25.3用频率估计概率（第2课时)（导学案）数学人教版九年级上册

25.3用频率估计概率（第2课时)（导学案）（原卷版） （1）进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。 （２）选择生活中的实例用频率的集中趋势估计概率，体现数学与生活的紧密联系,渗透转化和估算的思想方法。 （３）通过生活中的实例的解决激发学生学习数学的热情和兴趣。结合试验的随机性和规律性，让学生进一步体会试验频率和理论概率的关系。 重点:通过大量重复试验，用频率估计概率解决生活中的实际问题。 难点：用频率估计概率解决实际问题。   第一环节 自主学习 温故知新： 复习：用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“　　　　　　”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。 【学法指导】 自研课本P144-146页内容 用频率估计概率解决实际问题 问题1某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法? 1. 幼树移植成活率是实际问题中的一种概率。这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等？怎样去估计成活率？ 2.怎样用频率去估计成活率？ 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率。随着移植数n越来越大，频率一会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值。 3.下表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺，并完成表下的填空。从表中你发现了什么？你估计幼树移植成活的概率是多少？ 移植总数n 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率m/n（保留小数点后三位） 0.800 0.870 0.890 0.915 0.902 总结：这是一个概率问题，但无法用概率的古典定义获得。只能通过做大量重复试验，用频率估计概率。 问题2　某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适? 总结：用概率估计概率的方法：通过做大量重复试验，用频率估计概率，根据概率解决问题。 自研课本P142-144页内容 典型例题 例1　在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中的总球数大约是（    ） 　　A．15 　　　B．20 　　　C．25 　　　D．30 例2　在一个不透明的盒子里，装有若干个红色，白色（除了颜色外均相同）的小球，九（1）班数学兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是兴趣小组进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到红球的次数m 59 96 116 295 480 601 摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)表中的_________；根据上表估计“摸到红球”的概率是_______（精确到0.1）； (2)如果盒子里有个红球，求盒子里白球的个数． 第二环节 合作探究 问题1某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法? 1.讨论幼树移植成活率与概率关系。这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等？怎样去估计成活率？怎样用频率去估计成活率？ 问题2　某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适? 2. 讨论每千克大约定价为多少元比较合适？ 3.合作探究提升：1.学习小组做摸球试验，在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球，搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 480 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为________；（精确到0.1） (2)如果盒子中一共有30个球，估计白球有多少个？ (3)已知盒子中有8个黑球，请你估计盒子中一共有多少个球？ 课本练习 1.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示: 种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 94 187 282 338 435 530 624 718 814 901 发芽种子频率(结果保留小数点后三位) 一般地，1000kg种子中大约有多少是不能发芽的? 1．（2025·揭阳校考）在军训结束的汇报演出中，某同学在一次射击中，射中环、环、环的概率分别是、、，那么这名同学： (1)射中环或环的概率是多少？ (2)不够环的概率是多少？ (3)如果他射击次，估测一下射中环（包含环）以上的次数． 2．（2025•德阳）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨 灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E （1）直接写出a、b、c的值； （2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； 3.（2025•自贡）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题． 选择球类兴趣班人数占比统计表 组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比 A 足球 10% B 篮球 C 乒乓球 D 羽毛球 （1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为　90　 度； （2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数； （3）若用电脑随机选择A、B、C、D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率． 一些非等可能事件的概率问题，无法用概率的古典定义获得，只能通过做　　　　　　　，用频率估计概率。用概率估计概率的方法：通过做大量重复试验，用　　　　　估计概率，根据　　　　解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3用频率估计概率（第2课时)（导学案）（解析版） （1）进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。 （２）选择生活中的实例用频率的集中趋势估计概率，体现数学与生活的紧密联系,渗透转化和估算的思想方法。 （３）通过生活中的实例的解决激发学生学习数学的热情和兴趣。结合试验的随机性和规律性，让学生进一步体会试验频率和理论概率的关系。 重点:通过大量重复试验，用频率估计概率解决生活中的实际问题。 难点：用频率估计概率解决实际问题。   第一环节 自主学习 温故知新： 复习：用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。 【学法指导】 自研课本P144-146页内容 用频率估计概率解决实际问题 问题1某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法? 1.幼树移植成活率是实际问题中的一种概率。这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等？怎样去估计成活率？ 这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计。 2.怎样用频率去估计成活率？ 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率。随着移植数n越来越大，频率一会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值。 3.下表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺，并完成表下的填空。从表中你发现了什么？你估计幼树移植成活的概率是多少？ 移植总数n 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率m/n（保留小数点后三位） 0.800 0.870 0.890 0.915 0.902 表中横线上的空白处依次填:0.940，0.923，0.883，0.905，0.897. 从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值.当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为0.9. 总结：这是一个概率问题，但无法用概率的古典定义获得。只能通过做大量重复试验，用频率估计概率。 问题2　某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适? 【分析】柑橘在运输、储存中会有损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中。 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表（如下表）中.请你帮忙完成此表. 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘总质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏柑橘频率m/n 0.110 0.105 表中横线上的空白处依次填:0.101，0.097，0.097，0.103，0.101，0.098，0.099，0.103. 从表中可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位).由此可知，柑橘完好的概率为0.9. 根据估计的概率可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000(kg). 完好柑橘的实际成本为(元/kg). 设每千克柑橘的售价为元，则 解得　(元). 因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元. 总结：用概率估计概率的方法：通过做大量重复试验，用频率估计概率，根据概率解决问题。 自研课本P144-146页内容 典型例题 例1　在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中的总球数大约是（    ） 　　A．15 　　　B．20 　　　C．25 　　　D．30 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， 口袋中装有5个红球， ∴， 即口袋中的总球数大约是25个， 故选：C． 例2　在一个不透明的盒子里，装有若干个红色，白色（除了颜色外均相同）的小球，九（1）班数学兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是兴趣小组进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到红球的次数m 59 96 116 295 480 601 摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)表中的_________；根据上表估计“摸到红球”的概率是_______（精确到0.1）； (2)如果盒子里有个红球，求盒子里白球的个数． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式； （1）根据频率为得出的值，进而根据统计数据，当很大时，摸到红球的频率接近． （2）根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：； 根据统计数据，当很大时，摸到红球的频率接近． 故答案为：，． （2）解：∵盒子里有个红球，摸到红球的频率接近． 设白球的个数为，依题意，， 解得，经检验是原方程的解 答：盒子里白球的个数为个。 第二环节 合作探究 问题1某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法? 1.讨论幼树移植成活率与概率关系。这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等？怎样去估计成活率？怎样用频率去估计成活率？ 问题2　某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适? 2. 讨论每千克大约定价为多少元比较合适？ 3.合作探究提升：1.学习小组做摸球试验，在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球，搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 480 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为________；（精确到0.1） (2)如果盒子中一共有30个球，估计白球有多少个？ (3)已知盒子中有8个黑球，请你估计盒子中一共有多少个球？ 【详解】（1）解：∵摸到白球的频率约为0.6， ∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， ∴摸到白球的概率约为0.6； （2）解：（个）， 答：估计白球有18个； （3）解：设盒子中一共有x个球， ， 解得　， 答：估计盒子中一共有20个球． 课本练习 1.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示: 种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 94 187 282 338 435 530 624 718 814 901 发芽种子频率(结果保留小数点后三位) 一般地，1000kg种子中大约有多少是不能发芽的? 答案：0.940，0.935，0.940，0.845，0.870，0.883，0.891，0.898，0.904，0.901.发芽概率估计为0.9， 1000 kg种子中大约有100kg不能发芽. 1．（2025·揭阳校考）在军训结束的汇报演出中，某同学在一次射击中，射中环、环、环的概率分别是、、，那么这名同学： (1)射中环或环的概率是多少？ (2)不够环的概率是多少？ (3)如果他射击次，估测一下射中环（包含环）以上的次数． 【详解】（1）解：∵射中环、环、环的概率分别是、、， ∴射中环或环的概率是：， ∴射中环或环的概率是； （2）∵射中环、环、环的概率分别是、、， ∴不够环的概率是：， ∴不够环的概率是； （3）一下射中环（包含环）以上的次数为：（次）， ∴估测一下射中环（包含环）以上的次数为次。 2．（2025•德阳）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨 灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E （1）直接写出a、b、c的值； （2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； 【详解】解：（1）抽取的游客总人数为：180÷0.36＝500（人）， ∴a＝500×0.20＝100， ∴b＝500﹣180﹣100﹣75＝145， ∴c＝145÷500＝0.29； （2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块， 200000×0.36＝72000（人）， 答：游客最满意的主题板块是A板块，若本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人； 3.（2025•自贡）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题． 选择球类兴趣班人数占比统计表 组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比 A 足球 10% B 篮球 C 乒乓球 D 羽毛球 （1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为　90　 度； （2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数； （3）若用电脑随机选择A、B、C、D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率． 【详解】解：（1）由题意得，调查的人数为4÷10%＝40（人）， ∴D组的人数为40﹣4﹣10﹣14＝12（人）， ∴B组占调查总人数百分比为10÷40×100%＝25%，C组占调查总人数百分比为14÷40×100%＝35%，D组占调查总人数百分比为12÷40×100%＝30%， 补全条形统计图和占比统计表如下： 选择球类兴趣班人数占比统计表 组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比 A 足球 10% B 篮球 25% C 乒乓球 35% D 羽毛球 30% 篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%＝90°． 故答案为：90． （2）400×35%＝140（人）． ∴估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数约140人． （3）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的结果有1种， ∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为． 一些非等可能事件的概率问题，无法用概率的古典定义获得，只能通过做大量重复试验，用频率估计概率。用概率估计概率的方法：通过做大量重复试验，用频率估计概率，根据概率解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $