精品解析：北京市通州区潞河中学2025-2026学年高一上学期阶段检测一数学试题

2025-2026-1潞河中学高一数学阶段检测一 2025.10 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】集合，，则. 故选：B 2. 已知，则下面不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确. 故选：D 4. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 5. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，分离参数后求的最小值即可得解. 【详解】若命题是假命题，则是真命题， 此时在时恒成立， ， ， 故选：C 6. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 8. 设，，，则（ ） A. 有最大值8 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最小值8 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D. 【详解】因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 9. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 10. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，可求的长度. 【详解】由； 由. 所以当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为； 当时，，，所以，这与集合的长度为2矛盾，故. 当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为. 综上可知：集合的长度为5. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】由根式和分式的意义可得. 【详解】，且，得且， 故函数的定义域是. 故答案为： 12. 设函数，则______． 【答案】26 【解析】 【分析】根据分段函数的结构特点，代入求值即得. 【详解】因，故 故答案为：26. 13. 据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【解析】 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 14. 设函数，若，则的单调递增区间是_____，若的值域为，则的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入解析式，分析各段单调性，即可得出单调区间；先求出上的值域，由的值域为，只需在上的值域包含，分析二次函数的开口方向，对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】由题知当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的单调递增区间是； 由于在上的值域为， 若的值域为， 只需在上的值域包含即可， 故需，即， 此时在上的值域为， 故需，即， 综上：. 故答案为：； 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值点为0； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是； ③当时，方程有两个不等的实根； ④当时，函数存在最大值． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断①③④的真假；结合函数单调性的概念，求参数的取值范围，可判断②的真假. 【详解】对①，当时，函数， 可知函数在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，所以当时，；函数在上单调递增，恒有. 综上可知：当时，函数的最大值点为0.故①正确； 对②，因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以要使在上单调递增，须有.故②正确； 对③，当时，在上，，方程无解； 在上，恒成立，方程无解； 在上，函数，单调递增，方程至多有1解. 故当时，方程至多有1解. ③错误； 对④，当时，函数在上单调递增，；在上，函数有最大值；在上，恒成立. 因为，所以成立，所以此时函数有最大值，为.故④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解关于的不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）法一，分类讨论并结合不等式的性质；法二，先化简，再转化为一元二次不等式求解； （2）先按照、、三种情况讨论，再比较每种情况下根的大小，结合一元二次函数图象求解. 【小问1详解】 法一：①当即时，，得，故； ②当即时，，得， 综上，不等式的解集为或． 法二：，即，， 则，解得或， 故不等式的解集为或． 【小问2详解】 可化为， 当时，原不等式可化为，得； 当时，原不等式可化为， 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或． 当时，原不等式可化为， 因为，所以， 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 17. 已知函数． （1）若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. 【小问2详解】 因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 18. 已知． （1）若对一切有，且，求、的值； （2）令． ①直接写出的值域：______；（用含的式子表示） ②若函数的值域与的值域相同，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分析可知，函数的图象关于直线对称，且，据此可求得实数、的值； （2）①根据二次函数的基本性质可得出函数的值域；②令，则，分、两种情况讨论，结合二次函数的基本性质求出函数在上的值域，结合题意可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 对任意的有，则函数的图象关于直线对称， 则，解得，所以，， 又因为，解得，因此，，. 【小问2详解】 ①当时，， 当且仅当时，函数取最小值，故函数的值域为； ②令，则，且二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，此时函数的值域与的值域相同，合乎题意； 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 19. 已知关于的一元二次不等式的解集为， （1）求集合； （2）若中有且仅有两个整数，求的取值范围； （3）在问题①和问题②中任选一个作答.（直接写答案） 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围. （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 【答案】（1） 当时，集合；时，集合；当时，集合. （2） （3）问题①：；问题②： 【解析】 【分析】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）由（1）中集合，分和，结合题意，列出不等式，即可求解； （3）选择问题①，得到，即满足不等式，即可求得的取值范围为；选择问题②：由（1）中的集合，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由不等式，可得 令，解得或， 当时，即时，不等式即为，解得，此时； 当时，即时，解得，此时； 当时，即时，解得，此时， 综上可得：当时，集合；时，集合；当时，集合. 【小问2详解】 由（1）知，当时，集合， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得； 当时，集合， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围. 【小问3详解】 若选择问题①：由集合， 对于，都有，则， 即满足不等式，可得， 解得，即实数的取值范围为. 若选择问题②：由集合，若，则，满足， 由（1）可知，， 因为，则， 所以. 所以实数的取值范围为. 20. 已知函数为上的偶函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并依据单调性的定义证明； （3）若，且，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2）结论：在上单调递减. 证明：任取，且， ， ， 因为，所以， 所以， 因此，所以在上单调递减. （3）结论： 理由如下：因为，，则，解得， ①当时，且在上单调递减，所以； ②当时：且在上单调递减， 所以 因为为偶函数，故 综上：. 【解析】 【分析】（1）当时，，则，由偶函数的概念，即可求得的解析式； （2）在上单调递减.利用函数单调性定义，设，作差，整理变形即可证明； （3） 【小问1详解】 由已知，当时，， 因为为偶函数，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 【答案】（1）是，理由： 由于对，，有，，，，. 故是“可表集合”. （2） 欲找寻的最大值，即中的元素尽可能地多， 则由运算后的所有情况为：， 共20个，故. （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义判断； （2）列出满足，，的所有情况最多个数即可证明结论； （3）列出、、、的所有情况，并说明其错误性，再时举出复合题意的例子，即可说明的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，则中元素至多有，个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，不妨设，则由构成的数有 共20个， 因为最大数且为偶数，故不可能是中的元素， 故其余19个数刚好构成集合， 这19个数之和为，且， 故， 因，则，又均为正整数，经检验不存在这样的正整数， 故无法构成集合； 若，经过运算可构成集合， 故若为“可表集合”时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1潞河中学高一数学阶段检测一 2025.10 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下面不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. 有最大值8 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最小值8 9. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是______． 12. 设函数，则______． 13. 据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 14. 设函数，若，则的单调递增区间是_____，若的值域为，则的取值范围是_________. 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值点为0； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是； ③当时，方程有两个不等的实根； ④当时，函数存在最大值． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解关于的不等式： （1）； （2）. 17. 已知函数． （1）若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数的值． 18. 已知． （1）若对一切有，且，求、的值； （2）令． ①直接写出的值域：______；（用含的式子表示） ②若函数的值域与的值域相同，求的取值范围． 19. 已知关于的一元二次不等式的解集为， （1）求集合； （2）若中有且仅有两个整数，求的取值范围； （3）在问题①和问题②中任选一个作答.（直接写答案） 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围. （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 20. 已知函数为上的偶函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并依据单调性的定义证明； （3）若，且，试比较与的大小，并说明理由. 21. 给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $