25.2 第2课时 用树状图法求概率&25.3用频率估计概率-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时 用树状图法求概率 知识储备 当一次试验涉及两个或三个因素并且可能出 现数目较多的等可能结果时，选用 法求概率， A.铁钉生锈 B.滴水成冰 十十 ”十十十一十十”十十 01基础练 必备知识梳理 知识点一 用树状图法求两步式概率 C.矿石粉碎 D.牛奶变质 1.【新中考·跨语文学科】为发展学生的阅读素 (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C 养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒 卡片的概率是 传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙 (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表 两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项 法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内 目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个 容均为化学变化的概率. 阅读项目的概率是 A话 B司 D. 2.【新课标·传统文化】“宫商角 徵羽”是中国古乐的五个基本 音阶（相当于西乐的1,2,3,5 6),是采用“三分损益法”通过 数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音 乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就 可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞 的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A 知识点二用树状图法求三步式概率 处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出 5.(1)(答题模板)同时抛掷质地均匀的三枚硬 “羽”音的概率是(） 币，请完成下列填空： E.z0 C.1o D 第一枚 正 3.【教材P152复习题T4变式】一天晚上，小伟 第二枚 帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯， 第三枚 突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机搭配 由树状图可知，共有 种结果，并且每种 在一起，则颜色搭配不正确的概率是 结果发生的可能性 ,其中两枚正面 4.【新中考·跨化学学科】(2024·临夏州)物理 向上的结果有种，故P(两枚正面向上) 变化和化学变化的区别在于是否有新物质的 生成.某学习小组在延时课上制作了A,B, (2)【针对练习】甲口袋中装有2个相同的小 C,D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外， 球，它们分别写有数字1,2；乙口袋中装有3 其他没有区别，放置于暗箱中摇匀. 个相同的小球，它们分别写有数字3,4,5；丙 127九年级数学·上册 口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有 03素养练 季李种去米结市一 数字6,7.从三个口袋中各随机取出1个小 8.小颖参加某个智力竞答节目，答对 球，则取出的3个小球上的数字全是奇数的 最后两道单选题就顺利通关.第一 概率是 道题有3个选项，第二道题有4个 易错点○因不能区分“放回”与“不放回”致错 选项，这两道题小颖都不会，不过小颖还有一 6.有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了 个“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人 等腰三角形、平行四边形、正五边形和圆，现 去掉其中一题中的一个错误选项)， 将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张， (1)若小颖第一道题不使用“求助”，则小颖答 记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机 对第一道题的概率是 抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是 (2)若小颖将“求助”留在第二道题使用，求小 中心对称图形的概率为 颖顺利通关的概率； 02综合练 膏关楚能力提升一 (3)从概率的角度分析，你会建议小颖在答第 几道题时使用“求助”？ 7.四张相同的卡片正面分别写有数字1,2,3,4， 将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取一 张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明 的袋子中装有标号分别为1,2,3的三个小 球，这些球除标号外其余都相同，搅匀后从中任 意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数， (1)用列表法或画树状图法求这两个数的差 为负数的概率； (2)【新中考·条件开放】规定：当这两个数的 差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜.这 个规定公平吗？如果不公平，请你设计一 个公平的规定. 解题妙书 与游戏公平性有关的概率问题 1.判断游戏公平的标准 游戏双方获胜的概率（或游戏得分）是否相 等，是判断游戏是否公平的唯一标准；若相等，则 游戏公平，若不相等，则游戏不公平】 2.变非公平游戏为公平游戏的两个途径 (1)改变游戏规则，使双方获胜的概率相等； (2)不改变双方获胜的概率，改变得分情况， 使双方得分相等 助学助教优质高数128 25.3 用频率估计概率 知识储备 02综合练 魔关键能力提升·一 当试验次数很大时，同一事件发生的频率稳 4.甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的 定在相应的 附近，所以我们可以通过大 试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的 量重复试验，用同一个事件发生的 来估 统计图如图所示，则符合这一结果的试验可 计这个事件发生的概率 十十十十十 十十十十十十一十十十 能是 ( A.掷一枚正六面体的 +频率 01基础练 必备知识梳理一 40% 骰子，出现1点的 30% 20% 知识点一 频率与概率的关系 概率 10% 1.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机 200400600次数 B.一个袋子中有2个 事件发生的频率为f,该事件的概率为P.下 白球和1个红球，从中任取一个球，取到 列说法正确的是 ( ) 红球的概率 A.试验次数越多，f越大 C.抛一枚硬币，出现正面的概率 B.f与P都可能发生变化 D.任意写一个整数，它能被2整除的概率 C.试验次数越多，P越接近于f 5.【教材P145“问题2”变式】某水果公司以6.7 D.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋 元/kg成本价购进10000kg苹果.公司想知 于稳定 道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若 知识点二用频率估计概率 干进行统计，得到苹果损坏的频率稳定于0. 1.若公司希望销售这批苹果能获得利润23 2.(2024·宁夏)为考查一种枸杞幼苗的成活 000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应 率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所 大约定为 元/kg. 示： 6.下表是某服装厂对一批校服质量检测的情况： 移植 40 150 300 500 700 10001500 抽取校 总数n 200 500 10001500 20003000 服数/套 成活 35 134 271 合格品 451 631 899 1350 188 471 946 1426 18982850 数m 数/套 成活的 合格品频 0.875 0.8930.9030.9020.901 0.8990.90 频率四 率（结果 n 0.9400.9420.9460.951 a 保留小数 估计这种幼苗移植成活的概率是 (结 点后三位》 果精确到0.1). (1)a= ,b= 3.(2024·淮安)一只不透明的袋中装有8个白 (2)从这批校服中任意抽取一套是合格品的 球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅 概率约是 (结果保留小数点后两 匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后 位)： 放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到 (3)若要生产380000套合格的校服，则该厂 白球的频率是0.4，则袋中约有红球个. 大约总共要生产 套校服， 129九年级数学·上册号，转盘被分为10等份心黑色区域的份数为10×号=4.如图所示（答案不唯一）. 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 知识储备 1.有限相等2.列表 基础练 1.A2.3 3.C4.(1)C 2)0 5.(1) 5 解：(2)根据题意，列表如下： C 0 C (C,C) (C,D) (C,E) D (D,C) (D,D) (D,E) E (E,C) (E,D) (E,E) 由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种， 小明和小亮选到相同最区的概率为子 6D又 86 9.解：(1)根据题 意，列表如下： 张华 李明 石头 剪刀 布 石头 (石头，石头) (剪刀，石头) (布，石头) 剪刀 (石头，剪刀) (剪刀，剪刀) (布，剪刀) 布 (石头，布》 (剪刀，布) (布，布) 由表可知，共有9种等可能的结果.(2)由表可知，其中张华不输的结果有6种，.P (张华不输)=9=3· 6 10.7 解：(2)他应往袋中加入黄球；理由如下：记往袋 中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 红 黄① 黄② 黄③ 新 红 黄①，红 黄②，红 黄③，红 新，红 黄①红，黄① 黄②，黄① 黄③，黄① 新，黄① 黄② 红，黄② 黄①，黄② 黄③，黄② 新，黄② 黄③ 红，黄③ 黄①，黄③ 黄②，黄③ 新，黄③ 参 红，新 黄①，新 黄②，新 黄③，新 由表可知，共有20种等可能结果.()若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果 共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P 20一行：()若往袋中加入的是黄 2 球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顺客获得精美礼品的概率P一号-号， “号<号P<P他应往袋中加人黄球 第2课时用树状图法求概率 知识储备 画树状图 基础练 1.D2.A3.号4.(1)解：(2)四张卡片内容中是化学变化的有：A,D,根据题 意，画树状图如下： A B P由树状图可知，共有12种等可 BCDACDAB D A B C 能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD,DA,共2种，∴ 小夏捐取两张卡片内容均为化学变化的概率为音=合 5.(1) 第一枚 公 反 8相等3(2)日6日7 第二枚 第三枚 解：(1)根据题意，画树状图如下：被减数： 由树状 差：0-1-210-1210321 图可知，共有12种等可能的结果，其中两个数的差为负数的结果有3种，∴.P(两数差 为负数)-音子：2)这个游戏不公平.由树状图可知，其中甲获胜的结果有9种 P(甲获胜)=立，P(乙获胜)=子：P(甲获胜)>P(乙获胜)，∴不公平.新规 93 定：答案不唯一，如：当这两个数的差为非正数时，甲获胜，否则，乙获胜。8.(1)号 解：(2)画树状图如下：（用Z表示正确选项，C表示错误选项） 第一题： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖顺 第二题：ZcCZCC2Cd 利通关的结果有1种，'.小颖将“求助”留在第二道题使用时，P(小颖顺利通关) 日(3)若小颖将“求助”在第一道题使用，画树状图如下：（用乙表示正确选项，C表示 错误选项)第一题： 由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中 第二题：ZCCC 小颖顺利通关的结果有1种，'.小颖将“求助”在第一道题使用时，P(小颖顺利通关) 817 8>g,心建议小颖在答第一道题时使用“求助” 25.3用频率估计概率 知识储备 概率频率 基础练 1.D2.0.93.124.B5.106.(1)0.9490.950(2)0.95(3)400000 第二十五章大单元整合与素养提升 【例】(1)随机 (2) 解：(3)根据题意，画树状图如下： B 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小刚和 ABCD ABC D ABC D A B CD 小明选择同一个社团的结果有4种，“P(他们选择同一个社团)=。 4=1 1.A2.B3.A4.A5.B6.37.2 8.1 解：(2)游戏公平，理由如下： 根据题意画树状图如下：小明 由树状图可知，共有9种等 小红123 个 12 和： 4 可能的结果，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4 的有3种“小明获胜的概率是号-子，小红获胜的概率为号-子：两人获胜的概 率相等.∴.游戏公平.9.解：(1)抽取的人数有：10÷20%=50（人），C组的人数有： 50-10-16一4=20（人）.补条形图略：(2)3228.8°(3)画树状图略，共有12种等 可能的结果，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴.所选的两 人价好员一名另生和-名女生的版幸为员子10总8山碧 第二部分质量评价步步高 第二十一章学业质量评价 1.C2.A3.B4.C5.A6.D7.C8.A9.C10.A11.x1=0,x2=1 12.413.k=-1(答案不唯一)14.202015.216.解：.a=2,b=1,c=-2,∴.b -4c=1-4X2X(-2)=17.·x=1±应.：x,==1+@ ，x2 4 4 -1-/17 .17.解：由题意，得△=(-2)-4(2m-1)=0.解得m=1.当m=1时， 原方程为x-2x十1=0.解得x=x2=1..m的值是1，方程的根是x1=x2=1. 18.解：(1)x2-4x+3=0,.(x-1)(x-3)=0.∴.x-1=0或x-3=0.∴.x1=1,x2= 3;(2)当3是直角三角形的斜边时，第三边=√3-下=2√厄.当1和3是直角三角形 的直角边长时，第三边=√1+3=/10.∴.第三边的长为22或/10.19.解：(1) 解方程x2一5x十6=0，得x1=3,x2=2..3比2大1，..方程是“邻根方程”；(2)x2 (m十3)x十3m=0.解得x1=3,x2=m..此方程是“邻根方程”，∴.3一m=1或m-3 =1.解得m=2或4.答：m的值是2或4.20.解：(1)设商场投入资金的月平均增长 率为x,依题意，得20(1+x)=24.2.解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍 去).答：商场投入资金的月平均增长率为10%；(2)由题意，得24.2×(1+10%)= 26.62(万元).答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元21.解：(1)·关于 x的一元二次方程x2一2(k十1)x十k2+2=0有实数根，.[一2(k+1)]一4×1×(k 十2)≥0.解得k≥7：(2)：方程的两个实数根分别为a,3,∴a十B=2k十2,8=k+ 2..(2a+1)(23+1)=21.∴.4a3+2(a+3)+1=21.即4(k+2)+2(2k+2)+1=21. 23