14.3.1 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线”第1课时，核心内容包括角平分线的尺规作图及性质定理。课堂导入从全等三角形逆推入手，通过SSS证明“到角两边距离相等的点在角平分线上”，引导学生自主探究作图步骤，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以“猜想-证明-应用”为主线，结合几何语言规范与分层例题设计，培养学生推理能力与应用意识。如探究性质时，先让学生测量比较距离提出猜想，再用AAS严格证明，例2、例3结合全等解决综合问题，帮助学生深化理解，教师可高效开展逻辑教学与能力训练。

第十四章 全等三角形 第1课时 14.3 角的平分线 人教版（2024）数学八年级上册 1.能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据. 2.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何 问题； 3.熟练掌握证明几何命题的一般步骤. 学习目标 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. 知识点1 角的平分线的作法 A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 探究新知 知识点1 角的平分线的作法 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 探究新知 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. 知识点1 角的平分线的作法 A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 探究新知 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 可以发现：P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 下面，我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”，显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形， 并用符号表示已知和求证. 探 究 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到 PD = PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90° 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）∴PD = PE 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 定义与概念 角平分线上的点到角两边的距离相等 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 例1 如图14.3-2，已知：∠ AOB，在∠AOB内，求作： ∠ AOM=∠ AOB. 解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F； (2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角(如图14.3 -2). 经典例题 10 例2 如图14.3-5，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM=PN. OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， 探究点2 探究角平分线的性质 新知探究 做一做 求证：角的平分线上的点到角两边的距离相等. E D O B A C P ∟ ∟ 分析 已知条件 求证结论 一个点在一个角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证。 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证: PD = PE. 分析 △OPD ≌ △OPE PD = PE. ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO=90° ， OP = OP ， 探究点2 探究角平分线的性质 做一做 求证：角的平分线上的点到角两边的距离相等. E D O B A C P ∟ ∟ 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证： PD = PE. ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO=90° ， OP = OP ， 新知探究 新知探究 探究点2 探究角平分线的性质 文字语言 ∵OC是∠AOB的平分线, 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE 几何语言 角平分线性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 E D O B A C P ∟ ∟ 命题证明步骤 1、明确命题中的已知和求证。 2、根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证; 3、经过分析找出由已如推出要证的结论的途径。 4、写出证明过程 应用所具备的条件： （3）垂直距离. （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； 典例分析 例2、如图，BC 是∠AB G的平分线，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，∠EDB= 60°，则∠EDF=____°，BE=___. 120 BF 解：∵BC 是∠AOB 的平分线 DE⊥AB，DF⊥BG ∴ DE= DF（角平分线上的点到角两边距离相等） ∵在Rt△DEB 和Rt △DFB 中， DE= DF BD = BD ， ∴Rt△DEB ≌Rt △DFB（HL） ∠EDB =∠FDB=60°. ∴BE= BF， ∴∠EDF=120° 典例分析 探究点3 探究角平分线的性质解决简单问题 例3、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC， ∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°． ∵ 在△BOD 和△ COE中 E D O B A C ∟ ∟ ∠BOD=∠COE ， ∠BDO = ∠CEO=90° ， OD = OE ， ∴ △BOD ≌ △ COE．（AAS） ∴OB=OC． 例4：如图，在中，，是的一条角平分线.若，求的面积 15 典例分析 探究点3 探究角平分线的性质解决简单问题 Ｅ 要求的面积，现有可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可. 分析 解：如图，过D作垂足为𝐸 ∵平分， ， . ∴的面积：. 知识点1 角的平分线的画法 1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( ) C （第1题） ① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③ 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交 于点 . A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 返回 中考考法 18 （第2题） 2.如图，用直尺和圆规作 的平分线，根据作 图痕迹，下列结论不一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 19 3.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于 点 .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示. 返回 中考考法 20 知识点2 角的平分线的性质 4.如图，是的平分线，点在 上， 于点，于点，若 ，则 的长为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 中考考法 21 （第5题） 5.如图，平分，点是射线 上一点， 于点，点是射线 上的一个动点， 连接.若，则 的长度不可能是( ) D A.18 B.7.2 C.6 D.4.5 返回 中考考法 22 6.［2025南京期末］如图，在中， ，平分 ， 交于点,于点.若，，则 的长为___. 3 （第6题） 返回 中考考法 23 当堂练习 QING JING YIN RU 1. B A M 当堂练习 QING JING YIN RU 4.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 D A M 当堂练习 QING JING YIN RU 32.5° 12 当堂练习 QING JING YIN RU 8. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . 60 BF E B D F A C G 当堂练习 QING JING YIN RU 9.如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：(1)∠ECD=∠EDC； (2)OC=OD. 证明 (1)∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ， ∴ ED =EC. ∴ ∠ECD=∠EDC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. (2)在Rt△OED和Rt△OEC中， OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC. 当堂练习 QING JING YIN RU 10.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14. (1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)； A B C P D (2) 求△PDB 的周长. ∴ AB · PD = 7m. 解：由角平分线的性质，可知 PD = PC = m， = 解：由题意可证 △ACP≌△ADP， ∴ AC = AD. $