第五单元：平行四边形和梯形（知识清单）数学人教版四年级上册

人教版四年级数学上册第五单元：平行四边形和梯形（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：平行与垂直 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 【名师点拨】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点02：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2、特征： （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3、特殊平行四边形： 长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 【名师点拨】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做底。一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度与底的长度需匹配（如对应底边的高垂直于该底边），不能混淆高与底的对应关系。 （3）正方形具备长方形“四个角是直角、对边相等”的所有特征，同时多了“四条边相等”的特征，因此正方形是特殊的长方形，不能将两者完全割裂，认为“正方形不是长方形”。 （4）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰； （3）从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3、特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直（这条腰就是梯形的高）。 【名师点拨】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 （4）直角梯形的直角腰同时也是梯形的高，计算面积时可直接用这条腰的长度作为高，无需额外画高，但需确认“直角腰是否垂直于两底”，避免将非直角腰当作高。 知识点04：四边形之间的关系 1、四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2、平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3、长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4、正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【名师点拨】 （1）不混淆“平行四边形”与“梯形”的并列关系：平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）避免“四边形仅包含平行四边形和梯形”的误区：除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 考点1：平行与垂直的特征及性质 【典型例题】木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。你能说出其中的道理吗？ 【练习】在阳光下，操场上竖立的旗杆与其影子的位置关系是互相（ ），教室里黑板上下两条边的位置关系是互相（ ）。 考点2：点到直线的距离 【典型例题】立定跳远是小学体育课常见的运动项目，成绩的确定是看沙坑落点与起跳板前沿的距离。王亮参加了立定跳远测试，他从同一起点起跳，跳3次，落在3个不同位置。下图中记录了王亮跳远的3个落点，体育老师会选择（     ）为最好成绩。 A．第一次 B．第二次 C．第三次 【练习】周末，小明去奶奶家做客，写作业时发现忘记带练习本，他到（ ）商店购买距离最近，理由是：（ ）。 考点3：画平行线、垂线 【典型例题】从小明家修一条小路，连接省道，怎样修最近，把它画出来。经过A点有一条与铁路平行的公路，请把这条公路画出来。 【练习】如图，如果从A点挖一条水渠和小河相通。应该怎样挖才能使水渠长度最短？在图上画出来。 考点4：平行四边形的认识 【典型例题1】用两张不同形状的纸交叉摆放，重叠部分是平行四边形的是（     ）。 A． B． C． 【典型例题2】关于平行四边形（如图），说法正确的是（     ）。 A．DC边上的高是5厘米 B．DC边上的高是8厘米 C．平行四边形的高只有两条5厘米 D．平行四边形只有一组对边互相平行 【练习】在平行四边形纸上剪一刀，剪下的两个图形不可能是（     ）。 A．两个三角形 B．一个梯形和一个三角形 C．两个梯形 D．一个平行四边形和一个梯形 考点5：平行四边形的不稳定性及应用 【典型例题】把一个长5、宽4的长方形框架，拉成一个平行四边形（如图），这个平行四边形5厘米的底所对应的高可能是（    ）。 A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【练习】平行四边形容易变形的特点在实际生活中有广泛的应用，下面是利用这个特点的是（     ）。 A． B． C． 考点6：梯形的认识 【典型例题】下面重叠部分有梯形的有（      ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【练习】下面各图中所画线段是指定底边上的高的是（     ）。 A． B． C． D． 考点7：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典型例题1】王叔叔要围一个等腰梯形的鸡圈（不靠墙），他只有20米长的栅栏，已知鸡圈的上底是3米，腰是6米，请问围出来的鸡圈下底是（ ）米。 【典型例题2】一个梯形的上底是3厘米，如果将上底延长2厘米，则该梯形就变成一个正方形，这个梯形的下底和高各是多少厘米？请画出变化前后的图形。 【练习】把如图的平行四边形剪成两个相同等腰梯形，那么这个等腰梯形的周长是（     ）厘米。 A．20 B．21 C．22 D．26 考点8：画平行四边形、梯形 【典型例题】在下面方格图中画一个等腰梯形，并把这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【练习】在下面方格中，分别画一个平行四边形和一个等腰梯形，然后分别画出它们的高。（每个小正方形边长为1厘米） 考点9：四边形之间的关系 【典型例题】下列说法正确的是（     ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【练习】明明用纸剪了一个四边形，但不小心撕掉了一部分。这个四边形不可能是图形（     ）。    A．   B．   C．   一、选择题 1．过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（     ）条。 A．0 B．1 C．2 D．无数 2．沿着梯形的高剪开，得到的两个图形不可能是（     ）。 A．三角形和梯形 B．长方形和梯形 C．两个三角形 D．两个梯形 3．如图所示，拉动一个长方形使它变成一个平行四边形，这个平行四边形的面积最有可能是（     ）。 A．22平方厘米 B．18平方厘米 C．15平方厘米 D．都不可能 4．用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，三角形的三边分别长2厘米、3厘米和4厘米，拼成的平行四边形的周长最大是（     ）厘米。 A．18 B．14 C．12 D．10 5．下列说法中正确的是（     ）。 A．两个锐角的和一定比直角大 B．长方形相邻的两条边互相垂直 C．不相交的两条直线叫平行线 D．一条直线长5厘米 二、填空题 6．把一个平行四边形模型拉动后，只要有一个角变成90°，这个平行四边形就变成了（ ），这说明平行四边形具有（ ）的特征。 7．在两条平行线之间画3条垂直线段，第一条长4厘米，第三条长（ ）厘米。 8．请认真观察下图，你发现图中有（ ）个梯形。 9．张老师要用一根长24厘米的树枝条围成一个平行四边形教具，这个平行四边形教具的一条边是7厘米，与它相邻的一条边是（ ）厘米。 10．如图，3只蜜蜂同时去采一朵花上的花蜜，如果它们的飞行速度相同，那么（ ）蜜蜂会先飞到花上。 11．一个平行四边形如下图，当AB缩短成3cm时，这个图形变成（ ）形。 12．等腰梯形的周长是76厘米，已知腰长16厘米，上底长19厘米，下底长（ ）厘米。 13．平行四边形具有（ ）的特点，它的对边互相（ ）。两个完全一样的（ ）能拼成一个平行四边形。 14．一个平行四边形相邻两条边的长度和是13厘米，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 15．一个等腰梯形的上底长5厘米，把上底延长3厘米后，就变成了四条边相等的平行四边形。平行四边形的底是（ ）厘米，原来梯形的周长是（ ）厘米。 16．有一张平行四边形纸（如图所示），如果剪一刀，把它剪成两个完全一样的梯形，那么剪成的梯形上、下底之和可能是（ ）cm，也可能是（ ）cm。 17．一个等腰梯形的周长是32厘米。已知上底与下底的和是18厘米，它的每条腰都是（ ）厘米。 三、判断题 18．在同一平面内的两条直线不相交，就一定互相平行。（ ） 19．一张长方形的纸，对折两次后，两条折痕一定互相平行。（ ） 20．两个完全一样的平行四边形一定可以拼成一个长方形。（ ） 21．等腰梯形是轴对称图形。（ ） 22．如图，若a∥b，如图①、图②、图③底边上的高都相等。（ ） 四、作图题 23．过P点分别做OA的垂线和OB的平行线。 24．作出下面各图的任意一条高。 五、解答题 25．一个平行四边形的车位，一条长边为6米，是短边的2倍。画一个这样的车位共需要画多少米？ 26．用篱笆围一块边长分别为6米和4米的平行四边形花圃，每米篱笆需要150元，一共需要多少元？ 27．把一个平行四边形分成一个三角形和一个等腰梯形，等腰梯形的周长是25厘米，上底长4厘米、下底长9厘米。平行四边形的周长是多少厘米？ 28．一个形状是等腰梯形的菜园，上底长17米，下底长33米，腰长20米，要给它围上一圈篱笆，篱笆长多少米？ 29．育才小学有一个梯形的花坛，花坛的上底长4米，下底长6米，两腰各长5米。如果在花坛的四周围上护栏，护栏长多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学上册第五单元：平行四边形和梯形（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：平行与垂直 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 【名师点拨】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点02：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2、特征： （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3、特殊平行四边形： 长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 【名师点拨】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做底。一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度与底的长度需匹配（如对应底边的高垂直于该底边），不能混淆高与底的对应关系。 （3）正方形具备长方形“四个角是直角、对边相等”的所有特征，同时多了“四条边相等”的特征，因此正方形是特殊的长方形，不能将两者完全割裂，认为“正方形不是长方形”。 （4）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰； （3）从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3、特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直（这条腰就是梯形的高）。 【名师点拨】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 （4）直角梯形的直角腰同时也是梯形的高，计算面积时可直接用这条腰的长度作为高，无需额外画高，但需确认“直角腰是否垂直于两底”，避免将非直角腰当作高。 知识点04：四边形之间的关系 1、四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2、平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3、长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4、正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【名师点拨】 （1）不混淆“平行四边形”与“梯形”的并列关系：平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）避免“四边形仅包含平行四边形和梯形”的误区：除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 考点1：平行与垂直的特征及性质 【典型例题】木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。你能说出其中的道理吗？ 【答案】平行线间的距离处处相等 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；两条平行线间的所有垂线段都相等；依此解答。 【详解】木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。那是因为平行线间的距离处处相等。 【练习】在阳光下，操场上竖立的旗杆与其影子的位置关系是互相（ ），教室里黑板上下两条边的位置关系是互相（ ）。 【答案】 垂直 平行 【分析】两直线相交成90°则两直线互相垂直；同一平面内两直线永不相交则两直线平行，据此解答即可。 【详解】在阳光下，操场上竖立的旗杆与其影子的位置关系是互相垂直，教室里黑板上下两条边的位置关系是互相平行。 考点2：点到直线的距离 【典型例题】立定跳远是小学体育课常见的运动项目，成绩的确定是看沙坑落点与起跳板前沿的距离。王亮参加了立定跳远测试，他从同一起点起跳，跳3次，落在3个不同位置。下图中记录了王亮跳远的3个落点，体育老师会选择（     ）为最好成绩。 A．第一次 B．第二次 C．第三次 【答案】B 【分析】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离，通过作图比较判断即可。 【详解】通过做图可知： 第二次的落点与起跳板的距离最长，体育老师会选择第二次为最好成绩。 故答案为：B 【练习】周末，小明去奶奶家做客，写作业时发现忘记带练习本，他到（ ）商店购买距离最近，理由是：（ ）。 【答案】 乙 从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短；根据题图可知，甲、乙、丙3家商店在一条直线上，奶奶家到乙商店的路线和这条直线垂直，那么他到乙商店最近；据此填空即可。 【详解】周末，小明去奶奶家做客，写作业时发现忘记带练习本，他到乙商店购买距离最近，理由是：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。 考点3：画平行线、垂线 【典型例题】从小明家修一条小路，连接省道，怎样修最近，把它画出来。经过A点有一条与铁路平行的公路，请把这条公路画出来。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与省道靠小明家这边的直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的小明家在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，就是这条小路，并画上垂直符号； 过直线外一点画平行线：固定三角尺，将三角尺的一条直角边与铁路的一条直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；将三角尺平移至与点A重合，沿直角边画出另一条直线，也就是这条公路；据此作图。 【详解】根据分析如图： 【练习】如图，如果从A点挖一条水渠和小河相通。应该怎样挖才能使水渠长度最短？在图上画出来。 【答案】作经过A点到河岸的垂线；见详解 【分析】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短。从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。所以，从A点挖一条垂线段与小河相连最短；据此过A点作小河的垂线段，由此解答即可。 【详解】根据分析，过A点作小河的垂线段，如下： 考点4：平行四边形的认识 【典型例题1】用两张不同形状的纸交叉摆放，重叠部分是平行四边形的是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此即可判断重叠部分是什么图形。 【详解】A．重叠部分是梯形，不符合题意； B．重叠部分是六边形，不符合题意； C．重叠部分是平行四边形，符合题意。 故答案为：C 【典型例题2】关于平行四边形（如图），说法正确的是（     ）。 A．DC边上的高是5厘米 B．DC边上的高是8厘米 C．平行四边形的高只有两条5厘米 D．平行四边形只有一组对边互相平行 【答案】A 【分析】有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，即平行四边形有两组对边互相平行； 平行四边形高的定义：在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高。据此解答即可。 【详解】A．根据分析和题图可知，DC边上的高是5厘米，原题说法正确；     B．根据分析和题图可知，BC边上的高是8厘米，原题说法错误； C．根据平行四边形高的定义可知：平行四边形的高有无数条，原题说法错误；     D．平行四边形有两组对边互相平行，原题说法错误； 故答案为：A 【练习】在平行四边形纸上剪一刀，剪下的两个图形不可能是（     ）。 A．两个三角形 B．一个梯形和一个三角形 C．两个梯形 D．一个平行四边形和一个梯形 【答案】D 【分析】平行四边形的两组对边平行且相等，梯形只有一组对边平行。一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形，可以分成一个梯形和一个三角形，可以分成两个梯形。也可以分成两个平行四边形，但不能分成一个平行四边形和一个梯形。 【详解】 如图，在平行四边形纸上剪一刀，剪下的两个图形不可能是一个平行四边形和一个梯形。 故答案为：D 考点5：平行四边形的不稳定性及应用 【典型例题】把一个长5、宽4的长方形框架，拉成一个平行四边形（如图），这个平行四边形5厘米的底所对应的高可能是（    ）。 A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【分析】把一个长方形框架，拉成一个平行四边形，长方形的长是平行四边形的一组对边，宽是另一组对边，以长方形的长作为平行四边形底边的对应的高的长度小于长方形的宽的长度。如图：，这个平行四边形5cm的底所对应的高小于4cm。 【详解】A．3＜4，这个平行四边形5厘米的底所对应的高可能是3cm； B．4＝4，这个平行四边形5厘米的底所对应的高不可能是4cm； C．5＞4，这个平行四边形5厘米的底所对应的高不可能是5cm； D．6＞4，这个平行四边形5厘米的底所对应的高不可能是6cm。 故答案为：A 【练习】平行四边形容易变形的特点在实际生活中有广泛的应用，下面是利用这个特点的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移；在平面内，把一个图形围绕某一固定点或某一条线按某个方向转动一定的角度的过程，称为旋转；平行四边形容易变形，具有不稳定性。据此分析。 【详解】A．旋转门旋转时，门绕着中间的轴转动，没有利用到平行四边形容易变形的特点。 B．伸缩门伸缩时，利用到了平行四边形容易变形的特点。 C．推拉门运动时，门沿着轨道运动，没有利用到平行四边形容易变形的特点。 故答案为：B 考点6：梯形的认识 【典型例题】下面重叠部分有梯形的有（      ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】图中每个图形都是用长方形和三角形，或者长方形和长方形重叠形成的。长方形的对边平行且相等，只有一组对边平行的四边形是梯形，两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。 【详解】A．图形①的重叠部分的四边形的两组对边分别平行且相等，是平行四边形；图形②的重叠部分的四边形没有平行的对边。 B．图形①的重叠部分的四边形的两组对边分别平行且相等，是平行四边形；图形③的重叠部分的四边形只有一组对边平行，是梯形。 C．图形②的重叠部分的四边形没有平行的对边；图形③的重叠部分的四边形只有一组对边平行，是梯形。 D．图形③的重叠部分的四边形只有一组对边平行，是梯形，图形④的重叠部分的四边形只有一组对边平行，是梯形。 重叠部分有梯形的有③④。 故答案为：D 【练习】下面各图中所画线段是指定底边上的高的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。 据此确定各图中指定底边上的高。 【详解】A．不垂直，不是指定底边上的高； B．没有垂直指定底边，不是指定底边上的高； C．是指定底边上的高； D．不垂直，不是指定底边上的高。 各图中所画线段是指定底边上的高的是。 故答案为：C 考点7：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典型例题1】王叔叔要围一个等腰梯形的鸡圈（不靠墙），他只有20米长的栅栏，已知鸡圈的上底是3米，腰是6米，请问围出来的鸡圈下底是（ ）米。 【答案】5 【分析】等腰梯形的两条腰相等，等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰×2，那么下底＝等腰梯形的周长－上底－腰×2，据此代入数据计算即可解答。 【详解】20－3－6×2 ＝20－3－12 ＝17－12 ＝5（米） 因此围出来的鸡圈下底是5米。 【典型例题2】一个梯形的上底是3厘米，如果将上底延长2厘米，则该梯形就变成一个正方形，这个梯形的下底和高各是多少厘米？请画出变化前后的图形。 【答案】图见详解；下底5厘米；高5厘米 【分析】一个梯形的上底是3厘米，如果将上底延长2厘米，则该梯形就变成一个正方形，说明延长后，上底、下底、两条腰就变得一样长了，变成了正方形；上底和下底之间的距离叫作梯形的高，延长后，上底和下底之间的距离不变，变成一个正方形，则正方形的边长就是上底和下底之间的距离，就是梯形的高；再根据数据画出图形即可。 【详解】 这个梯形的下底是5厘米，高是5厘米。 【练习】把如图的平行四边形剪成两个相同等腰梯形，那么这个等腰梯形的周长是（     ）厘米。 A．20 B．21 C．22 D．26 【答案】C 【分析】把如图的平行四边形剪成两个相同等腰梯形，观察图形可知，等腰梯形上底＋下底为平行四边形的底，即等于10厘米，等腰梯形的腰为平行四边形的斜边，即等于6厘米，因此这个等腰梯形的周长为10＋6＋6＝22（厘米）；据此解答。 【详解】10＋6＋6 ＝16＋6 ＝22（厘米） 把如图的平行四边形剪成两个相同等腰梯形，那么这个等腰梯形的周长是22厘米。 故答案为：C 考点8：画平行四边形、梯形 【典型例题】在下面方格图中画一个等腰梯形，并把这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】见详解 【分析】两腰相等的梯形叫做等腰梯形，据此特征在方格图中画一个等腰梯形。把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个三角形，就要用原来梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底顶点作另一条腰的平行线，即可得到一个平行四边形和一个三角形。 【详解】作图如下：（答案不唯一） 【练习】在下面方格中，分别画一个平行四边形和一个等腰梯形，然后分别画出它们的高。（每个小正方形边长为1厘米） 【答案】见详解 【分析】平行四边形的两组对边平行且相等。等腰梯形的一组对边平行，两条腰相等。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此画图即可。 【详解】 考点9：四边形之间的关系 【典型例题】下列说法正确的是（     ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【答案】B 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，把平行四边形对角连线会分成两个完全相同的三角形； 平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角相等；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形是长方形；正方形两组对边分别平行且相等、四个角都是直角； 角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小； 四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角；只有一组对边平行的四边形是梯形；不存在对边平行的四边形是不规则四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形；除了梯形和平行四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、 【详解】 A．两个完全一样的直角三角形才能拼成一个平行四边形，如图：这两个直角三角形就不能拼成一个平行四边形；原题说法不正确，不符合题意； B．长方形与平行四边形不同的是长方形的四个角都是直角，如果平行四边形的一个角是直角，那么其他三个角也是直角，这就符合长方形的特征，就是长方形了，当原来的平行四边形的邻边也相等时，它就成为一个正方形，所以原题说法正确，符合题意。 C．角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关；原题说法不正确，不符合题意； D．如图：，除了梯形和平行四边形是四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、不规则四边形等；原题说法不正确，不符合题意。 故答案为：B 【练习】明明用纸剪了一个四边形，但不小心撕掉了一部分。这个四边形不可能是图形（     ）。    A．   B．   C．   【答案】A 【分析】被撕掉是一个四边形，剩下的部分看，有一个角是直角，根据选项给的答案判断图形是有一个角是直角的四边形，逐一代入分析即可。 【详解】A．根据四边形的含义：由四条线段首尾顺次连接而成的图形是四边形。直角三角形不是四边形，所以这个图形不可能是三角形，符合题意。 B．长方形有4个角都是直角，所以这个图形可能是这个四边形，不符合题意。 C．这个图形是四边形，有2个角都是直角，所以这个图形可能是这个四边形，不符合题意。 故答案为：A 一、选择题 1．过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（     ）条。 A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】根据垂线的性质，过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，所以过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条，据此解答即可。 【详解】过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条。 故答案为：B 2．沿着梯形的高剪开，得到的两个图形不可能是（     ）。 A．三角形和梯形 B．长方形和梯形 C．两个三角形 D．两个梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了学生对梯形特征的认识与了解，以及对梯形的切拼体验的应用，沿梯形的一条高把梯形切成两部分，可能得到的形状是：三角形与四边形、四边形与四边形。如下图可知，沿着梯形的高剪开，得到的两个图形可以是三角形和梯形、两个梯形，长方形和三角形，不能得到两个三角形，据此即可解答。 【详解】根据分析可知： 沿着梯形的高剪开，得到的两个图形不可能是两个三角形。 故答案为：C 3．如图所示，拉动一个长方形使它变成一个平行四边形，这个平行四边形的面积最有可能是（     ）。 A．22平方厘米 B．18平方厘米 C．15平方厘米 D．都不可能 【答案】C 【分析】根据题意，把一个长方形木框拉成平行四边形后，图形各边的长度没有变化，即周长不变；长方形的面积＝长×宽，只是图形的高度变小了，底不变，高变小了，通过切割平移，可知面积变小了，找到比长方形面积小一些的即可。 【详解】 根据分析可知：如图所示，拉动一个长方形使它变成一个平行四边形，这个平行四边形的面积会变小。 6×3＝18（平方厘米） 22＞18＞15 即这个平行四边形的面积最有可能是15平方厘米。 故答案为：C 4．用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，三角形的三边分别长2厘米、3厘米和4厘米，拼成的平行四边形的周长最大是（     ）厘米。 A．18 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【分析】要使周长最大，拼接时把三角形三条边中最短的边重合，即边长是2厘米的边重合，拼成的平行四边形相邻两边的长度分别是3厘米和4厘米，再根据平行四边形的周长＝相邻两边长度之和×2，代入数值，即可求出周长。 【详解】（3＋4）×2 ＝7×2 ＝14（厘米） 用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，三角形的三边分别长2厘米、3厘米和4厘米，拼成的平行四边形的周长最大是14厘米。 故答案为：B 5．下列说法中正确的是（     ）。 A．两个锐角的和一定比直角大 B．长方形相邻的两条边互相垂直 C．不相交的两条直线叫平行线 D．一条直线长5厘米 【答案】B 【分析】锐角是大于0°而小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°而小于180°的角。‌‌长方形的四个角都是直角，因此相邻的两条边互相垂直。‌平行线‌是指在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线。直线是由无数个点构成，两端都没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度的一条直线。据此解答即可。 【详解】A．如果两个锐角分别是10°和20°，则它们的和是30°，小于直角，原说法错误； B．长方形的四个角都是直角，所以长方形相邻的两条边互相垂直，原说法正确； C．同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线叫平行线，原说法错误； D．直线不可测量长度，原说法错误。 说法中正确的是长方形相邻的两条边互相垂直。 故答案为：B 二、填空题 6．把一个平行四边形模型拉动后，只要有一个角变成90°，这个平行四边形就变成了（ ），这说明平行四边形具有（ ）的特征。 【答案】 长方形/正方形 不稳定性/易变形 【分析】当平行四边形的一个角变为90°时，由于平行四边形的对角相等且邻角互补，所有角都将变成90°。此时，该平行四边形满足长方形的定义，即四个角都是直角，因此它变成了一个长方形。如果正好平行四边行的四条边相等，那就变成了一个正方形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。说明平行四边形具有不稳定性、易变形的特征。 【详解】把一个平行四边形模型拉动后，只要有一个角变成90°，这个平行四边形就变成了长方形或正方形，这说明平行四边形具有不稳定性、易变形的特征。 7．在两条平行线之间画3条垂直线段，第一条长4厘米，第三条长（ ）厘米。 【答案】4 【分析】两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，据此即可解答。 【详解】根据平行线之间的距离处处相等可知，在两条平行线之间画3条垂直线段，第一条长4厘米，第三条长4厘米。 8．请认真观察下图，你发现图中有（ ）个梯形。 【答案】6 【分析】单个的小梯形有2个，由相邻的两个图形组成的梯形有3个，由四个图形组成的梯形有1个，共有梯形2＋3＋1＝6（个）。 【详解】由分析可知，2＋3＋1＝6（个） 图中有6个梯形。 9．张老师要用一根长24厘米的树枝条围成一个平行四边形教具，这个平行四边形教具的一条边是7厘米，与它相邻的一条边是（ ）厘米。 【答案】5 【分析】由于平行四边形的对边相等，因此用24除以2后，再减去其中一条边的长度，即可求出与它相邻的一条边是多少厘米；据此解答。 【详解】24÷2－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 即张老师要用一根长24厘米的树枝条围成一个平行四边形教具，这个平行四边形教具的一条边是7厘米，与它相邻的一条边是5厘米。 10．如图，3只蜜蜂同时去采一朵花上的花蜜，如果它们的飞行速度相同，那么（ ）蜜蜂会先飞到花上。 【答案】乙 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；据此解答即可。 【详解】如图可知： 如图，3只蜜蜂同时去采一朵花上的花蜜，如果它们的飞行速度相同，那么乙蜜蜂会先飞到花上。 11．一个平行四边形如下图，当AB缩短成3cm时，这个图形变成（ ）形。 【答案】梯 【分析】 平行四边形两组对边平行且相等，当AB缩短成3cm时，如图，，根据梯形的定义可知，只有一组对边平行的四边形是梯形，AB缩短了，但是依旧与CD平行，所以此时图形是梯形。 【详解】根据分析可知：一个平行四边形，当AB缩短成3cm时，这个图形变成梯形。 12．等腰梯形的周长是76厘米，已知腰长16厘米，上底长19厘米，下底长（ ）厘米。 【答案】25 【分析】根据梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰，两条腰的长度相等，列式计算即可。 【详解】76－19－16×2 ＝76－19－32 ＝25（厘米） 所以下底长25厘米。 13．平行四边形具有（ ）的特点，它的对边互相（ ）。两个完全一样的（ ）能拼成一个平行四边形。 【答案】 易变形 平行且相等 梯形 【分析】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形具有易变形的特性，两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形，例如：。 【详解】由分析可知，平行四边形具有易变形的特点，它的对边互相平行且相等。两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形。 14．一个平行四边形相邻两条边的长度和是13厘米，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 【答案】26 【分析】平行四边形的周长就是四条边长度之和。平行四边形的对边相等，所以这个平行四边形的周长＝相邻两条边的长度和×2，据此解答即可。 【详解】13×2＝26（厘米） 一个平行四边形相邻两条边的长度和是13厘米，这个平行四边形的周长是26厘米。 15．一个等腰梯形的上底长5厘米，把上底延长3厘米后，就变成了四条边相等的平行四边形。平行四边形的底是（ ）厘米，原来梯形的周长是（ ）厘米。 【答案】 8 29 【分析】根据题意，一个等腰梯形的上底长5厘米，把上底延长3厘米后，就变成了四条边都相等的平行四边形，由此可知，平行四边形的底和梯形的下底及两腰都是（5＋3）厘米，根据梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰的长，据此列式解答。 【详解】5＋3＝8（厘米） 5＋8＋8×2 ＝13＋16 ＝29（厘米） 所以，平行四边形的底是8厘米，原来梯形的周长是29厘米。 16．有一张平行四边形纸（如图所示），如果剪一刀，把它剪成两个完全一样的梯形，那么剪成的梯形上、下底之和可能是（ ）cm，也可能是（ ）cm。 【答案】 30 18 【分析】平行四边形对边平行且相等，梯形只有上下底平行，要将这张平行四边形纸剪成两个完全一样的梯形，则梯形的上底和下底的和应等于平行四边形的边长。即上底和下底的和等于30cm或者18cm。 【详解】如图所示： 剪成的梯形上、下底之和可能是30cm，也可能是18cm。 17．一个等腰梯形的周长是32厘米。已知上底与下底的和是18厘米，它的每条腰都是（ ）厘米。 【答案】7 【分析】根据梯形周长的意义，梯形的周长是指围成这个图形的4条边的长度总和。用梯形的周长减去上下底的和，再除以2即可求出每条腰的长度。 【详解】32－18＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 即它的每条腰都是7厘米。 三、判断题 18．在同一平面内的两条直线不相交，就一定互相平行。（ ） 【答案】√ 【分析】根据平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；进行判断即可。 【详解】同一平面内两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，所以在同一平面内，不相交的两条直线一定互相平行，题干说法正确。 故答案为：√ 19．一张长方形的纸，对折两次后，两条折痕一定互相平行。（ ） 【答案】× 【分析】将长方形纸对折两次时，折痕的方向取决于对折的方式。如果两次对折都沿同一方向（如均沿长边或均沿短边），则两条折痕互相平行。但如果两次对折方向不同（如第一次沿长边，第二次沿短边），则折痕会互相垂直。 【详解】由分析可知：一张长方形的纸，对折两次后，两条折痕可能平行，也可能垂直，原题说法错误。 故答案为：× 20．两个完全一样的平行四边形一定可以拼成一个长方形。（ ） 【答案】× 【分析】要拼成一个长方形，‌需要满足以下条件：‌ 两个平行四边形的相邻边必须相等，‌这样它们才能无缝拼接。‌ 两个平行四边形的夹角（‌即相邻边之间的角）‌必须是直角，‌这样拼接后的图形才是长方形。‌长方形的四个角都是直角，而平行四边形的内角都不是直角，所以两个完全一样的平行四边形不能拼成四个角都是直角的长方形。 【详解】平行四边形四个角都不是直角，所以两个完全一样的平行四边形无法拼成四个角都是直角的长方形。 故答案为：× 21．等腰梯形是轴对称图形。（ ） 【答案】√ 【分析】辨识轴对称图形的方法：如果一个图形，沿着一条直线对折，两边的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此判断即可。 【详解】等腰梯形都是两腰相等的图形，是轴对称图形； 故答案为：√ 22．如图，若a∥b，如图①、图②、图③底边上的高都相等。（ ） 【答案】√ 【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等。所以两条平行线之间图①、图②、图③底边上的高都相等。 【详解】若a∥b，如图①、图②、图③底边上的高都相等。原题说法正确。 故答案为：√ 四、作图题 23．过P点分别做OA的垂线和OB的平行线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边与已知直线OA重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。 把三角板的一条直角边与已知直线OB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】过点P画出OA的垂线、OB的平行线如下： 24．作出下面各图的任意一条高。 【答案】见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高； 梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高；注意作高用虚线，并标出垂足符号。 【详解】据分析作图如下：（画法不唯一） 五、解答题 25．一个平行四边形的车位，一条长边为6米，是短边的2倍。画一个这样的车位共需要画多少米？ 【答案】18米 【分析】由题意可知，平行四边形的短边等于6÷2＝3米，根据平行四边形的周长＝（长边＋短边）×2，代入数值，即可求出画一个这样的车位共需要画多少米。 【详解】6÷2＝3（米） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（米） 答：画一个这样的车位共需要画18米。 26．用篱笆围一块边长分别为6米和4米的平行四边形花圃，每米篱笆需要150元，一共需要多少元？ 【答案】3000元 【分析】由题意得，用篱笆围一块边长分别为6米和4米的平行四边形花圃，平行四边形的对边相等，可以把6米和4米加起来再乘2算出平行四边形的周长。每米篱笆需要150元，然后再乘上150即可算出一共需要的钱数。 【详解】（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（米） 20×150＝3000（元） 答：一共需要3000元。 27．把一个平行四边形分成一个三角形和一个等腰梯形，等腰梯形的周长是25厘米，上底长4厘米、下底长9厘米。平行四边形的周长是多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】根据题意，梯形的下底就是平行四边形的一条边，等腰梯形的腰就是平行四边形的另一条边；等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰×2，代入数据，可计算腰长。平行四边形的周长＝邻边和乘2，据此计算即可。 【详解】25－4－9＝12（厘米） 12÷2＝6（厘米） （9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 答：平行四边形的周长是30厘米。 28．一个形状是等腰梯形的菜园，上底长17米，下底长33米，腰长20米，要给它围上一圈篱笆，篱笆长多少米？ 【答案】90米 【分析】等腰梯形的两腰相等，而需要篱笆的长度就是等腰梯形菜园的周长，封闭图形一周的长度是这个图形的周长，依此计算即可。 【详解】17＋33＋20＋20＝90（米） 答：要给它围上一圈篱笆，篱笆长90米。 29．育才小学有一个梯形的花坛，花坛的上底长4米，下底长6米，两腰各长5米。如果在花坛的四周围上护栏，护栏长多少米？ 【答案】20米 【分析】由题意可知，梯形花坛的上底长4米，下底长6米，两腰各长5米，四周围上护栏，要求护栏的长度。根据等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰，代入数据计算即可。 【详解】由题意得： 4＋6＋2×5 ＝4＋6＋10 ＝10＋10 ＝20（米） 答：护栏长20米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $