专题01 解直角三角形（8大题型）（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题01 解直角三角形（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦的相关求解 1 题型二、余弦的相关求解 2 题型三、正切的相关求解 3 题型四、直接解直角三角形 5 题型五、解非直角三角形 6 题型六、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 8 题型七、解直角三角形的新定义问题 8 题型八、添加辅助线解直角三角形 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦的相关求解 1．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 3．等腰三角形中，，点D为三角形的重心，则 ． 4．如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为 ． 5．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 6．如图，在中，，， (1)求的长． (2)利用此图求的精确值． 题型二、余弦的相关求解 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 8．如图，矩形中，，，点在上，点在上，点，在对角线上．若四边形的是正方形，则的长是（   ） A． B． C．5 D． 9．如图，在中，，D是的中点，连接．将沿翻折得到，连接．若于点F，，则的长度为 ． 10．在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为 ． 11．如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 12．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 题型三、正切的相关求解 13．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 14．如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 15．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 16．如图，矩形中，边、分别在轴和轴上，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为，则点的坐标为 ． 17．如图，中，于点D，，， ，求，的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 题型四、直接解直角三角形 19．如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 21．如图，在中，，，点D为边的中点，于点E，连接，则的值为 22．如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 23．如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 24．如图，在中，，点D在边上，，，，求的长． 题型五、解非直角三角形 25．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．已知，则 ，若的面积为线段的长为 ． 28．如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么 ． 29．如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 30．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 题型六、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 31．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 32．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 33．如图，中，，，，则 ． 34．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 35．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 36．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 题型七、解直角三角形的新定义问题 37．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 38．我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 39．创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在 中，，，，点P是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为 ． 40．定义：若一个钝角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，在中，，，，点为上一个动点，若为“奋进三角形”，则的长为 ． 41．我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 42．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 题型八、添加辅助线解直角三角形 43．如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 44．如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 45．如图，正方形中，，点E是对角线上的一点．连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形． (1)若E点为对角线的中点，则 ； (2)求证：矩形是正方形； (3)求的值． 46．如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，，平分交边于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若求的长． 47．如图，在中，于点E，，点E为射线上的一点，于点G，交于点． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)如图2，若，点是内部一点，当的值取得最小值时，直接写出的长． 48．矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点． (1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值； (2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值． 1．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河北承德·二模）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若，，则为 ． 7．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接、．当时， ． 8．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 9．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则 ． 10．（25-26九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，且，． (1)求长； (2)求的正弦值． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 12．（2025·河北邢台·三模）如图1，中，，D为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点B落在点E处，交于点F，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． (2)如图2，当时，求的长度． (3)如图3，当D为中点时，直接写出的长度． (4)在（1）的条件下，将的点C在边上滑动到点M，点F随之在边上滑动到点N，点A的对应点为点P，如图4，直接写出点B与点P的最大距离． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解直角三角形（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦的相关求解 1 题型二、余弦的相关求解 2 题型三、正切的相关求解 3 题型四、直接解直角三角形 5 题型五、解非直角三角形 6 题型六、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 8 题型七、解直角三角形的新定义问题 8 题型八、添加辅助线解直角三角形 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦的相关求解 1．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，证明是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得： ，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 3．等腰三角形中，，点D为三角形的重心，则 ． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，过作于，先明确重心的性质，确定相关线段的比例关系，再得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出线段长度，最后根据正弦的定义求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，过作于， 设等腰中，（）， ∴， ∵点为的重心， ∴，是中点． ∴平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、重心的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握重心的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆．根据正六边形、正八边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为F， ∵是正六边形的外角， ∴， ∵是正八边形的外角， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴正六边形的边长为． 故答案为：． 5．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解； （）由，得，由勾股定理得，然后通过三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 6．如图，在中，，， (1)求的长． (2)利用此图求的精确值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查应用解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识以及逻辑推理能力和运用能力． （1）利用已知条件可以证明，再利用其对应边成比例即可求出的长． （2）作边上的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， ∵， ， ∴，即， ∴， ， （舍去）， ； （2）解：过点B作，交于点E， ， ，， ， ， ， ． 题型二、余弦的相关求解 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【详解】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出的长是解题关键．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出的长． 【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点O，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，矩形中，，，点在上，点在上，点，在对角线上．若四边形的是正方形，则的长是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】连接，交于点M，根据矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，解答即可． 【详解】解：连接，交于点M， ∵四边形的是正方形， ∴， ∵矩形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 9．如图，在中，，D是的中点，连接．将沿翻折得到，连接．若于点F，，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．证明是的中位线，设，，则，由折叠可知，则，得到，进而推导出，证明，进而证明四边形是正方形，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，取中点，连接，作于点． ∵，是的中点，为的中点，， ∴，，， ∴． ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 由折叠可知，则， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 由折叠知，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，即，， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解题关键是设边长，根据勾股定理列方程求解． 10．在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】当点E在线段上时，利用平行四边形的判定和性质，结合特殊角三角函数计算即可；当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，利用三角函数解答即可． 【详解】解：当点E在线段上时， ∵平行四边形中，F是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时， 过点F作于点M， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数的计算，分类思想，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 11．如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质及解直角三角形的知识， （1）根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出，从而得，证出是等边三角形，利用三线合一即可得出结果； （2）先求出，在中利用三角函数求出即可求出结果． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 是等边三角形， 是的角平分线， ； （2）解：是等边三角形， 是 的角平分线， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． 12．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、正切的相关求解 13．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 14．如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 15．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数；能熟练，勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．结合矩形的性质和折叠的性质，由正切函数得，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形为矩形， ，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 在中，（）； 故答案为：． 16．如图，矩形中，边、分别在轴和轴上，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的折叠，勾股定理，解直角三角形，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，正切的定义是解题的关键．过点作轴于点，交的延长线于点，则四边形是矩形，根据点的坐标得出，进而根据得出，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴ ∵点的坐标为， ∴，则， ∴ ∵矩形沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 17．如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【详解】（1）解：， ． 在中， ， ，， ； （2）解：连接，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，． 综上所述，，． 题型四、直接解直角三角形 19．如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键． 通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 20．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 21．如图，在中，，，点D为边的中点，于点E，连接，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理．利用等腰直角三角形结合勾股定理求出，解得到，然后通过，即可求得的值． 【详解】解：在中，，， ， ∴， 点D为边的中点， ， 于点， ， ， ， ． 故答案为：． 22．如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形；在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得的长即可解题． 【详解】解：在中， ∵，在中， ∵在矩形中，，， 又， ∴ 故答案为：． 23．如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）先利用勾股定理求出、，再利用线段的和差关系求出，最后利用线段中点求出； （2）先利用线段的和差关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴． 24．如图，在中，，点D在边上，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，正切定义，正确理解正切的定义是解题的关键．先根据得出的关系，再由得出，最后列方程求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴设，， 又， ， 在中，，， ， ∴， ， ， ∴， ． 题型五、解非直角三角形 25．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 26．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 27．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．已知，则 ，若的面积为线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识． 由全等三角形的性质得到，由，设，则，，则，证明，得到，解得，则，求出，，则，证明，求出，根据的面积得到，求出，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 解得， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，解得， ∵的面积为 ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：， 28．如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么 ． 【答案】2 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解此题的关键． 通过证明，可得，从而即可求解． 【详解】解：， ，， 点是的一个“布洛卡点”， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29．如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． （1）作，则中，根据勾股定理即可求得的长，即可求得； （2）作，则根据勾股定理可以求得的长，求得，即，求得k的值即可求的面积． 【详解】（1）解：作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴； （2）解：作，垂足为， 在中，，令，， 则， 又在中，， 则， 于是 ，即， 解得， ∴． 30．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 【答案】问题导入：； 实际应用：； 拓展延伸：． 【分析】问题导入：通过直角三角形的性质和勾股定理求得，接着利用外角和等边对等角求得，最后利用求得答案； 实际应用：先根据，求得，再根据问题导入可知，求得，即可求得； 拓展延伸：在中，，延长至使，连接．设，利用，表示出，那么，接着利用外角和等腰对等角求得，最后利用求得答案． 【详解】解：问题导入： 在中，，延长至使，连接．设，如图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 实际应用： 平分，， ， ，， ， 由问题导入可知，， ， ∴， ； 拓展延伸：在中，，延长至使，连接．设，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，角平分线的定义，30度所对的直角边等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型六、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 31．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 32．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 33．如图，中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 34．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 35．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 36．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 题型七、解直角三角形的新定义问题 37．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 38．我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，    ∵， ∴设，， ，互为半余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 39．创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在 中，，，，点P是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为 ． 【答案】4.8或6或7.5 【分析】首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后根据题意分三种情况讨论：①如图（1），当时，②如图（2），过点B作于点E，当时，设，，得到，然后证明出，得到，代入表示出，然后利用勾股定理求解即可；③如图（3），过点P作于点F，当时，解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 过点A 作于点 D， ∴，即 ∴， 分三种情况讨论： ①如图（1），当时，为“完美三角形”； ②如图（2），过点B作于点E，当时，是“完美三角形”． 设，， ∵ ∴此时点P在点D右侧， ∴， ∵，， ∴， ，即 在中，∵ 整理得， 解得， ∴； ③如图（3），过点P作于点F，当时，是“完美三角形”． ，即 ∴． 综上所述，的长为4.8或6或7.5． 故答案为：4.8或6或7.5． 【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 40．定义：若一个钝角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，在中，，，，点为上一个动点，若为“奋进三角形”，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E，可证明，则可证明，利用勾股定理求出，则，进而得到，设，则，， 由勾股定理得，解方程即可得到答案；当时，可证明平分，过点P作于H，则，设，则，解直角三角形可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当时， 如图，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴平分， 如图所示，过点P作于H，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 41．我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求角等知识与方法，适当选择相似三角形的判定定理证明图1中的及图2中的是解题的关键． 42．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)； (2)；，理由见解析；的长为． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形． （）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：； （2）解：， 理由：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故的长为． 题型八、添加辅助线解直角三角形 43．如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三角形和相似三角形的判定和性质，解题关键是根据结合图形，利用相似三角形或三角函数转化线段比． （1）根据求出，进而由勾股定理求出， ，再由面积法求出， （2）过点作于点H，由相似三角形的判定和性质先求出，进而由得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）过点作于点H， ∴， ∴ ∴① ∵在中， 代入①得：， ∴ ， ∴， 44．如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可求，可得点与点重合，即； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （3）作，，垂足分别为、，根据，设，则，，通过证明，可得，得出，即可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 点与点重合， ， 故答案为：； （2）解：是等腰三角形，故可分为三种情况： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得； ③当时，不成立． 综上所述，当是等腰三角形，求线段的长为或． （3）解：如图，作，，垂足分别为、， ， ， 故设，则， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 解得舍去，， ． 45．如图，正方形中，，点E是对角线上的一点．连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形． (1)若E点为对角线的中点，则 ； (2)求证：矩形是正方形； (3)求的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）若E点为对角线的中点，根据正方形的性质得出，进而解答即可； （2）如图，作于M，于，只要证明即可解决问题； （3）证明，可得，即可解决问题． 【详解】（1）解：若E点为对角线的中点， 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）证明：如图，作于M，于， 四边形是正方形， ， 于M，于N， ， ∵， 四边形是矩形， ， ∴， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （3）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ∴． 46．如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，，平分交边于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查矩形，全等三角形，勾股定理，解直角三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，进行解答，即可． （1）根据矩形的判定进行解答，即可； （2）过点作于，根据角平分线的性质，可得；根据，得到，；根据勾股定理，求出，根据全等三角形的判定和性质，得到，，根据，设，，则，根据勾股定理，解出，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2）解：如图，过点作于， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵平分， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， ∴． 47．如图，在中，于点E，，点E为射线上的一点，于点G，交于点． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)如图2，若，点是内部一点，当的值取得最小值时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形、正方形的判定，勾股定理，三角函数，直角三角形的性质，线段和最小值的求解方法，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）先根据平行四边形的性质和已知条件证得，再根据勾股定理可得，进而即可解得的长； （2）根据三角函数分别求出的值，即可证得； （3）先证得四边形是正方形，当、、三点在一条线上时，存在最小值，此时，当时，存在最小值，即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， ． （2）解：在中， 根据正弦函数的定义可得， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ． （3）解：， 在中， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， 为对角线，当、、三点在一条线上时，存在最小值， 此时，当时，存在最小值， 当在对角线的交点处，此时． 48．矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点． (1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值； (2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据矩形的性质得，因为折叠，得，则， 运用勾股定理得，再证明，故把数值代入进行计算，即可作答． （2）的延长线交于点，结合矩形的性质，证明，同理得，运用勾股定理得，解得，再代入数值到，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠可知：， ． ∴， 在中，， ， ， ； （2）解：如图，的延长线交于点， 四边形为矩形， ∴， ∴ ∵点E为线段的中点， ∴ ∵ ∴ ， ∵折叠 ∴ ∴ ∴． 设，则， 则， 在中，， 即， 解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，分别考虑在之间时和在的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解． 【详解】解：当在之间时，如图， 根据，不妨设，，， ∴， 由翻折的性质知：， ∵沿直线l翻折至所在直线， ∴， ∴， ∴， 过F作的垂线交于点E， ∴， ∴， 当在的延长线上时，如图， 根据，不妨设，，， 同理知：， 过点F作的垂线交于E， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题先证得，得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由图可得：，，，，为直角三角形，，，，，，，，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质等知识，求出，每秒旋转，6次一个循环，，可得第2025秒与起始位置夹角为，据此求解即可． 【详解】解：设， 由题意可得：， ， 矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴6次一个循环，， 第2025秒与起始位置夹角为， 与x轴负半轴夹角为， 与x轴正半轴夹角为， ， 解得， 因为点D在第四象限，故， 故选：D． 4．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 5．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，由等边三角形的性质可得，，，进而由锐角三角函数得到，再根据旋转的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点为等边的边的中点， ，，， 在中，， ， ∵绕点逆时针旋转后得到， ， 故选：． 6．（2025·河北承德·二模）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若，，则为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，由正方形和正方形，，，得，得，得，由，即可得，根据正切的定义进行解答即可． 【详解】解：由正方形和正方形，，， ∴， ， ， ， ． ∴ 故答案为： 7．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接、．当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了余弦、旋转的性质等知识，熟练掌握余弦的定义是解题关键．先根据旋转的性质可得，，再根据平行线的性质可得，然后根据余弦的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，正切，一元一次方程的应用，解题的关键在于确定线段之间的数量关系． 根据题意可设正方形边长，再利用正切，求出，接着利用求解即可． 【详解】因为为正方形，所以可设正方形边长， 在中，， ， ，解得， ，解得， ，解得， 正方形的边长为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则 ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得出，，，再根据垂直平分线的性质得出，，从而可得是等边三角形，于是有，再利用解直角三角形求得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质求线段长，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 10．（25-26九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，且，． (1)求长； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质求得，再根据三角函数的定义求得，勾股定理求得，即可求解； （2）过点A作交延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，由同角的余角相等可得，从而得出，解直角三角形得出，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算得出，从而得出，最后由正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴． 12．（2025·河北邢台·三模）如图1，中，，D为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点B落在点E处，交于点F，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． (2)如图2，当时，求的长度． (3)如图3，当D为中点时，直接写出的长度． (4)在（1）的条件下，将的点C在边上滑动到点M，点F随之在边上滑动到点N，点A的对应点为点P，如图4，直接写出点B与点P的最大距离． 【答案】(1)①见解析；②； (2)； (3)； (4)点B与点P的最大距离为．理由见解析． 【分析】（1）①根据题意得到，结合平行线的判定即可求解；②由勾股定理得到，由，可得EF的值，根据即可求解； （2）如图1，过点D作于点G，设，则，由此即可求解； （3）连接，延长交于点Q，由折叠可得，Q为中点，则，设，由勾股定理得到，由此列式求解即可； （4）如图所示，作的外接圆，过点O作于点H，过点P作延长线于点G，连接，则四边形是矩形，则，由（1）②得，则，当点B，O，P在同一直线上时，点B与点P的距离最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； ②解：在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 当时，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：如图1，过点D作于点G， ∵， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度为；理由如下： 如图2，连接，延长交于点Q， ∵D为中点，沿折叠使点B落在点E处， ∴，Q为中点， ∴． 设， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （4）解：点B与点P的最大距离为．理由如下： 由（1）可得，当时，，则， 如图4，作的外接圆，过点O作于点H，过点P作延长线于点G，连接， ∵， ∴四边形是矩形，则， 由（1）②得， ∴． ∵，则， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∵当点B，O，P在同一直线上时，点B与点P的距离最大，最大值为， ∴最大距离为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行线的判定，折叠的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，确定最大值是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $