12.3 频率与概率（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

12.3 频率与概率 题型一 频率的计算 1．对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据频率的计算公式计算即可. 【详解】由题意，成绩在分之间的频率是. 故选：D. 2．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（    ） 网站①评价人数 网站①好评率 网站②评价人数 网站②好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答. 【详解】餐馆甲的总好评率为：， 餐馆乙的总好评率为：， 餐馆丙的好评率为：， 餐馆丁的好评率为：， 显然，所以餐馆丁的总好评率最高. 故选：D 3．某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（   ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】由题意求出存活率后列式求解即可. 【详解】第一次试种植物的存活率为， 故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株. 故选：B 4．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数． 【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格， 所以合格的有95件， 所以合格率为， ∴估计该厂这20万件产品中合格品约为万件， 故选C. 5．从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 6．某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据频率公式即可求解. 【详解】取得胜利的频率是， 故答案为： 题型二 辨析频率与概率的关系 1．下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确. 【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误； B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确； C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误； D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误. 故选：B 2．下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误， 对于B，C，太过绝对，故错误， 对于D，符合概率的估算方法，故正确． 故选：D. 3．抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率、概率、经验概率的概念分析可得答案. 【详解】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确； 对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确； 对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确； 对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比它前一次更接近于0.5，D不正确. 故选：B 4．下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据随机事件的概念即可说明A、B；举例即可说明C项；列举出事件包含的样本点的个数，根据古典概型的概率公式，计算即可得出D项. 【详解】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误； 对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误； 对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误； 对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点， 其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点， 根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确. 故选：D. 5．根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案. 【详解】由题意可知投篮命中的频率为， 而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的， 其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误， 故选：B 6．某工厂生产的产品合格率是，这说明（   ） A．该工厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该工厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件 C．合格率是，很高，说明该工厂生产的10000件产品中没有不合格产品 D．该工厂生产的产品合格的可能性是 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】由概率的定义分析即可. 【详解】合格率是，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，该工厂生产的产品合格的可能性是. 故选:D． 7．某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 【答案】④ 【难度】0.94 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率的定义即可得解. 【详解】由某种彩票中奖的概率为， 得买一张彩票中奖的可能性是，故④正确； 买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误； 若买9999张彩票未中奖，则第10000张也有可能不中奖，故③错误. 故答案为：④. 题型三 用频率估计概率 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2022次，那么第2021次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论实验多少次，概率始终不变， 故第2021次出现正面朝上的概率是，故D正确. 故选：D 2．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 3．抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（    ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上， 故“正面朝上”的频率为， 每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5. 故选：D 4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 5．在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 6．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率. 【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军， 故估计甲获得冠军的概率为. 故答案为： 7．投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则 ， ， ． 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ． 【答案】 0.51/ 241 800 0.5/ 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】由频数、试验次数与频率的关系求，再由频率的稳定性估计概率. 【详解】，， . 三组试验正面向上的频率都在0.5附近， 由频率的稳定性，估计若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5. 故答案为：0.51；241；800；0.5. 8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位:枝，)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】(1). (2)0.7 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算频率、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据所给条件，列出分段函数，注意自变量的取值范围； （2）利用对立事件的概率公式计算可得． 【详解】（1）当时，， 当时， 则. （2）由，解得，即当日需求量为枝或枝时利润小于元， 设当天利润不少于元为事件，则. 9．某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下： 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 (1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率； (2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率． 【答案】(1)该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为 (2) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意由频率计算概率即可得解； （2）写出基本事件空间，根据古典概型求解即可. 【详解】（1）由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为； 女生中喜欢养殖小动物甲的频率为， 所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为． （2）抽取的这6人中男生人数为，分别记为， 女生人数为，分别记为． 设抽取的2人分别为，用数组表示这个实验的一个样本点， 因此该试验的样本空间， 共15个样本点． 设事件“抽取的2人恰好都是女生”， 则，共6个样本点． 因为样本空间中每一个样本点出现的可能性相等， 所以该试验是古典概型，因此． 1．某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下表： 长度 以下 以上 件数 5 68 7 则这批产品的不合格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】先求出合格品的长度区间，从而可求解. 【详解】因为某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品，且, 所以长度在的为合格品， 所以这批产品的不合格率为. 故选:D. 2．下列说法正确的有（   ） A．一般情况下，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小 B．如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，那么可以认为这枚骰子质地不均匀 C．若事件满足，则与一定是对立事件 D．“在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是古典概型 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的对立关系、几何概型-长度型、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率与概率的关系可判断AB的真假；举反例说明C是错误的；说明概率的类型可判断D的真假. 【详解】对A：在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故A正确； 对B：如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，并不能有足够的理由认为这枚骰子质地不均匀，故B错误； 对C：抛掷一枚骰子，设事件“所得点数不大于4”，事件“所得点数不大于2”，则，，，但与并不对立，故C错误； 对D：“在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是几何概型，故D错误. 故选：A 3．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、其他问题中的概率解释 【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案. 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 4．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个 ． 【答案】7 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为：. 5．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 【答案】/0.53 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据频率的概念进行计算即可. 【详解】事件A出现的频率为. 故答案为： 6．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得； 【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率； 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 故答案为： 7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 8．某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、分段函数模型的应用 【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式； （2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，． 故关于的函数解析式为 （2）（i）这100天有5天的日利润为元， 10天的日利润为元， 20天的日利润为元， 65天的日利润为800元， 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元． （ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤 故当天的利润不少于780元的概率为． 9．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 【答案】(1) (2)①；②252 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率. （2）①利用频率估计概率求解可得. ②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可. 【详解】（1）列表如下： a b c A B C 所有等可能的情况数有9种， 其中垃圾投放正确的有，，共3种， 所以垃圾投放正确的概率为. （2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为， ②.由（吨）， 答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料. 10．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解计算即可. （2）先求出样本中的回访客户的总数和样本中满意的客户人数，由此估计客户的满意概率. 【详解】（1）由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为． （2）由题意知，回访客户的总人数是， 回访客户中满意的客户人数是， 所以回访客户中客户的满意率为， 所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为． 11．“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展课后延时服务.某校为了下学期更好的开展课后服务，在本学期末从参与课后服务的全体学生中，按照参与课后服务的课程类别用分层抽样的方法随机抽取了100人，调查他们对课后服务的满意程度，得到数据如下表： (1)从全校参与课后服务的学生中随机选取1人，估计该生对课后服务满意或非常满意的概率； (2)从样本中对课后服务不满意的学生中随机选取2人，求这2人中至少有1人生参与了学业辅导类课程的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）样本中100名学生，求出对课后服务满意或非常满意的人数，利用样本估计总体，即可求出该生对课后服务满意或非常满意的概率. （2）利用古典概型的公式即可求出答案. 【详解】（1）样本中100名学生，对课后服务满意或非常满意的人数为， 故利用样本估计总体，可得从全校参与课后服务的学生中随机选取1人，该生对课后服务满意或非常满意的概率为； （2）有统计表可知，对课后服务不满意的学生人数为，不妨记为.其中为参与学业辅导的学生. 从中随机选取两人，有共种可能，且每种可能发生的概率相等. 至少有1人生参与了学业辅导类课程有共12种可能. 因此这2人中至少有1人生参与了学业辅导类课程的概率是. 1．敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题；若抽到红球，则回答问题，且罐中只有白球和红球. 问题：你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题：你是否在大型考试中有过抄袭？ 已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是（    ）(四舍五入精确到0.01) A．0.06 B．0.07 C．0.08 D．0.09 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题的人数，从而可分别计算出回答问题的人中答 “是” 的人数以及比例. 【详解】从袋子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为 , 抽到白球的概率为, 所以回答问题的人数是（人） 回答问题的人数是 （人）, 回答问题的人中答 “是” 的人数是 , 所以回答问题的人中答 “是” 的人数是 , 所以估计该校该年级学生有过抄袭的比例为 .(四舍五入精确到0.01). 故选：C. 2．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【难度】0.94 【知识点】天气预报中的概率解释、抽奖、彩票的概率解释、其他问题中的概率解释、辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 3．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用频率估计概率进行分析即可求解. 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 4．下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 . 【答案】③⑤ 【难度】0.85 【知识点】计算频率、判断事件是否是随机事件、辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率、频率的定义逐一分析判断即可. 【详解】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率. ①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产品中任取200件，应该是10件次品左右，不一定出现10件次品，错误； ②100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是0.5，错误； ③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以随机事件A的概率是频率的稳定值，正确； ④随机事件A的概率趋近于0，说明事件A发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误； ⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是，正确； ⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误； 综上，正确的说法有③⑤. 故答案为：③⑤ 5．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果： 种子粒数 100 100 100 100 100 100 发芽粒数 79 78 81 79 80 82 发芽率 根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】利用频率与概率的关系即可得解. 【详解】由表格中的数据，结合频率与概率的关系可知，该猕猴桃种子的发芽率约为． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3 频率与概率 题型一 频率的计算 1．对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 2．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（    ） 网站①评价人数 网站①好评率 网站②评价人数 网站②好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁 3．某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（   ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 4．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 5．从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 6．某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是 ． 题型二 辨析频率与概率的关系 1．下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 2．下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 3．抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 4．下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 5．根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 6．某工厂生产的产品合格率是，这说明（   ） A．该工厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该工厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件 C．合格率是，很高，说明该工厂生产的10000件产品中没有不合格产品 D．该工厂生产的产品合格的可能性是 7．某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 题型三 用频率估计概率 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2022次，那么第2021次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 3．抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（    ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 5．在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 6．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为 . 7．投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则 ， ， ． 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ． 8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位:枝，)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 9．某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下： 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 (1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率； (2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率． 1．某产品的设计长度为，规定误差不超过为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下表： 长度 以下 以上 件数 5 68 7 则这批产品的不合格率为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的有（   ） A．一般情况下，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小 B．如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，那么可以认为这枚骰子质地不均匀 C．若事件满足，则与一定是对立事件 D．“在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是古典概型 3．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 4．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个 ． 5．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 6．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 8．某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 9．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 10．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 11．“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展课后延时服务.某校为了下学期更好的开展课后服务，在本学期末从参与课后服务的全体学生中，按照参与课后服务的课程类别用分层抽样的方法随机抽取了100人，调查他们对课后服务的满意程度，得到数据如下表： (1)从全校参与课后服务的学生中随机选取1人，估计该生对课后服务满意或非常满意的概率； (2)从样本中对课后服务不满意的学生中随机选取2人，求这2人中至少有1人生参与了学业辅导类课程的概率. 1．敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题；若抽到红球，则回答问题，且罐中只有白球和红球. 问题：你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题：你是否在大型考试中有过抄袭？ 已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是（    ）(四舍五入精确到0.01) A．0.06 B．0.07 C．0.08 D．0.09 2．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 3．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 4．下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 . 5．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果： 种子粒数 100 100 100 100 100 100 发芽粒数 79 78 81 79 80 82 发芽率 根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $