重点强化专题(3) 直线与抛物线的交点问题(选用)&重点强化专题(4)二次函数的图象与宇母系数的关系-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 重点强化专题（三）直线与抛物线的交点问题（选用） 解题技巧 B(1,-1). 解决直线y=m.x十n(m卡0)与抛物线y2=ax2 (1)a的值为 ,m的值为 ,方程 十bx十c(a≠0)的交点问题，先把它们联立得一个一 a.x2-bx-c=0的解是 元二次方程，即ax2十(b-m)x十c-n=0. (2)不等式ax2-bx-c≥0的解集是 (1)若它们没有交点，则△=(b-m)2-4a(c-n)<0 且a≠0； (2)若它们有一个交点，则△=(b-m)2-4a(c-n) 4.二次函数y1=x2+bx一3的图象与直线y2= 0且a≠0： -x+3交于点A(3,0)和B(-2,n). (3)若它们有两个交点，则△=(b-m)2-4a(c-n) (1)b= ,n= 0且a≠0； (2)当y1>y2时，x的取值范围是 (4)若它们交于点A(,f),B(p,q),如下图： y=ax+bx+c (3)将直线AB沿y轴上下平移，当平移后的 A(e,f) B(p,g) 直线与抛物线只有一个公共点时，求平移 y =mx+n 后的直线的解析式. ①方程ax2+bx十c=mx十n的两个根为x1=e, x2=力； ②不等式a.x2+bx十c>m.x十n的解集是x<e或 x>p; ③不等式a.x2+bx十c<m.x十n的解集是e<x< p 5.如图，函数y=x2一5x十6的图象与x轴交于 1.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx十c 点A,B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C. 与直线y=m.x十n如图所示，则方程ax2+(b (1)B点坐标是 ,C点的坐标是 -m)x+(c-n)=0的解为 ,已知一次函数的图象过点B,C, 这个一次函数的解析式是 (2)0≤x≤3时，对于x的每一个值，函数y 一2x+b(b为常数)的值大于函数y=x 第1题图 第2题图 5x+6的值，写出b的取值范围. 2.二次函数y=一x2+bx十c的部分图象与直 线y=kx十b如图所示，则-x2十bx十c<kx 十b的解集是 3.如图，抛物线y1=ax2与直 线y2=bx十c的两个交点 y.=bx+c 坐标分别是A(m,一)和 51九年级数学·上册 重点强化专题（四） 二次函数的图象与字母系数的关系 解题技巧 所有正确结论的序号是 根据二次函数y=a.x2十b.x十c(a≠0)的图象判断字 A.①② B.①③ 母系数a,b,c及相关式子的值的情况. C.②③ D.①②③ 开口 开口向上 0 方向 开口向下 0 对称轴为y轴 b 0 对称轴 对称轴在y轴左侧 a与b 号 的位置 第2题图 第3题图 对称轴在y轴右侧 a与b 号 3.(2024·西藏)如图，二次函数y=ax2+bx十c 过原点 0 (a≠0)的图象与x轴相交于点A(一3,0)，B 与y轴 与y轴交于正半轴 0 (1,0),则下列结论正确的个数是 () 的交点 与y轴交于负半轴 c 0 ①abc<0;②3b+2c>0;③对任意实数m, 与x轴有唯一交点 b2-4ac 0 am2+bm≥a-b均成立；④若点(-4，y1), 与x轴 与x轴有两个交点 b2-4ac 0 的交点 (分)在抛物线上，则y<, 与x轴没有交点 b2-4ac 0 A.1个B.2个C.3个D.4个 当x=1时，y=a十b+c; 4.(2024·日照)二次函数y=a.x2+bx十c(a≠ 当x=-1时，y=a一b十c. 0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过 当x=2时，y=4a十2b+c; 点（一1,0），对称轴为直线x=2.对于下列结 当x=-2时，y=4a-2b+c. 论：①abc<0;②a+c=b;③多项式ax2+bzx 特 若a十b十c>0,则当x=1时，y>0,若a 十c可因式分解为(x+1)·(x一5)；④当m b+c>0,则x=-1时，y>0. >-9a时，关于x的方程a.x2十bx+c=m无 系 当对称轴为直线x=1时，2a十b=0;当对 实数根.其中正确的个数有 () 称轴为直线x=一1时，2a-b=0;判断 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 2a十b或2a一b的值大于或小于0，看对称 轴与直线x=1或x=一1的位置，此外，还 要结合开口方向判断a的正负等. 【针对练习】 012 第4题图 第5题图 1.(2024·湖北)抛物线y=a.x2十bx+c(a,b,c 5.(2024·泰安)如图所示是二次函数y=ax 为常数，a≠0)的顶点坐标为(-1，一2)，与y 十bx十c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对 轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是 称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标 是2.则下列结论：①2a+b=0;②方程a.x2十 A.a<0 B.c<0 bx十c=0一定有一个根在-2和-1之间； C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 2.(2024·甘孜州)二次函数y=ax2十bx十c(a ③方程ar2+十c一多=0一定有两个不相 >0)的图象如图所示，给出下列结论：①c< 等的实数根；④b一α<2.其中，正确结论的个 () 0:@名>0：③当-1<<3时y<0.其中 数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 助学助教优质高敦52/轴，P(-2,3)Q(-2,-3.PQ-3-(-3)=6.Sae=Sw+5aw= PQ·(-x)=号×6X0+5)=15. 重点强化专题（二）二次函数解析式的求法 1.y=(x-2)-12.解：设这个二次函数的解析式为y=ax2十bx十c,根据题意，得 a+b+c=-2, c=-1, a=1, 一b=1 解得b=一2，∴二次函数的解析式为y=x-2x一1.3.解：：对 c=-1. 2a 称轴为直线x=一 4@=2，图象与x轴交于A,B两点，且AB=2,∴A(1,0),B(3, 2a 0).把A1,0),C(0,3)代人y=ar2-4ar十c中，得a-a+c=0,解得a=, c=3 c=3'y= x2-4x+3. 4.解：令y=-2x+2=0,则x=4.心B(4,0).当x=0时y=2.C (0,2.设二次函数的解析式为y=a-4(x+1D,把C0,2)代人，解得a=-号 y=-合-40x+10=-2+2+2.5y=r+6x+661,-2》a 1 3 2)-1-(x-1)2+2(2)①y=(x+1)2-2②y=-(x+1)2-3 难点强化专题（二）二次函数的最值及函数值的范围（选用） 解题技巧 y≤y≤22yy≤y≤kky2 【例1】(1)减小5-3(2)0-4(3)5-4 1.160 【例2】1 -124m+4m冬-1m-2m-3g -3 2.()小=x+x(2)解：抛物线的解析式为y=x+x∴顶点P的坐标为(-号， 子）：当+1<-名，即<一多时，心随x增大而破小，由题意，得1+1》+什1=2 解得=-3=0（合去）.：的值为-3：当≤-<十1时y的最小值为-子 不符合题意：当t>一2时，y随x增大而增大，由题意，得t十t=2.解得t=一2（舍 去)，t2=1.∴综上所述，t的值是-3或1. 22.2二次函数与一元二次方程 知识储备 1.(x1,0),(x2,0)2.b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac0 基础练 1.(1)x1=-1,x2=-5(-1,0),(-5,0)(2)x1=-1,x2=42.(1)x1=-2, x=4(2)x=x,=1(3)无实数根3.(1)2(2)①9②m>1③k≤号4k≤ 号且k≠15C6C1.<下<-1或>5（②-1<<58B9.C 10.(1)y=-x2十2x+3k4解：(2)-1x<3;(3)点C(0,3)关于对称轴直线 x=1的对称点是(2,3).∴.不等式ax2十bx+c<3的解集是x<0或x>2.11.(1)0 解：(2)画图象如图所示：(3)①函数图象关于y轴对称：②函数 3不力 有最小值-1；③当x>1时，y随x增大而增大.(4)①33②2③-1<a<0 重点强化专题（三）直线与抛物线的交点问题（选用） 1x=0=32<0或>331)-1-音x=-是=12)-号< x≤14.(1)一25(2)x-2或x>3解：(3)设平移后的直线的解析式是y= 一x十k.由题意，得x2一2x一3=一x十k有两个相等的实数根，则（一1）2一4（一3-k) =0,解得及=一是“平移后的直线为)=一一是 5.(1)(3,0)(0,6)y=- 2x十6解：(2)由题意知y=一2.x十b的图象与直线BC平行，：当0≤x≤3时，对于 x的每一个值，一2x十b>x2一5x十6，.由图可知b>6. 17 重点强化专题（四）二次函数的图象与字母系数的关系 解题技巧 ><=同异=><=>< 1.C2.D3.B4.C5.B 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与几何图形的面积 知识储备 b Aac-b 1.-2a 2.x二次函数取值范围 Aa 基础练 11大42.430-94C55061)2x2y=-2+2z0< <4(3)227.解：依题意，得y=20x(90-x).即y=-20(x2-90x)=-20(x 45)2+40500.:a=-20<0,抛物线开口向下，∴.当x=45时，y大=40500.答：当抽 屉底面的宽x为45cm时，体积最大，最大值为40500cm3.8.(1)(120-3.x)S= x(120-3.x)(2)10或30解：(3)由(1)知，S=x(120-3x)=-3.x2+120x.-3 <0,当x=-120=20时，S取最大值1200.120-3z=120-3×20=60.答：垂直 6 于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米.9.318 10.解：设与墙垂直的一边是xm,鸡场面积是ym2,由题意，得y=x(48-2x)= 2x+48x=-20x-12)产+288：48-27≤2511.5≤<24.：-2<0，开口向 148-2x>0. 下，.当x=12时，y有最大值288.答：鸡场的最大面积是288m.11.解：(1)根 据题意，绿化区的宽为[30-(50-2x)]÷2=x-10,∴.y=50×30一4x(x-10)= 4x2+40x+1500..4个出口宽度相同，其宽度不小于14m,不大于26m,∴.14≤50 -2x26.∴.12x18..y=-4x2+40x+1500(12≤x≤18)：(2)y=-4x2+40x +1500=-4(x-5)+1600,.-40,.当12x≤18时，y随x的增大而减小. 当x=12时，y最大，y大=1404.答：活动区的最大面积为1404m;(3)设投资费 用为0元，由题意，得0=50×(-4x2+40x+1500)+40×4x(x-10)=-40(x 5)2+76000.∴.当w=70240时，解得x1=-7(舍去)，x2=17.当x=17时，.50 2x=50-17×2=16m.答：活动区的出口宽度是16m. 图形串联专题抛物线与线段长度问题 1.解：(1)二次函数经过O(0,0),A(4,0),B(1,3),.将三点坐标代入解析式，得 0=c, fa=一1， 0=16a十4b十c,解得b=4,∴.二次函数的解析式为y=一x2+4x.:直线经过 3=a+b+c. (c=0. A,B两点，设直线AB解析式为y=kx十n,∴.将A,B两点坐标代入，得 软十解得二，直线AB解析式为y=一x十4.”点C是直线与y抽 3=k+n. 点，令x=0,则y=4..C(0,4).(2)解：点P在直线AB上方，1≤m≤4.由 题知P(m,-m+4m),D(m,-m+4),∴.PD=y-yn=-m2+4m+m-4=-m+ 5m-4=-(m-2.5)2+2.25..-10,∴.当m=2.5时，PD有最大值，最大值是2. 25.(3)解：设Q(m,一m2十4m),由(1)知直线AB的解析式是y=-x+4,设M(x, -x+4).QM∥x轴，.-x+4=-m2+4m.解得x=m-4m+4.∴.M(m2-4m十 4,-m2+4m)..QM=m-(m2-4m+4)=-m2+5m-4(1<m<4).:-1<0,开 口向下，当m=号时，QM最大，最大值是号此时点Q的坐标是（号，） 5 (4)解：过点P作PG∥y轴交AB于G,设P(m,一m+4m),则G(m, m+4),PG=-m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4(1<m<4)..OC=OA=4, ∠0AC=∠OCA=15.:PG/y轴，∠0CA=∠PGE=45∴PE=号pG=号 2 m+5m-)=号m+号厄m-2反.：a=-竖<0，开日向下当m=受时，PE 2 有最大值，最大值是 ,2.解：(1)把B(3,m)代入y=x+2得m=3+2=5.B ③，5把A(-2,0,B(3,5)代人y=2+x+c,得仁60，解得 18