期中复习6大类型42个考点（举一反三期中专项训练）九年级数学上学期华东师大版

期中复习6大类型42个考点（前3章） 【华东师大版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 二次根式有意义的条件】 2 【考点2 二次根式的性质与化简】 2 【考点3 二次根式的乘除法】 2 【考点4 最简二次根式】 3 【考点5 同类二次根式】 3 【考点6 二次根式的加减法】 3 【考点7 判断是否是一元二次方程】 3 【考点8 一元二次方程的一般形式】 4 【考点9 一元二次方程的解】 4 【考点10 解一元二次方程—直接开平方法】 4 【考点11 解一元二次方程—配方法】 4 【考点12 配方法的应用】 5 【考点13 一元二次方程根的判别式】 5 【考点14 解一元二次方程—公式法】 5 【考点15 解一元二次方程—因式分解法】 6 【考点16 一元二次方程根与系数的关系】 6 【考点17 根据实际问题列一元二次方程】 7 【考点18 成比例线段】 7 【考点19 平行线分线段成比例】 8 【考点20 相似三角形的判定】 9 【考点21 相似三角形的性质】 10 【考点22 根据位似变换求值】 11 【计算篇】 12 【考点23 二次根式的混合运算】 12 【考点24 二次根式的化简求值】 13 【考点25 一元二次方程的解法】 14 【实际应用篇】 14 【考点26 二次根式的应用】 14 【考点27 一元二次方程的应用】 16 【考点28 相似三角形的应用】 17 【作图篇】 19 【考点29 作位似图形】 19 【考点30 在网格中作相似三角形】 21 【几何计算与证明篇】 22 【考点31 利用平行线分线段成比例求线段长度】 22 【考点32 证明相似三角形】 23 【考点33 利用相似三角形的判定和性质求值】 24 【考点34 利用相似三角形的判定和性质证明】 26 【压轴篇】 27 【考点35 复合二次根式的化简】 27 【考点36 分母有理化】 28 【考点37 换元法解一元二次方程】 29 【考点38 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 29 【考点39 利用相似求坐标】 31 【考点40 相似三角形-动点问题】 32 【考点41 相似三角形-最值问题】 33 【考点42 相似三角形-综合与实践】 35 【基础概念易错篇】 【考点1 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【考点2 二次根式的性质与化简】 1．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当时，化简二次根式 【考点3 二次根式的乘除法】 1．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【考点4 最简二次根式】 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【考点5 同类二次根式】 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A．2 B． C．3 D．1 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【考点6 二次根式的加减法】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【考点7 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【考点8 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【考点9 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【考点10 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【考点11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【考点12 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【考点13 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【考点14 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【考点15 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【考点16 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【考点17 根据实际问题列一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点18 成比例线段】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 3．（25-26九年级上·广东·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点E是平行四边形边上一点，、延长线交于点F，下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【考点19 平行线分线段成比例】 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【考点20 相似三角形的判定】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 3．（2020·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【考点21 相似三角形的性质】 1．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【考点22 根据位似变换求值】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 4．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【计算篇】 【考点23 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点24 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 2．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【考点25 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【实际应用篇】 【考点26 二次根式的应用】 1．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【考点27 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【考点28 相似三角形的应用】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 4．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【作图篇】 【考点29 作位似图形】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【考点30 在网格中作相似三角形】 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 2．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的点A、B、C在格点上，格点D、E分别在边上．按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画线段的垂直平分线，分别交于点F、G． (2)在图②中过点B作交于点M． (3)在图③中，连结，过点C作交于点N． 【几何计算与证明篇】 【考点31 利用平行线分线段成比例求线段长度】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是边上的一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，．求的长． 3．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【考点32 证明相似三角形】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 4．如图，四边形中，平分，，E为的中点． (1)求证：； (2)连接交于点F，求证：． 【考点33 利用相似三角形的判定和性质求值】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点O，过点O作，分别交边、于点E、F． (1)求线段的长； (2)如果的面积等于4，求梯形的面积． 3．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【考点34 利用相似三角形的判定和性质证明】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、（如图2）． 求证：． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 4．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【压轴篇】 【考点35 复合二次根式的化简】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【考点36 分母有理化】 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； (2)计算：； (3)计算： ① ②已知：，，求的值． 【考点37 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【考点38 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【考点39 利用相似求坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 2．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【考点40 相似三角形-动点问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【考点41 相似三角形-最值问题】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 4．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，延长与交于点E，当时，求的面积； (3)当射线交线段于点F时，求的最大值． 【考点42 相似三角形-综合与实践】 1．（2025·江苏扬州·二模）综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接． (1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内． ① ；（用含字母a的代数式表示） ②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：． (2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系． (3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值． 2．（2025·河南新乡·二模）综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． (1)如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． (3)在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且于点P． (1)求证：． (2)如图2，取的中点G，连接，过点P作，交于点H，连接． ①求证：． ②若，，求的长． 4．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习6大类型42个考点（前3章） 【华东师大版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 二次根式有意义的条件】 2 【考点2 二次根式的性质与化简】 3 【考点3 二次根式的乘除法】 4 【考点4 最简二次根式】 6 【考点5 同类二次根式】 7 【考点6 二次根式的加减法】 8 【考点7 判断是否是一元二次方程】 9 【考点8 一元二次方程的一般形式】 11 【考点9 一元二次方程的解】 12 【考点10 解一元二次方程—直接开平方法】 13 【考点11 解一元二次方程—配方法】 14 【考点12 配方法的应用】 15 【考点13 一元二次方程根的判别式】 17 【考点14 解一元二次方程—公式法】 19 【考点15 解一元二次方程—因式分解法】 22 【考点16 一元二次方程根与系数的关系】 23 【考点17 根据实际问题列一元二次方程】 25 【考点18 成比例线段】 26 【考点19 平行线分线段成比例】 29 【考点20 相似三角形的判定】 32 【考点21 相似三角形的性质】 36 【考点22 根据位似变换求值】 40 【计算篇】 43 【考点23 二次根式的混合运算】 43 【考点24 二次根式的化简求值】 48 【考点25 一元二次方程的解法】 50 【实际应用篇】 55 【考点26 二次根式的应用】 55 【考点27 一元二次方程的应用】 60 【考点28 相似三角形的应用】 64 【作图篇】 69 【考点29 作位似图形】 69 【考点30 在网格中作相似三角形】 74 【几何计算与证明篇】 79 【考点31 利用平行线分线段成比例求线段长度】 79 【考点32 证明相似三角形】 84 【考点33 利用相似三角形的判定和性质求值】 88 【考点34 利用相似三角形的判定和性质证明】 92 【压轴篇】 96 【考点35 复合二次根式的化简】 96 【考点36 分母有理化】 98 【考点37 换元法解一元二次方程】 101 【考点38 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 104 【考点39 利用相似求坐标】 110 【考点40 相似三角形-动点问题】 116 【考点41 相似三角形-最值问题】 122 【考点42 相似三角形-综合与实践】 132 【基础概念易错篇】 【考点1 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的意义，零指数幂，有理数的乘方，不等式组，代数式求值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据二次根式的意义求出x、y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， 则， ∴． 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．利用二次根式大于等于，则时，代数式的值最大，即可得解． 【详解】解：，， ，且当时，取最小值0， 当时，代数式的值最大，最大值为． 故答案为：． 【考点2 二次根式的性质与化简】 1．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当时，化简二次根式 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的基本化简运算方法是解题的关键． 先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵，， 又∵，， ∴，即， ∵ ， 又 ∵，，， ∴原式． 故答案为：． 【考点3 二次根式的乘除法】 1．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先根据二次根式的运算化简，再利用无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴估计的值应在2和3之间， 故选：B． 【考点4 最简二次根式】 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足以下两个条件：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足的两个条件逐项判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意； B．不是最简二次根式，故B不符合题意； C．不是最简二次根式，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【考点5 同类二次根式】 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A．2 B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键． 利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式， ， ． 故选：D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，同类二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用二次根式的性质将题干与选项中的二次根式能化简的分别化简，再作出判断． 【详解】解：，，， 、、、中，能与合并， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 故答案为：4 【考点6 二次根式的加减法】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，数轴上两点间的距离，二次根式的加减运算等知识．根据数轴上两点间的距离是用较大的数减去较小的数进行计算即可． 【详解】解：,两点之间的距离 ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算．根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 【考点7 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意；     故选：C． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 【考点8 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点9 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为． 【详解】解：当时，，所以若，则一元二次方程一定有一个根为． 故选：A． 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意将代入方程中，再观察结果和所得方程关系即可得到本题答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【考点10 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为： 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：原方程变形为， 由题意，， 解得：， 故选：B． 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 【考点11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先移项得到，再把方程两边加上9得到，从而得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以， 解得． 故答案为：5． 【考点12 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【考点13 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； B、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； C、∵， ∴， ∴方程有两个相等实数根，此项正确； D、， ∴， ∴方程没有实数根，此项错误； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意且，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 【考点14 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 【答案】11或9 【分析】本题考查利用求根公式求方程，熟练掌握求根公式以及平方数的定义是解题的关键．本题由求根公式可得：，结合方程的根都是整数以及为平方数进行分析求解即可． 【详解】解：由可知， ， 由题意知方程有实数根， 所以由求根公式可得：， 化简得：， 方程的根都是整数， 为平方数， 设（为正整数）， ，则， 为正整数，为正整数， 和为24的正整数因数，且， ∵， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 正整数的值为11或9． 故答案为：11或9． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，解一元二次方程的方法，根据等式的性质，解一元二次方程的方法逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解，所以甲错误，故选不符合题意； B、整理得：， ，，， ， ， ，，所以乙错误，故选项不符合题意； C、整理得， 配方得：， ， ， ，，所以丙错误，故选项不符合题意； D、移项得：， ， 或， ，，所以丁正确，故选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 利用一元二次方程的求根公式进行求解即可． 【详解】解：，， ， 根据求根公式得， ， ∴，， 故选：A． 【考点15 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，正确解出一元二次方程并分类讨论是解题的关键． 先利用因式分解法求的方程两个根分别是2和3，再结合三角形的三边关系进行分类讨论即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 当2为腰，3为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为； 当3为腰，2为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为． 综上，周长分别为7或8． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分和分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得：，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 把代入得， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， 综上所述，或 故答案为：或． 【考点16 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【考点17 根据实际问题列一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设今后两年投资的年平均增长率为x，则今年投资万元，明年投资万元，再根据“今后两年共投资750万元”建立方程． 【详解】解：设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 【考点18 成比例线段】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是通过比例的变形，整体代入求值．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，即，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：，. 故选C． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点E是平行四边形边上一点，、延长线交于点F，下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．根据平行四边对角相等和对边平行，得到相似三角形，再利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，，， A、∵， ∴，该选项说法正确，故不符合题意； B、∵， ∴， ，该选项说法正确，故不符合题意； C、， ， 又， ， ，该选项说法正确，故不符合题意； D、∵ ∴ ∴， ∵， ∴，该选项说法错误，故符合题意． 故选：D． 【考点19 平行线分线段成比例】 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 4．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 【考点20 相似三角形的判定】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，面积比为．设相似比为k， ∴ ∴ ∴与的对应角的角平分线之比 故选：A． 3．（2020·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：D． 【考点21 相似三角形的性质】 1．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 2．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          【答案】5 【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论． 【详解】解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴ ∴ ∴，即①； ∵CE是∠ACB的外角平分线， ∴ ∴，即②； ①+②，得． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理可得，再结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点， ∵菱形的周长和面积分别为12和6， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点22 根据位似变换求值】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定；先作，即可求出，再根据相似三角形的对应边成比例得，进而得，然后说明，再结合可得答案. 【详解】解：过点O作交于点M， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换、矩形的性质及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积比确定其位似比，注意有两种情况．根据相似图形的性质即可完成． 【详解】解：由题意可知，， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形相似，且相似比为， 点的坐标是或， 即点的坐标是或， 故答案为：或． 4．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【详解】 解：∵在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，， ∵点的坐标为, ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，， ， ∵矩形的对角线交点 ，即， 故答案为：． 【计算篇】 【考点23 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的知识． （1）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法法则和完全平方公式进行计算，再进行合并即可； （3）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先利用二次根式的性质化简再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式，二次根式形式化简，再合并同类项即可； （3）先算二次根式的乘除法，利用二次根式的性质化简，再合并同类项即可； （4）先分母有理化，计算算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. （1）原式先化简各二次根式，再合并即可； （2）原式先计算二次根的乘法和除法，再合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ； （2）解：根据题意可知：， ∴， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【考点24 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2），， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 【考点25 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】（1） （2） 或 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）先求解，再利用公式法解一元二次方程即可． （3）整理得，利用公式法解一元二次方程即可． （4）先把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解：， 整理得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴或或， 解得：，，． 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程， （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将m的值代入利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 即，． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键， （1）利用方程有两个实数根，得到，代入即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到，代入，解出关于k的一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ∵， ∴， 解得：． （2）解：∵，是方程的两个根 ， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）． 【实际应用篇】 【考点26 二次根式的应用】 1．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据长方形的周长公式即可求出答案． （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而可求出正方形的边长； 【详解】（1）长方形的周长=； （2）长方形的面积=， 根据面积相等，则正方形的边长= ∴正方形周长=×4=． 【点睛】此题考查二次根式的应用，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)四个隔板的总长度为： 【分析】本题考查的是二次根式的应用． （1）由隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，可得正方形的面积，进一步求解即可． （2）设全等的矩形的长边为，短边为， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． （2）解：设全等的矩形的长边为，短边为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个隔板的总长度为：． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； （2）解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【分析】本题考查二次根式的应用、算术平方根等知识点，根据图形运用相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的边长等于面积的算术平方根求解即可； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，然后再求长方形木板的周长和面积即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， 则长方形木板的周长为， 面积为． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 【答案】(1)需要到达地面； (2)不认同，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键． （1）将，代入关系式，计算出时间 （2）先将，代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系． 【详解】（1）解：把，代入得 （2）解：把，，代入： 因为， 所以不认同明明的想法． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【答案】(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 【考点27 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析 (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副， 依题意得，， 解得， 降价后每副的售价为（元）， 进价为每副42元，， 平均每月的销售量能达到500副时会亏本， 小明的说法不正确； （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设降低元， ∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副， ∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副， 由题意得， 解得或， 当时（甲的意见），销售量为副； 当时（乙的意见），销售量为副； ∵尽量减少库存， ∴采纳销售员乙的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 【考点28 相似三角形的应用】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，得到，代入数据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， 由题意可得， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知可知，即得，，得到，，进而可得，求出再代入比例式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， 答：山高为． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．设，，通过证明和，得到和，再代入数据列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①和②解得（负值已舍去）， ∴， 答：大厦主体建筑的高度是． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 【作图篇】 【考点29 作位似图形】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质解答即可； （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 （3）解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． （1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据相似比等于位似等于相应线段之比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，为所求． （2）解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的相似比是位似比为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可． （2）取格点N，使，且，连接交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，取格点N，，且，连接交于点M， 此时， ∴， 则点M即为所求． 【考点30 在网格中作相似三角形】 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 2．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形、中心对称图形和轴对称图形． （1）作平行四边形，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的点A、B、C在格点上，格点D、E分别在边上．按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画线段的垂直平分线，分别交于点F、G． (2)在图②中过点B作交于点M． (3)在图③中，连结，过点C作交于点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点中作图，作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据线段垂直平分线的定义作出图形即可； （2）取格点J，最直线交于点M，直线即为所求； （3）取格点P，Q，连接交于点N，作直线即可． 【详解】（1）解：如图①中，直线即为所求； （2）如图②中，直线即为所求； （3）如图③中，直线即为所求． 【几何计算与证明篇】 【考点31 利用平行线分线段成比例求线段长度】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【详解】（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是边上的一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，则，即可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 3．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点32 证明相似三角形】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由矩形的性质得，则、，再根据垂直的性质可得，进而得到；再根据角的和差可得，最后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 4．如图，四边形中，平分，，E为的中点． (1)求证：； (2)连接交于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【考点33 利用相似三角形的判定和性质求值】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点O，过点O作，分别交边、于点E、F． (1)求线段的长； (2)如果的面积等于4，求梯形的面积． 【答案】(1)线段的长为4 (2)梯形的面积为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和梯形面积的计算．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）因为，所以，由相似三角形对应边成比例得出，进而得到，又因为，所以，根据相似三角形对应边成比例求出，同理求出，最后得出． （2）由，且相似比为，根据三角形面积比等于相似比的平方，结合的面积求出的面积，再根据与、高相同，底的比例关系，求出与的面积，最后将四个三角形的面积相加即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 同理，， ， ． （2）解：由（1）知，且相似比为， ， ， 与的高相同，底的比为， ， 同理，， 梯形的面积． 3．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）由平行四边形对边平行且相等，可得，，，，由平行线的性质得，，证明，根据对应边长成比例即可求解； （2）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解： ， ，， ， ， ． 即三角形与三角形的面积之比为． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和全等三角形性质和判定，勾股定理； （1）先证明，根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴． 【考点34 利用相似三角形的判定和性质证明】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、（如图2）． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的判定和性质．由平行线分线段成比例求得，利用旋转的性质求得，推出，据此计算即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵绕点逆时针旋转某个角度得， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的简单应用．分别计算相关三角形的对应边的比例关系，根据相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】证明：设正方形的边长为， 则，，， ， 又， ， ． 4．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据条件证明，得到，再证明，得到，等量代换即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，利用对应边成比例，再根据中位线的性质定理，等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ， ∵点为中点， ∴， ∴． 【压轴篇】 【考点35 复合二次根式的化简】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【考点36 分母有理化】 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 (4)7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； (2)计算：； (3)计算： ① ②已知：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式的有理化因式、分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握有理化因式的确定方法（利用平方差公式，使两式乘积不含根号）、分母有理化的运算步骤（分子分母同乘有理化因式）以及裂项相消法在二次根式求和中的应用． （1）确定的有理化因式，依据平方差公式，找与相乘后积不含根号的式子；对分母有理化，需分子分母同乘消去分母的根号． （2）先对分母有理化，再将、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （3）①将每一项分式分母有理化后裂成“”的形式，中间项抵消后计算； ②先化简、，再用平方差公式简化计算，避免直接平方的复杂运算． 【详解】（1）解：∵，积为不含根号的实数，   ∴的一个有理化因式是；   ，   故答案为：；； （2）解：            ； （3）①解：                  ； ②解：，   ；   ∴       【考点37 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 【考点38 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解一元二次方程根与系数关系，并能对相关式子进行变形是解题关键． （1）根据题意得到m，n是方程的两个不相等的实数根，得到，变形为整体代入即可求解； （2）变形为，结合得到p、可看作方程的两根，得到，变形为即可求解； （3）根据、得到a、b是方程的两个根，即可得到，根据，即可求出，得到c的最大值为7． 【详解】（1）解：∵实数m、n满足、，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴p、可看作方程的两根， ∴， ∴； （3）解：∵、， ∴a、b是方程的两个根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴c的最大值为7． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) ； 或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意， ， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 【考点39 利用相似求坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 2．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或或或或或 【分析】本题考查了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质． （1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出，的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）先求出，，再根据以为直角边，得到或，最后根据与相似得到比例式计算即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为， ∵点E为直线上一点， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵以为直角边， ∴或， ①当时，点在轴上，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； ②当时，，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； 综上所述，存在点M，使与相似，且以为直角边，点M的坐标为或或或或或或或． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 【考点40 相似三角形-动点问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【答案】能，或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，点D、E、F为顶点的三角形能与相似． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 【考点41 相似三角形-最值问题】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是转化思想的运用． （1）①根据矩形的性质证明即可；②连接，由勾股定理求得，由于，则当点共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，证明，则，故，则当点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，由于，则当点三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； （2）解：延长至点，使得，连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 【答案】最小值为12， 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，此时，四边形周长，四边形周长最小值，利用勾股定理求出的长即可；再证明，得，从而求得，即可求出的长． 【详解】解：作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，如图， 则，，，，， ∴，则最小值为 ， ∵， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小值， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】（1）证明则，，再结合三角形内角和定理可得； （2）证明，则、，证明，则、， 由，可得，即； （3）如图，过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则、，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，； 如图：设相交于F，、相交于G， ∵，， ∴，即． 故答案为：，． （2）解：，，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图，过点C作，在上取点E使，连接， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为16， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键． 4．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，延长与交于点E，当时，求的面积； (3)当射线交线段于点F时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠可知：，由平分，得到，进一步有．由四边形是矩形，得到，由得到的长； （2）由四边形是矩形，得到．由折叠可知：，得到，故．设，则．在中，由，得到．故，由，即可得到结论； （3）如图2，过点A作于点H，则，故，由，，故当点N、H重合（即）时，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3），而，故可求出的最大值． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴， ∵平分， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴， 解得：， ， ， ∴． （3）解：如图2，过点A作于点H， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴， ，， ∴当点N、H重合（即）时，最大，最小，最小，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3）， 由折叠性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴， 的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，合理构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【考点42 相似三角形-综合与实践】 1．（2025·江苏扬州·二模）综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接． (1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内． ① ；（用含字母a的代数式表示） ②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：． (2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系． (3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值． 【答案】(1)①，见解析 (2)，证明见解析 (3)3 【分析】（1）①利用折叠性质直接求解即可； ②连接，先证明，得到， 再在中，利用勾股定理求解即可； （2）证明得到，由可得结论； （3）点M在线段上，作于点Q，可得，由，，得到，则，故3，则3；当点M在线段的延长线上，过E作交延长线于R，先证明，是等腰直角三角形，，，再证明得到，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 由折叠性质得； 故答案为：； ②证明：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴，又， ∴， ∴， 设， ∵M为中点，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得，则， ∴； （2）解：． 证明： ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点M在线段上，作于点Q，则， ∵正方形 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴3， ∴3； 当点M在线段的延长线上，过E作交延长线于R， 则，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练运用全等三角形的性质和相似三角形的性质是解答的关键． 2．（2025·河南新乡·二模）综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． (1)如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． (3)在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)结论成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据直角三角形斜边的性质解答即可； （2）分别延长至点G，至点H，使，，可得垂直平分，垂直平分，从而得到，再证明，，，然后根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，，即可解答； （3）根据题意可得，设，然后分两种情况讨论，结合勾股定理以及相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解∶∵，点 F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； 故答案为：， （2）解：如图，分别延长至点G，至点H，使，， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点 F是的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴，，， ∴， 即； （3）解：由（2）得，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 设， 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题主要查了直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且于点P． (1)求证：． (2)如图2，取的中点G，连接，过点P作，交于点H，连接． ①求证：． ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）①由，得，再证明即可推出结论；②先得出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ， ， ． （2）解：①证明：，， ，即，． ，， ， ； ②，， ， ． 四边形是正方形， ， ． 是的中点， ． ， ， ， ． 在中，． 4．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1），（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由见解析（3） 【分析】（1）根据旋转性质得根据勾股定理列式解得故；运用三角形内角和性质，得出，即，即可作答． （2）根据旋转性质得，根据两边成比例，夹角相等得，即，，得，则，即进行作答即可． （3）如图，过点作于点，根据勾股定理得，再证明，得，因为所以，得．即可作答． 【详解】（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，， ∴ ∴， ∴ ∴与之间的数量关系是， 延长交于一点， ∵，， ∴， 即， ∴与的位置关系是， 故答案为：，； （2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致， 理由如下： 如图，延长交于点， 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到， ， ， ， ， ，． （3）如图，过点作于点， ， ， ， 又 ， ， ， 由（2）可知． 【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $