1.1 菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 2．如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 3．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接，交轴于点，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是10，面积是12．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 9．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为 ． 10．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，（菱形的边长不变）．若，则的度数为 ． 11．如图，四边形沿直线对折后重合，连接，交于点，若，则下列结论：；；；．其中正确的是 ．（只填序号） 三、解答题 12．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，求证：． 13．如图，菱形中的两条对角线，相交于点O，其中，，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 14．如图，中，，，将绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，E． (1)求证：． (2)求的度数； (3)若，四边形是菱形，求的长度． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【详解】A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相关的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的性质可得，，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的周长为10， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则的值为． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．作于，于，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出，由菱形的面积可得出答案． 【详解】解：作于，于，连接、交于点． 由题意知：，， 四边形是平行四边形， 两个矩形等宽， ， ， ， 平行四边形是菱形， ，，， 点，之间的距离为，点，之间的距离为， ，， ， ， ， ． 这两张纸条的宽为， 故选：D． 7．C 【分析】如图，连接，证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵F为中点， ∴（等腰三角形三线合一的性质），即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又由折叠的性质得：， ， 在中，由三角形的内角和定理得：， 故选：C． 【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键． 8．（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 9． 【分析】本题考查了菱形的性质、三线合一、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 连接交于点F，由菱形的性质得，，因为，所以，根据勾股定理求得，则，然后根据这个活动衣帽架所围成的面积为求解即可． 【详解】解：连接交于点F，如图所示： ∵四边形是边长为的菱形， ∴， ∵木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，A，E间的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个活动衣帽架所围成的面积． 故答案为：． 10．/26度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角相等，对角线平分对角，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．根据轴对称的性质和已知条件可证，则，，即④正确；再证四边形为平行四边形可判定①②；最后证明四边形为菱形可判定③． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， ． ， ，． 在和中 ． ，．即④正确； ， 四边形为平行四边形． ，，即正确； 直线是四边形的对称轴， ． 四边形为菱形． 不一定成立，故③错误； 故答案为：． 12．见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形的性质可得，，结合已知的，利用“”可证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ． 13．(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴的长度为8； （2）∵菱形， ∴， 即． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 14．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是旋转的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的性质， （1）结合旋转性质证明即可得出结论； （2）设相交于O，根据，，求出结论即可； （3）先求出，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：绕A点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设相交于O，如图， ∵，，， ∴，即； （3）解：∵，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：菱形 为中点 为的中位线 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点 菱形 解得： ． 学科网（北京）股份有限公司 $