专题03 反比例函数章末易错压轴题型16易错+7压轴（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题03 反比例函数章末易错压轴题型（16易错+7压轴） 目录 易错题型一、反比例函数的相关概念 易错题型二、用反比例函数描述数量关系 易错题型三、求反比例函数值 易错题型四、反比例函数的图象 易错题型五、已知反比例函数的图象判断其解析式 易错题型六、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 易错题型七、已知双曲线分布的象限求参数范围 易错题型八、反比例函数的增减性 易错题型九、比较反比例函数值或自变量的大小 易错题型十、已知比例系数求特殊图形的面积 易错题型十一、根据图形面积求比例系数 易错题型十二、求反比例函数解析式 易错题型十三、实际问题与反比例函数 易错题型十四、反比例函数与几何结合的问题 易错题型十五、一次函数与反比例函数交点问题 易错题型十六、一次函数与反比例函数的实际应用 压轴题型一、反比例函数的图象与性质压轴 压轴题型二、反比例函数的k值意义压轴 压轴题型三、反比例函数与一次函数综合 压轴题型四、反比例函数与几何综合 压轴题型五、反比例函数的实际应用压轴 压轴题型六、反比例函数的存在性问题 压轴题型七、反比例函数的新定义问题 易错题型一、反比例函数的相关概念 1．下列各式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的一般形式（）是解题的关键．根据反比例函数的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该函数中，是的正比例函数，故本选项错误； B、该函数中，是的反比例函数，故本选项正确； C、该函数中，当时，不是反比例函数，故本选项错误； D、该函数中，是的一次函数，故本选项错误． 故选：B． 2．已知是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．根据反比例函数的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得或且且， ∴． 故答案为：． 3．已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据反比例函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的正比例函数； （2）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的反比例函数． 易错题型二、用反比例函数描述数量关系 4．下列四个点，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数性质，由题意可知，将选项中的各个点的横、纵坐标相乘验证是否为即可得到答案，熟记反比例函数性质是解决问题的关键． 【详解】解：由反比例函数性质，， A、对于，，不符合题意； B、对于，，不符合题意； C、对于，，符合题意； D、对于，，不符合题意； 故选：C． 5．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 6．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 【答案】(1)， (2)栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 易错题型三、求反比例函数值 7．下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直接将各点的横坐标代入反比例函数的解析式求出对应的纵坐标的值，再比较即可得出答案． 【详解】解：A．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； B．，则不在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； C．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握点的坐标满足反比例函数解析式． 将点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出纵坐标的值． 【详解】解：根据题意：把代入， 得：． 故答案为：6． 9．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 易错题型四、反比例函数的图象 10．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 11．表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【答案】 C B D A 【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∴，故的图象为C； ②∵，即， ∴， ∴的图象为B； ③∵，即， ∴，即， ∴的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键 12．已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质； （1）将横坐标代入解析式中计算得出纵坐标填入表格，再将这些点在坐标系中描出，用光滑的曲线连起来，注意反比例函数的图象为双曲线，分左右两支； （2）在x轴上找到的区域，再通过图象找到对应的y值的部分，即可求解； （3）找到这一条直线，在这一直线下方的部分都是的部分，然后在x轴上找到对应的部分即可. 【详解】（1）解：表格完成如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … 画出函数图象如图所示： （2）解：如图所示： 由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：. （3）解：如图所示： （3）由图象可得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 易错题型五、已知反比例函数的图象判断其解析式 13．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 14．如图所示的是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：读图可知：三个反比例函数的图象在第二象限，故； ，在第一象限；且的图象距原点较远，故有：； 综合可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 15．反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴． 故答案为：． 易错题型六、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 16．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 17．将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数与反比例函数的性质求解即可得； （2）找出正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， 点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． （2）解：不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 所以不等式的解集为或． 易错题型七、已知双曲线分布的象限求参数范围 19．若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象，掌握反比例函数的系数与图象分布关系是解决问题的关键．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象的分支位于第一、三象限， ， ． 故答案为：． 20．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是根据反比例函数图象所在的象限确定比例系数的符号． 明确反比例函数中，当时图象经过第二、四象限；确定题中反比例函数的比例系数为列出关于n的不等式并求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ，解得：， 的取值范围是 21．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 易错题型八、反比例函数的增减性 22．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 23．已知反比例函数，其中，且． (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性结合反比例函数的性质即可得出，再由的取值范围即可得出结论； （2）分反比例函数单调递减和单调递增两种情况考虑，根据最大值与最小值的差是，可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵随的增大而增大， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． （2）当时，在的范围内，y随x的增大而增大， ，解得，不符合题意，舍去； 当时，在的范围内，y随x的增大而减小， ，解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据反比例函数的性质找出的取值范围；（2）分情况考虑，找出关于的方程． 24．已知反比例函数在第一象限的图象上有两点，其中，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，y随着x的增大而减小是解题的关键．由题意知，反比例函数在第一象限，y随着x的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数在第一象限，y随着x的增大而减小， ∵反比例函数在第一象限的图象上有两点，， ∴， 解得， 又， ∴． 易错题型九、比较反比例函数值或自变量的大小 25．已知点是反比例函数的图象上的两点，若，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解；∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点是反比例函数的图像上的两点，且， ∴， 故答案为：． 26．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 27．已知正比例函数与反比例函数的图像交于点． (1)试求的坐标和正比例函数的解析式； (2)判定点，是否在反比例函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上； (3)． 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将点代入反比例函数中，可求出的坐标，再将点的坐标代入正比例函数中求出，可求出正比例函数的解析式； （2）将点，代入中，看等式是否成立，即可求解； （3）根据反比例函数的图像与性质求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图像上， ， ， 将代入正比例函数中，得：， 解得：， 正比例函数的解析式为； （2）当时，， 点不在反比例函数的图像上， 当时，， 点在反比例函数的图像上； （3）反比例函数中，， 函数过第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，． 易错题型十、已知比例系数求特殊图形的面积 28．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 由于点、位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数的几何意义作答即可． 【详解】解：点、位于反比例函数图象上且关于原点对称， 、两点到轴的距离相等， ， ， ． 故选：C． 29．如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与的图像上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握平行四边形的性质、反比例函数系数是解题的关键．作轴于，轴于，连接，根据题意得出轴，可知，即可得出，根据反比例函数系数的几何意义即可得出的面积为． 【详解】解：作轴于，轴于，连接， 则四边形是矩形， ∵的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上， ∴轴， ∴， ∴， 由反比例函数系数的几何意义可知，矩形的面积为， ∵，， ∴的面积为， 故答案为：． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键． （1）先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解． （2）先求出直线的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴． 易错题型十一、根据图形面积求比例系数 31．如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可． 【详解】解：设点，可得，， ∵， ，， 轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为8， ∴，解得：． 故选：D． 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则 ． （2）若，且的面积是12，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）设，先求出，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，由此即可得； （2）设，先求出，，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，，最后根据可得的值，由此即可得． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵点为的中点， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 33．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 【详解】解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 易错题型十二、求反比例函数解析式 34．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，理解函数图象上的点的坐标特征是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，将，代入函数表达式得到关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 35．已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则y和x之间的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用一次函数和反比例函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设，，则，再代入点、，然后解方程组，即可作答． 【详解】解：设，， ∴， ∵函数的图像经过点、， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 36．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是： （1）将点代入，求得，进而可得反比例函数的解析式，再把点代入反比例函数的解析式可求出，将，代入即可得出一次函数的解析式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：把点代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵一次函数与反比例函数交于点，， ∴根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或． 易错题型十三、实际问题与反比例函数 37．某科技小组设计了一个简易太阳能热水器，水箱中水温上升量（单位：℃）随光照时间（单位：分钟）的变化而变化．已知水箱中水温上升量与光照时间是反比例函数关系，当光照时间为10分钟时，水温上升． (1)求关于的函数表达式； (2)如果光照时间为15分钟，求此时水温上升量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，求出函数解析式． （1）设关于的函数表达式为，由待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， ∵光照时间为10分钟时，水温上升， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，则， ∴此时水温上升量为． 38．为了解某一实际问题中变量随变量的变化情况．实验小组在一定条件下，通过一次又一次的实验，测出变量x、y在每一次实验后的一组对应数据如表． x 100 90 80 70 60 y 60 67 75 86 100 (1)根据表中数据猜想变量关于变量的函数关系式，并说明理由； (2)若，请估计x的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，熟知反比例函数图象的形状判断出y关于x的函数关系为反比例函数关系是解题的关键． （1）根据表中的数据，可画出图象，根据图象的形状，选择反比例函数模型进行尝试，再验证即可； （2）分别求出与时x的值，即可得到时x的取值范围． 【详解】（1）解：如图，变量关于变量的函数关系为反比例函数关系． 设它的函数关系式为， 把点代入得：， ∴该函数解析式为， 将点的坐标一一代入， 验证：， 可得相当精确地反映了函数关系式； （2）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴x的取值范围为． 39．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 易错题型十四、反比例函数与几何结合的问题 40．如图，在正方形中，，点M是的中点，反比例函数的图象经过点M和点．    (1)求反比例函数的解析式． (2)请用无刻度的直尺和圆规过点N作出x轴的垂线，垂足为Q，交于点P，请直接写出的长（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，尺规作垂线，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出反比例函数解析式． （1）根据正方形的性质求出，用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据尺规作线段垂直平分线的方法，进行作图即可，先求出，证明四边形为矩形，求出，即可得出答案即可． 【详解】（1）解：点M是的中点，， ， 四边形为正方形， ． ． 函数的图象经过点M， ． 反比例函数的解析式． （2）解：如图，直线即为所求．    ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 41．如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，图形法解不等式，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法求出一次函数，反比例函数的解析，结合点的横坐标得到，则，由三角形面积的计算方法即可求解； （2）根据一次函数，反比例函数图形的交点，求不等式解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过两点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象过，     ∴， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，即，且， ∴当或时，， ∴的取值范围为：或． 42．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，掌握利用待定系数法求函数解析式和数形结合的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，从而可求出，进而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线得， 解得：， 一次函数的解析式为； 把点代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入，得：， ∴点的坐标为， ． ， ，     ． 当代入，得， 当代入，得 ∴点的纵坐标为，则， 点的坐标为或． 易错题型十五、一次函数与反比例函数交点问题 43．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将交点横坐标代入解析式中是解题的关键．将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得k的值． 【详解】解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：C． 44．如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解． 利用两个函数交点求解即可． 【详解】解： ∵函数与的图象相交于点，两点， ∴由图象得，当或时，函数的图象在上面， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 45．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)过动点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，交直线于点．当时，求线段的长； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，准确计算是解题的关键． （1）先把点代入一次函数解析式求出，再把点代入反比例函数解析式，求出； （2）把代入一次函数解析式和反比例函数解析式，分别求出点和点的坐标，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，把点代入，得到， ， 把代入中， ． ，． （2）解：如图，过点的直线与一次函数交于点，与反比例函数交于点， 当时，， 把代入中， ， ， ， 把代入中， ， ， ， ． 易错题型十六、一次函数与反比例函数的实际应用 46．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【详解】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 47．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 48．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 压轴题型一、反比例函数的图象与性质压轴 49．如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)18 (3)点P的坐标为或，， 【分析】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据点C在反比例函数的图像上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解； （3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数图像过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． ∵反比例函数图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图像上， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵，且的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点E， ∴点E的横坐标为4， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：把代入函数，得， ∴， ∵把代入函数，得， 解得， ∴， ∴． 若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论： ①如图，若， ∵轴， ∴点B与点P关于x轴对称， ∴． ②如图，若， ∵， ∴或． ③如图，若，则设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，． 50．（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)0；图见详解 (2)①减小②下，1；③ (3)2024 【分析】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图象可分别求解①②③小题； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：当时：， ； 如图： 故答案为：0； （2）解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 51．如图，直线与轴，轴分别交于点A，B．过A与轴平行的直线与函数的图象交于点．连接交于点，函数的图象过点． (1)求点的坐标及的值； (2)记函数的图象与除外的另一个交点为，求证：是的中点； (3)设与轴垂直的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，且点位于直线的下方，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求出A，B的坐标,然后求点P的坐标及的解析式，再求与的交点E坐标，最后将点E的坐标代入计算，即得答案； （2）过点E作轴于点，过点F作轴于点，先求与函数的交点F的坐标，再根据平行线分线段成比例定理，即可证明结论； （3）设，与轴交于点，求出关于x的表达式，再根据不等式的性质求解，即得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 令，则， 所以，A，B的坐标分别为，, 将代入得， ； 直线的表达式为， 由得， 把代入得， ； 将代入得； （2）解：令， 整理，得， 解得，， ， 过点E作轴于点，过点F作轴于点， 则，且，， ， ，即是的中点； （3）解：设，则， ， 设与轴交于点，则， ， 点位于直线的下方， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图象与性质，求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，不等式的性质，根据数形结合思想及利用不等式求解是解题的关键． 压轴题型二、反比例函数的k值意义压轴 52．如图，矩形的顶底、分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、． (1)若且点的坐标为，求点的坐标； (2)若，四边形的的面积等于． 求的值； 若射线对应的函数表达式是，求线段的长； (3)如图，若反比例函数的图像分别交边、于点、，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； ； (3)． 【分析】根据点的坐标为，求出反比例函数的解析式是，根据得到点的坐标是，根据反比例函数与交于点，求出点的坐标； 根据反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、两点，可知，从而可得，根据四边形的的面积等于，可以求出； 射线对应的函数表达式是，求出点的坐标是，根据可以求出，所以点的纵坐标是，可得方程，解方程求出，即可得到点的坐标； 设点的坐标是，分别用含、、的代数式表示出线段、的长度，即可求出的正切值，分别用含、、的代数式表示出线段、的长度，即可求出的正切值，两个角的正切值相等，则这两个角相等，根据同位角相等，两直线平行，可证． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，连接， 反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形的的面积等于， ， 解得：； 由可知反比例函数的解析式是， 解方程， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，， 点的坐标是， ， ， ， ， 点的坐标是， 当时，， 解得：， ， 四边形是矩形， ， ； （3）解：， 理由如下： 设点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， ， 当时，， 解得：， 点的坐标是， ， ， 当时，， 点的坐标是， ， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合运用、矩形的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是根据反比例函数的解析式与矩形的性质求出交点的坐标． 53．如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①；②直角三角形，见解析 【分析】（1）根据k的几何意义和三角形面积公式即得； （2）根据，，即得； （3）①设点，，得，得，解得，得点，点得直线的解析式为： ，得，由，得四边形为平行四边形，②设点，则点，得，得，同理，设点，则点，设直线交x轴于点H，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形． 【详解】（1）解：； 故答案为：1； （2）证明：点C，D在反比例上， ， ， ， （3）解：①设点． 是线段的中点， ． 点C在反比例上， ． ． 解得． 点A在点B的左侧， ． 点，点． 设直线的解析式为， ． 解得：． 直线的解析式为． ， ． 轴，轴， ． 四边形为平行四边形． 由（2）得：，点，点， ． ②是直角三角形，理由如下： 设点， 则点． ． ， ． ． ． 同理，设点， 则点． ，． ． ． 设直线交x轴于点H，连接． 令，则． 点． 点， 轴． ． ． ， ． ， ． ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，是解此题的关键． 54．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C，过点A作轴于点，，连接，已知：的面积等于6，点的坐标为，点的坐标为． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点E是点C关于x轴的对称点，求的面积； (3)根据图像直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)32 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用； （1）依据，可得，将代入，得，即可得到反比例函数解析式为，进而求出的坐标，将点，的坐标代入，可得一次函数解析式为； （2）由已知求得，可得，根据即可求出结论； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）轴于点， 轴， ， ， ， ， ， 连接， 轴， ， ， ， 将代入，得， 反比例函数解析式为； 点在比例函数解析式为的图象上， ， ， ， 将点，点代入，可得 ， 解得， 一次函数解析式为， 故答案为：，； （2）令，得， ， 点是点关于轴的对称点， ， ， ； （3）根据图象得：不等式，即的解集为或． 压轴题型三、反比例函数与一次函数综合 55．如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及函数表达式求解、函数值大小比较以及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用函数性质、联立方程求交点，以及分类讨论等腰三角形的情况． （1）先由一次函数与轴交点求，得一次函数表达式，再代入点纵坐标求其坐标，进而求反比例函数值． （2）联立一次函数与反比例函数方程求交点，结合图象确定时的取值范围． （3）设点坐标，求长度，分三种情况，用距离公式求解点坐标． 【详解】（1）解：求反比例函数的表达式： 因为一次函数与轴正半轴交于，且， 所以， 将代入，得，故一次函数表达式为， 点在上，且纵坐标为3，代入得，解得， 所以． 将代入反比例函数，得， 所以反比例函数表达式为； （2）解：当时，的取值范围： 联立 ，代入得，整理为，因式分解得，解得，即交点． 结合图象可知，当时，的取值范围是或； （3）解：设，由， ， 分三种情况讨论： （1）当时： ，解得或，此时或； （2）当时： ， 解得舍去，因与原点重合无法构成三角形）， 此时． （3）当时： ，解得， 此时． 综上，点的坐标为或． 56．如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点 (1)填空：______，______； (2)点C是线段上一点不与A，B重合，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接，当四边形的面积等于20时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)，12 (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题为四边形综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中． （1）待定系数法求解析式即可； （2）设点C的横坐标为n，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，则点，点，根据四边形的面积等于20列方程，求解即可； （3）根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出，，F的坐标，可得，以，、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当，为边时，当、为边时，当、为边时，分别列方程，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 得， 解得， 将点代入反比例函数， 得， 故答案为：，12； （2）设点C的横坐标为n，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D， 点，点， 轴，， 四边形OCAD的面积， 解得或不合题意舍去， ； （3）∵点， 设直线OC的解析式：， 代入点， 得， 解得， 直线OC的解析式：， 根据平移，可得， 设直线的表达式为， 直线的解析式为， 设平移后的点为，则点， 将点坐标代入， 得， 解得， 直线的表达式为：， 当时，， 点， ， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论： 当，为边时，， 解得或舍去， 点， 当、为边时，， 解得， 点； 当、为边时，， 解得舍或， 点， 综上，点的坐标为或或 57．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，以点O为位似中心，作的位似图形，反比例函数的图象经过点B，交边于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，结合以上信息，从①与的位似比为；②点C的坐标为这两个条件中任选一个条件作为补充，求的面积．你选择的条件是_______（只填序号），并写出求解过程． 【答案】(1)反比例函数的解析式 (2) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，再利用三线合一得出为边上的中线，从而可求得，接着利用勾股定理求得，从而可求得点的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）选①，先利用位似的性质得出，从而可得，再利用位似的性质求得、的坐标，从而可利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的交点的坐标，即可求向三角形的面积；选择，先利用位似的性质、等边三角形的性质求出位似比，从而可求出点的坐标，与选择①同样的方法可求解． 【详解】（1）解：过点B作轴于点F， ∵等边 的边长为2， ∴， ∴为边上的中线， ， ， ， 又反比例函数的图象经过点B， ， 反比例函数的解析式为； （2）选择， 如图，连结， ∵以点O为位似中心，作的位似图形， ， ， 与的位似比为，，等边 的边长为2， ，， ，， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， ，解得：或（舍去）， ， ； 选择， ，，等边 的边长为2， ， 与的位似比为， ， ，， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， ，解得：或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质综合，求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 压轴题型四、反比例函数与几何综合 58．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)填空：的值等于_____． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）利用三角形相似，求出点的坐标即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可； （3）把三角形的三边长表示出来，需要分三种情况进行分析，解方程即可． 【详解】（1）四边形为矩形，点的坐标为， ,,， 是由旋转得到的，即， ， ， ， ， ． 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得，． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）可知，反比例函数， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ，． ， ， 为直角三角形， ． （3）解：设点， 由（2）可知， 点的坐标为，点的坐标为，， ， ∵FG为腰的是等腰三角形，故分一下两种情况， 当时，即， 解得，（负值已舍去）； 当时，，同理可得，（另一个根大于4，已舍）； 综上，点的坐标为或． 59．如图，已知双曲线经过点，点是双曲线上在第三象限内的动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，，连接，，． (1)的值为________； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式． 把点的坐标代入中，即可求出的值； 因为轴，点的坐标是，可知，设中边上的高为，根据的面积是即可求出，根据点的纵坐标是，即可求出点的纵坐标是，把点的纵坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出点的横坐标； 根据点、、、的坐标，分别求出直线、，根据它们的比例系数相等，即可判断． 【详解】（1）解：双曲线经过点， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：轴，点的坐标是， ， 设中边上的高为， 的面积为， ， ， 解得：， 点的坐标是， 点的纵坐标为， 由可知，双曲线的解析式为， 把代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （3）解：， 理由如下， 点的坐标是； 点的坐标是， 点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 直线和直线的比例系数相等， ． 60．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A (2)， (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）将点，分别代入，即可求得m，n的数量关系； （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证得，得到，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式； （3）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q，则的最小值等于的长，由，，求出直线的解析式，即得． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得，． ∴． ∴． 故选：A． （2）解：①由（1）得：，， 设，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则． ∴． 由旋转知，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （3）解：存在，，理由如下： 如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q， 则． ∴． ∴的最小值等于的长． 由（2）知，，， ∴． ∴． 设直线的解析式为， 则． 解得． ∴． 当时，． ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何重合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像及性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． 压轴题型五、反比例函数的实际应用压轴 61．喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 【答案】(1)2，3.2 (2)图见解析， (3)40，3.6，10 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量和函数值，画函数图象，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）根据，求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据均值不等式，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； ∴； 故答案为：2，3.2； （2）描点，连线，画出函数图象如图： 由题意，可知：； （3）首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵， ∴，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：40，3.6，10 62．问题探究： （1） 如图1， 为等腰直角三角形， ，D、A、E三点都在直线l上，且 ，若，则 ； 问题解决： （2）如图2，某校为优化校园环境，在教学楼旁的一片空地上，修建了一片边长为的菱形花圃，已知 ，现计划过菱形的对称中心O修建两条小道 ，其中点 E， F， G， H分别在 边上，且 ，已知在阴影部分内种植牡丹，空白部分种植郁金香，设的长为 ，阴影部分的面积为 ． ①求y与x之间的函数表达式； ②已知牡丹的种植成本为5元 郁金香的种植成本为3元按 照设计要求，发现当点E为的中点时，整体布局比较合理，试求此时种植两种花卉的总成本． 【答案】（1）10（2）①②种植两种花卉的总成本为元 【分析】（1）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可； （2）①连接，则交于点，作于点，作于点，证明为等边三角形，得到，再证明，列出比例式求出的长，分割法求出阴影部分的面积，列出函数关系式即可； ②求出的值，进而求出的值，分割法求出空白部分的面积，再根据总费用等于两种花卉的费用之和，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①连接，则交于点，作于点，作于点， ∵菱形的边长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理：， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ， 由菱形的对称性可知：； ②当点E为的中点时，则：， ∴当时，， ∵， ∴， ∴（元）； 答：种植两种花卉的总成本为元． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求函数关系式，含30度角的直角三角形和勾股定理，熟练掌握一线三等角的全等和相似模型，是解题的关键． 63．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1)60，140 (2) (3)分钟 【分析】（1）根据速度等于温度除以时间计算即；利用待定系数法求解析式，后求函数值解答即可； （2）分成和两段计算解答即可； （3）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求． 本题考查了待定系数法求解析式，持续时长的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据速度等于温度除以时间计算即； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，， 故答案为：60,140． （2）解：由图象可知：当时，； 当时，， 综上：． （3）解：当时，设， 将代入得：   ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 压轴题型六、反比例函数的存在性问题 64．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 65．如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点C、，连接，．作轴于点E，且． (1)求一次函数关系式和k的值； (2)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数关系式为，； (2)、、、． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义． （1）利用待定系数法求解； （2）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得：， 一次函数关系式为， 在一次函数图象上， ， ， 将代入， 得：； （2）解：， ． 当时，如图： 点M的坐标为：、； 当时，作轴于点H， 则， ， 点M的坐标为：； 当时，设点M的坐标为， 则， 解得， 点M的坐标为：； 综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、． 66．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 压轴题型七、反比例函数的新定义问题 67．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作．特殊地，当图形与图形有公共点时，规定．已知点，，，． (1)求点线段； 若线段直线，直接写出的值； (2)若双曲线，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)的取值范围是或 【分析】本题主要考查了新定义、图形与坐标、反比例函数与几何综合题、一次函数与几何综合题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于，由垂线段最短，结合解直角三角形即可得解； 过点作于，则，根据含的直角三角形的性质即可求解； （2）分和两种情况讨论，先求线段的解析式，然后与双曲线解析式联立，根据双曲线，得出，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图中，过点作于， 由已知可得，，， ， ， ， ， 点线段； 如图中，过点作于，则， ，， ， ， ， ； （2）解：如图中，设线段的解析式为， 由已知可得，解得， 线段的解析式为， 已知双曲线， 当时，由，整理，得， 由题意，则有，解得， 若双曲线时，， 当时，同理可求得； 综上，的取值范围是或． 68．思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义A、B两点间的折线距离：． 【初步理解】 （1）已知，． ①如图1，轴，轴，则______； ②如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； （2）函数的图象如图3所示，点在该函数图象上，且，则点的坐标为______； 【拓展应用】 （3）如图4，菱形的顶点坐标为，，若点在菱形的边上，且，请用无刻度的直尺在图4中找到点，并求出点的坐标． 【答案】（1）①3；②为定值3；（2）或；（3）E的坐标为． 【分析】（1）①根据的定义可得； ②设，其中，即可得，故为定值3； （2）设，其中，，解得或，据此求解即可； （3）求出，知，取格点，连接交于E，则点E即为所求；求出直线解析式为，联立，解析式可解得答案． 【详解】解：（1）①如图： ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：3； ②在线段上任取一点P，为定值，理由如下： 如图： 设，其中， ∵， ∴， ∴为定值3； （2）设，其中， ∵， ∴， ∴， 解得或， 经检验，，都是分式方程的解， ∴D的坐标为或； 故答案为：或； （3）∵， ∴， ∴， 取格点，连接交于E，如图： 点E即为所求； 理由：由，可得直线解析式为， ∴线段上的点，总有， ∴E为满足条件的点； ∵菱形在第一象限，直线与菱形的边除B，E外无另外的交点， ∴满足条件的点只有点E； 由菱形的对称性可得， ∵， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴E的坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数，一次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义的概念． 69．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数章末易错压轴题型（16易错+7压轴） 目录 易错题型一、反比例函数的相关概念 易错题型二、用反比例函数描述数量关系 易错题型三、求反比例函数值 易错题型四、反比例函数的图象 易错题型五、已知反比例函数的图象判断其解析式 易错题型六、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 易错题型七、已知双曲线分布的象限求参数范围 易错题型八、反比例函数的增减性 易错题型九、比较反比例函数值或自变量的大小 易错题型十、已知比例系数求特殊图形的面积 易错题型十一、根据图形面积求比例系数 易错题型十二、求反比例函数解析式 易错题型十三、实际问题与反比例函数 易错题型十四、反比例函数与几何结合的问题 易错题型十五、一次函数与反比例函数交点问题 易错题型十六、一次函数与反比例函数的实际应用 压轴题型一、反比例函数的图象与性质压轴 压轴题型二、反比例函数的k值意义压轴 压轴题型三、反比例函数与一次函数综合 压轴题型四、反比例函数与几何综合 压轴题型五、反比例函数的实际应用压轴 压轴题型六、反比例函数的存在性问题 压轴题型七、反比例函数的新定义问题 易错题型一、反比例函数的相关概念 1．下列各式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是反比例函数，则m的值为 ． 3．已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 易错题型二、用反比例函数描述数量关系 4．下列四个点，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是 ，自变量的取值范围是 ． 6．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 易错题型三、求反比例函数值 7．下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 8．已知点在反比例函数的图象上，则 ． 9．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 易错题型四、反比例函数的图象 10．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 11．表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 12．已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 易错题型五、已知反比例函数的图象判断其解析式 13．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．如图所示的是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为 ． 15．反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 易错题型六、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 16．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 17．将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则 ． 18．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 易错题型七、已知双曲线分布的象限求参数范围 19．若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是 ． 20．已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 21．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 易错题型八、反比例函数的增减性 22．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．已知反比例函数，其中，且． (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为 ． 24．已知反比例函数在第一象限的图象上有两点，其中，且，求的取值范围． 易错题型九、比较反比例函数值或自变量的大小 25．已知点是反比例函数的图象上的两点，若，则 ．（填“”、“”或“”） 26．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 27．已知正比例函数与反比例函数的图像交于点． (1)试求的坐标和正比例函数的解析式； (2)判定点，是否在反比例函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 易错题型十、已知比例系数求特殊图形的面积 28．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 29．如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与的图像上，则的面积为 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 易错题型十一、根据图形面积求比例系数 31．如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则 ． （2）若，且的面积是12，则的值为 ． 33．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 易错题型十二、求反比例函数解析式 34．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则的值为 ． 35．已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则y和x之间的函数解析式为 ． 36．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 易错题型十三、实际问题与反比例函数 37．某科技小组设计了一个简易太阳能热水器，水箱中水温上升量（单位：℃）随光照时间（单位：分钟）的变化而变化．已知水箱中水温上升量与光照时间是反比例函数关系，当光照时间为10分钟时，水温上升． (1)求关于的函数表达式； (2)如果光照时间为15分钟，求此时水温上升量． 38．为了解某一实际问题中变量随变量的变化情况．实验小组在一定条件下，通过一次又一次的实验，测出变量x、y在每一次实验后的一组对应数据如表． x 100 90 80 70 60 y 60 67 75 86 100 (1)根据表中数据猜想变量关于变量的函数关系式，并说明理由； (2)若，请估计x的取值范围． 39．某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 易错题型十四、反比例函数与几何结合的问题 40．如图，在正方形中，，点M是的中点，反比例函数的图象经过点M和点．    (1)求反比例函数的解析式． (2)请用无刻度的直尺和圆规过点N作出x轴的垂线，垂足为Q，交于点P，请直接写出的长（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 41．如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围． 42．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 易错题型十五、一次函数与反比例函数交点问题 43．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为 ． 45．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)过动点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，交直线于点．当时，求线段的长； 易错题型十六、一次函数与反比例函数的实际应用 46．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 47．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 48．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 压轴题型一、反比例函数的图象与性质压轴 49．如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 50．（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 51．如图，直线与轴，轴分别交于点A，B．过A与轴平行的直线与函数的图象交于点．连接交于点，函数的图象过点． (1)求点的坐标及的值； (2)记函数的图象与除外的另一个交点为，求证：是的中点； (3)设与轴垂直的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，且点位于直线的下方，求的取值范围． 压轴题型二、反比例函数的k值意义压轴 52．如图，矩形的顶底、分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、． (1)若且点的坐标为，求点的坐标； (2)若，四边形的的面积等于． 求的值； 若射线对应的函数表达式是，求线段的长； (3)如图，若反比例函数的图像分别交边、于点、，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 53．如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 54．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C，过点A作轴于点，，连接，已知：的面积等于6，点的坐标为，点的坐标为． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点E是点C关于x轴的对称点，求的面积； (3)根据图像直接写出关于x的不等式的解集． 压轴题型三、反比例函数与一次函数综合 55．如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 56．如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点 (1)填空：______，______； (2)点C是线段上一点不与A，B重合，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接，当四边形的面积等于20时，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 57．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，以点O为位似中心，作的位似图形，反比例函数的图象经过点B，交边于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，结合以上信息，从①与的位似比为；②点C的坐标为这两个条件中任选一个条件作为补充，求的面积．你选择的条件是_______（只填序号），并写出求解过程． 压轴题型四、反比例函数与几何综合 58．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)填空：的值等于_____． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 59．如图，已知双曲线经过点，点是双曲线上在第三象限内的动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，，连接，，． (1)的值为________； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 60．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型五、反比例函数的实际应用压轴 61．喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 62．问题探究： （1） 如图1， 为等腰直角三角形， ，D、A、E三点都在直线l上，且 ，若，则 ； 问题解决： （2）如图2，某校为优化校园环境，在教学楼旁的一片空地上，修建了一片边长为的菱形花圃，已知 ，现计划过菱形的对称中心O修建两条小道 ，其中点 E， F， G， H分别在 边上，且 ，已知在阴影部分内种植牡丹，空白部分种植郁金香，设的长为 ，阴影部分的面积为 ． ①求y与x之间的函数表达式； ②已知牡丹的种植成本为5元 郁金香的种植成本为3元按 照设计要求，发现当点E为的中点时，整体布局比较合理，试求此时种植两种花卉的总成本． 63．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 压轴题型六、反比例函数的存在性问题 64．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 65．如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点C、，连接，．作轴于点E，且． (1)求一次函数关系式和k的值； (2)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 66．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型七、反比例函数的新定义问题 67．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作．特殊地，当图形与图形有公共点时，规定．已知点，，，． (1)求点线段； 若线段直线，直接写出的值； (2)若双曲线，求的取值范围． 68．思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义A、B两点间的折线距离：． 【初步理解】 （1）已知，． ①如图1，轴，轴，则______； ②如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； （2）函数的图象如图3所示，点在该函数图象上，且，则点的坐标为______； 【拓展应用】 （3）如图4，菱形的顶点坐标为，，若点在菱形的边上，且，请用无刻度的直尺在图4中找到点，并求出点的坐标． 69．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $