专题01 反比例函数的图象、性质与应用12大题型（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题01 反比例函数的图象、性质与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数的基本概念 1 题型二、反比例函数的图象 2 题型三、求反比例函数解析式 3 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 5 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 6 题型六、反比例函数的增减性求参数 8 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 8 题型八、反比例函数的k值 8 题型九、一次函数与反比例函数结合 9 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 11 题型十一、反比例函数的实际应用 11 题型十二、反比例函数与几何综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数的基本概念 1．有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 3．点在反比例函数的图象上，与x轴的正半轴所夹的角为，则的值为 ． 4．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 题型二、反比例函数的图象 5．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 6．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 7．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 8．小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 题型三、求反比例函数解析式 9．如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 11．将反比例函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得新图象的函数解析式为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 13．若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 15．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 16．已知反比例函数的图象的左支如图6-3所示，它经过点． (1)判断k是正数还是负数． (2)求这个反比例函数的表达式． (3)补画这个反比例函数图象的另一支． 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 17．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 18．已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 20．已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 题型六、反比例函数的增减性求参数 21．反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知反比例函数，当时，y的最小值为 ． 23．已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 24．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 25．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 26．已知点是反比例函数图象上的两点，若，则有（  ） A． B． C． D． 27．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则 ．（填“”“”或“”）． 28．反比例函数 的图象的一支曲线如图所示，根据图象回答下列问题： (1)这个函数图象的另一支曲线位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支曲线上任取两点和，如果 比较，的大小． 题型八、反比例函数的k值 29．如图，这是反比例函数在第一象限内的图像．若的面积是2，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 30．如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 31．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为 32．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 题型九、一次函数与反比例函数结合 33．如图，反比例函数的图象与过点，的直线在第一象限相交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式． (2)是轴正半轴上一点，连接，当时，求点的坐标． 34．如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)直接写出关于x的不等式组的解集． 35．如图，一次函数(k为常数，)的图象与反比例函数(m为常数，)的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直接写出关于 x 的不等式 ． (3)点P在x轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 36．如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 37．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 38．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ (1)在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． (2)借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． (3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 39．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 40．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 题型十一、反比例函数的实际应用 41．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 42．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 43．为预防流感，对教室进行药熏消毒．一瓶药物在释放过程中，一间教室内每立方米空气中含药量（毫克）与时间（分钟）之间满足正比例函数关系；已知一间教室内一瓶药物打开后10分钟释放完毕，此时圈舍内每立方米的空气中含药量为30毫克，药物释放完后，与之间满足反比例函数关系． (1)分别求当和时，与之间满足的函数关系式； (2)请补全函数图象； (3)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于15毫克时，消毒才有效．根据函数图象，你知道这次熏药的有效消毒时间大约是多少分钟？ 44．【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 题型十二、反比例函数与几何综合 45．如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． (1)若，求F点坐标； (2)若，求反比例函数的解析式． 46．一次函数与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一点． (1)求出一次函数的表达式； (2)求的面积． 47．如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点B，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，当时，求y的取值范围． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于点和，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出使的x取值范围； (3)是x正半轴上的一个动点，作轴，交反比例函数图象于点N，当时，求出m的取值范围． 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）题目：已知正比例函数与反比例函数．对于实数m，当时，；当时，，求m的取值范围．甲答：；乙答：；丙答：，下列判断正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 2．（2025·河北·一模）有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：）与宽x（单位：）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 4．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 6．（2024·河北·模拟预测）如图，点，点是线段的两个端点，其中．双曲线经过点，并交线段于点 P． （1） ； （2）若，则m的值为 ． 7．（2025·河北保定·模拟预测）如图，平面直角坐标系的第二象限内有一正六边形，点，点．我们将正六边形内部或边上横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，反比例函数的图象记为l．若l两侧“好点”的个数相同，则k的取值范围为 ． 8．（2025·河北张家口·二模）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，的取值范围． 10．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知函数，函数（，，b是常数，且）． (1)若函数和函数的图象交于点和点． ①求函数，的解析式； ②若O为平面直角坐标系的原点，直接写出的面积； (2)若点在函数的图象上，将点C先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的图象、性质与应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数的基本概念 1 题型二、反比例函数的图象 2 题型三、求反比例函数解析式 3 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 5 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 6 题型六、反比例函数的增减性求参数 8 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 8 题型八、反比例函数的k值 8 题型九、一次函数与反比例函数结合 9 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 11 题型十一、反比例函数的实际应用 11 题型十二、反比例函数与几何综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数的基本概念 1．有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例函数或，解答即可． 【详解】解：①是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④是反比例函数； ⑤不是反比例函数； ⑥不是反比例函数； 故是的反比例函数的有3个， 故选：C． 2．若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 3．点在反比例函数的图象上，与x轴的正半轴所夹的角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，求反比例函数的函数值，过点P作轴于Q，连接，求出点P的坐标得到的长，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作轴于Q，连接， 在中，当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 【答案】(1)， (2)栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 题型二、反比例函数的图象 5．小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 6．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【答案】(1) 4， (2)． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 7．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 1 2 4 2 1 ，见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】解： 1 2 4 2 1 8．小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】(1)①，③见详解 (2)①减小，② (3)①向右平移1个单位；②向左平移个单位 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：减小，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象 题型三、求反比例函数解析式 9．如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数（为常数，）中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为．设点的坐标为，因为点在反比例函数上，所以，由图可知，阴影部分矩形的面积为，又因为反比例函数的图象在第二、四象限，所以，则，所以反比例函数的解析式为． 【详解】解：设点坐标为，因为点在第二象限， ，所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为， 又由， ， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 故选：B． 10．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，过点C作轴于D，根据题意求得菱形的边长为6，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式， 【详解】解：过点C作轴于D， ∵点， ∴菱形的边长为6， ∵在菱形中，， ∴， 在中，，， 则， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， 故选：D． 11．将反比例函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得新图象的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移规律． 根据“左加右减自变量，上加下减函数值”作答即可． 【详解】解：向右平移2个单位：， 向上平移1个单位：， ∴新函数解析式为：． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为； (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象过，， ，， ，， 点坐标为两点点坐标为两点， 把代入，求得， 反比例函数为； （2）解：观察图象，若，则的取值范围是或． 题型四、由反比例函数图形的对称性求坐标 13．若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 14．如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 15．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 16．已知反比例函数的图象的左支如图6-3所示，它经过点． (1)判断k是正数还是负数． (2)求这个反比例函数的表达式． (3)补画这个反比例函数图象的另一支． 【答案】(1)负数 (2) (3)见解析 【分析】（1）由图像上的点第二象限，可以判断k的取值； （2）把点B的坐标代入解析式，求k的值，写出解析式； （3）利用图像的对称性，取四个点，找到它们的中心对称点，用平滑曲线作出另一分支． 【详解】（1）因为反比例函数的图象的一支在第二象限，所以图象上的点的横坐标与纵坐标异号，即． （2）将图象上点B的横坐标，纵坐标2分别代入表达式，得，解得． 所以所求的反比例函数的表达式是． （3）在已知图象上分别取一些点作出它们关于原点中心对称的点，然后用光滑曲线把它们依次连结，这样就得到反比例函数的图象中的另一分支． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． 题型五、已知双曲线分布的象限求参数范围 17．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：对于，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 故选：A． 18．已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，， ∴， ∴， 故选：C． 19．已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义以及其性质，掌握这些是解题的关键． 根据反比例函数定义以及图象位置建立关于m的方程和不等式，求解后代回解析式即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， 所以表达式为：． 故答案为：． 20．已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的图像经过第一、三象限可得，由此即可得； （2）根据反比例函数的增减性可得，再结合即可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． （2）解：对于反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∵这个函数的图像经过第一象限内的两点、且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． 题型六、反比例函数的增减性求参数 21．反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 22．已知反比例函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到双曲线过二，四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，故当时，y取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y的最小值为， 故答案为：． 23．已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； （2）解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 24．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 题型七、比较反比例函数值或自变量的大小 25．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求出，，的值，然后进行判断，即可得到答案．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知“反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式”是解答此题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图象上， 则当时，； 当时，； 当时，； ∴； 故答案为：C． 26．已知点是反比例函数图象上的两点，若，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．的图象在二、四象限，因为，A在第四象限，B在第二象限，所以． 【详解】解：∵图象在二、四象限， 且， ∴A在第四象限，B在第二象限， ∴， 故选：D． 27．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则 ．（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴ ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴都在第四象限， ∴． 故答案为：． 28．反比例函数 的图象的一支曲线如图所示，根据图象回答下列问题： (1)这个函数图象的另一支曲线位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支曲线上任取两点和，如果 比较，的大小． 【答案】(1)第二象限， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据反比例函数图象的性质可得，反比例函数图象在第二、四象限，即可得，求解即可． （2）利用反比例函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象的一支曲线位于第二象限， ∴由反比例函数图象的性质可知，则另一支曲线一定位于第四象限， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴比例系数， 即． （2）解：∵， ∴在反比例函数图象的每一个分支上，随的增大而增大， ∵点在同一分支上，且， ∴． 题型八、反比例函数的k值 29．如图，这是反比例函数在第一象限内的图像．若的面积是2，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据的面积是2，即可解答，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：的面积, ， 点是反比例函数在第一象限内的图像上的点． 故， 故选：C． 30．如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数与图形面积之间的关系是解题的关键．延长交轴于点，则四边形和是矩形，由点B在双曲线上，可得矩形的面积是3，进而求出矩形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义得到，再结合反比例函数经过的象限即可确定k的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 则四边形和是矩形， ∵点B在双曲线上， ∴矩形的面积， ∵矩形的面积是9， ∴矩形的面积， ∵点A在双曲线（）上， ∴， 解得：， 由图象得，双曲线经过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 31．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得长方的形面积为．根据反比例函数的中心对称特点可知的面积是，据此列式计算求解即可． 【详解】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称， 的面积等于两个三角形加上一个长方形的面积和， 则的面积， 又， ∴． 故答案为：2． 32．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值，把点的坐标代入即可求得的值，从而求得反比例和一次函数的解析式； （2）利用两个函数的解析式求得、的坐标，进一步即可求得的长度； （3）通过三角形面积公式即可求解． 本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数为． （2） ∵过作轴，交过点的一次函数的图象于点， ∴当时；， ∴，， ∴． （3） ∵， ∴， ∴． 题型九、一次函数与反比例函数结合 33．如图，反比例函数的图象与过点，的直线在第一象限相交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式． (2)是轴正半轴上一点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，设，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把，分别代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴于点， ∵， ∴． 设， ∵点是轴正半轴上一点， ∴， ∴，即． 解得． ∴点的坐标为． 34．如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)直接写出关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将A、B两点分别代入一次函数（m，n为常数，）与反比例函数中，即可求出； （2）先求出与x轴的交点坐标，再结合图象即可求得． 【详解】（1）解：因为点在反比例函数的图象上， 所以，    因为一次函数的图象过，两点，     所以     解得； （2）解：由（1）可知一次函数的表达式为， ∴与x轴的交点为， ∵，， 由图象可知x的不等式的解集为或． 35．如图，一次函数(k为常数，)的图象与反比例函数(m为常数，)的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直接写出关于 x 的不等式 ． (3)点P在x轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数图象与不等式的关系及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“点在函数图象上则横纵坐标满足函数解析式”求参数，结合函数图象位置分析不等式，依据等腰三角形“腰相等”的性质计算点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求，得一次函数解析式；再将点代入一次函数求，最后将代入反比例函数求，得反比例函数解析式； （2）结合两函数在第一象限的交点，观察图象确定一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值； （3）先计算的长度，分和两种情况，利用两点间距离公式或对称性求点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∵点在一次函数上， ∴，即． 又∵在反比例函数上 ∴，解得． ∴反比例函数解析式为； （2）解：由两函数图象可知，在第一象限交点为，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 故不等式的解集为； （3）解：先算的长度； ①当时 ∵，， ∴点在轴上，． 若在左侧：，即； 若在右侧：，即； ②当时， ∵，，在轴上， 设，则， 解得或（为点，舍去），即； 故点的坐标为、、． 36．如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，反比例函数的几何意义，解决问题的关键是熟练利用反比例函数的几何意义． （1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数图象的交点分别为，，且点的坐标为，将点的坐标代入得： ， 解得：， ， 将点的坐标代入反比例函数得： ， 解得：； （2）解：过点作轴，如图， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点、在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点在点的右侧， ， ． 题型十、一次函数与反比例函数的实际应用 37．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 38．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ (1)在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． (2)借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． (3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)可以喝到不超过50C°的水，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据表格描点、连线即可； （2）根据图象可得：在加热过程中，y是x的一次函数，经过点的坐标为，；降温过程中，y是x的反比例函数，经过点；然后利用待定系数法求出两个函数解析式； （3）先求出上午之间有85分钟，是3个周期多15分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）在加热过程中，y是x的一次函数； 设一次函数关系式为：， 将（代入，得 解得． ∴， 降温过程中，y是x的反比例函数；设关系为，将点代入得， ． ∴ （3）上午之间有85分钟，， 15位于时间段内， 把代入，可得． 所以8：25分时同学们可以喝到不超过50C°的水． 39．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 40．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 题型十一、反比例函数的实际应用 41．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系； (2)能达到；理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出函数关系式和分式方程，是解题的关键： （1）观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系． 设与之间的函数表达式为， 当时， ． 把其余各组对应值代入上式均成立，故与之间的函数表达式为； （2）能达到800元． 理由：依题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 答：当售价为9元/千克时，超市销售草莓的日利润可达到800元． 42．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即，即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温等于的时间加热过程中水温等于的时间即为加热一次水温不低于的时长，其中降温过程中水温等于的时间利用（2）中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 43．为预防流感，对教室进行药熏消毒．一瓶药物在释放过程中，一间教室内每立方米空气中含药量（毫克）与时间（分钟）之间满足正比例函数关系；已知一间教室内一瓶药物打开后10分钟释放完毕，此时圈舍内每立方米的空气中含药量为30毫克，药物释放完后，与之间满足反比例函数关系． (1)分别求当和时，与之间满足的函数关系式； (2)请补全函数图象； (3)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于15毫克时，消毒才有效．根据函数图象，你知道这次熏药的有效消毒时间大约是多少分钟？ 【答案】(1)； (2)见解析 (3)15分钟 【分析】（1）分别根据正比例函数，反比例函数的解析式特点，用待定系数法解答即可； （2）根据描点法画图象解答即可； （3）根据时，求得两个函数的自变量的值，它们的差即为有效时间． 本题考查了待定系数法，描点法化图象，有效时间计算，熟练掌握待定系数法，有效时间计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 故． 当时，设反比例函数的解析式为， 根据题意，得反比例函数经过点， 故， 解得， 故反比例函数解析式为． （2）解：由， 当时，即过点； 当时，即过点； 当时，即过点； 画图象如下： （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故有效时间是（分钟）． 44．【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 【答案】(1)；或； (2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可解答； （2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解； ②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解； ③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：反比例函数 ，， 函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，y的取值范围是； 当时，， 当时，x的取值范围是或； 故答案为：；或； （2）解：①设 将，代入， 得， 解得， ∴； ②设销售利润为，则 依题意得，， ∵， ∴在时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元． ③∵降雪量为毫米， ∴原售价为44元， ∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋； 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则 依题意得，， 解得， 答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 题型十二、反比例函数与几何综合 45．如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． (1)若，求F点坐标； (2)若，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出,由反比例函数的图象经过点E即可求出答案； （2）求出F点坐标为，由反比例函数的图象与交于点F即可求出答案． 【详解】（1）解：∵E是的中点， 的长分别为8． ∴， ∵, ∴, ∵反比例函数的图象经过点E， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入得到， ∴F点坐标为； （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点坐标为； ∵反比例函数的图象与交于点F． ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 46．一次函数与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一点． (1)求出一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用反比例函数求出点的坐标，进而利用待定系数法解答即可求解； （）设直线与轴相交于点，求出点坐标，再根据解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设直线与轴相交于点， 把代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 47．如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点B，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的特征． （1）根据矩形的性质可得，再代入，即可求解； （2）根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，再分别求出当和时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，∵，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∵点在反比例函数图象上， ∴当时，． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于点和，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出使的x取值范围； (3)是x正半轴上的一个动点，作轴，交反比例函数图象于点N，当时，求出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键． （1）把点代入得，求得点，把点代入即可得到结论； （2）把代入得到，根据函数的图象即可得到结论； （3）根据，轴，交反比例函数图象于点N，得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵把点代入得， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ∴的x取值范围为或； （3）解：∵，轴，交反比例函数图象于点N， ∴，， 在中，令，则， ∴， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）题目：已知正比例函数与反比例函数．对于实数m，当时，；当时，，求m的取值范围．甲答：；乙答：；丙答：，下列判断正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、一元一次不等式组的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先求出两个函数的交点坐标为，，再画出大致函数图象，结合函数图象可得当或时，；当或时，；然后结合函数图象建立不等式组，解不等式组求解即可得． 【详解】解：联立，解得或， 即正比例函数与反比例函数的交点坐标为，， 画出大致图象如下： 由函数图象可知，当或时，；当或时，， ∵对于实数，当时，；当时，， ∴或， 解得或， 故选：B． 2．（2025·河北·一模）有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：）与宽x（单位：）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数图象上坐标的特征是解题的关键．设四个点的坐标分别为甲，，乙，，丙，，丁，，对应四块试验田的面积分别为、、、．过点丙作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，设，，对应的面积为．通过比较坐标的大小，利用矩形的面积公式及反比例函数图象上坐标的特征比较、、、的大小即可． 【详解】解：设四个点的坐标分别为甲，，乙，，丙，，丁，，对应四块试验田的面积分别为、、、．过点丙作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，设，，对应的面积为． 表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ， ， ，， ， ， 点与点甲、丁在同一反比例函数的图象上， ， ， ，， ， ， ， 面积最大的试验田是丙． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，反比例函数的性质，先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设使用蓄电池时，电流与电阻的解析式为， 根据图象可得：， ∴电流与电阻的解析式为， ∴、该蓄电池的电压为，原说法正确，不符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 、当电阻越大时，蓄电池的电流越小，原说法错误，符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 故选：． 4．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由代入求出k值，故①符合题意；和、分别交于M和N两点，利用k的几何意义可得，故②符合题意；根据的最小值逐渐趋向于的长度，故③不符合题意；向右平移的过程中与是矩形的对角线与边的夹角，即判断④解答即可． 【详解】解：①∵A，， ∴， ∵矩形的顶点B在函数的图象上， ∴，故①正确； ②和、分别交于M和N两点， ∵点B、点D在函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③随着线段向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以的最小值逐渐趋向于的长度，故③错误； ④向右平移的过程中与变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式是：，设A点的坐标是，轴于点， 则 ∵的面积为8， ，即， ∴，则， 则这个反比例函数的表达式为：． 故答案为：． 6．（2024·河北·模拟预测）如图，点，点是线段的两个端点，其中．双曲线经过点，并交线段于点 P． （1） ； （2）若，则m的值为 ． 【答案】 12 4 【分析】本题考查了求反比例函数，反比例函数与几何图形，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入函数解析式即可解答； （2）根据可得点是的中点，即可解答． 【详解】解：（1）把点代入可得， 解得； 故答案为：； （2）， ，即， ， 故答案为：． 7．（2025·河北保定·模拟预测）如图，平面直角坐标系的第二象限内有一正六边形，点，点．我们将正六边形内部或边上横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，反比例函数的图象记为l．若l两侧“好点”的个数相同，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正六边形的性质等，画出所有符合条件的“好点”是解答本题的关键．先根据正六边形的性质确定所有顶点的坐标，然后在正六边形中画出所有符合条件的“好点”，然后根据反比例函数两侧“好点”数量相同，即可确定出反比例函数k值的取值范围． 【详解】解：连接，作于，如图所示： 多边形是正六边形， ，其内角和为， ， ，，， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 利用水平平移可得，， 利用到的平移方式和到的平移方式相同，都是水平向左平移个单位长度，竖直向下平移个单位长度， 则， ∴正六边形内部或边上共有10个“好点”，如图所示． 从图中，可以看出反比例函数图象通过两点和， 反比例函数图象通过两点和， 当反比例函数图象在和之间时，两侧各有5个“好点”． 故k的范围为：． 故答案为：． 8．（2025·河北张家口·二模）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由图可得，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，进而求解即可． 【详解】解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为， ∴、、、、、， 如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止， ， ∴k取3，4，5，6， ∴k的整数值有4个， 故答案为：4． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)反比例函数表达式和一次函数表达式． (2) (3)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数， 将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴， 将点，分别代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数； 答：反比例函数表达式和一次函数表达式． （2）令直线交x轴于点M，如图 将代入，得 ， 解得， ∴， ∵，， ∴． （3）由图像及，，可知，当或时，． 10．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知函数，函数（，，b是常数，且）． (1)若函数和函数的图象交于点和点． ①求函数，的解析式； ②若O为平面直角坐标系的原点，直接写出的面积； (2)若点在函数的图象上，将点C先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】(1)①，；②4 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）①把点B坐标代入函数解析式中求出函数解析式，进而求出点A坐标，再把点A和点B的坐标代入函数解析式中求出函数的解析式即可；②求出函数与y轴的交点H的坐标，根据计算求解即可； （2）可求出，进而求出点D的坐标为，根据点在函数的图象上，得到，解得，则． 【详解】（1）解：①∵函数和函数的图象交于点和点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把点A和点B的坐标代入中， 得， ∴， ∴函数的解析式为； ②如图所示，设函数与y轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∵点在函数的图象上， ∴， ∴； ∵将点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得点D， ∴点D的坐标为，即， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $