25.1.2 概率-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

25.1.2概率 知识储备 4.某存折的密码是六位（每位都可以是0~9）， 1.概率的意义： 由于小王忘记了密码的首位数字，则他能一 (1)一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画 次说对密码的概率是 () 其发生可能性大小的 ,称为随机事 件A发生的概率，记为P(A)」 B吉 c D品 (2)概率P(A)的取值范围是 5.(2024·浙江)有8张卡片，上面分别写着数 2.概率的计算：概率P(A)=m,其中n表示 1,2,3,4,5,6,7,8.从中随机抽取1张，该卡 n 片上的数是4的整数倍的概率是 ,m表示事件A包含其中的 m种结果 6.(2024·雅安)从-2，号，x,0巨，3.14这6 个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概 01基础练 必备知识梳理 率是 知识点一 概率的意义 知识点三必然事件、不可能事件、随机事件的 1.对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理 概率 解正确的是 ( 7.下列事件：①太阳绕着地球转；②小明骑车经 A.某市明天将有75%的时间下雨 过某个十字路口时遇到红灯；③地球上海洋 B.某市明天将有75%的地区下雨 面积大于陆地面积；④将油滴入水中，油会浮 C.某市明天一定下雨 在水面上；⑤鸡蛋里挑骨头；⑥购买一张彩 D.某市明天下雨的可能性较大 票，中奖.其中概率为1的事件是 ,概 率是0的事件是 (填序号) 2.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确 知识点四。与几何图形有关的概率的计算 的是 ( ) 8.(2025·广西模拟)一个小球在如图所示的地 A.每2次必有1次正面向上 板上自由滚动，并随机停在某块方砖上.如果 B.可能有5次正面向上 每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最 C.必有5次正面向上 终停留在黑砖上的概率是 () D.不可能有10次正面向上 知识点二简单事件的概率的计算 A.号 c哥 D. 3.【新中考·跨历史学科】(2024·广东)长江是 中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文 化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文 第8题图 第9题图 化.若从上述四种区域文化中随机选一种文 9.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动， 化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率 并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停 是 ( 留在阴影区域的概率是 () A B.3 D. A.16 B.3 D. 123九年级数学·上册 10.(2024·济南)如图是一个可以自由转动的 同).投掷这个正12面体一次，事件A为“向 转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当 上一面的数字是2或5的整数倍”，求事件 转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 A的概率. 红 白 DB 第10题图 第12题图 02综合练 拿关健能力提升一 11.在一4，一2,1,2,3五个数中，随机取一个数 03素养练 香金科老养路ǐ已 作为函数y=kx中k的值，则该函数的图象 16.【新中考·结论开放】请你设计一个转盘：自 恰好经过第二、四象限的概率为 由转动这个转盘（转盘被分为10等份），当 A局 R号 c D 它停止转动时（若指针恰好停在分界线，则 重新转动一次)，要求指针落在黑色区域的 12.(2024·威海)如图，在扇形OAB中，∠AOB =90°，点C是AO的中点.过点C作CE⊥ 概率为，任选取转盘中的扇形涂黑，使转 盘1、转盘2分别满足上述要求且使涂黑后 AO交AB于点E,过点E作ED⊥OB,垂足 的转盘都构成轴对称图形 为点D.在扇形内随机选取一点P,则点P 落在阴影部分的概率是 () A是 c D号 转盘1 转盘2 13.【新中考·跨化学学科】老师为帮助学生正 确理解物理变化与化学变化，将6种生活现 象制成看上去无差别的卡片，如图所示，从 中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理 变化的概率是 冰化成水 铁棒生锈 酒精燃烧 衣服晾干 光合作用 牛奶变质 14.(中考·雅安)在一个不透明的口袋中，装有 少解题妙招 与几何图形有关的事件的概率计算 1个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相 解决与儿何图形有关的事件的概率计算问题 同，从中随机摸出一个球是红球的概率为 时，先计算此事件发生的结果组成的图形的面积， ,则口袋中黄球有个 有时用到转化的思想，如T9,T12.然后利用公式 15.【教材P140习题T2变式】有一个质地均匀 P(A)=事件A可能的结果所组成的图形的面积 所有可能的结果所组成的图形的面积 的正12面体，12个面上分别写有1~12这 计算. 12个整数（每个面只有一个整数且互不相 助学助教优质高数124OP2+PD,即2=8+(r-4).解得r=10.∴.⊙O的半径是10.【例2】(1)证明： 连接OC,交BF于点G.OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA..AC平分∠EAH, ∠EAC=∠CAB..∠EAC=∠ACO.∴.AE∥OC.AE⊥EC,.OC⊥EC..OC是 ⊙O的半径，.EH是⊙O的切线：(2)解：连接OF,BC.∠OCH=90°，∴.OC十 CH=OH2..OC2+(23)2=(OC+2)2.解得OC=2..OH=4..OH=2OB..B 是OH的中点.在Rt△OCH中，B是斜边OH的中点，∴.OH=2CB.∴.CB=OB= OC..△OCB是等边三角形.∴.∠COB=60°..AE∥OC,.∠EAB=∠COB=60. ∴∠FAC=∠CAB=7∠EAB=30.:FC=FC,∠F0C=2∠FAC=60 ∠COB..∠E=∠ECG=∠EFG=90°..四边形CEFG是矩形.∴.EF=CG,CE= FG.在Rt△BOG中，∠OBG=90°-∠C0B=30,·0G=2OB=1,BG= /OB-OG=√5.∴.EF=CG=OC-OG=1,CE=FG=BG=√5.∴.图中阴影部分 的面积=S梯形cF一S形CcF= z1+2)XV560π×2_352 360 元 例2题图 第12题图 第18题图 1.182.53.110°4.65°5.34°6.D7.解：(1)∠ADB=∠ADE.理由如下： 四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ABC+∠ADC=180°.又：∠ADE+∠ADC=180°， ∴.∠ABC=∠ADE.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB.又.AB=AB,∴.∠ADB= ∠ACB..∠ADB=∠ADE.(2)328.B9.6(答案不唯一)10.B11./13 12.(1)证明：连接OD.AB=AC,.∠ABC=∠C..OB=OD,∴.∠ABC= ∠ODB.∴.∠ODB=∠C..OD∥AC..DE⊥AC,.OD⊥EF..OD是⊙O的半径 ∴.EF是⊙O的切线；(2)解：连接AD.AB为直径，∴.∠ADB=90°，即AD⊥BC., AB-AC-13,BC=10,BD=CD=>BC=5..AD=AB-BD-13-5- 12.:Sae=号DE·AC=2AD·CD,∴DE13=号X12X5,解得DE=0 13 13.C14.115.B16.C17.60x150°18.解：(1)证明：过0作OM⊥AP,交 AP于点M.∴.∠OMA=∠OMP=90°.，OP⊥CD,∴.∠OPC=90°.：∠CPA=60° ∴∠APO=30°.∴.OP=2OM.:∠AOB=90°，OA=OB,∠OBM=45°=∠A. ∠OMP=90,OM=OB.OP=2OM=2OB:(2)解：延长BA交CD于点N, 2 PA切⊙O于A,∴∠OAP=90°.：∠AOB=90°=∠OAP,∴.OB∥PA.:AP平分 ∠OPD,OP⊥CD,即∠OPD=90°，∴.∠OPA=∠DPA=45°.∴.△OAP是等腰直角 三角形，∴.OA=AP.OA=OB,∴.OB=PA.又.OB∥PA,.四边形ABOP是平行 四边形.∴.OP∥AB.∴.∠ANP=180°-∠OPD=90°..摩天轮直径为80m,∴.AP OA-OB=40mAB=0A=40反m在R△APN中，AN=PN=号AP-20 2m.∴.BN=AB+AN=60√2.即此时小刚所在B处到地面的距离为60√2m. 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 知识储备 1.必然不可能随机事件2.确定性3.大小不同 基础练 1.D2.D3.A4.A5.不可能随机必然6.解：必然事件有(2)(3)(6)：不 可能事件有(5)：随机事件有(1)(4).7.A8.B9.>10.A11.C12.B13. C14.A15.解：答案不唯一，如：我设计的方案如下：白球1个，红球1个，蓝球2 个，黄球6个.16.解：(1)n=2.(2)n=6.(3)n=3或4或5. 25.1.2概率 知识储备 1.(1)数值(2)0≤P(A)12.所有等可能的结果 基础练 1.D2.B3.A4.D5. 6.3 7.③0①68.C9B10.子 11.B 12.B13.3 14.315.解：投掷这个正12面体一次，向上一面的数字共有12种结 果，并且每种结果发生的可能性相等，事件A发生的结果数有：2,4,5,6,8,10,12，共 7种，则P(A)=2: 16 解：指针落在黑色区域的概率为 号，转盘被分为10等份心黑色区域的份数为10×号=4.如图所示（答案不唯一）. 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 知识储备 1.有限相等2.列表 基础练 1.A2.3 3.C4.(1)C 2)0 5.(1) 5 解：(2)根据题意，列表如下： C 0 C (C,C) (C,D) (C,E) D (D,C) (D,D) (D,E) E (E,C) (E,D) (E,E) 由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种， 小明和小亮选到相同最区的概率为子 6D又 86 9.解：(1)根据题 意，列表如下： 张华 李明 石头 剪刀 布 石头 (石头，石头) (剪刀，石头) (布，石头) 剪刀 (石头，剪刀) (剪刀，剪刀) (布，剪刀) 布 (石头，布》 (剪刀，布) (布，布) 由表可知，共有9种等可能的结果.(2)由表可知，其中张华不输的结果有6种，.P (张华不输)=9=3· 6 10.7 解：(2)他应往袋中加入黄球；理由如下：记往袋 中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 红 黄① 黄② 黄③ 新 红 黄①，红 黄②，红 黄③，红 新，红 黄①红，黄① 黄②，黄① 黄③，黄① 新，黄① 黄② 红，黄② 黄①，黄② 黄③，黄② 新，黄② 黄③ 红，黄③ 黄①，黄③ 黄②，黄③ 新，黄③ 参 红，新 黄①，新 黄②，新 黄③，新 由表可知，共有20种等可能结果.()若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果 共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P 20一行：()若往袋中加入的是黄 2 球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顺客获得精美礼品的概率P一号-号， “号<号P<P他应往袋中加人黄球 第2课时用树状图法求概率 知识储备 画树状图 基础练 1.D2.A3.号4.(1)解：(2)四张卡片内容中是化学变化的有：A,D,根据题 意，画树状图如下： A B P由树状图可知，共有12种等可 BCDACDAB D A B C 能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD,DA,共2种，∴ 小夏捐取两张卡片内容均为化学变化的概率为音=合 5.(1) 第一枚 公 反 8相等3(2)日6日7 第二枚 第三枚 解：(1)根据题意，画树状图如下：被减数： 由树状 差：0-1-210-1210321 图可知，共有12种等可能的结果，其中两个数的差为负数的结果有3种，∴.P(两数差