精品解析：福建省福州华侨中学2025-2026学年上学期八年级第一次阶段数学练习

福州华侨中学2025—2026学年八年级（上） 第一次阶段练习数学 （满分：150分；考试时间：90分钟） 一．选择题（共10小题；每小题5分，满分50分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 5. 如图所示，在中，，平分，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为9，，则的周长为（ ） A. 7 B. 16 C. 17 D. 22 8. 在中，，，的垂直平分线交于D，交边于E，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8小题；每小题4分，满分32分） 11. 如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则______． 12. 如图，是等边三角形的角平分线，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为________． 13. 如图，在中，若，，则______． 14. 小明用尺规在上作图，并留下如图所示的痕迹，若，，，则为______． 15. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______． 16. 如图，点、在的边上，，．若，则______． 17. 如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 18. 如图∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是 _________． 三、解答题（共6小题，满分68分） 19. 如图，在中，，是的中线，．求证： ． 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 21. 如图所示，已知为等边三角形，点为延长线的一点，平分，，求证：是等边三角形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上有一个动点P，若的和最小，请在图形中画出点P． 23. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 24. 在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． （1）发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； （2）尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州华侨中学2025—2026学年八年级（上） 第一次阶段练习数学 （满分：150分；考试时间：90分钟） 一．选择题（共10小题；每小题5分，满分50分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 点关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称与坐标变换，熟练掌握轴对称与坐标变换是解题的关键．点与其关于x轴对称点的坐标比较，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于x轴对称点的坐标是． 故选：A． 3. 如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的对应角是． 故选：C． 4. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 5. 如图所示，在中，，平分，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出，进而可得出结论． 【详解】解：，平分，，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6. 已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为9，，则的周长为（ ） A. 7 B. 16 C. 17 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，由作图方法可知，垂直平分，则，根据的周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为16， 故选：B． 8. 在中，，，的垂直平分线交于D，交边于E，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质及含角的直角三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 要求与的关系，需连接，得到，由直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半及运用线段垂直平分线定理可得答案． 【详解】解：连接． 垂直平分， ． ． ． ． 故选：B． 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且 ∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E， ∴∠B=∠BDC， ∴， ∴， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 10. 如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合题意； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合题意； ∴，①正确，故符合题意； ∵，， ∴，④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C． 二、填空题（共8小题；每小题4分，满分32分） 11. 如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，是等边三角形的角平分线，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得，根据等腰直角三角形的性质得，结合图形计算即可． 【详解】解：是等边三角形的角平分线， ． 以为斜边作等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，若，，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质．过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 小明用尺规在上作图，并留下如图所示的痕迹，若，，，则为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了三角形的面积，角平分线的作法及性质． 由作图痕迹可知，平分，过点D分别作于点E，于点F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， 过点D分别作于点E，于点F， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，三角形的外角性质；由平行可求得，又由折叠的性质可得，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此计算即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 又由折叠的性质可得， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，点、在的边上，，．若，则______． 【答案】##111度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形的外角性质．由等边对等角求得，，根据三角形内角和定理和三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．如图，延长到，使，连接，证明，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是 _________． 【答案】15 【解析】 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，然后连接CD、OC、OD，交OA、OB于点M、N，连接PM、PN，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时△PMN的周长为最小，进而可得OC=OP=OD，∠COD=60°，则有△COD是等边三角形，最后问题可求解． 【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，然后连接CD、OC、OD，交OA、OB于点M、N，连接PM、PN，如图所示： 由轴对称的性质可得：OC=OP=OD=15，OA垂直平分PC，OB垂直平分PD， ∴PM=CM，PN=ND，∠COA=∠AOP，∠POB=∠BOD， ∴， ∴当点C、M、N、D四点共线时，△PMN的周长最小，即如图所示， ∵∠AOB=∠AOP+∠POB=30°， ∴∠COA+∠BOD=30°， ∴∠COD=60°， ∴△COD是等边三角形， ∴OC=CD=15， 即△PMN的周长最小值为15； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共6小题，满分68分） 19. 如图，在中，，是的中线，．求证： ． 【答案】 证明：是中线，， 是角平分线，是高， 是直角三角形，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，平行线判定．利用等腰三角形性质得到是角平分线，推出，即可证明． 【详解】略 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∠DAE∠DAC＝40° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵DF垂直平分线段AB ∴DB＝DA ∴∠DAB＝∠B＝30° ∵∠C＝40° ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110° ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80° ∵AE平分∠DAC ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法． 21. 如图所示，已知为等边三角形，点为延长线的一点，平分，，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， ， 为等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状．利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上有一个动点P，若的和最小，请在图形中画出点P． 【答案】（1） 如图，为所作，的坐标为； （2）3.5 （3） 如图，连接交x轴于P点， 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题． （1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积即可； （3）连接交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴当共线时，的和最小， ∴点P即为所求． 23. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案 （2） 甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【小问1详解】 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， 【小问2详解】 略 24. 在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． （1）发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； （2）尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①，证明如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ② （2） 解：不成立，， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得，证明即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）证明，得出，再根据，即可得到． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $