专题01 二次根式及其运算16题型（期中专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题01 二次根式及其运算 题型1二次根式的定义 题型9 二次根式的加减运算（常考点） 题型2 二次根式有意义的条件（常考点） 题型10 积的算术平方根（重点） 题型3 含参数的二次根式（重点） 题型11 二次根式的新定义问题（难点） 题型4 运用性质求二次根式的值 题型12 二次根式的乘除法 题型5 二次根式的化简与求值（重点） 题型13 二次根式的混合运算（常考点） 题型6 最简二次根式（常考点） 题型14 分子分母有理化（重点） 题型7 比较二次根式的大小 题型15 二次根式的规律探究（难点） 题型8 同类二次根式（常考点） 题型16 二次根式的综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的定义（共2小题） 1．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 题型二 二次根式有意义的条件（共4小题） 3．若，则实数在数轴上的对应点一定在 （      ） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点及原点左侧 D．原点及原点右侧 4．等式成立的条件是（   ） A．a、b同号 B．， C．， D．， 5．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 6．若代数式有意义，则实数y的取值范围是 ． 题型三 含参数的二次根式（共5小题） 7．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 8．如果是有理数，那么正整数的最小值是 ． 9．若，则 ． 10．若满足关系式 ，则 ． 11．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 题型四 运用性质求二次根式的值（共3小题） 12．当时，二次根式的值为 ． 13．摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为 （结果保留整数；参考数据：）． 14．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 题型五 二次根式的化简与求值（共5小题） 15．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 16． ． 17．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 18．（1）已知x、y为实数，且，求的值； （2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：． 19．已知，求的值 题型六 最简二次根式（共5小题） 20．下列各式中，化为最简二次根式后含有的是（   ） A． B． C． D． 21．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 22．当 时，两个最简二次根式和可以合并． 23．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 24．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 题型七 比较二次根式的大小（共4小题） 25．比较大小： ， ． 26．已知 ，，，比较的大小关系． 27．作商法比较与的大小． 28．写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 题型八 同类二次根式（共3小题） 29．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 30．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 31．已知整数满足，那么整数对的个数是（    ） A． B． C． D． 题型九 二次根式的加减运算（共3小题） 32．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 33．若，则整数a的值为 ． 34．计算： ． 题型十 积的算术平方根（共3小题） 35．化简： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 36．先化简，再求值：，其中，，． 37．我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 题型十一 二次根式的新定义问题（共3小题） 38．根据我们所熟知的完全平方公式 可以得到一个非常重要的结论：对于任意两个实数和，都有不等式 成立，这就是基本不等式．它的出现为许多最值问题做出了巨大贡献． 基本不等式的证明过程： 两边同时减去，得 即 即 (1)中，当，时， ； (2)仿照基本不等式的证明过程，请尝试证明当，时， 成立； (3)若，，，则的最大值为（   ） A．            B．                 C．1             D．2 39．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 40．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 题型十二 二次根式的乘除法（共3小题） 41．计算结果为（   ） A． B． C． D． 42．若，则化简 ． 43．计算：． 题型十三 二次根式的混合运算（共4小题） 44．若，，则的值为 ． 45．计算： (1)； (2)． 46．（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 47．已知， ，求的值． 题型十四 分子分母有理化（共3小题） 48．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子 ． (2)利用上面所提供的解法，请化简的值． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 49．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ，① ，② ．③ 以上化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．④ (1)请参照③和④分别用两种不同的方法化简． (2)计算：． 50．先化简，再求值：，其中． 题型十五 二次根式的规律探究（共4小题） 51．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 52．由 我们可以归纳出结论；则由，，，我们可以归纳出的结论是 ． 53．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第6个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________； (3)求的值． 54．观察下列式子的变形规律，解决下列问题：；；… (1)若n为正整数，猜想______； (2)若，求正整数k的值； (3)化简：． 题型十六 二次根式的综合应用（共6小题） 55．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 56．如图，在中，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折得到，连接．过点作交于点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的周长为 57．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 58．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 59．《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 60．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． $专题01 二次根式及其运算 题型1二次根式的定义 题型9 二次根式的加减运算（常考点） 题型2 二次根式有意义的条件（常考点） 题型10 积的算术平方根（重点） 题型3 含参数的二次根式（重点） 题型11 二次根式的新定义问题（难点） 题型4 运用性质求二次根式的值 题型12 二次根式的乘除法 题型5 二次根式的化简与求值（重点） 题型13 二次根式的混合运算（常考点） 题型6 最简二次根式（常考点） 题型14 分子分母有理化（重点） 题型7 比较二次根式的大小 题型15 二次根式的规律探究（难点） 题型8 同类二次根式（常考点） 题型16 二次根式的综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的定义（共2小题） 1．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故无意义，不一定是二次根式，不符合题意； B、由可得，故一定是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，故不符合题意； D、，故无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选：C． 题型二 二次根式有意义的条件（共4小题） 3．若，则实数在数轴上的对应点一定在 （      ） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点及原点左侧 D．原点及原点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点一定在原点及原点左侧， 故选：． 4．等式成立的条件是（   ） A．a、b同号 B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：除法法则． 根据二次根式除法法则的条件求解． 【详解】解：根据题意可知在分子上，在分母上，所以． 故选：B． 5．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 6．若代数式有意义，则实数y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握被开方数为非负数，分式的分母不为零，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 题型三 含参数的二次根式（共5小题） 7．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 8．如果是有理数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【详解】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 9．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 题型四 运用性质求二次根式的值（共3小题） 12．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 13．摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为 （结果保留整数；参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，解决本题的关键是根据．摆钟的摆锤长为，求出摆锤摆动一个来回需要的时间，再根据分钟等于秒可以求出在分钟内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解： ．若某摆钟的摆锤长为， ， 又， 在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为下． 故答案为： ． 14．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 题型五 二次根式的化简与求值（共5小题） 15．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 16． ． 【答案】 【分析】本题考查了初中数学中的二次方程求解、平方根的性质以及无限嵌套结构的理解．解题的关键在于设未知数 x 表示无限嵌套的平方根式．设 ，通过平方化简为二次方程进行求解，根据算术平方根的非负性确定答案． 【详解】解：设所求的值为x，则原式可表示为： ， ， 解得，， 算术平方根的结果非负， ， 故答案为：1 17．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 18．（1）已知x、y为实数，且，求的值； （2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，确定，得出，然后代入求解即可； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，，得出，，再化简计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：，， ∴，， ． 19．已知，求的值 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 根据求代数式值中的整体思想，即可解答． 【详解】解：， ， 原式． 题型六 最简二次根式（共5小题） 20．下列各式中，化为最简二次根式后含有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，以及同类二次根式的定义，掌握以上知识是解题的关键． 利用二次根式的性质逐一化简各选项中的二次根式，进而求解即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 21．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的根号内不含平方因式，不含分母，是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：A、 ，故不符合题意； B、，无法化简，故符合题意；              C、当时，，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B. 22．当 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 23．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 24．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型七 比较二次根式的大小（共4小题） 25．比较大小： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，利用二次根式的性质化简，再进行比较即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：，． 26．已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 27．作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则．用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 28．写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，见解析 【分析】此题考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】解：，证明如下： ， ∵， ∴， ∴． 题型八 同类二次根式（共3小题） 29．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把非最简二次根式化简，再根据同类二次根式的概念求解． 本题主要考查了同类二次根式的定义，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴与是同类二次根式的是． 故选：C． 30．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选：B． 31．已知整数满足，那么整数对的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，由可得，与是同类二次根式，设，，则，求出的整数解即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，与是同类二次根式， 设，，则， ∴该方程有组整数解，，，，，分别对应整数对，，，，， 故选：． 题型九 二次根式的加减运算（共3小题） 32．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：A.，故A错误； B.无法合并，故B错误； C.，故C错误； D.． 故选：D． 33．若，则整数a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的化简以及同类二次根式的合并．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 首先，利用二次根式的性质对进行化简；然后，根据合并同类二次根式的法则，即同类二次根式的系数相加减，根式部分不变，对等式左边的同类二次根式进行合并；即可求解整数的值． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故答案为：6． 34．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型十 积的算术平方根（共3小题） 35．化简： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 【答案】 12 18 【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可得解； （2）利用二次根式的性质化简即可得解； （3）利用二次根式的性质化简即可得解； （4）利用二次根式的性质化简即可得解； （5）利用二次根式的性质化简即可得解； （6）利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：（1），， 故答案为：12，； （2），， 故答案为：，18； （3），， 故答案为：，； （4），， 故答案为：，； （5），， 故答案为：，； （6），， 故答案为：，． 36．先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值． 根据二次根式的化简方法先化成最简二次根式，再代入求值即可． 【详解】解： 当，，时， 原式 37．我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①；② (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法以及二次根式的性质； （1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可求解； （3）根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得： ∴一个符合条件的的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：① ② （3）解：① ②根据题意得：，故 题型十一 二次根式的新定义问题（共3小题） 38．根据我们所熟知的完全平方公式 可以得到一个非常重要的结论：对于任意两个实数和，都有不等式 成立，这就是基本不等式．它的出现为许多最值问题做出了巨大贡献． 基本不等式的证明过程： 两边同时减去，得 即 即 (1)中，当，时， ； (2)仿照基本不等式的证明过程，请尝试证明当，时， 成立； (3)若，，，则的最大值为（   ） A．            B．                 C．1             D．2 【答案】(1) (2)见解析 (3)A 【分析】本题主要考查了算术平方根，完全平方公式变形，不等式，熟练运用完全平方公式变形是解题的关键． （1）根据题意等式两边同时开方化简即可； （2）先把变形为，由题中结论，可知当，时，进而可得出结论； （3）由题意可知，根据，可得，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， 故答案为：． （2）证明：， ∵，，， ∴，即， ∴． （3）解：∵，， ∴由题意可知， ∵，即， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 39．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 40．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，， ，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 题型十二 二次根式的乘除法（共3小题） 41．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 42．若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 43．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： 题型十三 二次根式的混合运算（共4小题） 44．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式． 先整理的结果是，将乘以可化简为关于b的式子，从而得到和的关系，继而能得出的值． 【详解】解： ， 则 ， ∵， ∴， ． 故答案为：． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简等，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再化简二次根式，最后进行加减运算． （2）利用平方差公式和完全平方公式展开式子，然后进行化简计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 46．（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 【答案】（1）；（2）选： ；选：15；选：4（任选其一即可） 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式加减运算，二次根式性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ， ， ； ； ． 47．已知， ，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．利用完全平方公式化简求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴，， ∴． 题型十四 分子分母有理化（共3小题） 48．阅读下列解题过程： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出式子 ． (2)利用上面所提供的解法，请化简的值． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的知识点是二次根式的分母有理化以及利用倒数法比较二次根式的大小． （）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差； （）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算就可以了； （）通过求两个二次根式差的倒数，将比较两个二次根式差的大小转化为比较它们倒数的大小，进而得出原二次根式差的大小关系，体现了利用倒数法比较二次根式大小的思路． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）根据（）中得出规律化简， ； （3）， ， ∵， ∴根据两个正数，倒数大的反而小， ∴． 49．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ，① ，② ．③ 以上化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．④ (1)请参照③和④分别用两种不同的方法化简． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）按照分母有理化和应用平方差公式分解分子两种方法，对原式进行化简即可； （2）分母有理化，按照运算法则，进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； ． （2）解： ． 50．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算 【详解】解： 将代入得， 原式． 题型十五 二次根式的规律探究（共4小题） 51．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，根据所给等式，可得出一般规律，即第n个等式为，其中n为正整数，当时，代入计算即可． 【详解】解：根据上述等式，可知：第n个等式为，其中n为正整数， ∴第2021个等式为， 故选：C． 52．由 我们可以归纳出结论；则由，，，我们可以归纳出的结论是 ． 【答案】（且为整数） 【分析】本题主要考查了数字变化规律探索、二次根式的性质与化简，理解题意，找出变化规律是解题关键．利用已知条件，找出规律，写出结果即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴我们可以归纳出的结论是． 故答案为：（且为整数）． 53．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第6个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第6个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式，， 得， 故答案为：； （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ． 54．观察下列式子的变形规律，解决下列问题：；；… (1)若n为正整数，猜想______； (2)若，求正整数k的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)当为奇数时，所求式子的值为；当为偶数时，所求式子的值为 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）根据题目中的式子，可以将式子进行分解； （2）将所求式子变形，对各项分母有理化后裂项求和，然后求解即可，注意k为正整数； （3）根据题意对通项裂项后，分类讨论：为奇数和偶数两种情况，然后分别计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：∵， ， ， …..； ∴， ∵ ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述：当为奇数时，所求式子的值为；当为偶数时，所求式子的值为． 题型十六 二次根式的综合应用（共6小题） 55．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 56．如图，在中，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折得到，连接．过点作交于点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的周长为 【答案】D 【分析】证明是等腰直角三角形，再证明，可得，，故A选项正确；从而得到是等腰直角三角形，可得，，故B选项正确，不符合题意；，再结合由折叠的性质可得是等腰直角三角形，从而得到，，故D选项正确；在中，根据勾股定理可得 ，从而得到的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，故A选项结论正确，不符合题意； ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，故B选项结论正确，不符合题意； ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，，故C选项结论正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，故D选项结论错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质． 57．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握平方差公式分解因式，分式加法，完全平方公式变形计算，二次根式的化简求值，是解题的关键． （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）根据，结合，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴．， ∴， ∴． 58．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)从抛出到落地所需时间是； (2)所抛物体下落的高度是． 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式是解题的关键； （1）由题意可把代入公式进行求解即可； （2）把代入公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入公式得：； 答：从抛出到落地所需时间是； （2）解：把代入公式得：， 解得：； 答：所抛物体下落的高度是． 59．《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【答案】(1)1 (2)5 (3)12 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值、算术平方根的应用等知识点，理解阅读材料并掌握整体思想和倒数变形整体代入是解题的关键． （1）由题意可得，然后代入所求代数式式中可求值即可； （2）将代入代数式进行变形求值即可可； （3）设此长方形的边长为a，b，则、，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 故答案为：1． （2）解：∵，且 ∴ ． （3）解：设此长方形的边长为a，b，则 ∵， ∴，即， ∴， ∴该矩形的周长的最小值为12． 60．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可； （3）根据题干的方法可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；． （2）解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． （3）解：， ， ，，即 $