备战期中单元复习试卷2025-2026学年北师大版九年级数学上册

期中单元试卷2025-2026学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分15分） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x﹣3＝0 B．2x﹣3y＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D． 2．已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B． C． D． 3．（3分）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镇嵌得到图④，将图④着色后，再次镇嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　） A．45° B．90° C．75° D．60° 4．（3分）在一个不透明的袋子里有6个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，把袋子里的球摇均匀后随机的摸出一个，记下颜色后放回，不断重复这一过程，统计发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则袋子里白球的个数最可能的是（　　） A．24个 B．20个 C．17个 D．15个 5．如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 6．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝28 B． C．x（x﹣1）＝14 D． 7．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣mx+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．2或0 9．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF、EF，若∠BFD＝β，则∠AEF＝（　　） A．90°﹣β B．135°﹣β C．β﹣45° D．2β﹣135° 二．填空题（共6小题，满分3分） 11．二次项系数为1，两个根分别为1和1的一元二次方程是 　 　 ． 12．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是 　 　 ． 13．（3分）若x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个解，则代数式2024+a﹣b的值为 　 　 ． 14．关于x的一元二次方程3x2﹣7x+m+2＝0根的判别式的值是6，则此方程的解为 　 　 ． 15．如图，在菱形ABCD中，点G是边CD上一点，连接AG并延长，交对角线于点F，交边BC的延长线于点E，若FG＝GE，则的值为 　 　 ． 16．将三角板的直角顶点E放在长方形纸片ABCD的边BC上移动，恰好存在两直角边分别经过点A，D情形（如图）．如果AB＝4，BC＝10，则BE的长应为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分62分） 17．（10分）解方程： （1）4（x+1）2﹣8＝0； （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 18．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标； （2）请用无刻度直尺作出∠BAC的角平分线（保留作图痕迹）． 19．（10分）如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D． （1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； （2）连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE． 20．川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如表． 项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编 甲班 2 2 1 乙班 1 2 2 （1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率． （2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率． 21．（10分）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2023年到2025年新能源汽车的销售总量增长了96%．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现．受公司名方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度． （1）求该品牌汽车企业2023年到2025年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 22．（10分）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝11，AD＝10，G，H分别在AB，CD上，且AG＝CH＝3，E，F分别是AD，BC上的两个动点，点E从A向D移动，点F从C向B移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）四边形EGFH一定是 　 　 ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）若四边形EGFH为菱形，求t的值； （3）若四边形EGFH为矩形，求t的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C B B A B B 一．选择题（共10小题，满分15分） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x﹣3＝0 B．2x﹣3y＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含一个未知数，未知数的最高次数是2次的方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），依次判断即可． 【解答】解：A、2x﹣3＝0是一元一次方程，不符合题意； B、2x﹣3y＝0是二元一次方程，不符合题意； C、2x2﹣3x﹣1＝0是一元二次方程，符合题意； D、中，含有分式，不是整式方程，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）． 2．已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2，y＝3 B． C． D． 【分析】根据已知条件得出，再根据比例的性质即可得出答案． 【解答】解：∵3x＝2y， ∴， ∴1． 故选：C． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．（3分）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镇嵌得到图④，将图④着色后，再次镇嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　） A．45° B．90° C．75° D．60° 【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数． 【解答】解：如图， ∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°， ∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°， ∵BC∥AD， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出∠BAD的度数是解题关键． 4．（3分）在一个不透明的袋子里有6个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，把袋子里的球摇均匀后随机的摸出一个，记下颜色后放回，不断重复这一过程，统计发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则袋子里白球的个数最可能的是（　　） A．24个 B．20个 C．17个 D．15个 【分析】设袋子中有白球x个，再利用概率公式求解即可． 【解答】解：设袋子中有白球x个， ∵摸到黑球的频率稳定在0.2左右， ∴摸到黑球的概率为0.2， ∵不透明的袋子里有6个黑球， ∴0.2， 解得x＝24． 故选：A． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 5．如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行线分线段成比例，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴，即， ∴AB＝12m． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 6．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝28 B． C．x（x﹣1）＝14 D． 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x﹣1），根据等量关系即可列方程． 【解答】解：由题意得： x（x﹣1）＝28， 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 7．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行线的性质可得，即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， 故选项A，C，D错误， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题解题的关键． 8．若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣mx+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．2或0 【分析】根据方程解的定义得关于m的方程，求解一元二次方程得结论． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m+2）x2﹣mx+m2﹣4＝0， 得m2﹣4＝0． ∴（m+2）（m﹣2）＝0． ∴m＝2或m＝﹣2． 当m＝﹣2时，方程不再是关于x的一元二次方程，不合题意舍去． ∴m＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义、一元二次方程的定义、一元二次方程的解法是解决本题的关键． 9．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得． 【解答】解：A，图中三角形与给定的三角形对应边不成比例，两个三角形不相似，故不合题意； B，图中三角形与给定的三角形对应边比例，两个三角形相似，故符合题意； C，图中三角形与给定的三角形对应边不成比例，两个三角形不相似，故不合题意； D，图中三角形与给定的三角形对应边不成比例，两个三角形不相似，故不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 10．（3分）如图，正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF、EF，若∠BFD＝β，则∠AEF＝（　　） A．90°﹣β B．135°﹣β C．β﹣45° D．2β﹣135° 【分析】连接DE，证△ADE和△CDF全等得DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，进而可证∠EDF＝90°，则△EDF为等腰直角三角形，由此得∠EFD＝45°，则∠BFE＝∠BFD﹣∠EFD＝β﹣45°，再根据∠BFE+∠AEF＝90°可得∠AEF的度数． 【解答】解：连接DE，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠C＝90°， 在△ADE和△CDF中， AD＝CD，∠DAE＝∠C＝90°，AE＝CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴△EDF为等腰直角三角形， ∴∠EFD＝45°， ∵∠BFD＝β， ∴∠BFE＝∠BFD﹣∠EFD＝β﹣45°， ∵∠B＝90°， ∴∠BFE+∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝90°﹣∠BFE＝90°﹣（β﹣45°）＝135°﹣β． 故选：B． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题，满分3分） 11．二次项系数为1，两个根分别为1和1的一元二次方程是 x2﹣2x﹣1＝0　 ． 【分析】先设方程为x2+bx+c＝0（b，c是常数），再根据两根之和或两根之积公式求出b、c的值，代入数值即可得到方程． 【解答】解：设这个方程为x2+bx+c＝0， ∵一元二次方程的两个根分别为1和1， ∴x1+x2＝（1）+（1）＝﹣b， x1•x2＝（1）×（1）＝c， 解得b＝﹣2，c＝﹣1． 故所求方程为x2﹣2x﹣1＝0． 故答案为：x2﹣2x﹣1＝0． 【点评】本题考查了根与系数的关系，已知方程的两个根求方程是考查根与系数的关系的一种常见题型． 12．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是 　8cm ． 【分析】根据AC∥DB证明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图所示：AB、CD相交于点O， ∵AC是烛焰的高，DB是实像的高， ∴AC∥DB， ∴△AOC∽△BOD， ∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，AC＝4cm， ∴， ∴BD＝8cm， 故答案为：8cm． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 13．（3分）若x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个解，则代数式2024+a﹣b的值为 　2026　 ． 【分析】根据x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个解，可以得到a﹣b的值，然后将所求式子变形，再将a﹣b的值代入，即可解答本题． 【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个解， ∴a﹣b﹣2＝0， ∴a﹣b＝2， ∴2024+a﹣b＝2024+2＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义． 14．关于x的一元二次方程3x2﹣7x+m+2＝0根的判别式的值是6，则此方程的解为 x1，x2　 ． 【分析】由根的判别式为6，结合公式法解一元二次方程，可得出方程的根为x． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣7x+m+2＝0根的判别式的值是6，6＞0， ∴， ∴x1，x2． 故答案为：x1，x2． 【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x是解题的关键． 15．如图，在菱形ABCD中，点G是边CD上一点，连接AG并延长，交对角线于点F，交边BC的延长线于点E，若FG＝GE，则的值为 　　 ． 【分析】由菱形的性质得AB∥GD，EB∥AD，则△ABF∽△GDF，△EBF∽△ADF，所以，则FG•EF＝AF2，而FG＝GEEF，则EF2＝AF2，所以EFAF，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点G是边CD上的点，AG、BC的延长线交于点E， ∴AB∥GD，EB∥AD， ∴△ABF∽△GDF，△EBF∽△ADF， ∴，， ∴， ∴FG•EF＝AF2， ∵FG＝GEEF， ∴EF2＝AF2， ∴EFAF， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABF∽△GDF，△EBF∽△ADF是解题的关键． 16．将三角板的直角顶点E放在长方形纸片ABCD的边BC上移动，恰好存在两直角边分别经过点A，D情形（如图）．如果AB＝4，BC＝10，则BE的长应为 　2或8　 ． 【分析】根据长方形性质得CD＝AB＝4，∠B＝∠C＝90°，设BE＝a，则CE＝10﹣a，证明△ABE和△ECD相似得，即，整理得a2﹣10a+16＝0，由此解出a＝2或8，由此可得BE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，且AB＝4，BC＝10， ∴CD＝AB＝4，∠B＝∠C＝90°， 设BE＝a， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣a， ∵∠AED＝90°， ∴∠BEA+∠CED＝90°， 在Rt△ABE中，∠BEA+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CED， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECD， ∴， ∴， 整理得：a2﹣10a+16＝0， 解得：a＝2或8， ∴BE的长为2或8． 故答案为：2或8． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 三．解答题（共7小题，满分62分） 17．（10分）解方程： （1）4（x+1）2﹣8＝0； （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】（1）移项，直接开平方即可得到答案； （2）移项，系数化为1，配方，再直接开平方即可得到答案． 【解答】解：（1）4（x+1）2﹣8＝0， 移项得，4（x+1）2＝8，即：（x+1）2＝2， 两边开平方得，， ∴，； （2）2x2﹣4x﹣3＝0， 移项得，2x2﹣4x＝3， 系数化为1得，， 配方得，， 两边开方得，， ∴，． 【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法并选择适当的解法求解． 18．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标； （2）请用无刻度直尺作出∠BAC的角平分线（保留作图痕迹）． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可，由图可得A1，B1，C1的坐标； （2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）； （2）如右图所示AP是∠BAC的角平分线． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质和角平分线的作法是解答本题的关键． 19．（10分）如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D． （1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； （2）连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE． 【分析】（1）证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质求解； （2）利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【解答】（1）解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴3， ∴DE； （2）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 20．川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如表． 项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编 甲班 2 2 1 乙班 1 2 2 （1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率． （2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）甲班中特别熟悉川北木偶、川北剪纸、高坪竹编的同学分别用A、B、C表示，乙班中特别熟悉川北木偶、川北剪纸、高坪竹编的同学分别用a、b、c表示，画树状图展示25种等可能的结果，再找出两人都对川北剪纸特别熟悉同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率； （2）甲班中特别熟悉川北木偶、川北剪纸、高坪竹编的同学分别用A、B、C表示，乙班中特别熟悉川北木偶、川北剪纸、高坪竹编的同学分别用a、b、c表示， 画树状图为： 共有25种等可能的结果，其中两人都对川北剪纸特别熟悉同学的结果数为4， 所以都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 21．（10分）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2023年到2025年新能源汽车的销售总量增长了96%．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现．受公司名方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度． （1）求该品牌汽车企业2023年到2025年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【分析】（1）设该品牌汽车企业2023年到2025年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据该品牌新能源汽车企业从2023年到2025年新能源汽车的销售总量增长了96%，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设应该再增加m个工厂，则每个工厂的最大产能是（6﹣0.2m）万辆/季度，根据该企业要保证每季度生产汽车27万辆，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x， 根据题意得：（1+x）2＝1+96%， 解得：x1＝﹣2.4（不符合题意，舍去），x2＝0.4＝40%． 答：该品牌汽车企业2023年到2025年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%； （2）设应该再增加m个工厂，则每个工厂的最大产能是（6﹣0.2m）万辆/季度， 根据题意得：（2+m）（6﹣0.2m）＝27， 整理得：m2﹣28m+75＝0， 解得：m1＝25，m2＝3， 又∵要节省投入成本， ∴m＝3． 答：应该再增加3个工厂． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（10分）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 【分析】（1）先把要求的式子变形为（x2）2﹣3x2﹣4＝0，再进行因式分解，求出符合条件的x2的值，从而得出x的值； （2）根据已知条件设x2+2x＝y求出x的值即可． 【解答】解：（1）x4﹣3x2﹣4＝0， （x2）2﹣3x2﹣4＝0， （x2﹣4）（x2+1）＝0， x2﹣4＝0，x2+1＝0， 解得：x2＝4，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， 则x1＝2，x2＝﹣2． （2）设y＝x2+2x，则y2﹣y﹣6＝0 ∵（y﹣3）（y+2）＝0， y＝3，y＝﹣2 当y＝3时，x2+2x﹣3＝0，x1＝﹣3，x2＝1， 当y＝﹣2时，x2+2x+2＝0，无解． 故方程的解为x1＝﹣3，x2＝1， 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法、直接开平方法解一元二次方程，利用因式分解等知识点把高次方程转换成一元二次方程是解此题的关键． 23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝11，AD＝10，G，H分别在AB，CD上，且AG＝CH＝3，E，F分别是AD，BC上的两个动点，点E从A向D移动，点F从C向B移动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）四边形EGFH一定是 A ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）若四边形EGFH为菱形，求t的值； （3）若四边形EGFH为矩形，求t的值． 【分析】（1）依题意得BG＝DH＝8，AE＝CF＝t，证明△AEG和△CFH全等得EG＝HF，同理证明△BGF和△DHE全等得GF＝HE，则四边形EGFH是平行四边形，据此即可得出答案； （2）根据菱形的判定得当EG＝EH时，四边形EGFH是菱形，由勾股定理得EG2＝t2+32，EH2＝（10﹣t）2+82，则t2+32＝（10﹣t）2+82，由此解出t即可； （3）当四边形EGFH为矩形时，连接GH，EF，过点G作GN⊥CD于点N，证明四边形ADNG是矩形得DN＝AG＝3，GN＝AD＝10，则HN＝5，进而由由勾股定理得GH2＝125，HF2＝t2+32，EH2+HF2＝GH2，则t2+32+（10﹣t）2+82＝125，由此解出t即可． 【解答】解：（1）四边形EGFH一定是平行四边形，理由如下： 如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝11，AD＝10， ∴CD＝AB＝11，BC＝AD＝10，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵AG＝CH＝3， ∴BG＝AB﹣AG＝8，DH＝CD﹣CH＝8， ∴BG＝DH＝8， 根据点E，F的运动速度和时间得：AE＝CF＝t， 在△AEG和△CFH中， ， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴EG＝HF， 同理可证明：△BGF≌△DHE， ∴GF＝HE， ∴四边形EGFH是平行四边形， 故选：A． （2）∵四边形EGFH是平行四边形， ∴当EG＝EH时，四边形EGFH是菱形，如图2所示： ∵AE＝CF＝t， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣t， 在Rt△AEG中，由勾股定理得：EG2＝AE2+AG2＝t2+32， 在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2＝DE2+DH2＝（10﹣t）2+82， ∵EG＝EH， ∴t2+32＝（10﹣t）2+82， 解得：， ∴当四边形EGFH为菱形，t的值为； （3）当四边形EGFH为矩形时，连接GH，EF，过点G作GN⊥CD于点N，如图3所示： ∴∠GND＝∠D＝∠A＝90°，EF＝GH，∠EHF＝90°， ∴四边形ADNG是矩形， ∴DN＝AG＝3，GN＝AD＝10， ∴HN＝DH﹣DN＝8﹣3＝5， 在Rt△GNH中，由勾股定理得：GH2＝GN2+NH2＝102+52＝125， ∴EF2＝GH2＝125， 在Rt△CHF中，由勾股定理得：HF2＝CF2+CH2＝t2+32， 在Rt△EHF中，由勾股定理得：EH2+HF2＝GH2， ∴t2+32+（10﹣t）2+82＝125， 整理得：t2﹣10t+24＝0， 解得：t＝4，t＝6， ∴当四边形EGFH为矩形时，t的值为4或6． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 19:12:39；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $