专题05 反比例函数（期中复习讲义）（知识必备+8大核心题型+分层验收）九年级数学上学期冀教版

专题05 反比例函数 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数定义及解析式 能判断定义、求值与取值范围 易错漏，小题常考 反比例函数图象与性质 能据判象限、述增减规律 易错漏“每个象限”，多题型考 反比例函数实际应用 能用待定系数法求解析式 易错忽实际限制，解答题常考 知识点01 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是，故函数图象与轴、轴无交点； （2）可以写成()的形式，自变量的指数是，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点02 反比例函数的图像和性质 1.反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是双曲线 图象 性质 （1）图象分别位于第一、三象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而减小 （1）图象分别位于第二、四象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而增大 对称性 反比例的图像关于原点的对称 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交 知识点03 实际问题与反比例函数 1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． 2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． 题型一 反比例函数的定义 【例1】下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】若函数是反比例函数，则m的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【变式1-1】在下列函数表达式中，有（    ）个是的反比例函数． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【变式1-3】若是反比例函数，则的值为 ． 题型二 待定系数法求解析式 【例3】已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 【例4】已知变量y与x成反比例，当时，；那么当时，x的值是（   ） A．6 B． C．9 D． 【变式2-1】已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则y和x之间的函数解析式为 ． 【变式2-2】反比例函数的图像经过点，则这个函数的表达式为 ． 【变式2-3】如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． (1)若，求F点坐标； (2)若，求反比例函数的解析式． 解｜题｜技｜巧 求反比例函数解析式用待定系数法，核心是先明确其形式为；接着找已知条件求，若给图像上一点坐标，直接代入得，若给与相关的条件（如面积），则先通过条件算（注意的正负）；最后将求出的代入解析式即可。 题型三 反比例函数的图象的判断问题 【例5】如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为(　　) A． B． C． ` D． 【例6】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知关于的一元二次方程没有实数根，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 题型四 反比例函数的增减性问题 【例7】反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8】若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【变式4-1】已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 【变式4-2】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式4-3】已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 题型五 图形面积与比例系数 【例9】如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例10】如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 【变式5-3】如图，的顶点A是直线与双曲线在第一象限内的交点．已知的面积为3，则一次函数的解析式为 ． 解｜题｜技｜巧 先判断图形类型（矩形、直角三角形或由它们组合的图形），再通过已知面积列关于的等式，结合函数图像所在象限确定的正负，最后求出值；若图形是组合图形，可拆分或补全为上述基本图形后计算。 题型六 一次函数与反比例函数的交点问题 【例11】如图，直线交双曲线于，两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例12】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 【变式6-1】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为，则B点的坐标为 ． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 的图象上，点B在x轴上．将线段向左平移一定距离后，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，点B 的对应点为点 D，且直线的解析式为． (1)若，求的长； (2)若四边形的面积是8，求直线的解析式． 【变式6-3】如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)直接写出关于x的不等式组的解集． 题型七 反比例函数的应用 【例13】在综合实践课上，小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积的关系．经测定，当时，，则P与S之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例14】如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【变式7-1】某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【变式7-2】1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【变式7-3】为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的正比例函数：；药物释放完毕后，是的反比例函数，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟? 题型八 反比例函数的存在性问题 【例15】已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【例16】如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且，）的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数（k为常数，且，）的解析式； (2)在y轴上是否存在一点C，使得的值为6？若存在，请求出C点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式8-1】如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小，则关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．在反比例函数中，若，则x的取值范围为 . 5．若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为 6．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．求h关于的函数解析式 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 9．在平面直角坐标系中，将按如图所示的方式放置，已知，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移m（）个单位长度后得到． (1)直接写出D，F两点的坐标（用含m的代数式表示）． (2)若点D，F均落在反比例函数的图像上，求m的值及反比例函数的解析式． 10．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点B的坐标为 ，则反比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ． 4．2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 5．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C可缓解夜盲症、维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为元/kg，在销售过程中发现，日销售量（单位：kg）随售价（单位：元/kg）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元/kg） … 日销量（单位：kg） … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到元？说明理由． 6．如图1，直线与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将沿直线翻折，点O落在第一象限内的点E处，与反比例函数的图像交于点F，请求出点F的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数定义及解析式 能判断定义、求值与取值范围 易错漏，小题常考 反比例函数图象与性质 能据判象限、述增减规律 易错漏“每个象限”，多题型考 反比例函数实际应用 能用待定系数法求解析式 易错忽实际限制，解答题常考 知识点01 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是，故函数图象与轴、轴无交点； （2）可以写成()的形式，自变量的指数是，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点02 反比例函数的图像和性质 1.反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是双曲线 图象 性质 （1）图象分别位于第一、三象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而减小 （1）图象分别位于第二、四象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而增大 对称性 反比例的图像关于原点的对称 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交 知识点03 实际问题与反比例函数 1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． 2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． 题型一 反比例函数的定义 【例1】下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，均是一次函数，是反比例函数， 故选：B． 【例2】若函数是反比例函数，则m的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 【变式1-1】在下列函数表达式中，有（    ）个是的反比例函数． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】满足反比例函数形式，是反比例函数； ，不满足反比例函数形式，不是反比例函数； 是正比例函数，不是反比例函数； ，是的反比例函数，不符合题意； ，满足反比例函数形式，是反比例函数； 所以有2个是的反比例函数． 故选：A． 【变式1-2】已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【详解】解：根据反比例函数的定义可得， 解得． 故选C． 【变式1-3】若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得， 故答案为：． 题型二 待定系数法求解析式 【例3】已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 【答案】C 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 把，代入， 得， 即， 将代入， 得：， 所以空格中所表示的数是， 故选：C． 【例4】已知变量y与x成反比例，当时，；那么当时，x的值是（   ） A．6 B． C．9 D． 【答案】B 【详解】解：设， ∵当时，， ∴， ∴， 当时，则， 故选：B 【变式2-1】已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则y和x之间的函数解析式为 ． 【答案】 【详解】解：设，， ∴， ∵函数的图像经过点、， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 【变式2-2】反比例函数的图像经过点，则这个函数的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意可知，函数图像经过点， ∴，得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 【变式2-3】如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． (1)若，求F点坐标； (2)若，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵E是的中点， 的长分别为8． ∴， ∵, ∴, ∵反比例函数的图象经过点E， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入得到， ∴F点坐标为； （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点坐标为； ∵反比例函数的图象与交于点F． ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 解｜题｜技｜巧 求反比例函数解析式用待定系数法，核心是先明确其形式为；接着找已知条件求，若给图像上一点坐标，直接代入得，若给与相关的条件（如面积），则先通过条件算（注意的正负）；最后将求出的代入解析式即可。 题型三 反比例函数的图象的判断问题 【例5】如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵ ∴ 即， 解得 ∵点在直线上方运动 ∴， ∴ ∴与之间的函数关系为， 故选：B． 【例6】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 【变式3-1】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 【变式3-2】定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 【变式3-3】已知关于的一元二次方程没有实数根，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴当时，的函数图像位于第四象限； 当时，的函数图像位于第三象限； ∴函数的图像位于三、四象限， 故选：A． 题型四 反比例函数的增减性问题 【例7】反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 【例8】若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 即； 又∵ ∴在图象的每一支上，随的增大而减小． 故答案为：减小． 【变式4-1】已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．随的增大而增大 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、当时，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：已知反比例函数，根据反比例函数的性质：当时，函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小． 点和的横坐标分别为2和3，均为正数，因此两点都在第一象限． 因为，且在第一象限内y随x的增大而减小，所以． 故答案为：． 题型五 图形面积与比例系数 【例9】如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点坐标为，因为点在第二象限， ，所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为， 又由， ， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 故选：B． 【例10】如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点， ， 设，则， 则， ，， 四边形面积， 故选：C． 【变式5-1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故选：B． 【变式5-2】如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 【答案】B 【详解】解：的面积等于5， ， ， ， ； 又反比例函数的图象的一支位于第一象限， ． ． 故选：B． 【变式5-3】如图，的顶点A是直线与双曲线在第一象限内的交点．已知的面积为3，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】解： 的面积为3， ，即， 双曲线在第一象限， ， 则一次函数的解析式为， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 先判断图形类型（矩形、直角三角形或由它们组合的图形），再通过已知面积列关于的等式，结合函数图像所在象限确定的正负，最后求出值；若图形是组合图形，可拆分或补全为上述基本图形后计算。 题型六 一次函数与反比例函数的交点问题 【例11】如图，直线交双曲线于，两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线交轴于点， 当时，， ， 过点作轴的垂线，交双曲线于点， 当时，即， 解得， ， 直线交双曲线于，两点， ，解得，， ，， ． 故选：C． 【例12】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得： 当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 【变式6-1】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为，则B点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都是关于原点中心对称的图形， 它们的交点、关于原点对称， ， ∴B点的坐标为， 故答案为：． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 的图象上，点B在x轴上．将线段向左平移一定距离后，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，点B 的对应点为点 D，且直线的解析式为． (1)若，求的长； (2)若四边形的面积是8，求直线的解析式． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：由平移可得轴， ∴ 四边形为平行四边形． ∵点在反比例函数 的图象上， ∴， 解得， ∴， 由平移可知，点的纵坐标为， ∵，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点 C 的横坐标为，即点． ∴； （2）∵四边形的面积是8，点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 由平移可得点C的纵坐标为2， ∴点的坐标为． 将代入， 得，解得． ∴直线的解析式为． 【变式6-3】如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)直接写出关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）解：因为点在反比例函数的图象上， 所以，    因为一次函数的图象过，两点，     所以     解得； （2）解：由（1）可知一次函数的表达式为， ∴与x轴的交点为， ∵，， 由图象可知x的不等式的解集为或． 题型七 反比例函数的应用 【例13】在综合实践课上，小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积的关系．经测定，当时，，则P与S之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， ，即， 与的函数关系式为， 当时，， P与S之间的函数图象可能是选项A中的图象． 故选：A． 【例14】如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3） 该容器的体积V为，． 答：氧气的密度为． 【变式7-1】某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【变式7-2】1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】(1) (2)半径为米 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 【变式7-3】为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的正比例函数：；药物释放完毕后，是的反比例函数，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟? 【答案】(1) (2)31.5分钟 【详解】（1）解：设药物释放完毕后，与的反比例函数表达式为． 将代入， 得， 解得， 点坐标为， 将代入， 得， 解得：， 药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； （2）解：当时，； 当时，． （分钟）． 答：有效消毒时间是31.5分钟． 题型八 反比例函数的存在性问题 【例15】已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 【例16】如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且，）的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数（k为常数，且，）的解析式； (2)在y轴上是否存在一点C，使得的值为6？若存在，请求出C点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入中，得，解得， ∴点A的坐标为， 将点，分别代入一次函数中，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：不存在，理由如下： 如图，作点A关于y轴的对称点，连接， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴的值不可能为6． 【变式8-1】如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得，， ∴， ∵在y轴上存在点M，使得为等腰三角形， ∴设， ∴当时， ， ∴， ∴点M的坐标为或； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上可得：点M的坐标为或或或 ． 【变式8-2】如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 设，的面积等于3， ∴， 解得：或，经检验符合题意； ∴或． 【变式8-3】如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足． (1)求，的表达式； (2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点， ， ， ， 的坐标为，， ，，， ， ， 把代入，得：； ， 把，，代入， 得：， 解得：， ； （2）解：存在；理由如下： ，当时， ∴ ， ， 联立，， 解得：或， ， ， ， ， 当时，， ∴； 当时， ∴， 或． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 2．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 故选：A． 3．若反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小，则关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限中的值都随的增大而减小， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．在反比例函数中，若，则x的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：中比例系数大于0， 图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 若，则x的取值范围为， 故答案为：． 5．若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为 【答案】 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 6．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．求h关于的函数解析式 ． 【答案】 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为； (2)或 【详解】（1）解： 一次函数的图象过，， ，， ，， 点坐标为两点点坐标为两点， 把代入，求得， 反比例函数为； （2）解：观察图象，若，则的取值范围是或． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为， ∵将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴． 9．在平面直角坐标系中，将按如图所示的方式放置，已知，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移m（）个单位长度后得到． (1)直接写出D，F两点的坐标（用含m的代数式表示）． (2)若点D，F均落在反比例函数的图像上，求m的值及反比例函数的解析式． 【答案】(1)D，F两点的坐标分别为， (2)， 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将先向右平移2个单位长度，再向上平移m（）个单位长度后得到， ∴点D，F两点的坐标分别为，． （2）∵点D，F均落在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为． 10．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是； （2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致． 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致． 故选：C． 2．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点B的坐标为 ，则反比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点C作轴于D，如图， ∵菱形中，点，， ∴菱形的边长为6，即，， ∴中，，， ∴，， ∴， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， 故选：D． 3．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：四边形为矩形，且点坐标为，为中点， ，点的纵坐标是4， 将点坐标代入，得， 反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ，， ， 故答案为：． 4．2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 【答案】48 【详解】解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 5．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C可缓解夜盲症、维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为元/kg，在销售过程中发现，日销售量（单位：kg）随售价（单位：元/kg）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元/kg） … 日销量（单位：kg） … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到元？说明理由． 【答案】(1)与之间的函数关系为反比例函数， (2)能达到元， 理由见解析 【详解】（1）解：观察表格可知，售价与日销量的乘积为定值， 则与之间的函数关系为反比例函数， 设与之间的函数解析式为， 当时，， ， ， 把其余各组对应值代入上式均成立， 故与之间的函数表达式为； （2）解：能达到元， 理由如下： 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意． 答：当售价为元/kg时，该超市销售草莓的日利润为元． 6．如图1，直线与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将沿直线翻折，点O落在第一象限内的点E处，与反比例函数的图像交于点F，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数y的图像交于点和点， ∴把代入得，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得，； （2）设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，当时，， ∴点，点， ， 是等腰直角三角形， ， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ， ， 把代入中得，， ； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $