专题02 二次函数（期中真题汇编，北京专用人教版）九年级数学上学期

专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数图象性质 考点02 待定系数法求二次函数解析式 考点03 二次函数的平移 考点04 实际问题与二次函数 考点05 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数图像性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京回民学校·期中)如图，抛物线与轴交于点，交y轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴与点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．(24-25九上·北京大兴区·期中)抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 二、填空题 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有 ． 7．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则它必有最大值： ②若这个函数的图象经过第三象限的点，则必有； ③若，则方程必有一根大于1； ④若，则当时，必有随的增大而增大． 上述结论中．所有正确结论的序号是 ． 8．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是 ． 9．(24-25九上·北京第二中学·期中)已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 10．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是 ． 11．(24-25九上·北京第十二中学·期中)二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论： ①； ②； ③若点在该函数图象上，则； ④ 若方程的两根为和，且则，． 其中所有正确结论的序号是 ． 12．(24-25九上·北京十一学校·期中)抛物线的顶点的坐标为 ． 13．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则 （填“＞”或“＜”）． 14．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，若点在抛物线上，则 （填“>”，“=”或“<”）． 15．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 16．(24-25九上·北京第十二中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 17．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)点，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 三、解答题 18．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． 19．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知二次函数的图象过点，，， (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出这个函数的图象，并直接写出使函数值的的取值范围_____． 20．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ． 21．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 画出该二次函数的图象，并求出解析式． 22．(24-25九上·北京第二十五中学·期中)设、是任意两个实数，定义符号的含义为：当时，；当时，．例如：． 参照上面的材料，解答下列问题： (1) ． (2)若，求的取值范围． (3)①写出函数与的图像的交点坐标 ． ②根据函数和的图像写出当 时，的最大值为 ． 23．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______． 24．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)该抛物线的顶点坐标为__________； (2)求该抛物线的表达式； (3)将该抛物线向上平移__________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 地 城 考点02 待定系数法求二次函数解析式 一、填空题 1．(24-25九上·北京大兴区·期中)请写出一个对称轴为直线，且经过点的抛物线解析式 ． 二、解答题 2．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 3．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 4．(23-24九上·北京海淀区·期中)在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．    (1)小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 （1）根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为____________m； (2)①求小刚第一次的投掷距离； ②已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次____________（填“大”或“小”）． 5．(23-24九上·北京海淀区八一学校·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 6．(23-24九上·北京·期中)已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 (1)求这个二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当x的取值范围为 时，． 7．(24-25九上·北京回民学校·期中)利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 8．(23-24九上·北京·期中)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 9．(24-25九上·北京回民学校·期中)已知抛物线经过点 (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)画出函数的图象 (3)当时，结合函数图象直接写的取值范围． x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 10．(23-24九上·北京东城区·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)用描点法画出该二次函数的图象； (3)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 地 城 考点03 二次函数的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京大兴区·期中)二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 4．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)若抛物线平移后得到，则可以（   ） A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位； B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位； C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位； D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位； 5．(24-25九上·北京·期中)将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·北京朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校·期中)在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D． 7．(23-24九上·北京海淀区北京十一晋元学校·期中)将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)二次函数的图象可以由函数向 平移 个单位得到． 9．(24-25九上·北京第二中学·期中)把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ． 10．(24-25九上·北京第十二中学·期中)将抛物线 先向上平移个单位，再向右平移个单位，所得抛物线的解析式为 ． 11．(24-25九上·北京第二十五中学·期中)把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 12．(24-25九上·北京·期中)若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为 三、解答题 13．(24-25九上·北京回民学校·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 地 城 考点04 实际问题与二次函数 一、填空题 1．(23-24九上·北京朝阳区·期中)对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度，初速度，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系：（其中是重力加速度，取）．将一物体以的初速度向上抛，当物体处在离抛出点高的地方时，的值为 ． 二、解答题 2．(24-25九上·北京大兴区·期中)行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离（单位：），车速为制动时车速（单位：），时间为制动时间（单位：）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表： 表1 制动时车速（） 制动时间（） 表2 制动时车速（） 制动距离（） 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示与的关系． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)根据表1，当制动时车速为时，制动时间 ； (2)直接写出制动距离（单位：）与制动时车速（单位：）之间的函数关系式； (3)有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为，则此车制动时车速是 ，已知该公路限速为，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）． 3．(24-25九上·北京·期中)赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 4．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为．当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小毓建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示）．求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，回答下列问题： (1)画出小毓建立的平面直角坐标系； (2)判断此次发球是否有效，并说明理由．（注：排球过球网且落在对方场地内为发球有效） 5．(24-25九上·北京十一学校·期中)一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 6．(23-24九上·北京朝阳区·期中)如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； (2)这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 7．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表： x/m … 9 12 15 18 21 … y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 8．(24-25九上·北京第二中学·期中)2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； (2)在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 9．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)某公司对其产品的年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据： 万元 吨 万元 (1)请你补全表格中的数据； (2)请在下面平面直角坐标系中描出点； (3)解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元． 万元 吨 万元 10．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 11．(24-25九上·北京·期中)某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． 12．(24-25九上·北京中国人民大学附属中学·期中)如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）． (1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下： 2 3 6 8 10 12 4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式． (2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）． 地 城 考点05 二次函数综合 一、填空题 1．(23-24九上·北京朝阳区·期中)已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ． 二、解答题 2．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． (1)求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当多长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 3．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． (1)当时，抛物线的对称轴为____________； (2)直接写出一个的值，使得成立； (3)是抛物线上不同于，的点，若对于，都有，求的取值范围． 4．(24-25九上·北京·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 5．(24-25九上·北京朝阳外国语学校来广营初中部·期中)在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)直线经过点，，若对于，都有，求的取值范围． 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 7．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 8．(24-25九上·北京第二中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 9．(24-25九上·北京第十二中学·期中)在平面直角坐标系中，点为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求h的取值范围． 10．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)已知关于x的二次函数上两个不同的点，． (1)求顶点坐标； (2)若且时，总有，求m的取值范围． 11．(24-25九上·北京大兴区·期中)在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线经过点． (1)当时，若，则a的值为 ； (2)若对于任意的都满足，求a的取值范围． 12．(24-25九上·北京十一学校·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 13．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，和是抛物线上任意两点． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 14．(24-25九上·北京第十三中学分校·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线G：． (1)直接写出抛物线G的顶点坐标； (2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围； (3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 15．(24-25九上·北京·期中)在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)当时，求b的值； (2)当，求b的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数图象性质 考点02 待定系数法求二次函数解析式 考点03 二次函数的平移 考点04 实际问题与二次函数 考点05 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数图像性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格数据可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，进而根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时，函数值相等， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 2．(24-25九上·北京回民学校·期中)如图，抛物线与轴交于点，交y轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴与点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，再由可知；当时，函数有最大值得；由图象得一元二次方程有两个不相等的实数根；根据三角形三连关系可得． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴对称轴为直线， ∴，即 ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴（m为任意实数）， 即，故③错误； ∵抛物线开口向下，抛物线与轴交于点， 所以抛物线与直线有两个交点，如图， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵对称轴交y轴的正半轴于点C， ∴， 由对称性可知， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：B． 3．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象确定，，的符号，由，且确定对称轴，再逐个推理判断即可． 【详解】解：抛物线过，且，抛物线开口向下， ，，， ∴根据左同右异，，故①正确； 由和可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当都在对称轴左侧时，随的增大而增大，此时总有， ∵， ∴，即，故④错误， 综上，可得正确结论的序号是：①②③． 故选：B． 4．(24-25九上·北京大兴区·期中)抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了的性质．根据二次函数的顶点为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为； 故选C． 二、填空题 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标得出，再观察函数，得出，整理得，故，观察函数图象，当时，则，得，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出函数的开口向上， 故， 函数与轴交于负半轴， ∴， 函数的对称轴位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故①是正确的； 图象对称轴为直线，观察函数，得出 ∵， ∴， ∴， 故③是正确的； 观察函数图象，当时，则， 即， ∴， 故④是错误的； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②是正确的； 故答案为：①②③ 7．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则它必有最大值： ②若这个函数的图象经过第三象限的点，则必有； ③若，则方程必有一根大于1； ④若，则当时，必有随的增大而增大． 上述结论中．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数对称轴直线与顶点坐标的特点，二次函数与轴交点的关系，掌握二次函数图象的性质，系数与图象开口，顶点坐标的判定方法是解题的关键． 已知二次函数，图象过经过原点，当过点时，可得对称轴直线为，可得顶点坐标和图象开口，由此可判定①；根据顶点坐标，判定图象可得②；根据二次函数图象与的交点情况可判定③；根据题意，当时，；当，；可得点在轴上方，对称轴直线，结合图象的增减性即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴该抛物线经过原点， 若这个函数的图象经过点时，对称轴直线为， ∴二次函数的顶点坐标为，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线图象的开口向下， ∴它必有最大值，故①正确； 已知二次函数的图象经过原点， 顶点坐标为， ∴当顶点坐标在第一、二象限时 ，，则；当顶点坐标在第三、四象限时，，则； ∴②错误； 若，函数的图象的开口向下， ∵， ∴，， ∴对称轴直线， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故③正确； 若，函数图象的开口向上， ∴顶点坐标在第三象限，或第四象限， 当时，；当，； ∵， ∴点在轴上方， ∴对称轴直线， ∴当时，必有随的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④ ． 8．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了利用二次函数的性质等判断式子的符号，待定系数法，图象法解一元二次不等式等；①由图象得，即可判断；②由图象得，即可判断； ③由函数的对称性得与轴的另一个交点为，可得当时，，当时，即可判断； ④由交点式得可设，求出、、，即可判断；能熟练利用二次函数的性质等判断式子的符号是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， 故此项错误； ②由图象得： ， ； 故此项正确； ③由图象得：， 与轴的另一个交点为， 当时，， 当时， ； 故此项正确； ④抛物线与轴的交点坐标为，， 可设， 经过， ， 解得：， ， ，， ， 的解集为是； 故此项正确； 故答案：②③④． 9．(24-25九上·北京第二中学·期中)已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线，再结合已知进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 10．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④（答对一个给1分，多选或错选不得分） 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键． ①分情况讨论一次函数和二次函数即可求解； ②分情况讨论和时方程的根即可； ③已知条件中限定且或，分情况讨论或的函数值即可； ④分情况讨论和时函数的最大值是否小于等于0即可． 【详解】解：对于①：当时，函数变为，与只有一个交点， 当时，， ∴， 故图像与轴只有一个交点时，或，①错误； 对于②：当时，方程变为，有一个整数根为， 当时，方程因式分解得到：， 其中有一个根为， 故此时方程至少有一个整数根，故②正确； 对于③：由已知条件得到，且或， 当时，开口向上，对称轴为， ∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大， ∵ ， ∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0； 当时，开口向下，自变量离对称轴越远， ∴其对应的函数值越小， ∴时，函数取得最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误； 对于④：时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故不符合； 时，对于函数， 当时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立； 当时开口向下，此时函数的最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值， 此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确； 综上所述，②④正确， 故答案为：②④． 11．(24-25九上·北京第十二中学·期中)二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论： ①； ②； ③若点在该函数图象上，则； ④ 若方程的两根为和，且则，． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得图象也过点，据此可判断②正确；先求得关于直线的对称点为，时，随着的增大而增大，据此可判断③错误；方程有两根，可看作直线与抛物线有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由题意可知：对称轴， ， ，故①正确； ②图象过点，对称轴为直线， 图象也过点，即当时，， ，即，故②正确； ③关于直线的对称点为， 由图可知：时，随着的增大而增大， 由于， ，故③错误； ④设，， 由于图象可知：直线与抛物线有两个交点， 方程的两根为和， ，故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 12．(24-25九上·北京十一学校·期中)抛物线的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，直接将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据点P、Q的横坐标以及二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，为二次函数的图象上的两个点，且， ∴． 故答案为：． 14．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，若点在抛物线上，则 （填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为，则开口向上，对称轴是直线，则越靠近对称轴的所对应的函数值越小，再结合点在抛物线上，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是直线， 则越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上，且， ∴， 故答案为：． 15．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性质及开口方向，确定点，到对称轴的距离关系，从而比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴点关于直线，的对称点为， ∵， ∴或， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 16．(24-25九上·北京第十二中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 17．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)点，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于基本题型，掌握比较的方法是解答关键． 把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，求出，的值即得答案． 【详解】解：把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 18．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图像见解析； 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据表格中的数据利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式； （2）根据表格中的数据，利用描点法即可画出函数图象；观察图象，当时，函数的最大值为3，最小值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意将，，代入二次函数中，得 解得： 所以这个二次函数的解析式为：． （2）解：利用描点法画出函数图象如下，即为所求， 观察图像可知，当时，函数的最大值为3，最小值为， 所以当时，的取值范围为． 19．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知二次函数的图象过点，，， (1)求这个二次函数的解析式； (2)画出这个函数的图象，并直接写出使函数值的的取值范围_____． 【答案】(1)； (2)图见解析， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质． （1）设交点式，然后把A点坐标代入求出a即可； （2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再利用描点法画出二次函数图象，然后结合函数图象，写出函数值大于或等于3所对应的自变量的范围． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图， 函数值时对应x的取值范围为． 故答案为：． 20．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，可利用待定系数法，将点的坐标代入解析式，即可求该二次函数解析式； （2）根据二次函数的图像和性质，利用函数值等于的两点得横坐标，即可求解； （3）根据题意，关于x的一元二次方程 有实根，等价于二次函数与直线有交点，故可求得时，函数值得范围，即是参数t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，二次函数的图像过点和 ， 所以可设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）由表格数据可知，二次函数在时，取得最小值， 故该二次函数开口向上，对称轴为直线， 又函数图像过点， 所以当时，或； （3）由（1）知，函数解析式为， 所以当时，， 又函数图像开口向上，过点，对称轴为直线， 故该二次函数在时，随的增大而减小； 在时，随的增大而增大； 所以当时，函数取得最小值， 所以当时，关于x的一元二次方程 有实根， 即二次函数与直线有交点， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，含参数的一元二次方程有实根转化成函数图像与直线的交点问题，熟练掌握二次函数的定义，图像和性质是解题的关键． 21．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 画出该二次函数的图象，并求出解析式． 【答案】 【分析】本题主要查了二次函数的图象，求二次函数的解析式．根据表格画出函数图象，根据题意可设二次函数解析式为，把点代入，求出a的值，即可． 【详解】解：根据题意，画出图像如下： 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 可设二次函数解析式为， 把点代入到上式， 可得，． 解得，． 所以，二次函数的解析式为． 22．(24-25九上·北京第二十五中学·期中)设、是任意两个实数，定义符号的含义为：当时，；当时，．例如：． 参照上面的材料，解答下列问题： (1) ． (2)若，求的取值范围． (3)①写出函数与的图像的交点坐标 ． ②根据函数和的图像写出当 时，的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；②1，1 【分析】（1）根据表示a，b中的较小者，即可求出结论； （2）根据得出关于x的一元一次不等式，解之即可得到答案； （3）①联立两函数解析式，解方程组即可求得答案；②画出图像，根据x的范围分三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． （3）解：①联立函数与得到， ， 解得或， ∴函数与的图像的交点坐标是； 故答案为： ②图像如图所示， 观察函数图像可知，当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，当时，的最大值为1， 故答案为：1，1． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的图像和性质、一元一次不等式的解法，读懂题意，弄清的含义是解题的关键． 23．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格代值进行求解即可； （2）根据描点、连线可进行求解； （3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意可得函数图象如下： （3）解：当时，， 当时，， 当时，函数有最小值，最小值为：， ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：． 24．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)该抛物线的顶点坐标为__________； (2)求该抛物线的表达式； (3)将该抛物线向上平移__________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式的图像和性质是解题的关键． （1）根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）将点代入即可求出抛物线的表达式； （3）根据顶点式函数解析式进行平移即可； 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 故该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：将点代入，得： 解得， 故函数解析式为：； （3）解：将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 故答案为：． 地 城 考点02 待定系数法求二次函数解析式 一、填空题 1．(24-25九上·北京大兴区·期中)请写出一个对称轴为直线，且经过点的抛物线解析式 ． 【答案】答案不唯一， 【分析】本题考查二次函数的解析式及性质，根据二次函数的性质结合已知条件得到关于系数的关系式是解题的关键． 根据题意得出顶点坐标，设出顶点形式，将代入，得，然后任取a值，确定出函数解析式． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 设抛物线的解析式为：， 将点代入方程得 ， ， 当，则， 抛物线解析式为：． 故答案为： 二、解答题 2．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)如图，已知二次函数经过点和点， (1)求的值和点的坐标； (2)若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先把点和的坐标分别代入中得到方程组，解之即可得到、的值，从而得到抛物线解析式，然后解方程可得B点坐标； （2）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：二次函数经过点和点 解得： 二次函数解析式为 当时， 解得：， 的值为；点的坐标为． （2）解：观察图象可知，当时， 不等式的解集为． 3．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①不能过网，理由见详解；②的值为 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，设抛物线的解析式为，把，，代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据表格信息可得，当时，，即，代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高，与发球点的水平距离为，把代入计算即可求解；②根据题意可得，刚好过网时球与网接触的点为，运用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴与满足的函数关系式为； （2）解：①能过网，理由如下， 根据表格信息可得，当时，，即， ∵， ∴一次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵球网高，与发球点的水平距离为， ∴当时，， ∵， ∴小胜回击的球不能过网； ②，球网高，与发球点的水平距离为，小胜回击的球刚好过网， ∴刚好过网时球与网接触的点为， ∴， 解得，， ∴的值为． 4．(23-24九上·北京海淀区·期中)在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．    (1)小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 （1）根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为____________m； (2)①求小刚第一次的投掷距离； ②已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次____________（填“大”或“小”）． 【答案】(1)2.5 (2)①；②小 【分析】（1）由表格中的数据即可求解； （2）①用待定系数法求函数解析式，再令，求解即可； ②根据题意设第二次投掷时水平距离x与竖直高度y的函数关系式为，根据第二次投掷时，水平距离x与竖直高度y的抛物线开口比第一次大，可得，从而求得，即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得，实心球运行的竖直高度的最大值为， 故答案为：2.5； （2）解：①设小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度y的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴函数解析式为， 当时，， 解得（舍），， ∴小刚第一次的投掷距离为； ②∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同， ∴设第二次投掷时水平距离x与竖直高度y的函数关系式为， ∵，即， ∴， ∵ ∴， ∵小刚第二次投掷距离比第一次远， ∴第二次投掷时，水平距离x与竖直高度y的抛物线开口比第一次大， ∴， ∴， ∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小， 故答案为：小． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 5．(23-24九上·北京海淀区八一学校·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与不等式（组），数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）由于当直线经过点时，，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，把代入得， 解得， ∴当时，对于x的每一个值，都有． 6．(23-24九上·北京·期中)已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 (1)求这个二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当x的取值范围为 时，． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； （2）解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图，函数图象如图： （3）解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 7．(24-25九上·北京回民学校·期中)利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 8．(23-24九上·北京·期中)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 9．(24-25九上·北京回民学校·期中)已知抛物线经过点 (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)画出函数的图象 (3)当时，结合函数图象直接写的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟知二次函数图象上点的坐标特征，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解答的关键． （1）将已知点代入函数解析式中求得m值，然后将函数解析式化为顶点式即可求解； （2）利用列表、描点、连线的步骤作函数图象即可； （3）根据所画的图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：列表： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线，如图： （3）解：由图象可知，该抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 10．(23-24九上·北京东城区·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)用描点法画出该二次函数的图象； (3)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)见解析 (3)k的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用描点法画出所给函数的图象即可； （3）由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值 【详解】（1）点在二次函数的图象上， ，解得． 二次函数的解析式为． （2）列表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 描点，连线： （3）当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和， 观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值， 所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围． 地 城 考点03 二次函数的平移 一、单选题 1．(24-25九上·北京大兴区·期中)二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减、左加右减”解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为． 故选：D． 2．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：二次函数向上平移个单位， 得到二次函数， 故选：A． 3．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与轴两交点的距离是解题的关键． 根据，可得，由，令，用求根公式得到两个交点横坐标的值，由此可得，则，再根据平移的性质可得，即点到轴的距离为2，根据函数图象平移得到平移后的二次函数，令，可得，由此可得，结合图形面积公式计算，由此即可求解． 【详解】解：已知．点在抛物线上，的面积为4， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴，则， ∴二次函数解析式为：， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，设， ∴，则， ∴， 整理得，， ∵将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为， ∴， ∴设平移后的二次函数解析式为， ∴， 设平移后二次函数与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 4．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)若抛物线平移后得到，则可以（   ） A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位； B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位； C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位； D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位； 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，理解并掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”进行判定即可求解． 【详解】解：抛物线平移后得到， A、将先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到，符合题意； B、将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到，不符合题意； C、将先向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到，不符合题意； D、将先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，不符合题意； 故选：A ． 5．(24-25九上·北京·期中)将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答． 【详解】解：向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点， ∴解析式为， ∴a=2. 故选D． 【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 6．(23-24九上·北京朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校·期中)在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）．当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点A，点B的纵坐标，据此可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段有交点，而当抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，把点代入函数，可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段没有交点．综上可得的取值范围． 【详解】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）， 如下图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，    ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴，解得； 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有交点，如下图    抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，如下图，    把点代入函数，得 ，解得， 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段没有交点． 综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的平移与交点问题，采用数形结合思想是解题的关键． 7．(23-24九上·北京海淀区北京十一晋元学校·期中)将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后， 得到新抛物线的解析式为：， 故选A． 二、填空题 8．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)二次函数的图象可以由函数向 平移 个单位得到． 【答案】 右 1 【分析】此题主要考查了二次函数的平移，正确记忆平移规律是解题关键．直接利用二次函数的平移规律得出答案即可． 【详解】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知： 函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位得到； 故答案为：右，1． 9．(24-25九上·北京第二中学·期中)把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减．根据规律直接得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 故答案为：． 10．(24-25九上·北京第十二中学·期中)将抛物线 先向上平移个单位，再向右平移个单位，所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线 先向上平移个单位，再向右平移个单位，所得抛物线的解析式为， 故答案为：． 11．(24-25九上·北京第二十五中学·期中)把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得 ． 故答案为：． 12．(24-25九上·北京·期中)若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为 【答案】 【分析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，由反向平移得到原来的函数，再按照“左加右减，上加下减”的规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得． 故答案为：． 三、解答题 13．(24-25九上·北京回民学校·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)将抛物线向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为 【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数图象的平移，掌握配方法的方法是解答的关键． （1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定如何平移后经过原点，进而可得另一个交点坐标． 【详解】（1）解：由得； （2）解：当时，由解得，， 则抛物线与x轴的交点坐标为，， ∴将抛物线向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为． 地 城 考点04 实际问题与二次函数 一、填空题 1．(23-24九上·北京朝阳区·期中)对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度，初速度，抛出后所经历的时间，这三个量之间有如下关系：（其中是重力加速度，取）．将一物体以的初速度向上抛，当物体处在离抛出点高的地方时，的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确把已知数据代入是解题的关键，把，代入得一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将，代入得：， 整理得：， 解得：，， ∴当物体处在离抛出点高的地方时，的值为或， 故答案为：或． 二、解答题 2．(24-25九上·北京大兴区·期中)行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离（单位：），车速为制动时车速（单位：），时间为制动时间（单位：）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表： 表1 制动时车速（） 制动时间（） 表2 制动时车速（） 制动距离（） 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示与的关系． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)根据表1，当制动时车速为时，制动时间 ； (2)直接写出制动距离（单位：）与制动时车速（单位：）之间的函数关系式； (3)有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为，则此车制动时车速是 ，已知该公路限速为，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）． 【答案】(1) (2) (3)；超速行驶 【分析】本题考查正比例函数、二次函数的实际应用． （1）设，将代入得得出，将代入即可求解； （2）根据题意待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入二次函数解析式，即可求解，进而转化单位即可得出是否超速． 【详解】（1）解：观察表1数据可得每增加，增加，符合正比例函数， 设，将代入得 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． （2）解： ∵这条曲线像是抛物线的一部分，图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取和代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． （3）解：当时， 解得：（负值舍去）， ∴此车制动时车速是， 当时，， ∴在事故发生时，该汽车是超速行驶 故答案为：；超速行驶． 3．(24-25九上·北京·期中)赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 【答案】(1) (2)5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设顶点式，利用待定系数法求解； （2）依据题意，令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数，从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞． 4．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为．当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小毓建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示）．求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，回答下列问题： (1)画出小毓建立的平面直角坐标系； (2)判断此次发球是否有效，并说明理由．（注：排球过球网且落在对方场地内为发球有效） 【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析 (2)无效，理由见解析 【分析】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据该抛物线的表达式，得顶点坐标 ，从而得到建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，即可求解； （2）根据题意得：当时，判定是否过网，根据，判定是都出界，即可求解． 【详解】（1）∵该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∵当排球飞行到距离球网时达到最大高度． 根据题意得：点A的坐标为， ∴小毓建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴， 如图所示： （2）发球无效．理由： 根据题意得：点B的横坐标为3， 当时，， ∴排球能过球网． 当时，， ∴排球出右边界， ∴发球无效． 5．(24-25九上·北京十一学校·期中)一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键； （1）由题意可得销售量为件，然后可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当时，即售价为元时，可获得最大利润，最大利润为1620元； 答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元． 6．(23-24九上·北京朝阳区·期中)如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； (2)这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 【答案】(1)； (2)这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）令，求出图象与轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出的值； 【详解】（1）解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线顶点， 设抛物线对应的函数解析式为， 由抛物线经过点，可得， 解得， ； （2）解：令，则 解得，， ， 喷灌面积， 答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 7．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表： x/m … 9 12 15 18 21 … y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【答案】(1)5，30 (2) (3)守门员不能成功防守，说明见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）利用对称性进行求解即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， ∴抛物线关于直线对称， ∵抛物线的开口向下： ∴当时，最大，为， 当时，， 时，； 故答案为：5，30； （2）抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， ． （3）解：守门员不能成功防守，理由如下： 当时，， ∴守门员不能成功防守． 8．(24-25九上·北京第二中学·期中)2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； (2)在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：；； （2）解：对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴米， 对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 9．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)某公司对其产品的年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据： 万元 吨 万元 (1)请你补全表格中的数据； (2)请在下面平面直角坐标系中描出点； (3)解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元． 【答案】(1)补全表格见解析 (2)画图见解析 (3)， 【分析】（）把的值代入关系式求出的值即可补全表格中的数据 （）根据表格数据画图即可； （）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入，得， ∴补全表格中的数据如下： 万元 吨 万元 （2）解：描点如下： （3）解：∵， ∴当，即时，取最大值，最大值为， 故答案为：，． 10．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①不能过网，理由见详解；②的值为 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，设抛物线的解析式为，把，，代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据表格信息可得，当时，，即，代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高，与发球点的水平距离为，把代入计算即可求解；②根据题意可得，刚好过网时球与网接触的点为，运用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴与满足的函数关系式为； （2）解：①能过网，理由如下， 根据表格信息可得，当时，，即， ∵， ∴一次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵球网高，与发球点的水平距离为， ∴当时，， ∵， ∴小胜回击的球不能过网； ②，球网高，与发球点的水平距离为，小胜回击的球刚好过网， ∴刚好过网时球与网接触的点为， ∴， 解得，， ∴的值为． 11．(24-25九上·北京·期中)某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，能用待定系数法求出二次函数表达式及将一般式化成顶点式是解决本题的关键． （1）设抛物线表达式为：，将，代入求解即可； （2）将（1）中抛物线配成顶点式即可求出最大高度，再求出函数值为0时自变量的值即可得到最远飞行距离； （3）设平移后的抛物线为：，将，代入求出对应的k即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入中得，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴飞机飞行的最大高度为． 当时，，解得，（舍去）， ∴飞机飞行的最远距离为． （3）解：∵，， ∴，． 设平移后的抛物线的解析式为， 将代入得，解得， 将代入，得，解得， ∴，即． 12．(24-25九上·北京中国人民大学附属中学·期中)如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）． (1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下： 2 3 6 8 10 12 4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式． (2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）． 【答案】(1)该拱门的高度为，跨度为， (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由表格得当时，，当时，，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解； （2）先把代入中，求出h的值，则可求出，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当，， ∴该拱门的高度为， ∵， ∴跨度为； 设抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：把代入中得，解得或（舍去）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． 地 城 考点05 二次函数综合 一、填空题 1．(23-24九上·北京朝阳区·期中)已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【来源】北京市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． 求得函数(是常数，的图象过定点，函数是常数，与轴的交点为，然后分两种情况讨论即可求得的取值． 【详解】解：∵， ∴函数(是常数，)的图象过定点 ∵， ∴函数是常数，与轴的交点为， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或． 故答案为：或． 二、解答题 2．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． (1)求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当多长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练应用二次函数关系式解决实际问题是解题的关键； （1）根据题意，表示出矩形的长和宽，结合矩形的面积公式即可求解； （2）根据题意，利用配方法求函数的最值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 与x的关系式为； （2）由（1）得， ∵， 当时，有最大值，最大值为196， 即当时，矩形的面积最大，最大面积是． 3．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． (1)当时，抛物线的对称轴为____________； (2)直接写出一个的值，使得成立； (3)是抛物线上不同于，的点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)成立（答案不唯一） (3) 【分析】（）根据得到，关于对称轴对称，从而得到抛物线的对称轴； （）根据抛物线的解析式得到其对称轴和开口方向，结合函数图象自左到右的随的增大而增大的变化趋势，得到结果； （）根据点与对称轴的位置不同，分类讨论，结合函数图象的变化趋势，得到结果；本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点，， ∴，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：； （2）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为，抛物线图象的开口向上， ∴函数图象在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∵当时，则对称轴为， ∴点关于的对称点为， ∵， ∴， 故成立（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为， 当时， ∴点，，均在对称轴右侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； 当时， ∵点在对称轴左侧， 设点关于的对称点为，则， 则点的横坐标为， ∵点，，在对称轴右侧，且， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 当 时， ∵点和在对称轴左侧，由函数性质，有， ∵点，在对称轴右侧，且， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 当时， ∴点，，均在对称轴左侧， ∴由二次函数性质，必有不符题意舍去； 由可知：． 4．(24-25九上·北京·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①7  ②或 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 5．(24-25九上·北京朝阳外国语学校来广营初中部·期中)在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)直线经过点，，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）由题意，连线的中垂线与轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：当时，则，关于对称， ， ， ， ； （2）解：对于，都有， 在直线中，随的增大而增大， ， ， 抛物线开口向下， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 则点和点两点的中点会在对称轴的右边， 即， ， ， ， ． 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象顶点的坐标为； (2)或． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）求出抛物线过N点时a的值，再结合图象求a的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象顶点的坐标为； （2）解：∵一次函数与直线交于点，与直线交于点， ∴，， ∵抛物线顶点的坐标为， ∴点在点的上方， ∵线段与二次函数只有一个交点， 则点N在抛物线上或抛物线下方， 当过点N时， ，即， 解得或， ∴或． 7．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）把代入函数解析式，进而转化为顶点式即可求解； （）由已知可得，再分和两种情况，列出不等式组解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入，得， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵和是抛物线上的两点， ∴，， ∵， ∴， ①当时，， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴； ②当时，， ∴或， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 8．(24-25九上·北京第二中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）首先根据，得出点，关于对称轴直线对称，据此列式求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； 故答案为：； （2）解：∵点，在抛物线上，且， ∴对称轴为直线， 由题意得，解得； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴． 9．(24-25九上·北京第十二中学·期中)在平面直角坐标系中，点为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求h的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入解析式，然后将二次函数的解析式化为顶点式求解即可得； （2）根据题意分两种情况讨论：和，利用二次函数的性质分别列出不等式（组）求解即可得． 【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且点在此抛物线上， ∴点一定在对称轴的右侧，时的函数值与时的函数值相等，时的函数值与时的函数值相等， 由题意，分以下两种情况： ①当时，若点在对称轴的右侧， 要使对于，都有， 则， 解得； 若点在对称轴的左侧， 要使对于，都有， 则， 解得； ②当时， 要使对于，都有， 则， 解得， 综上，当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为． 10．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)已知关于x的二次函数上两个不同的点，． (1)求顶点坐标； (2)若且时，总有，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，利用数形相结合的思想是解题的关键． （1）把二次函数化为顶点式即可得解； （2）由，得对称轴是直线，进而分和两种情形利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴对称轴是直线， 当时， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴点始终在对称轴右侧， 若A、B在对称轴右侧，，即时， ∵， ∴， ∴， 若A、B在对称轴异侧，，即时，关于对称轴的对称点是． ∵， ∴，即， ∴（舍）． 综上所述：． 当时，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． ∵，， ∴若A、B在对称轴同侧，，则不符合题意，应舍去， 若A、B在对称轴异侧，，， 关于对称轴的对称点是． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述：或． 11．(24-25九上·北京大兴区·期中)在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线经过点． (1)当时，若，则a的值为 ； (2)若对于任意的都满足，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． （1）当时，抛物线经过点，若，即点和点关于的对称轴对称，则，即可求解； （2）分两种情况结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线经过点， 若，即点和点关于的对称轴对称， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵对于任意的都满足，抛物线对称轴为直线， ∴点A，B，C存在如下情况： 情况1，如示意图，当时，可知， ∴， 解得. 情况2，如示意图，当时，可知， ∴， ∴，解得. 综上所述，或. 12．(24-25九上·北京十一学校·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)该抛物线的顶点坐标为 (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据配方法配成顶点式，然后问题可求解； （2）由题意可分①当和进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由配成顶点式可得： ， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由题意可知，则可分： ①当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴， 要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更远， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为，即， ∴，解得：； ②当时，抛物线开口向上，要使，则需满足点P到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离更近， ∵点Q到对称轴的距离为，点P到对称轴的距离为， 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，需满足，即， ∴， ∴，解得：（与相矛盾，故不符合题意）； 当时，解得：，此时，，所以此种情况始终满足； 综上所述：当或时，都有． 13．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)在平面直角坐标系中，和是抛物线上任意两点． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）根据对称轴公式求得对称轴，即可求解； （2）分，，两种情况讨论，根据离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的哪一侧，进而列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，对称轴为直线 又∵对于，，有， ∴对称轴为直线 ∴； （2）解： ∵对于，，都有， ①当时，则即， 当时，抛物线开口向下， ∴点距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的右侧， ∴ 解得： ∴； 当时，抛物线开口向上， ∴点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的左侧， ∴， 解得：， ∴； ②当时，则 ∴，则抛物线开口向下， ∴点在对称轴的右侧，此时，不合题意舍去 综上所述，的取值范围为或 14．(24-25九上·北京第十三中学分校·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线G：． (1)直接写出抛物线G的顶点坐标； (2)若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围； (3)抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换． （1）把抛物线解析式化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数开口向上时点到对称轴的距离越远值越大可得的取值范围； （3）根据题意先求出点、、的坐标，然后再根据抛物线G与线段恰有一个公共点分情况讨论计算即可求的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点为； （2）解：抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为直线， ∵开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远值越大， ∵在抛物线G上有两点，，且， ∴，即， 当时，，则，解得，此时； 当时，，则，解得，此时； 的取值范围是或； （3）解：抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴交于点， 点的坐标为． 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 点右移3个单位得到点， 点的坐标为． ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当抛物线与直线只有一个交点时，则，解得，此时交点刚好是点，在线段上； 当抛物线与直线有两个交点分别为点，（点在点右边），，解得， 当只有点在线段上时，如图， ∴当时，， 当时，， 解得； 当只有点在线段上时，如图， ∴当时，， 当时，， 不等式组无解； 把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，也在线段上，即抛物线与线段有两个交点； 把点代入，可得，此时与轴另一个交点为，不在线段上，抛物线与线段有一个公共点； 综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时可得：或． 15．(24-25九上·北京·期中)在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)当时，求b的值； (2)当，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，以及对称轴的公式，进行求解即可； （2）分和两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在二次函数的图象上，当时，和关于对称轴对称， 则：抛物线的对称轴为直线：， ∴； （2）解：∵，，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； ∵时，， ∴抛物线过点， 当时，，即； ∵， ①当时，，如图： ∵，， ∴， 解得：； ②当时，此时对称轴在轴的左侧，点离抛物线的对称轴近， ∴，不满足题意； 综上：． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质．熟练掌握抛物线的对称性，以及二次函数的性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $