ∵点C在x轴上，坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点A、D均在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质．设，先求出，，则，，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，连接，由矩形的性质可得O、B、M三点共线，且，则可得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ∵点M为矩形的对称中心， ∴O、B、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：6． 13．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了梯形的面积，矩形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论； （2）由（1）知；求得，过点C作于H，则四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设点， 轴，轴， 四边形的面积为，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知； ， ， 过点C作于H，则四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 14．如图，双曲线与的斜边交于点A，与交于点D，若，，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．过点A作轴于点E，设，首先通过相似三角形的性质得出的长度，进而求出D点的坐标，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，    设，则， ∵， ， ， ， ， ， ∴D点的横坐标为， 则纵坐标为， ， ， ， ． 15．如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D． (1)若，求直线的解析式； (2)若的面积为4，求 k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求解函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． （1）先求出B的坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）先根据题意得到，再求出，，再根据三角形面积求出B点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上，， ，解得 ，      设直线的解析式为，将A，B 的坐标分别代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为． （2）根据题意，可得，      轴，， ，， ，     ，即， ． 题型二、已知比例系数求规则图形面积 16．如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点， ， 设，则， 则， ，， 四边形面积， 故选：C． 17．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解并掌握系数k的几何意义是解决本题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴， ∴ ． 故选A． 18．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 19．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，已知比例系数求特殊图形的面积，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先设，再求得，从而可求得，，再分别用表示出与，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与过原点的直线交于点A， ∴设， ∵延长至点B使得， ∴点A为的中点， ∴， ∵轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 20．如图，直线交y轴于点C，与双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），Q为线段上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接，设的面积为、的面积为、的面积为，则有（　　） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由于点A在上，可知，又由于点P在双曲线的上方，可知，而Q在双曲线的下方，可得，进而可比较三个三角形面积的大小． 【详解】解：如图， ∵点A在上， ∴， ∵点P在双曲线上方， ∴， ∵Q在双曲线下方， ∴， ∴． 故选：B． 21．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，由反比例函数的系数的几何意义可得，，进而根据解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故选：B． 22．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与图形面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，设出两个等腰直角三角形的边长，表示出点的坐标，代入反比例函数的关系式，得到两个边长之间的关系，表示两个等腰直角三角形的面积，利用整体代入即可求出面积差． 【详解】解：设，，则，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴，即， ∴． 故选：D． 23．点是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过作轴于点，连接．在上取点，使得，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的面积；根据三角形的中线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，点是反比例函数第一象限图象上的一个动点， ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 24．如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，矩形的判定与性质等知识点． 连接，过点作轴于点，则四边形是矩形，由反比例函数k的几何意义得到，那么，最后由求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 26．如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数（）中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积． 设，由在得（矩形面积）；、在上，用的几何意义得、面积均为；矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：设（）． ∵ 在上， ∴ ，即（矩形面积为）． ∵ 在上且在上，横坐标为，纵坐标为， ∴ 面积． 同理，在上且在上，面积 ∴ 四边形面积． 故答案为：． 27．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的延长线交轴于点，连接交双曲线于点，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，综合运用以上知识点是解题的关键；连接，作 轴于点，轴于点，轴于点，设 ，证明，可得，，进而求得，证明可得，则，即可得解． 【详解】如图，连接，作 轴于点，轴于点，轴于点， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 把代入得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， 又， ． 故答案为：． 28．如图，双曲线与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的性质，直角坐标系中三角形面积的表示方法，注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数．设，根据题意得，由点F在双曲线上，得，即，E、B两点纵坐标相等，且E点在双曲线上，则，再根据求解． 【详解】解：如图，设点B的坐标为，则点的坐标为． 点在双曲线上， ，解得 点在双曲线上，且纵坐标为， 点的坐标为． 则 ． 29．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 30．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 31．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线上的一个动点，轴于点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会（   ） A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，得到四边形的面积是解题的关键．设点P的坐标为，得到四边形的面积 ，证明当时，随着的增大而减小即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵轴于点，点A是x轴正半轴上的一个定点， ∴四边形是个直角梯形， ∴四边形的面积 ∵是定值， ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，随着的增大而减小， 即随着点P的横坐标逐渐增大时四边形的面积逐渐减小． 故选：C． 32．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 33．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 34．如图，在反比例函数的图象上，有点它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，，…，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为……，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 35．如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了反比例函数主要考查了反比例函数中的几何意义，四边形的面积为矩形的面积减去三角形与三角形的面积，根据反比例函数中的几何意义，其面积为． 【详解】解：根据题意可得四边形的面积， 由反比例函数中的几何意义，可知其面积为． 故选：A． 36．如图，点A是反比例函数在第一象限的图象上的一点，过点A作轴于点B．连结，以点A为圆心，分别以为半径作直角扇形和，并连接，则阴影部分面积的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质及三角形和扇形的面积计算，过点D作垂直于的延长线于点E，先判定，再由点A是反比例函数在第一象限的图象上的一点，可得，然后由计算，结合完全平方公式可得答案，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作垂直于的延长线于点E，则， 由题意可知， 轴， ， ，， ， 又∵ ， ， ∵点A是反比例函数在第一象限的图象上的一点， ， ， ， ， ， ， ∴ 故答案为：． 37．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 38．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 39．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 40．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 41．如图，反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，．连接，，，，的面积分别为，． (1)直接写出的取值范围，并探究与之间的关系． (2)当时， ①求k的值及点，的坐标； ②试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)， (2)①，，；②是直角三角形， 【分析】（）由反比例函数图象在第二象限可知；结合矩形边长及函数在第二象限的取值，确定的范围．依据反比例函 数的几何意义，分析与的关系． （）①利用及，结合三角形面积公式求出相关线段长度，进而确定的值和、的坐标． ②通过勾股定理求出、、，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再根据直角三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴ 当时，， 由图可知，即， 解得： ∴． ∵反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点， ∴，， ∴． （2）①当时， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ②是直角三角形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，以及反比例函数系数k的几何意义，图形与坐标，熟记反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 42．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 43．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求，，的值； (2)点是（）的图象上一点，抽交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入，即可求得，将代入，即可求得的值，进而得到点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得的值； （2）由题意可设，所以，又的面积小于四边形的面积，所以，结合，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：在上， ， ， ， 在上， ， ， 在上， ，即，，； （2）解：由题意可设， ， ， ， ， ． 44．如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． (1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； (2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 【答案】(1)4，8 (2)不变，8 【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得； （2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： ∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上， ∴点， ∵平行y轴，平行y轴， ∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2， ∴四边形是矩形，四边形是梯形， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：， ， ∴， 故答案为：4；8； （2）解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下： 设点P的坐标为， 则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， 同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形， 则，，，， ∴， ∴， 由（1）可知：． 45．如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2)      【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意知：，将点坐标代入反比例函数解析式求出，即可解答； （2）将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求出的值； 根据反比例系数的几何意义得，，再根据图形得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， 将点代入，得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得：； 点、在反比例函数上， 根据反比例系数的几何意义得：，，即， 设与交点为，如图所示： ，， ， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $